1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ）文 科 数 学一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 有 14题 ， 满 分 56分 ） 考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内直 接 填 写 结 果 ， 每 个 空 格 填 对 得 4分 ， 否 则 一 律 得 零 分 1 不 等 式 02 1xx 的 解 为 2 在 等 差 数 列 na 中 ， 若 1 2 3 4 30a a a a ， 则 2 3a a 3 设 mR， 2 22 1 im m m 是 纯 虚 数 ， 其 中 i是 虚 数 单 位 ， 则 m 4 若 2 01 1x
2、 ， 11 1x y ， 则 y= 5 已 知 ABC 的 内 角 A、 B 、 C所 对 的 边 分 别 是 a， b， c 若 2 2 2 0a ab b c ，则 角 C的 大 小 是 6 某 学 校 高 一 年 级 男 生 人 数 占 该 年 级 学 生 人 数 的 40% 在 一 次 考 试 中 ， 男 、 女 生 平 均 分 数分 别 为 75、 80， 则 这 次 考 试 该 年 级 学 生 平 均 分 数 为 7 设 常 数 aR 若 52 ax x 的 二 项 展 开 式 中 7x 项 的 系 数 为 -10， 则 a 8 方 程 9 1 33 1 xx 的 实 数 解 为
3、9 若 1cos cos sin sin 3x y x y ， 则 cos 2 2x y 10 已 知 圆 柱 的 母 线 长 为 l， 底 面 半 径 为 r ， O是 上 地 面 圆 心 ， A、 B是 下 底 面 圆 心 上 两 个 不 同 的 点 ， BC是 母 线 ， 如 图 若 直 线 OA与 BC所 成 角 的 大 小为 6 ， 则 1r 11 盒 子 中 装 有 编 号 为 1,2,3,4,5,6,7 的 七 个 球 ， 从 中 任 意 取 出 两 个 ，则 这 两 个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是 （ 结 果 用 最 简 分 数 表示 ） 12 设 AB
4、 是 椭 圆 的 长 轴 ， 点 C在 上 ， 且 4CBA 若 4AB ，2BC ， 则 的 两 个 焦 点 之 间 的 距 离 为 13 设 常 数 0a ， 若 29 1ax ax 对 一 切 正 实 数 x成 立 ， 则 a的 取 值 范 围 为 14 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 1 记 以 A为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 1a、 2a 、3a ； 以 C 为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 1c 、 2c 、 3c 若 , , , 1,2,3i j k l 且,i j k l ， 则 i j k l
5、a a c c 的 最 小 值 是 二 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 有 4题 ， 满 分 20分 ） 每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 考 生 应 在 答 题 纸的 相 应 编 号 上 ， 将 代 表 答 案 的 小 方 格 涂 黑 ， 选 对 得 5分 ， 否 则 一 律 得 零 分 15 函 数 2 1 1f x x x 的 反 函 数 为 1f x ， 则 1 2f 的 值 是 （ ）（ A） 3 （ B） 3 （ C） 1 2 （ D） 1 216 设 常 数 aR， 集 合 | 1 0A x x x a ， | 1B x x a 若 A B R ，则 a的
6、取 值 范 围 为 （ ）（ A） ,2 （ B） ,2 （ C） 2, （ D） 2,17 钱 大 姐 常 说 “ 好 货 不 便 宜 ” ， 她 这 句 话 的 意 思 是 ： “ 好 货 ” 是 “ 不 便 宜 ” 的 （ ）（ A） 充 分 条 件 （ B） 必 要 条 件（ C） 充 分 必 要 条 件 （ D） 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件18 记 椭 圆 2 2 14 4 1x nyn 围 成 的 区 域 （ 含 边 界 ） 为 1,2,n n ， 当 点 ,x y 分 别 在1 2, , 上 时 ， x y 的 最 大 值 分 别 是 1 2, ,M M ， 则 li
7、m nn M （ ）（ A） 0 （ B） 14 (C)2 (D)2 2三 解 答 题 （ 本 大 题 共 有 5题 ， 满 分 74分 ） 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 相 应 编号 的 规 定 区 域 写 出 必 要 的 步 骤 19 （ 本 题 满 分 12分 ）如 图 ， 正 三 棱 锥 O ABC 底 面 边 长 为 2， 高 为 1，求 该 三 棱 锥 的 体 积 及 表 面 积 20 （ 本 题 满 分 14分 ） 本 题 共 有 2个 小 题 第 1小 题 满 分 5分 ， 第 2小 题 满 分 9分 甲 厂 以 x千 米 /小 时 的 速 度 匀 速 生 产
8、 某 种 产 品 （ 生 产 条件 要 求 1 10 x ） ， 每 小 时 可 获 得 的 利 润 是 3100(5 1 )x x 元 （ 1） 求 证 ： 生 产 a千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 为 21 3100 (5 )a x x ；（ 2） 要 使 生 产 900千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 最 大 ， 问 ： 甲 厂 应 该 如 何 选 取 何 种 生 产 速 度 ？ 并求 此 最 大 利 润 21 （ 本 题 满 分 14分 ） 本 题 共 有 2个 小 题 第 1小 题 满 分 6分 ， 第 2小 题 满 分 8分 已 知 函 数 ( ) 2sin( )
9、f x x ， 其 中 常 数 0 （ 1） 令 1 ， 判 断 函 数 ( ) ( ) ( )2F x f x f x 的 奇 偶 性 并 说 明 理 由 ；（ 2） 令 2 ， 将 函 数 ( )y f x 的 图 像 向 左 平 移 6 个 单 位 ， 再 往 上 平 移 1个 单 位 ， 得 到 函数 ( )y g x 的 图 像 对 任 意 的 a R ， 求 ( )y g x 在 区 间 , 10 a a 上 零 点 个 数 的 所 有 可 能 值 22 （ 本 题 满 分 16 分 ） 本 题 共 有 3 个 小 题 第 1 小 题 满 分 3 分 ， 第 2 小 题 满 分 5
10、 分 ， 第 3小 题 满 分 8分 已 知 函 数 ( ) 2 | |f x x 无 穷 数 列 na 满 足 1 ( ), *n na f a n N （ 1） 若 1 0a ， 求 2a ， 3a ， 4a ；（ 2） 若 1 0a ， 且 1a ， 2a ， 3a 成 等 比 数 列 ， 求 1a 的 值 ；（ 3） 是 否 存 在 1a ， 使 得 1a ， 2a ， 3a ， ， na 成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 这 样 的 1a ；若 不 存 在 ， 说 明 理 由 23 （ 本 题 满 分 18 分 ） 本 题 共 有 3 个 小 题 第 1 小 题
11、 满 分 3 分 ， 第 2 小 题 满 分 6 分 ， 第 3小 题 满 分 9分 如 图 ， 已 知 双 曲 线 1C ： 2 2 12x y ， 曲 线 2C ： | | | | 1y x P是 平 面 内 一 点 ， 若存 在 过 点 P 的 直 线 与 1C 、 2C 都 有 公 共 点 ， 则 称 P 为 “ 1C 2C 型 点 ”（ 1） 在 正 确 证 明 1C 的 左 焦 点 是 “ 1C 2C 型 点 ”时 ， 要使 用 一 条 过 该 焦 点 的 直 线 ， 试 写 出 一 条 这 样 的 直 线 的方 程 （ 不 要 求 验 证 ） ；（ 2） 设 直 线 y kx 与
12、 2C 有 公 共 点 ， 求 证 | | 1k ， 进而 证 明 原 点 不 是 “ 1C 2C 型 点 ；（ 3） 求 证 ： 圆 2 2 12x y 内 的 点 都 不 是 “ 1C 2C 型 点 ” 参 考 答 案一 填 空 题1. 0 X 122. 153. -24. 15. 236. 787. -28. 3log 49. -7910. 311.57 12.4 6313. 1,5 14.-5二 选 择 题题 号 15 16 17 18代 号 A B A D三 解 答 题19.解 ： 由 已 知 条 件 可 知 ， 正 三 棱 锥 O-ABC的 底 面 ABC是 边 长为 2的 正 三
13、 角 形 。经 计 算 得 底 面 ABC的 面 积 为 3所 以 该 三 锥 的 体 积 为 1 33 1=3 3 设 O是 正 三 角 形 ABC的 中 心由 正 三 棱 锥 的 性 质 可 知 ， OO垂 直 于 平 面 ABC延 长 AO交 BC于 D， 得 AD= 3,OD= 33又 因 为 OO=1， 所 以 正 三 棱 锥 的 斜 高 OD=2 33故 侧 面 积 为 1 2 36 =2 32 3 所 以 该 三 棱 锥 的 表 面 积 为 3+2 3=3 3因 此 ， 所 求 三 棱 锥 的 体 积 为 33 ， 表 面 积 为 3 320.解 ：（ 1） 生 产 a千 克 该
14、 产 品 ， 所 用 的 时 间 是 ax 小 时所 获 得 的 利 润 为 100 35 1 ax x x 所 以 生 产 a千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 为 100a 21 35 x x 元 （ 2） 生 产 900千 克 该 产 品 ， 获 得 的 利 润 为 90000 21 35 x x ，1 x 10,记 （ x） = 23 1 5,1 10 xx x 则 （ x） = 21 1 13 5, 66 12 xx 当 且 仅 当 时 取 到 最 大 值 。获 得 最 大 利 润 90000 61=45750012 元 。因 此 甲 厂 应 以 6千 克 /小 时 的 速
15、度 生 产 ， 可 获 得 最 大 利润 457500元 。21. 解 ： （ 1 ） （ x ） = 2sin ,x F （ x ） = （ x ） + 2sin 2sin 2 sin cos2 2x x x x x 2 2, 0, ,4 4 4 4 4 4F F F F F F 所 以 ， F（ x） 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 。（ 2） （ x） =2sin ,x将 y= （ x） 的 图 像 向 左 平 移 6 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1个 单 位 后 得 到2sin2 1 sin2 16 6y x x 的 图 像 ， 所 以 个 g（ x)=2令 5
16、 3( ) 0, ( )12 4g x x k x k k z 得 或因 为 , 10a a 上 零 点 个 数 为 21当 a 不 是 零 时 ， ( ) , ( 1)a k k z a k a k 也 都 不 是 零 点 ， 区 间 上 恰 有 两 个 零 点 ， 故 在 , 10a a 上 有 20个 零 点 。综 上 ， ( ) , 10y g x a a 在 上 零 点 个 数 的 所 有 可 能 值 为 21或 20.22.解 ： （ 1） 2 3 42, 0, 2a a a （ 2） 2 1 1 3 2 12 2 , 2 2 2a a a a a a 当 0 2 21 3 1 1
17、 1 1 12 2 (2 ) , (2 ) , 1a a a a a a 时 ， a 所 以 得 当 1a 2时 ， 23 1 1 1 1 1 12 ( 2) 4 , (4 ) (2 ) , 2 2( 2 2a a a a a a a a 所 以 得 舍 去 ） 或综 合 得 1 11 2 2a a 或（ 3） 假 设 这 样 的 等 差 数 列 存 在 ， 那 么 2 1 3 12 , 2 2a a a a 由 2 1 3 1 1 12 + 2- 2 (*)a a a a a 得 2-a以 下 分 情 况 讨 论 ：1 当 1a 2时 ， 由 （ *） 得 1 10,a a 与 2矛 盾2
18、当 0 1a 2时 ， 有 （ *） 得 1a =1， 从 而 1( 1,2,.)na n 所 以 na 是 一 个 的 等 差 数 列3 当 1a 0时 ， 则 公 差 2 1 1 1+2 -a 2d a a a （ ） 0， 因 此 存 在m 2使 得 1 2( 1)ma a m 2.此 时 1 2m m m md a a a a 0， 矛 盾综 合 可 知 ， 当 且 仅 当1 1 2 31 , , .a a a a 时 ， 构 成 等 差 数 列23 解 ： （ 1） C1的 左 焦 点 为 ( 3,0)F ， 过 F的 直 线 3x 与 C1交 于 2( 3, )2 ，与 C2交 于
19、 ( 3, ( 3 1) ， 故 C1的 左 焦 点 为 “ C1-C2型 点 ” ， 且 直 线可 以 为 3x ；（ 2） 直 线 y kx 与 C2有 交 点 ， 则(| | 1)| | 1| | | | 1y kx k xy x ， 若 方 程 组 有 解 ， 则 必 须 | | 1k ；直 线 y kx 与 C2有 交 点 ， 则2 22 2 (1 2 ) 22 2y kx k xx y ， 若 方 程 组 有 解 ， 则 必 须 2 12k 故 直 线 y kx 至 多 与 曲 线 C 1和 C2中 的 一 条 有 交 点 ， 即 原 点 不 是 “ C1-C2型 点 ” 。（ 3
20、） 显 然 过 圆 2 2 12x y 内 一 点 的 直 线 l若 与 曲 线 C1有 交 点 ， 则 斜 率 必 存 在 ；根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 直 线 l斜 率 存 在 且 与 曲 线 C2交 于 点 ( , 1)( 0)t t t ， 则: ( 1) ( ) (1 ) 0l y t k x t kx y t kt 直 线 l与 圆 2 2 12x y 内 部 有 交 点 ， 故 2|1 | 221t ktk 化 简 得 ， 2 21(1 ) ( 1)2t tk k 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 若 直 线 l与 曲 线 C1有 交 点 ， 则2 2 22
21、 2 1 1( ) 2 (1 ) (1 ) 1 0212y kx kt t k x k t kt x t ktx y 2 2 2 2 2 214 (1 ) 4( )(1 ) 1 0 (1 ) 2( 1)2k t kt k t kt t kt k 化 简 得 ， 2 2(1 ) 2( 1)t kt k 。 。 。 。 。 由 得 ， 2 2 2 212( 1) (1 ) ( 1) 12k t tk k k 但 此 时 ， 因 为 2 210,1 (1 ) 1, ( 1) 12t t k k ， 即 式 不 成 立 ；当 2 12k 时 ， 式 也 不 成 立综 上 ， 直 线 l若 与 圆 2 2 12x y 内 有 交 点 ， 则 不 可 能 同 时 与 曲 线 C1和 C2有 交 点 ，即 圆 2 2 12x y 内 的 点 都 不 是 “ C1-C2型 点 ”
