1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 南 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 9 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 45分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )复 数 z=i (1+i)(i为 虚 数 单 位 )在 复 平 面 上 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： z=i (1+i)=-1+i， 故 复 数 z 对 应 的 点 为 (-1， 1)， 在 复 平 面 的 第
2、 二 象 限 .答 案 ： B. 2.(5分 )“ 1 x 2” 是 “ x 2” 成 立 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 设 A=x|1 x 2， B=x|x 2， A B， 故 “ 1 x 2” 是 “ x 2” 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A.3.(5分 )某 工 厂 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产 了 同 一 种 产 品 ， 数 量 分 别 为 120件 ， 80件 ， 60 件 .为 了 解 它 们 的 产 品 质 量 是 否 存
3、 在 显 著 差 异 ， 用 分 层 抽 样 方 法 抽 取 了 一 个 容 量 为 n 的 样 本 进 行调 查 ， 其 中 从 丙 车 间 的 产 品 中 抽 取 了 3件 ， 则 n=( )A.9 B.10C.12D.13解 析 ： 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产 的 产 品 件 数 分 别 是 120， 80， 60， 甲 、 乙 、 丙 三 个 车 间 生 产 的 产 品 数 量 的 比 依 次 为 6： 4： 3，丙 车 间 生 产 产 品 所 占 的 比 例 ，因 为 样 本 中 丙 车 间 生 产 产 品 有 3 件 ， 占 总 产 品 的 ， 所 以 样 本 容
4、量 n=3 =13.答 案 ： D.4.(5分 )已 知 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 ， 且 f(-1)+g(1)=2， f(1)+g(-1)=4， 则 g(1)等于 ( ) A.4B.3C.2D.1 解 析 ： 由 f(x)是 奇 函 数 ， g(x)是 偶 函 数 得 ， -f(1)+g(1)=2 ， f(1)+g(1)=4 ，由 消 掉 f(1)得 g(1)=3，答 案 ： B.5.(5分 )在 锐 角 ABC中 ， 角 A， B所 对 的 边 长 分 别 为 a， b.若 2asinB= b， 则 角 A 等 于( )A.B.C. D.解 析 ： 在 ABC中
5、， 2asinB= b， 由 正 弦 定 理 = =2R得 ： 2sinAsinB= sinB， sinA= ， 又 ABC为 锐 角 三 角 形 ， A= .答 案 ： D.6.(5分 )函 数 f(x)=lnx的 图 象 与 函 数 g(x)=x 2-4x+4 的 图 象 的 交 点 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 在 同 一 个 坐 标 系 中 ， 画 出 函 数 f(x)= x 与 函 数 g(x)=x2-4x+4=(x-2)2 的 图 象 ， 如 图所 示 ： 故 函 数 f(x)= x 的 图 象 与 函 数 g(x)=x2-4x+4 的 图 象 的 交 点
6、个 数 为 2，答 案 ： C.7.(5分 )已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1， 其 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1 的 正 方 形 ， 侧 视 图 是 一 个 面 积 为的 矩 形 ， 则 该 正 方 体 的 正 视 图 的 面 积 等 于 ( ) A.B.1C.D.解 析 ： 因 为 正 方 体 的 棱 长 为 1， 俯 视 图 是 一 个 面 积 为 1 的 正 方 形 ， 侧 视 图 是 一 个 面 积 为 的矩 形 ， 说 明 侧 视 图 是 底 面 对 角 线 为 边 ， 正 方 体 的 高 为 一 条 边 的 矩 形 ， 几 何 体 放 置 如 图 ： 那 么 正
7、视 图 的 图 形 与 侧 视 图 的 图 形 相 同 ， 所 以 正 视 图 的 面 积 为 ： .答 案 ： D.8.(5分 )已 知 ， 是 单 位 向 量 ， =0.若 向 量 满 足 | - - |=1， 则 | |的 最 大 值 为( )A.B.C.D.解 析 ： | |=| |=1， 且 ， 可 设 ， ， . . ， ， 即 (x-1)2+(y-1)2=1. 的 最 大 值 = = .答 案 ： C.9.(5分 )已 知 事 件 “ 在 矩 形 ABCD的 边 CD上 随 机 取 一 点 P， 使 APB的 最 大 边 是 AB” 发 生 的概 率 为 ， 则 =( )A.B.
8、C. D.解 析 ： 记 “ 在 矩 形 ABCD 的 边 CD 上 随 机 取 一 点 P， 使 APB的 最 大 边 是 AB” 为 事 件 M， 试 验的 全 部 结 果 构 成 的 长 度 即 为 线 段 CD，构 成 事 件 M的 长 度 为 线 段 CD 其 一 半 ， 根 据 对 称 性 ， 当 PD= CD 时 ， AB=PB， 如 图 . 设 CD=4x， 则 AF=DP=x， BF=3x， 再 设 AD=y， 则 PB= = ，于 是 =4x， 解 得 ， 从 而 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分
9、.解 析 ： 由 题 意 U=2， 3， 6， 8， 集 合 A=2， 3， C UA=6， 8，又 B=2， 6， 8， 故 (CUA) B=6， 8.答 案 ： 6， 8.11.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 若 直 线 (s 为 参 数 )和 直 线(t为 参 数 )平 行 ， 则 常 数 a 的 值 为 . 解 析 ： 直 线 l1的 参 数 方 程 为 (s为 参 数 )， 消 去 s 得 普 通 方 程 为 x-2y-1=0，直 线 l2的 参 数 方 程 为 (t为 参 数 )， 消 去 t得 普 通 方 程 为 2x-ay-a=0， l1 l2， x-2
10、y-1=0的 斜 率 为 k1= ， 2x-ay-a=0的 斜 率 k2= = ， 解 得 ： a=4.答 案 ： 4.12.(5分 )执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 a=1， b=2， 则 输 出 的 a 的 值 为 . 解 析 ： 程 序 在 运 行 过 程 中 各 变 量 的 聚 会 如 下 表 示 ：是 否 继 续 循 环 a b循 环 前 /1 2第 一 圈 是 3 2第 二 圈 是 5 2第 三 圈 是 7 2第 四 圈 是 9 2第 五 圈 否故 最 终 输 出 的 a值 为 9.答 案 ： 9.13.(5分 )若 变 量 x， y 满 足 约 束
11、 条 件 ， 则 x+y的 最 大 值 为 . 解 析 ： 画 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分 ， 由 得 A(4， 2)， 目 标 函 数 z=x+y可 看 做 斜 率 为 -1 的 动 直 线 ， 其 纵 截 距 越 大 z 越 大 ，由 图 数 形 结 合 可 得 当 动 直 线 过 点 A时 ， z 最 大 =4+2=6.答 案 ： 6.14.(5分 )设 F1， F2是 双 曲 线 C： (a 0， b 0)的 两 个 焦 点 .若 在 C上 存 在 一 点 P.使 PF 1 PF2， 且 PF1F2=30 ， 则 C的 离 心 率 为 .解 析 ： 依 题 意 可 知 F1
12、PF2=90 |F1F2|=2c， |PF1|= |F1F2|= c， |PF2|= |F1F2|=c，由 双 曲 线 定 义 可 知 |PF1|-|PF2|=2a=( -1)c， e= = .答 案 ： .15.(5分 )对 于 E=a 1， a2， .a100的 子 集 X=ai1， ai2， ， aik， 定 义 X的 “ 特 征 数 列 ” 为x1， x2 ， x100， 其 中 xi1=xi2= xik=1.其 余 项 均 为 0， 例 如 子 集 a2， a3的 “ 特 征 数 列 ” 为 0， 1，1， 0， 0， ， 0(1)子 集 a1， a3， a5的 “ 特 征 数 列
13、” 的 前 3项 和 等 于 ；(2)若 E 的 子 集 P 的 “ 特 征 数 列 ” P1， P2， ， P100 满 足 p1=1， pi+pi+1=1， 1 i 99； E 的 子 集Q的 “ 特 征 数 列 ” q1， q2， q100满 足 q1=1， qj+qj+1+qj+2=1， 1 j 98， 则 P Q 的 元 素 个 数 为 .解 析 ： (1)子 集 a1， a3， a5的 “ 特 征 数 列 ” 为 ： 1， 0， 1， 0， 1， 0， ， 0.故 前 三 项 和 等 于1+0+1=2；(2) E的 子 集 P的 “ 特 征 数 列 ” P 1， P2， ， P10
14、0 满 足 P1+Pi+1=1， 1 i 99， P 的 特 征 数 列 为 1， 0， 1， 0， ， 1， 0.其 中 奇 数 项 为 1， 偶 数 项 为 0.又 E 的 子 集 Q 的 “ 特 征 数 列 ” q1， q2， ， q100满 足 q1=1， qj+qj+1+qj+2=1， 1 j 98， 可 知 ：j=1时 ， q1+q2+q3=1， q1=1， q2=q3=0； 同 理 q4=1=q7= =q3n-2. 子 集 Q 的 “ 特 征 数 列 ” 为 1， 0， 0， 1， 0， 0， 1， ， 1， 0， 0， 1.则 P Q 的 元 素 为 a1， a7， a13，
15、， a91， a97. 97=1+(17-1) 6， 共 有 17相 同 的 元 素 .答 案 ： 2， 17.三 、 解 答 题 ； 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=cosx cos(x- ).(1)求 f( )的 值 .(2)求 使 f(x) 成 立 的 x的 取 值 集 合 .解 析 ： (1)将 x= 代 入 f(x)解 析 式 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 及 特 殊 角 的 三 角 函 数值 化 简 即 可 得 到
16、结 果 ；(2)f(x)解 析 式 利 用 两 角 和 与 差 的 余 弦 函 数 公 式 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 化 为 一 个 角 的 余 弦 函数 ， 变 形 后 ， 利 用 余 弦 函 数 的 图 象 与 性 质 即 可 得 到 满 足 题 意 x 的 集 合 .答 案 ： (1)f( )=cos cos( - )=cos cos =-cos 2 =- ；(2)f(x)=cosxcos(x- )=cosx( cosx+ sinx)= cos2x+ sinxcosx= (1+cos2x)+ sin2x= cos(2x- )+ ， f(x) ， 化 为 cos(2x- )+
17、 ， 即 cos(2x- ) 0， 2k + 2x- 2k + (k Z)， 解 得 ： k + x k + (k Z)，则 使 f(x) 成 立 的 x 取 值 集 合 为 x|k + ， k + (k Z). 17.(12分 )如 图 .在 直 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， BAC=90 ， AB=AC= ， AA1=3， D是 BC的 中 点 ，点 E 在 棱 BB1上 运 动 .(1)证 明 ： AD C 1E；(2)当 异 面 直 线 AC， C1E 所 成 的 角 为 60 时 ， 求 三 棱 锥 C1-A1B1E 的 体 积 .解 析 ： (1)根 据 直 三 棱 柱 的
18、性 质 ， 得 AD BB1， 等 腰 ABC中 利 用 “ 三 线 合 一 ” 证 出 AD BC，结 合 线 面 垂 直 判 定 定 理 ， 得 AD 平 面 BB1C1C， 从 而 可 得 AD C1E；(2)根 据 AC A1C1， 得 到 EC1A1(或 其 补 角 )即 为 异 面 直 线 AC、 C1E 所 成 的 角 .由 A1C1 A1B1且A1C1 AA1， 证 出 A1C1 平 面 AA1B1B， 从 而 在 Rt A1C1E中 得 到 EC1A1=60 ， 利 用 余 弦 的 定 义算 出 C1E=2A1C1=2 ， 进 而 得 到 A1B1E面 积 为 ， 由 此 结
19、 合 锥 体 体 积 公 式 即 可 算 出 三 棱 锥C 1-A1B1E 的 体 积 .答 案 ： (1) 直 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， BB1 平 面 ABC， AD平 面 ABC， AD BB1， ABC中 ， AB=AC， D 为 BC 中 点 ， AD BC，又 BC、 BB1平 面 BB1C1C， BC BB1=B， AD 平 面 BB1C1C， 结 合 C1E平 面 BB1C1C， 可 得 AD C1E； (2) 直 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AC A1C1， EC1A1(或 其 补 角 )即 为 异 面 直 线 AC、 C1E 所 成 的 角 ， BAC=
20、B1A1C1=90 ， A1C1 A1B1，又 AA1 平 面 A1B1C1， 可 得 A1C1 AA1， 结 合 A1B1 AA1=A1， 可 得 A1C1 平 面 AA1B1B， A1E平 面 AA1B1B， A1C1 A1E，因 此 ， Rt A1C1E中 ， EC1A1=60 ， 可 得 cos EC1A1= = ， 得 C1E=2A1C1=2 ，又 B 1C1= =2， B1E= =2，由 此 可 得 V = S A1C1= = .18.(12分 )某 人 在 如 图 所 示 的 直 角 边 长 为 4米 的 三 角 形 地 块 的 每 个 格 点 (指 纵 、 横 直 线 的 交叉
21、 点 以 及 三 角 形 的 顶 点 )处 都 种 了 一 株 相 同 品 种 的 作 物 .根 据 历 年 的 种 植 经 验 ， 一 株 该 种 作 物的 年 收 货 量 Y(单 位 ： kg)与 它 的 “ 相 近 ” 作 物 株 数 X之 间 的 关 系 如 下 表 所 示 ：这 里 ， 两 株 作 物 “ 相 近 ” 是 指 它 们 之 间 的 直 线 距 离 不 超 过 1 米 .( )完 成 下 表 ， 并 求 所 种 作 物 的 平 均 年 收 获 量 ； ( )在 所 种 作 物 中 随 机 选 取 一 株 ， 求 它 的 年 收 获 量 至 少 为 48kg的 概 率 .解
22、 析 ： ( )根 据 题 意 可 知 所 种 作 物 的 总 株 数 为 1+2+3+4+5， 其 中 “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 1 的 有2株 ， “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 2 的 有 4株 ， “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 3的 有 6 株 ， “ 相 近 ” 作 物 株数 为 4的 有 3 株 ， 据 此 列 表 ， 且 可 得 出 所 种 作 物 的 平 均 所 收 获 量 . ( )由 ( )知 ， P(Y=51)= ， P(Y=48)= ， 从 而 根 据 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 得 出 在 所 种作 物 中 随 机 选 取 一 株
23、， 求 它 的 年 收 获 量 至 少 为 48kg的 概 率 .答 案 ： ( )所 种 作 物 的 总 株 数 为 1+2+3+4+5=15， 其 中 “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 1的 有 2 株 ，“ 相 近 ” 作 物 株 数 为 2 的 有 4株 ， “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 3 的 有 6 株 ， “ 相 近 ” 作 物 株 数 为 4的 有 3株 ， 列 表 如 下 . 所 种 作 物 的 平 均 所 收 获 量 为 ： (51 2+48 4+45 6+42 3)= =46，( )由 ( )知 ， P(Y=51)= ， P(Y=48)= ，故 在 所 种 作 物
24、 中 随 机 选 取 一 株 ， 求 它 的 年 收 获 量 至 少 为 48kg 的 概 率 为P(Y 48)=P(Y=51)+P(Y=48)= + = .19.(13分 )设 S n为 数 列 an的 前 n 项 和 ， 已 知 a1 0， 2an-a1=S1 Sn， n N*( )求 a1， a2， 并 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )求 数 列 nan的 前 n 项 和 .解 析 ： ( )令 n=1和 2， 代 入 所 给 的 式 子 求 得 a1和 a2， 当 n 2时 再 令 n=n-1得 到 2an-1-1=Sn-1，两 个 式 子 相 减 得 an=2an-1，
25、判 断 出 此 数 列 为 等 比 数 列 ， 进 而 求 出 通 项 公 式 ；( )由 ( )求 出 nan=n 2n-1， 再 由 错 位 相 减 法 求 出 此 数 列 的 前 n项 和 .答 案 ： ( )令 n=1， 得 2a 1-a1= ， 即 ， a1 0， a1=1，令 n=2， 得 2a2-1=1 (1+a2)， 解 得 a2=2，当 n 2 时 ， 由 2an-1=Sn得 ， 2an-1-1=Sn-1，两 式 相 减 得 2an-2an-1=an， 即 an=2an-1， 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 2的 等 比 数 列 ， an=2n-1， 即 数 列
26、 an的 通 项 公 式 an=2n-1；( )由 ( )知 ， nan=n 2n-1， 设 数 列 nan的 前 n项 和 为 Tn，则 T n=1+2 2+3 22+ +n 2n-1， 2Tn=1 2+2 22+3 23+ +n 2n， - 得 ， -Tn=1+2+22+ +2n-1-n 2n=2n-1-n 2n， Tn=1+(n-1)2n.20.(13分 )已 知 F1， F2分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 F1， F2关 于 直 线 x+y-2=0 的对 称 点 是 圆 C 的 一 条 直 径 的 两 个 端 点 .( )求 圆 C的 方 程 ；( )设 过 点 F 2的
27、直 线 l 被 椭 圆 E 和 圆 C 所 截 得 的 弦 长 分 别 为 a， b.当 ab最 大 时 ， 求 直 线 l的 方 程 .解 析 ： (I)由 题 意 可 知 ： F1(-2， 0)， F2(2， 0)， 可 得 C 的 半 径 为 2， 圆 心 为 原 点 O 关 于 直 线x+y-2=0的 对 称 点 .设 圆 心 的 坐 标 为 (m， n).利 用 线 段 的 垂 直 平 行 的 性 质 可 得 ，解 出 即 可 得 到 圆 的 方 程 ；(II)由 题 意 ， 可 设 直 线 l的 方 程 为 x=my+2， 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 圆 心
28、 到 直 线 l 的距 离 d= ， 再 利 用 弦 长 公 式 即 可 得 到 b= .把 直 线 l 的 方 程 为 x=my+2 与 椭圆 的 方 程 联 立 得 到 根 与 系 数 的 关 系 ， 利 用 弦 长 公 式 即 可 得 到 a， 进 而 得 到 ab， 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 结 论 . 答 案 ： (I)由 题 意 可 知 ： F1(-2， 0)， F2(2， 0).故 C 的 半 径 为 2， 圆 心 为 原 点 O关 于 直 线 x+y-2=0的 对 称 点 .设 圆 心 的 坐 标 为 (m， n).则 ， 解 得 . 圆 C的 方
29、 程 为 (x-2)2+(y-2)2=4；(II)由 题 意 ， 可 设 直 线 l的 方 程 为 x=my+2， 则 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 d= ， b= . 由 得 (5+m2)y2+4my-1=0.设 l 与 E 的 两 个 交 点 分 别 为 (x1， y1)， (x2， y2).则 ， . a= = =， ab= = = .当 且 仅 当 ， 即 时 等 号 成 立 .故 当 时 ， ab最 大 ， 此 时 ， 直 线 l的 方 程 为 ， 即 .21.(13分 )已 知 函 数 f(x)= .( )求 f(x)的 单 调 区 间 ；( )证 明 ： 当 f(x 1)=
30、f(x2)(x1 x2)时 ， x1+x2 0.解 析 ： (I)利 用 导 数 的 运 算 法 则 求 出 f (x)， 分 别 解 出 f (x) 0 与 f (x) 0 的 x 取 值 范围 即 可 得 到 单 调 区 间 ；(II)当 f(x1)=f(x2)(x1 x2)时 ， 不 妨 设 x1 x2.由 (I)可 知 ： x1 (- ， 0)， x2 (0， 1).利 用导 数 先 证 明 ： x (0， 1)， f(x) f(-x).而 x2 (0， 1)， 可 得 f(x2) f(-x2).即 f(x1) f(-x2).由 于 x1， -x2 (- ， 0)， f(x)在 (-
31、， 0)上 单 调 递 增 ， 因 此 得 证 .答 案 ： (I)易 知 函 数 的 定 义 域 为 R. = =，当 x 0 时 ， f (x) 0； 当 x 0 时 ， f (x) 0. 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (- ， 0)，单 调 递 减 区 间 为 (0， + ).(II)当 x 1 时 ， 由 于 ， e x 0， 得 到 f(x) 0； 同 理 ， 当 x 1 时 ， f(x) 0.当 f(x1)=f(x2)(x1 x2)时 ， 不 妨 设 x1 x2.由 (I)可 知 ： x1 (- ， 0)， x2 (0， 1).下 面 证 明 ： x (0， 1)， f(x) f(-x)， 即 证 .此 不 等 式 等 价 于.令 g(x)= ， 则 g (x)=-xe -x(e2x-1).当 x (0， 1)时 ， g (x) 0， g(x)单 调 递 减 ， g(x) g(0)=0.即 . x (0， 1)， f(x) f(-x).而 x2 (0， 1)， f(x2) f(-x2).从 而 ， f(x1) f(-x2).由 于 x 1， -x2 (- ， 0)， f(x)在 (- ， 0)上 单 调 递 增 ， x1 -x2， 即 x1+x2 0.
