1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ）数学（ 文 史 类 ）本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1 答 卷 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。 用 统 一 提 供 的 2B 铅 笔 将 答 题 卡 上 试 卷 类 型 A 后 的 方 框 涂 黑 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 统 一 提
2、 供 的 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂黑 。 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 它 答 案 标 号 。 答 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 上 无 效 。3 填 空 题 和 解 答 题 的 作 答 ： 用 统 一 提 供 的 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 答 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 上 无 效 。4 考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁 。 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题：本大题共10小题
3、，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已 知 全 集 1,2,3,4,5U ， 集 合 1,2A ， 2,3,4B ， 则 UB AA 2 B 3,4 C 1,4,5 D 2,3,4,52 已 知 0 4 ， 则 双 曲 线 1C ： 2 22 2 1sin cosx y 与 2C ： 2 22 2 1cos siny x 的A 实 轴 长 相 等 B 虚 轴 长 相 等 C 离 心 率 相 等 D 焦 距 相 等3 在 一 次 跳 伞 训 练 中 ， 甲 、 乙 两 位 学 员 各 跳 一 次 设 命 题 p 是 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围
4、” ， q 是 “ 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 则 命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为A ( )p ( )q B p ( )q C ( )p ( )q D p q4 四 名 同 学 根 据 各 自 的 样 本 数 据 研 究 变 量 ,x y之 间 的 相 关 关 系 ， 并 求 得 回 归 直 线 方 程 ， 分别 得 到 以 下 四 个 结 论 ： y 与 x 负 相 关 且 2.347 6.423y x ； y 与 x 负 相 关 且 3.476 5.648y x ； y 与 x 正 相 关 且 5.437 8.49
5、3y x ； y 与 x 正 相 关 且 4.326 4.578y x .其 中 一 定 不 正 确 的 结 论 的 序 号 是A B C D 5 小 明 骑 车 上 学 ， 开 始 时 匀 速 行 驶 ， 途 中 因 交 通 堵 塞 停 留 了 一 段 时 间 ， 后 为 了 赶 时 间 加 快 速 度 行 驶 .与 以 上 事 件 吻 合 得 最 好 的 图 象 是 6 将 函 数 3cos sin ( )y x x x R 的 图 象 向 左 平 移 ( 0)m m 个 单 位 长 度 后 ， 所 得 到 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 则 m 的 最 小 值 是A 12 B 6
6、C 3 D 567 已 知 点 ( 1, 1)A 、 (1, 2)B 、 ( 2, 1)C 、 (3, 4)D ， 则 向 量 AB 在 CD方 向 上 的 投 影 为A 3 22 B 3 152 C 3 22 D 3 1528 x 为 实 数 ， x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 则 函 数 ( ) f x x x 在 R 上 为A 奇 函 数 B 偶 函 数 C 增 函 数 D 周 期 函 数9 某 旅 行 社 租 用 A、 B 两 种 型 号 的 客 车 安 排 900 名 客 人 旅 行 ， A 、 B 两 种 车 辆 的 载 客 量 分 别 为 36 人 和 60
7、人 ， 租 金 分 别 为 1600 元 /辆 和 2400 元 /辆 ， 旅 行 社 要 求 租 车 总 数 不 超 过 21 辆 ， 且 B 型车 不 多 于 A型 车 7 辆 则 租 金 最 少 为A 31200 元 B 36000 元 C 36800 元 D 38400 元10 已 知 函 数 ( ) (ln )f x x x ax 有 两 个 极 值 点 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是A ( , 0) B 1(0, )2 C (0, 1) D (0, ) 距 学 校 的 距 离距 学 校 的 距 离 距 学 校 的 距 离A B C D时 间 时 间时 间 时 间O OO
8、O 距 学 校 的 距 离 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号 的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11 i 为 虚 数 单 位 ， 设 复 数 1z ， 2z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 原 点 对 称 ， 若1 2 3iz ， 则 2z .12 某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10 次 ， 命 中 环 数 如 下 ：7， 8， 7， 9， 5， 4， 9， 10， 7， 4则 （ ） 平 均 命 中 环 数 为 ；（ ） 命 中 环 数 的 标 准 差 为 .13 阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框
9、 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 . 若 输 入 m 的 值 为 2， 则 输 出 的 结 果 i .14 已 知 圆 O ： 2 2 5x y ， 直 线 l ： cos sin 1x y （ 0 2 ） . 设 圆O 上 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 为 k ， 则 k .15 在 区 间 2,4 上 随 机 地 取 一 个 数 x， 若 x 满 足 | |x m 的 概 率 为 56 ，则 m .16 我 国 古 代 数 学 名 著 数 书 九 章 中 有 “ 天 池 盆 测 雨 ” 题 ： 在 下 雨 时 ， 用 一 个 圆 台 形 的 天 池 盆 接
10、 雨水 . 天 池 盆 盆 口 直 径 为 二 尺 八 寸 ， 盆 底 直 径 为 一 尺 二 寸 ， 盆 深 一 尺 八 寸 . 若 盆 中 积 水 深 九 寸 ， 则 平地 降 雨 量 是 寸 . （ 注 ： 平 地 降 雨 量 等 于 盆 中 积 水 体 积 除 以 盆 口 面 积 ； 一 尺 等 于 十 寸 ）17 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 点 ( , )P x y 的 坐 标 x ， y 均 为 整 数 ， 则 称 点 P 为 格 点 . 若 一 个 多 边 形 的 顶点 全 是 格 点 ， 则 称 该 多 边 形 为 格 点 多 边 形 . 格 点 多 边 形 的
11、 面 积 记 为 S ， 其 内 部 的 格 点 数 记 为 N ，边 界 上 的 格 点 数 记 为 L . 例 如 图 中 ABC 是 格 点 三 角 形 ， 对应 的 1S ， 0N ， 4L .（ ） 图 中 格 点 四 边 形 DEFG 对 应 的 , ,S N L 分 别是 ；（ ） 已 知 格 点 多 边 形 的 面 积 可 表 示 为S aN bL c ， 其 中 a， b， c 为 常 数 .若 某 格 点 多 边 形 对 应 的 71N ， 18L ，则 S （ 用 数 值 作 答 ） . 否 A A m 1i i 输 入 m1, 1, 0A B i 开 始结 束 是 ?A
12、 B输 出 i第 13 题 图B B i 第 17 题 图 三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 对 应 的 边 分 别 是 a， b， c . 已 知 cos2 3cos( ) 1A B C .（ ） 求 角 A 的 大 小 ；（ ） 若 ABC 的 面 积 5 3S ， 5b ， 求 sin sinB C 的 值 .19 （ 本 小 题 满 分 13 分 ）已 知 nS 是 等 比 数 列 na 的 前 n项 和 ， 4S ， 2S ， 3S 成 等 差 数 列 ，
13、且 2 3 4 18a a a .（ ） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ ） 是 否 存 在 正 整 数 n， 使 得 2013nS ？ 若 存 在 ， 求 出 符 合 条 件 的 所 有 n的 集 合 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 20 （ 本 小 题 满 分 13 分 ）如 图 ， 某 地 质 队 自 水 平 地 面 A， B， C 三 处 垂 直 向 地 下 钻 探 ， 自 A 点 向 下 钻 到 A1处 发 现 矿 藏 ， 再 继 续 下钻 到 A2处 后 下 面 已 无 矿 ， 从 而 得 到 在 A 处 正 下 方 的 矿 层 厚 度 为 1 2 1A A d
14、 同 样 可 得 在 B， C 处 正 下 方的 矿 层 厚 度 分 别 为 1 2 2B B d ， 1 2 3CC d ， 且 1 2 3d d d . 过 AB ， AC 的 中 点 M ， N 且 与 直 线 2AA平 行 的 平 面 截 多 面 体 1 1 1 2 2 2ABC A B C 所 得 的 截 面 DEFG 为 该 多 面 体 的 一 个 中 截 面 ， 其 面 积 记 为 S中 （ ） 证 明 ： 中 截 面 DEFG 是 梯 形 ；（ ） 在 ABC 中 ， 记 BC a ， BC 边 上 的 高 为 h， 面 积 为 S . 在 估 测 三 角 形 ABC 区 域
15、内 正 下 方的 矿 藏 储 量 （ 即 多 面 体 1 1 1 2 2 2ABC A B C 的 体 积 V ） 时 ， 可 用 近 似 公 式 V S h 估 中 来 估 算 . 已知 1 2 31( )3V d d d S ， 试 判 断 V估 与 V 的 大 小 关 系 ， 并 加 以 证 明 .第 20 题 图 21 （ 本 小 题 满 分 13 分 ）设 0a ， 0b ， 已 知 函 数 ( ) 1ax bf x x .（ ） 当 a b 时 ， 讨 论 函 数 ( )f x 的 单 调 性 ；（ ） 当 0 x 时 ， 称 ( )f x 为 a、 b 关 于 x的 加 权 平
16、均 数 .（ i） 判 断 (1)f , ( )bf a , ( )bf a 是 否 成 等 比 数 列 ， 并 证 明 ( ) ( )b bf fa a ；（ ii） a、 b 的 几 何 平 均 数 记 为 G. 称 2aba b 为 a、 b 的 调 和 平 均 数 ， 记 为 H.若 ( )H f x G ， 求 x 的 取 值 范 围 . 22 （ 本 小 题 满 分 14 分 ）如 图 ， 已 知 椭 圆 1C 与 2C 的 中 心 在 坐 标 原 点 O ， 长 轴 均 为 MN 且 在 x 轴 上 ， 短 轴 长 分 别为 2m ， 2 ( )n m n ， 过 原 点 且 不
17、 与 x 轴 重 合 的 直 线 l 与 1C ， 2C 的 四 个 交 点 按 纵 坐 标 从大 到 小 依 次 为 A， B， C， D 记 mn ， BDM 和 ABN 的 面 积 分 别 为 1S 和 2S .（ ） 当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时 ， 若 1 2S S ， 求 的 值 ；（ ） 当 变 化 时 ， 是 否 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 1 2S S ？ 并 说 明 理 由 O xy B A 第 22 题 图CDM N 参考答案一、选择题：1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B二、填空题：
18、11 2 3i 12 （ ） 7 （ ） 2 13 414 4 15 3 16 3 17 （ ） 3, 1, 6 （ ） 79三、解答题：18（ ） 由 cos2 3cos( ) 1A B C ， 得 22cos 3cos 2 0A A , 即 (2cos 1)(cos 2) 0A A ， 解 得 1cos 2A 或 cos 2A （ 舍 去 ） .因 为 0 A ， 所 以 3A .（ ） 由 1 1 3 3sin 5 3,2 2 2 4S bc A bc bc 得 20bc . 又 5b ， 知 4c .由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 cos 25 16 20 21,a b c b
19、c A 故 21a .又 由 正 弦 定 理 得 22 20 3 5sin sin sin sin sin 21 4 7b c bcB C A A Aa a a .19（ ） 设 数 列 na 的 公 比 为 q， 则 1 0a ， 0q . 由 题 意 得2 4 3 22 3 4 ,18,S S S Sa a a 即 2 3 21 1 121 ,(1 ) 18,a q a q a qa q q q 解 得 1 3,2.aq 故 数 列 na 的 通 项 公 式 为 13( 2)nna . （ ） 由 （ ） 有 3 1 ( 2) 1 ( 2)1 ( 2) n nnS .若 存 在 n， 使
20、得 2013nS ， 则 1 ( 2) 2013n ， 即 ( 2) 2012.n 当 n为 偶 数 时 ， ( 2) 0n ， 上 式 不 成 立 ；当 n为 奇 数 时 ， ( 2) 2 2012n n ， 即 2 2012n ， 则 11n .综 上 ， 存 在 符 合 条 件 的 正 整 数 n， 且 所 有 这 样 的 n 的 集 合 为 2 1, , 5nn k k k N .20（ ） 依 题 意 1 2A A 平 面 ABC ， 1 2B B 平 面 ABC ， 1 2CC 平 面 ABC ，所 以 A 1A2 B1B2 C1C2. 又 1 2 1A A d ， 1 2 2B
21、B d ， 1 2 3CC d ， 且 1 2 3d d d .因 此 四 边 形 1 2 2 1A A B B 、 1 2 2 1A A C C 均 是 梯 形 .由 2AA 平 面 MEFN ， 2AA 平 面 2 2AA B B， 且 平 面 2 2AA B B 平 面 MEFN ME ，可 得 AA2 ME， 即 A1A2 DE. 同 理 可 证 A1A2 FG， 所 以 DE FG.又 M 、 N 分 别 为 AB 、 AC 的 中 点 ，则 D 、 E 、 F 、 G 分 别 为 1 1AB 、 2 2A B 、 2 2A C 、 1 1AC 的 中 点 ，即 DE 、 FG 分
22、别 为 梯 形 1 2 2 1A A B B 、 1 2 2 1A A C C 的 中 位 线 .因 此 1 2 1 2 1 21 1( ) ( )2 2DE A A B B d d ， 1 2 1 2 1 31 1( ) ( )2 2FG A A C C d d ，而 1 2 3d d d ， 故 DE FG ， 所 以 中 截 面 DEFG 是 梯 形 .（ ） V V 估 . 证 明 如 下 ：由 1 2A A 平 面 ABC ， MN 平 面 ABC ， 可 得 1 2A A MN .而 EM A1A2， 所 以 EM MN ， 同 理 可 得 FN MN .由 MN 是 ABC 的
23、中 位 线 ， 可 得 1 12 2MN BC a 即 为 梯 形 DEFG 的 高 ，因 此 1 31 2 1 2 31 ( ) (2 )2 2 2 2 8DEFG d dd d a aS S d d d 中 梯 形 ，即 1 2 3(2 )8ahV S h d d d 估 中 .又 12S ah ， 所 以 1 2 3 1 2 31( ) ( )3 6ahV d d d S d d d .于 是 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1( ) (2 ) ( ) ( )6 8 24ah ah ahV V d d d d d d d d d d 估 .由 1 2 3d d d ， 得 2 1 0
24、d d ， 3 1 0d d ， 故 V V估 . 21（ ） ( )f x 的 定 义 域 为 ( , 1) ( 1, ) ，2 2( 1) ( )( ) ( 1) ( 1)a x ax b a bf x x x .当 a b 时 ， ( ) 0f x ， 函 数 ( )f x 在 ( , 1) ， ( 1, ) 上 单 调 递 增 ；当 a b 时 ， ( ) 0f x ， 函 数 ( )f x 在 ( , 1) ， ( 1, ) 上 单 调 递 减 .（ ） （ i） 计 算 得 (1) 02a bf ， 2( ) 0b abf a a b ， ( ) 0bf aba .故 22(1)
25、( ) ( )2b a b ab bf f ab fa a b a , 即2(1) ( ) ( )b bf f fa a . 所 以 (1), ( ), ( )b bf f fa a 成 等 比 数 列 .因 2a b ab ， 即 (1) ( )bf f a . 由 得 ( ) ( )b bf fa a .（ ii） 由 （ i） 知 ( )bf Ha ， ( )bf Ga .故 由 ( )H f x G ， 得( ) ( ) ( )b bf f x fa a . 当 a b 时 ， ( ) ( ) ( )b bf f x f aa a .这 时 ， x 的 取 值 范 围 为 (0, )
26、；当 a b 时 ， 0 1ba ， 从 而 b ba a ， 由 ( )f x 在 (0, ) 上 单 调 递 增 与 式 ， 得 b bxa a ， 即 x 的 取 值 范 围 为 ,b ba a ；当 a b 时 ， 1ba ， 从 而 b ba a ， 由 ( )f x 在 (0, ) 上 单 调 递 减 与 式 ，得 b bxa a ， 即 x 的 取 值 范 围 为 ,b ba a . 22 依 题 意 可 设 椭 圆 1C 和 2C 的 方 程 分 别 为1C ： 2 22 2 1x ya m ， 2C ： 2 22 2 1x ya n . 其 中 0a m n ， 1.mn （
27、 ） 解 法 1： 如 图 1， 若 直 线 l 与 y 轴 重 合 ， 即 直 线 l 的 方 程 为 0 x ， 则1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD ， 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB ， 所 以 12 | | |S BDS AB .在 C1 和 C2的 方 程 中 分 别 令 0 x ， 可 得 Ay m ， By n ， Dy m ，于 是 | | | 1| | | | 1B DA By yBD m nAB y y m n .若 1 2SS ， 则 11 ， 化 简 得 2 2 1 0 . 由 1 ， 可 解 得 2 1 .
28、故 当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时 ， 若 1 2S S ， 则 2 1 .解 法 2： 如 图 1， 若 直 线 l 与 y 轴 重 合 ， 则| | | | | |BD OB OD m n ， | | | | | |AB OA OB m n ；1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD ， 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB .所 以 12 | | 1| | 1S BD m nS AB m n .若 12SS ， 则 11 ， 化 简 得 2 2 1 0 . 由 1 ， 可 解 得 2 1 .故 当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时
29、 ， 若 1 2S S ， 则 2 1 . （ ） 解 法 1： 如 图 2， 若 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 1 2S S . 根 据 对 称 性 ，不 妨 设 直 线 l ： ( 0)y kx k ，点 ( , 0)M a ， ( , 0)N a 到 直 线 l 的 距 离 分 别 为 1d ， 2d ， 则因 为 1 2 2| 0|1 1ak akd k k ， 2 2 2| 0|1 1ak akd k k ， 所 以 1 2d d .又 1 11 | |2S BD d ， 2 21 | |2S AB d ， 所 以 12 | | |S BDS AB ，
30、 即 | | | |BD AB .由 对 称 性 可 知 | | | |AB CD ， 所 以 | | | | | | ( 1)| |BC BD AB AB ，| | | | | | ( 1)| |AD BD AB AB ， 于 是O xy BA第 22 题 解 答 图 1CDM N O xy B A第 22 题 解 答 图 2CDM N | | 1| | 1ADBC . 将 l 的 方 程 分 别 与 C1， C2的 方 程 联 立 ， 可 求 得2 2 2A amx a k m ， 2 2 2B anx a k n .根 据 对 称 性 可 知 C Bx x ， D Ax x ， 于 是2
31、 2 2 22 2 221 | | 2| | | 21 | |A D ABB Ck x x xAD m a k nBC x n a k mk x x . 从 而 由 和 式 可 得2 2 2 2 2 2 1( 1)a k na k m . 令 1( 1)t ， 则 由 m n ， 可 得 1t ， 于 是 由 可 解 得 2 2 22 2 2( 1)(1 )n tk a t .因 为 0k ， 所 以 2 0k . 于 是 式 关 于 k 有 解 ， 当 且 仅 当 2 2 22 2( 1) 0(1 )n ta t ，等 价 于 2 2 21( 1)( ) 0t t . 由 1 ， 可 解 得
32、 1 1t ，即 1 1 1( 1) ， 由 1 ， 解 得 1 2 ， 所 以当 1 1 2 时 ， 不 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 1 2S S ；当 1 2 时 ， 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l 使 得 1 2S S .解 法 2： 如 图 2， 若 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 1 2S S . 根 据 对 称 性 ，不 妨 设 直 线 l ： ( 0)y kx k ，点 ( , 0)M a ， ( , 0)N a 到 直 线 l 的 距 离 分 别 为 1d ， 2d ， 则因 为 1 2 2|
33、0|1 1ak akd k k ， 2 2 2| 0|1 1ak akd k k ， 所 以 1 2d d .又 1 11 | |2S BD d ， 2 21 | |2S AB d ， 所 以 12 | | |S BDS AB .因 为 221 | | | | 1 | |B D A BA BA Bk x x x xBDAB x xk x x ， 所 以 11ABxx .由 点 ( , ) A AA x kx ， ( , )B BB x kx 分 别 在 C1， C2 上 ， 可 得2 2 22 2 1A Ax k xa m ， 2 2 22 2 1B Bx k xa n ， 两 式 相 减 可
34、 得 2 2 2 2 2 22 2( ) 0A B A Bx x k x xa m ，依 题 意 0A Bx x ， 所 以 2 2A Bx x . 所 以 由 上 式 解 得 2 2 22 2 2 2 2( )( )A BB Am x xk a x x .因 为 2 0k ， 所 以 由 2 2 22 2 2 2( ) 0( )A BB Am x xa x x ， 可 解 得 1 ABxx . 从 而 11 1 ， 解 得 1 2 ， 所 以当 1 1 2 时 ， 不 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 1 2S S ；当 1 2 时 ， 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l 使 得 1 2S S .
