1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 福 建 卷 ）数学试题（理工农医类）第卷(选择题共50分)一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1.已 知 复 数 z 的 共 轭 复 数 i21z （ i为 虚 数 单 位 ） ， 则 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 （ ）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限2.已 知 集 合 aA ,1 ， 3,2,1B ， 则 ”“ 3a 是 ”“ BA 的 （ ）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要
2、 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 3.双 曲 线 14 22 yx 的 顶 点 到 渐 进 线 的 距 离 等 于 （ ）A. 52 B. 54 C. 552 D. 5544.某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 ， 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩分 成 6组 ： 40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100加 以 统 计 ，得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 。 已 知 高 一 年 级 共 有 学 生 600名 ，据 此 估 计
3、 ， 该 模 块 测 试 成 绩 不 少 于 60分 的 学 生 人 数 为 （ ）A.588 B.480 C.450 D.1205.满 足 2,1,0,1, ba ， 且 关 于 x的 方 程 022 bxax 有 实 数 解 的 有 序 数 对 的 个 数 为 （ ）A.14 B.13 C.12 D.106.阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 编 入 的 10k ， 则 该 算 法 的 功 能 是 （ ）A. 计 算 数 列 12 n 的 前 10项 和 B.计 算 数 列 12 n 的 前 9项 和C. 计 算 数 列 1-2n 的 前 10项 和 D. 计 算 数 列
4、1-2n 的 前 9项 和7. 在 四 边 形 ABCD 中 ， )2,1(AC ， )2,4(BD ,则 该 四 边 形 的 面 积 为 （ ）A. 5 B. 52 C.5 D.108. 设 函 数 )(xf 的 定 义 域 为 R， 000 xx 是 )(xf 的 极 大 值 点 ， 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是 （ ）A. )()(, 0 xfxfRx B. 0 x 是 )-( xf 的 极 小 值 点C. 0 x 是 )(- xf 的 极 小 值 点 D. 0 x 是 )-(- xf 的 极 小 值 点9. 已 知 等 比 数 列 na 的 公 比 为 q ， 记 mnmnm
5、nmn aaab )1(2)1(1)1( ，mnmnmnmn aaab )1(2)1(1)1( ， *, Nnm ， 则 以 下 结 论 一 定 正 确 的 是（ ）A. 数 列 nb 为 等 差 数 列 ， 公 差 为 mq B. 数 列 nb 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 mq2 绝 密 启 用 前 C. 数 列 nc 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 2mq D. 数 列 nc 为 等 比 数 列 ， 公 比 为 mmq10. 设 TS, 是 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 如 果 存 在 一 个 从 S 到 T 的 函 数 )(xfy 满 足 ： )(i SxxfT )(
6、； )(ii 对任 意 Sxx 21, ， 当 21 xx 时 ， 恒 有 )()( 21 xfxf ， 那 么 称 这 两 个 集 合 “ 保 序 同 构 ” ， 以 下 集 合 对 不 是 “ 保 序 同 构 ”的 是 （ ）A. NBNA *, B. 1008,31 xxxBxxA 或C. RBxxA ,10 D. QBZA ,第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填写在答题卡的相应位置. 11. 利 用 计 算 机 产 生 0 1之 间 的 均 匀 随 机 数 a ， 则 事 件 3a-10 3 1 0a 发 生 的 概 率 为 _12. 已
7、知 某 一 多 面 体 内 接 于 球 构 成 一 个 简 单 组 合 体 ， 如 果 该 组 合 体 的 正 视 图 、俯 视 图 、 均 如 图 所 示 ， 且 图 中 的 四 边 形 是 边 长 为 2的 正 方 形 ， 则 该 球的 表 面 积 是13. 如 图 ， 在 ABC 中 ， 已 知 点 D在 BC 边 上 ，ACAD , 23,322sin ABBAC , 3AD , 则 BD的 长 为14. 椭 圆 01: 2222 babyax 的 左 右 焦 点 分 别 为 21,FF ,焦 距 为 c2 ， 若 直 线 cxy 3 与 椭 圆 的 一 个 交 点 满 足 1221
8、2 FMFFMF ,则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于 _ 15. 当 1, xRx 时 ， 有 如 下 表 达 式 ：xxxx n 111 2两 边 同 时 积 分 得 ： 210210210 2210210 111 dxxdxxdxxxdxdx n从 而 得 到 如 下 等 式 ： .2ln)21(11)21(31)21(21211 132 nn请 根 据 以 上 材 料 所 蕴 含 的 数 学 思 想 方 法 ， 计 算 ： 132210 )21(11)21(31)21(2121 nnnnnn CnCCC 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
9、6.（ 本 小 题 满 分 13分 ）某 联 欢 晚 会 举 行 抽 奖 活 动 ， 举 办 方 设 置 了 甲 、 乙 两 种 抽 奖 方 案 ， 方 案 甲 的 中 奖 率 为 32 ， 中 奖 可 以 获 得 2分 ； 方 案 乙 的中 奖 率 为 52 ， 中 奖 可 以 获 得 3分 ； 未 中 奖 则 不 得 分 。 每 人 有 且 只 有 一 次 抽 奖 机 会 ， 每 次 抽 奖 中 奖 与 否 互 不 影 响 ， 晚 会结 束 后 凭 分 数 兑 换 奖 品 。 （ 1） 若 小 明 选 择 方 案 甲 抽 奖 ， 小 红 选 择 方 案 乙 抽 奖 ， 记 他 们 的 累
10、计 得 分 为 X ,求 3X 的 概 率 ；（ 2） 若 小 明 、 小 红 两 人 都 选 择 方 案 甲 或 都 选 择 方 案 乙 进 行 抽 奖 ， 问 ： 他 们 选 择 何 种 方 案 抽 奖 ， 累 计 得 分 的 数 学 期 望 较大 ？17.（ 本 小 题 满 分 13分 ）已 知 函 数 )(ln)( Raxaxxf （ 1） 当 2a 时 ， 求 曲 线 )(xfy 在 点 )1(,1( fA 处 的 切 线 方 程 ；（ 2） 求 函 数 )(xf 的 极 值18.（ 本 小 题 满 分 13分 ）如 图 ， 在 正 方 形 OABC 中 ， O 为 坐 标 原 点
11、， 点 A的 坐 标 为 0,10 ， 点 C 的 坐 标 为 10,0 ， 分 别 将 线 段 OA和 AB十 等 分 ， 分 点 分 别 记 为921 , AAA 和 921 , BBB ， 连 接 iOB ， 过 iA 作 x轴 的 垂 线 与 iOB交 于 点 91*, iNiPi 。（ 1） 求 证 ： 点 91*, iNiPi 都 在 同 一 条 抛 物 线 上 ， 并 求 抛 物 线 E 的 方 程 ；（ 2） 过 点 C 作 直 线 l 与 抛 物 线 E交 于 不 同 的 两 点 NM, , 若 OCM 与 OCN的 面 积 之 比 为 4:1， 求 直 线 l 的 方 程
12、。19.（ 本 小 题 满 分 13分 ）如 图 ， 在 四 棱 柱 1111 DCBAABCD 中 ， 侧 棱 1AA 底 面 ABCD , )0(,6,5,4,3,1,/ 1 kkDCkBCkADkABAADCAB （ 1） 求 证 ： CD 平 面 11AADD（ 2） 若 直 线 1AA 与 平 面 CAB1 所 成 角 的 正 弦 值 为 76 ， 求 k 的 值（ 3） 现 将 与 四 棱 柱 1111 DCBAABCD 形 状 和 大 小 完 全 相 同 的 两 个 四 棱 柱拼 成 一 个 新 的 四 棱 柱 ， 规 定 ： 若 拼 成 的 新 四 棱 柱 形 状 和 大 小
13、完 全 相 同 ， 则 视 为 同 一 种 拼 接 方 案 ， 问 共 有 几 种 不 同 的 拼接 方 案 ？ 在 这 些 拼 接 成 的 新 四 棱 柱 中 ， 记 其 中 最 小 的 表 面 积 为 )(kf ， 写 出 )(kf 的 解 析 式 。 （ 直 接 写 出 答 案 ， 不 必 说明 理 由 ）20.（ 本 小 题 满 分 14分 ）已 知 函 数 )0,0)(sin()( wwxxf 的 周 期 为 ， 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 0,4 ， 将 函 数 )(xf 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 （ 纵 坐 标 不 变 ）
14、， 再 将 得 到 的 图 象 向 右 平 移 个 2 单 位 长 度 后 得 到 函 数 )(xg 的 图 象 。（ 1） 求 函 数 )(xf 与 )(xg 的 解 析 式（ 2） 是 否 存 在 4,60 x ， 使 得 )()(),(),( 0000 xgxfxgxf 按 照 某 种 顺 序 成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 ， 请 确 定 0 x 的 个 数 ，若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ；（ 3） 求 实 数 a 与 正 整 数 n， 使 得 )()()( xagxfxF 在 n,0 内 恰 有 2013个 零 点21. 本 小 题 设 有 (1)、 (2)、 (3)三
15、个 选 考 题 ， 每 题 7分 ， 请 考 生 任 选 2题 作 答 ， 满 分 14分 .如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 前 两 题 计 分 .(1). (本 小 题 满 分 7 分 ) 选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换已 知 直 线 1: yaxl 在 矩 阵 )10 21(A 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 直 线 1: byxl（ I） 求 实 数 ba, 的 值（ II） 若 点 ),( 00 yxP 在 直 线 l 上 ， 且 0000 yxyxA ， 求 点 P 的 坐 标(2).(本 小 题 满 分 7 分 ) 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方
16、 程在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .已 知 点 A 的 极 坐 标 为 4,2 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 a )4cos( ， 且 点 A 在 直 线 l 上 。（ ） 求 a 的 值 及 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 圆 C 的 参 数 方 程 为 )(sin ,cos1 为 参 数aay ax ， 试 判 断 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 .(3).(本 小 题 满 分 7 分 ) 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲设 不 等
17、式 *)(2 Naax 的 解 集 为 A,且 AA 21,23（ ） 求 a 的 值（ ） 求 函 数 2)( xaxxf 的 最 小 值 参考答案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算 .每 小 题 5分 ， 满 分 50分 .1.D 2.A 3.C 4.B 5.B6.A 7.C 8.D 9.C 10.D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 考 查 基 础 知 识 和 基 本 运 算 .每 小 题 4分 ， 满 分 20分 .11. 23 12. 12 13. 3 14. 3-1 15. 11 3 1n 1 2 n 三 、 解 答 题 ： 本 大 题
18、共 6小 题 ， 共 80分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.本 小 题 主 要 考 查 古 典 概 型 、 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 、 数 学 期 望 等 基 础 知 识 ， 考 查数 据 处 理 能 力 、 运 算 求 解 能 力 、 应 用 意 识 ， 考 查 必 然 与 或 然 思 想 .满 分 13分 .解法一： （ I） 由 已 知 得 ， 小 明 中 奖 的 概 率 为 23 ， 小 红 中 奖 的 概 率 为 25 ， 且 两 人 中 奖与 否 互 不 影 响 .记 “ 这 2人 的 累 计 得 分 X
19、 3” 的 事 件 为 A。则 事 件 A的 对 立 事 件 为 “ X=5” ， 因 为 P(X=5)= 23 25 = 415， 所 以 P(A)=1-P(X=5)= 1115,即 这 2人 的 累 计 得 分 X 3的 概 率 为 1115。（ II） 设 小 明 、 小 红 都 选 择 方 案 甲 抽 奖 中 奖 次 数 为 1X ， 都 选 择 方 案 乙 抽 奖 中 奖 次 数 为 2X ，则 这 两 人 选 择 方 案 甲 抽 奖 累 计 得 分 的 数 学 期 望 为 E(2 1X ),选 择 方 案 乙 抽 奖 累 计 得 分的 数 学 期 望 为 E(3 2X ).由 已
20、知 可 得 ， 1 22 2(2, ), (2, )3 5X B X B ，所 以 E( 1X )=2 23=43,E( 2X )=2 25 =45 ,从 而 E(2 1X )=2E( 1X )=83， E(3 2X )=3E( 2X )=125 .因 为 E(2 1X ) E(3 2X )，所 以 他 们 都 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 时 ， 累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 . 解法二： （ I） 由 已 知 得 ， 小 明 中 奖 的 概 率 为 23 ， 小 红 中 奖 的 概 率 为 25 ， 且 两 人 中 奖 与否 互 不 影 响 .记 “ 这 2人 的 累
21、计 得 分 X 3” 的 事 件 为 A，则 事 件 A包 含 有 “ X=0” ,“ X=2” ， “ X=3” 三 个 两 两 互 斥 的 事 件 ，因 为 P(X=0)= 2 2 11 13 5 5 ,P(X=2)= 2 2 213 5 5 ,P(X=3)= 2 2 21 3 5 15 ， 11P A P X 0 P X 2 P X 3 15 所 以即 这 2人 的 累 计 得 分 X 3的 概 率 为 1115. 12 1 2II ,XX X X设 小 明 、 小 红 都 选 择 方 案 甲 所 获 得 的 累 计 得 分 为 都 选 择 方 案 乙 所 获 得 的累 计 得 分 为
22、， 则 ， 的 分 布 列 如 下 ： 所 以 E( 1X )=0 1 4 4 8+2 +4 =9 9 9 3 ， E( 2X )= 9 12 4 120 +3 +6 = .25 25 25 5 因 为 E( 1X ) E( 2X ),所 以 他 们 都 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 时 ， 累 计 得 分 的 数 学 期 望 较 大 。17. 本 小 题 主 要 考 查 函 数 、 函 数 的 导 数 、 不 等 式 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 函数 与 方 程 思 想 、 分 类 与 整 合 思 想 、 数 形 结 合 思 想 、 化 归 与
23、转 化 思 想 .满 分 13分 .解 ： 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 （ 0， +） ， ( )f x =1 .ax（ I） 当 a=2时 ， ( )f x =x-2ln x ， ( )f x =1- 2x （ x 0） ，因 而 (1)f =1， ( )f x =-1，所 以 曲 线 y= ( )f x 在 点 A(1， (1)f )处 的 切 线 方 程 为 y-1=-（ x-1） ， 即 x+y-2=0.（ II） 由 ( )f x =1 ,a x a xx x 0知 ： 当 a 0时 ， ( )f x 0， 函 数 ( )f x 为 （ 0， +） 上 的 增 函 数
24、， 函 数 ( )f x 无 极 值 . 当 a 0时 ， 由 ( )f x =0， 解 得 x a .又 当 x(0,a)时 ， ( )f x 0； 当 x(0, +)时 ， ( )f x 0，从 而 函 数 ( )f x 在 x=a处 取 得 极 小 值 ， 且 极 小 值 为 (a)f =a-aln a， 无 极 大 值 。综 上 ， 当 a 0时 ， 函 数 ( )f x 无 极 值 ；当 a 0时 ， 函 数 ( )f x 在 x=a处 取 得 极 小 值 a-aln a， 无 极 大 值 .18.本 小 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 性 质 、 直 线 与 抛 物 线 的 位
25、 置 关 系 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求解 能 力 、 推 理 论 证 能 力 ， 考 查 化 归 与 转 化 思 想 、 数 形 结 合 思 、 函 数 与 方 程 思 想 .满 分13分 .解法一： （ I） 依 题 意 ， 过 ( ,1 9)niA i N i 且 与 x轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 x i ，iB 的 坐 标 为 （ 10， i） ， 所 以 直 线 O iB 的 方 程 为 y=10i x.设 ip 的 坐 标 为 （ x， y） ， 由 10 x iiy x ，得 y= 210i x ， 即 2 10 x y .所 以 点 ip （ ,1 9n
26、i N i ） 都 在 同 一 条 抛 物 线 上 ， 且 抛 物 线 E的 方 程 为 2 10 x y .（ II） 依 题 意 ， 直 线 l 的 斜 率 存 在 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 y= 10kx .由 2 10,10 ,y kxx y 得 2 10 100 0 x kx . 此 时 =100 2 400 0,k l 直 线 与 抛 物 线 E恒 有 两 个 不 同 的 交 点 M， N。设 M（ 1 21 1 2 2 1 2 10 ,100,x x kx x （ x ,y） ,N(x ,y ),则 OCM OCN 1 2S 4 4 .S x x 因 为 ， 所 以1
27、2 1 20, 4 ,x x x x 又 所 以分 别 代 入 和 ， 得 2223 10 , 3.4 100, 2xx k k 解 得所 以 直 线 3 10, 3 2 +20=0 3 2 20 02 x x yl y x y 的 方 程 为 即 或 .解 法 二 ： （ ） 2( ,1 9) E 10ip i N i x y 点 都 在 抛 物 线 ： 上 .证 明 如 下 ： ( ,1 9)iA i N i x x i 过 且 与 轴 垂 直 的 直 线 方 程 为 ，.10 i iB i x的 坐 标 为 （ 10， ） ,所 以 直 线 OB的 方 程 为 2,1010 ix i i
28、p ii x由 解 得 的 坐 标 为 ( ), 因 为 点 2 10 ,ip x y的 坐 标 都 满 足 方 程所 以 点 ( ,1 9)ip i N i 都 在 同 一 条 抛 物 线 上 ， 且 抛 物 线 E的 方 程 为 2 10 .x y( )同 解 法 一 。19.解 ： （ ） 取 CD的 中 点 E， 连 结 BE. AB DE,AB=DE=3k, 四 边 形 ABED为 平 行 四 边 形 ， BE AD且 BE=AD=4K。在 BCE中 ， BE=4K， CE=3K， BC=5K， 2 2 2,BE CE BC 90 , BE CDBEC 即 ， 又 BE AD， 所
29、以CD AD。 1 ABCD CD ABCDAA 平 面 ， 平 面 ， 1 1CD. ,AA AA AD A 又 CD 1 1ADDA平 面 .1DA DCDD ， ， 的 方 向 为 x,y,x轴 的 正 方 向 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ，则 A（ 4K， 0， 0） ， C（ 0,6K， 0） ， 1 1B 4K 3K1 A K（ ， ， ） ， （ 4 ， 0， 1） ，设 平 面 1 1 0AB 0,AC nC AB n 的 法 向 量 n=(x,y,z),则 由4 6 0,3 0.kx kyky z 得 取 y=2,得 n=(3,2,-6k). 1
30、1ABC 设 AA与 平 面 所 成 角 为 ， 则 11 12sin cos ,6 6, 1, 1.736 13 AA nAA n AA nk k kk 解 得 故 所 求 的 值 为( )共 有 4种 不 同 的 方 案 .22 572 26 ,0 18( ) 536 36 , .18k k kf k k k k 20.解 法 一 ： （ ） 2( ) sin( ) 0, = =2.T( ) 4f xy f x 由 函 数 的 周 期 为 ， 得又 曲 线 的 一 个 对 称 中 心 为 （ ， 0） ， （ 0， ）故 ( ) sin(2 ) 0, = ( ) cos2 .4 4 2f
31、f x x 得 ， 所 以将 函 数 ( )f x 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） 后 可 得y=cosx的 图 象 ， 再 将 y=cosx的 图 象 想 右 平 移 2 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g(x)=cos(x- 2 )的 图 象 ， 所 以 g(x)=sin x,( ) 1 2 1( , ) sin ,0 cos2 .6 4 2 2 2x x x 当 时 ，所 以 sin cos2 sin cos2 .x x x x 问 题 转 化 为 方 程 2cos2 sin sinx x cos2 6 4x x
32、 在 （ ， ） 内 是 否 有 解 .G设 ( ) sin sin cos2 2cos2 , ( , ).6 4x x x x x x G( ) cos cos cos2 2sin2 (2 sin ).x x x x x x 则因 为 ( , ), G6 4x 所 以 ( ) 0, ( ) 6 4x G x 在 （ ， ） 内 单 调 递 增 .1 2G =- 0, ( ) 0,6 4 4 2G 又 （ ）且 函 数 G（ x） 的 图 象 连 续 不 断 ， 故 可 知 函 数 G（ x） 在 （ 6 4 ， ） 内 存 在 唯 一 零 点 0,x 即存 在 唯 一 的 0 ( , )6
33、4x 满 足 题 意 .( )依 题 意 ， F ( ) sin cos2 , Fx a x x 令 ( ) sin cos2 0.x a x x sin 0, ( )x x k k z 当 即 时 ， cos2 1,x ( )x k k z 从 而 不 是 方 程 F ( )x =0 的 解 ， 所 以 方 程 F cos2( ) 0 , ( ).sin xx x a x k k zx 等 价 于 关 于 的 方 程现 研 究 cos2(0, ) ( ,2 ) sin xx a x 时 方 程 的 解 的 情 况 。cos2( ) , (0, ) ( ,2 ),sin xh x xx 令则
34、问 题 转 化 为 研 究 直 线 ( ), (0, ) ( ,2 )y a y h x x 与 曲 线 的 交 点 情 况 。2 2cos (2sin 1) 3( ) , ( ) 0, .sin 2 2x xh x h x x xx 令 得 或( ), ( )x h x h x当 变 化 时 ， 的 变 化 情 况 如 下 表 ：0 0 ( ) - ( ) - ,x x h xx x h x 当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于 ，当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于( )x x h x 当 且 趋 近 于 时 ， 趋 向 于 +2 ( )x x h x 当 且 趋 近 于 2 时 ，
35、趋 向 于 +1 ( )a y a y h x 故 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0， ） 内 无 交 点 ， 在 （ ， 2 ） 内 有 2个 交 点1 ( )a y a y h x 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0， ） 内 有 2个 交 点 ， 在 （ ， 2 ） 内 无 交 点 ；- 当 1a1时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 （ 0， ） 内 有 2个 交 点 ， 在 （ ， 2 ） 内 有 2个 交 点 ；( ) 1 ( )h x a y a y h x 由 函 数 的 周 期 性 ， 可 知 当 时 ， 直 线 与 曲 线 在 （ 0， n ）
36、 内 总 有 偶 数 个 交 点 ，从 而 不 存 在 正 整 数 n,使 得 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 （ 0， n ） 内 恰 有 2013个 交 点 ；又 当 1 1a a 或 时 ， 直 线 y=a与 曲 线 y=h(x)在 （ 0， ） （ ， 2 ） 内 有 3个 交 点 ， 由周 期 性 ， 2013=3 671， 所 以 依 题 意 得 n=671 2=1342.综 上 ， 当1, 1342 1, 1342 Fa n a n 或 时 ， 函 数( ) ( ) ( )x f x ag x 在 （ 0， n ） 内 恰 有 2013个 零 点 。 解 法 二 ： （
37、 ） 、 （ ） 同 解 读 一 ，（ ） 依 题 意 ， 2( ) sin cos2 2sin sin 1.F x a x x x a x 现 研 究 函 数 ( ) 0,2F x 在 上 的 零 点 的 情 况 .设 2sin , ( ) 2 1( 1 1),t x p t t at t 则 函 数 ( )p t 的 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 ，(0) 1 0, ( 1) 1, (1) 1.p p a p a 又 当 a 1时 ， 函 数 ( )p t 有 一 个 零 点 1 ( 1,0)t (另 一 个 零 点 2t 1， 舍 去 )， ( )F x 在 0,2 上 有
38、两 个 零 点 1 2,x x ， 且 1 2,x x ( ,2 ) ；当 a -1 时 ， 函 数 ( )p t 有 一 个 零 点 1t (0,1) (另 一 个 零 点 2t -1， 舍 去 )， ( )F x 在 0,2 上 有两 个 零 点 1 2,x x ， 且 1 2,x x (0, ) ；当 -1 a 1 时 ， 函 数 ( )p t 有 一 个 零 点 1t ( 1,0) ， 另 一 个 零 点 2t (0,1) ， ( )F x 在 (0, ) 和( ,2 ) 分 别 有 两 个 零 点 .由 正 弦 函 数 的 周 期 性 ， 可 知 当 a 1时 ， 函 数 ( )F
39、x 在 (0, )n 内 总 有 偶 数 个 零 点 ， 从 而 不 存 在正 整 数 n满 足 题 意 .当 a=1时 ， 函 数 ( )p t 有 一 个 零 点 1t ( 1,0) ， 另 一 个 零 点 2t =1；当 a=-1时 ， 函 数 ( )p t 有 一 个 零 点 1t =-1， 另 一 个 零 点 2t (0,1) ，从 而 当 a=1或 a=-1时 ， 函 数 ( )F x 在 0,2 有 3个 零 点 .由 正 弦 函 数 的 周 期 性 ， 2013=3 671， 所 以 依 题 意 得 n=671 2=1342.综 上 ， 当 a=1， n=1342 或 a=-1
40、， n=1342 时 ， 函 数 ( )F x = ( )f x + ( )ag x 在 (0, )n 内 恰 有 2013个 零 点 .21.（ 1） 选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换本 小 题 主 要 考 查 矩 阵 、 矩 阵 与 变 换 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 化 归 与 转 化 思 想 ， 满分 7分 .解 ： （ I） 设 直 线 l: 1ax y 上 任 意 点 M( , )x y 在 矩 阵 A对 应 的 变 换 作 用 下 的 像 是M ( , )x y .由 xy = 10 21 xy = 2x yy ， 得 2 , .x x
41、 yy y 又 点 M ( , )x y 在 l 上 ， 所 以 x by =1,即 ( 2) 1x b y ， 依 题 意 得 12 1.ab 解 得 11.ab （ II） 由 A 00 xy = 00 xy ， 得 0 0 00 0 2 ,.x x yy y 解 得 0y =0.又 点 0 0,p x y 在 直 线 上 l 上 ， 所 以 0 1x .故 点 p 的 坐 标 为 (1,0).（ 2） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程本 小 题 主 要 考 查 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 、 圆 的 参 数 方 程 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算
42、求 解 能 力 ，考 查 化 归 与 转 化 思 想 .满 分 7分 .解 ： （ I） 由 点 A( 2, )4 在 直 线 cos( )4p =a上 ， 可 得 a= 2 .所 以 直 线 l 的 方 程 可 化 为 cos sin 2p p ， 从 而 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 0 x y .（ II） 由 已 知 得 圆 C的 直 角 坐 标 方 程 为 2 2( 1) 1x y ，所 以 圆 C的 圆 心 为 （ 1,0） ， 半 径 r=1，因 为 圆 心 C到 直 线 l 的 距 离 1 222d 1，所 以 直 线 l 与 圆 C相 交 .（ 3） 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 本 小 题 主 要 考 查 绝 对 值 不 等 式 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 考 查 化 归 与 转 化 思 想 .满 分 7分 . 解 ： （ I） 因 为 3 ,2 A 且 1 ,2 A 所 以 3 22 a， 且 1 22 ,a解 得 12 a 32 .又 因 为 a nN ， 所 以 a=1.（ II） 因 为 1 2 ( 1) ( 2)x x x x =3，当 且 仅 当 ( 1)( 2)x x 0， 即 -1 x 2时 取 到 等 号 ， 所 以 ( )f x 的 最 小 值 为 3.
