1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 湖 北 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(5分 )已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 集 合 A=1， 2， B=2， 3， 4， 则 B C A=( )A.2B.3， 4C.1， 4， 5D.2， 3， 4， 5解 析 ： 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 集 合 A=1， 2， B=2， 3， 4， 则 C UA=3
2、， 4， 5，又 因 为 B=2， 3， 4， 则 (CUA) B=3， 4.答 案 ： B.2.(5分 )已 知 ， 则 双 曲 线 C1： 与 C2：的 ( )A.实 轴 长 相 等B.虚 轴 长 相 等C.离 心 率 相 等 D.焦 距 相 等解 析 ： 双 曲 线 C1： 可 知 a=sin ， b=cos ， 2c=2(sin2 +cos2 )=2；双 曲 线 C2： 可 知 ， a=cos ， b=sin ， 2c=2(sin2 +cos2 )=2；所 以 两 条 双 曲 线 的 焦 距 相 等 .答 案 ： D.3.(5分 )在 一 次 跳 伞 训 练 中 ， 甲 、 乙 两 位
3、 学 员 各 跳 一 次 ， 设 命 题 p是 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ” ，q是 “ 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 则 命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为( ) A.( p) ( q)B.p ( q)C.( p) ( q)D.p q解 析 ： 命 题 p 是 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 则 p是 “ 甲 没 降 落 在 指 定 范 围 ” ， q 是 “ 乙 降 落在 指 定 范 围 ” ， 则 q是 “ 乙 没 降 落 在 指 定 范 围 ” ， 命 题 “ 至 少 有 一 位 学 员 没 有
4、 降 落 在 指 定范 围 ” 包 括 “ 甲 降 落 在 指 定 范 围 ， 乙 没 降 落 在 指 定 范 围 ” 或 “ 甲 没 降 落 在 指 定 范 围 ， 乙 降 落 在 指 定 范 围 ” 或 “ 甲 没 降 落 在 指 定 范 围 ， 乙 没 降 落 在 指 定 范 围 ” 三 种 情 况 .所 以 命 题 “ 至 少有 一 位 学 员 没 有 降 落 在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为 ( p)V( q).答 案 ： A.4.(5分 )四 名 同 学 根 据 各 自 的 样 本 数 据 研 究 变 量 x， y之 间 的 相 关 关 系 ， 并 求 得 回 归 直 线 方
5、程 ， 分 别 得 到 以 下 四 个 结 论 ： y 与 x 负 相 关 且 =2.347x-6.423； y 与 x 负 相 关 且 =-3.476x+5.648； y 与 x 正 相 关 且 =5.437x+8.493； y 与 x 正 相 关 且 =-4.326x-4.578.其 中 一 定 不 正 确 的 结 论 的 序 号 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： y与 x负 相 关 且 =2.347x-6.423； 此 结 论 误 ， 由 线 性 回 归 方 程 知 ， 此 两 变 量 的 关系 是 正 相 关 ； y 与 x 负 相 关 且 ； 此 结 论 正 确 ， 线
6、性 回 归 方 程 符 合 负 相 关 的 特 征 ； y 与 x 正 相 关 且 ； 此 结 论 正 确 ， 线 性 回 归 方 程 符 合 正 相 关 的 特 征 ； y 与 x 正 相 关 且 .此 结 论 不 正 确 ， 线 性 回 归 方 程 符 合 负 相 关 的 特 征 .综 上 判 断 知 ， 是 一 定 不 正 确 的答 案 ： D5.(5分 )小 明 骑 车 上 学 ， 开 始 时 匀 速 行 驶 ， 途 中 因 交 通 堵 塞 停 留 了 一 段 时 间 ， 后 为 了 赶 时 间加 快 速 度 行 驶 .与 以 上 事 件 吻 合 得 最 好 的 图 象 是 ( ) A
7、. B.C. D.解 析 ： 考 查 四 个 选 项 ， 横 坐 标 表 示 时 间 ， 纵 坐 标 表 示 的 是 离 开 学 校 的 距 离 ， 由 此 知 ， 此 函 数图 象 一 定 是 下 降 的 ， 由 此 排 除 A；再 由 小 明 骑 车 上 学 ， 开 始 时 匀 速 行 驶 可 得 出 图 象 开 始 一 段 是 直 线 下 降 型 ， 又 途 中 因 交 通 堵 塞停 留 了 一 段 时 间 ， 故 此 时 有 一 段 函 数 图 象 与 X 轴 平 行 ， 由 此 排 除 D，后 为 了 赶 时 间 加 快 速 度 行 驶 ， 此 一 段 时 间 段 内 函 数 图 象
8、 下 降 的 比 较 快 ， 由 此 可 确 定 C正 确 ，B不 正 确 .答 案 ： C6.(5分 )将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 m(m 0)个 单 位 长 度 后 ， 所 得到 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 则 m的 最 小 值 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： y= cosx+sinx=2( cosx+ sinx)=2sin(x+ )， 图 象 向 左 平 移 m(m 0)个 单 位 长 度 得 到 y=2sin(x+m)+ =2sin(x+m+ )， 所 得 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， m+ =k + (k Z)， 则 m 的 最 小 值 为 .答
9、 案 ： B7.(5分 )已 知 点 A(-1， 1)， B(1， 2)， C(-2， -1)， D(3， 4)， 则 向 量 在 方 向 上 的 投 影为 ( )A.B.C. D.解 析 ： ， ，则 向 量 方 向 上 的 投 影 为 ： cos = = = = ，答 案 ： A.8.(5分 )x 为 实 数 ， x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 则 函 数 f(x)=x-x在 R 上 为 ( )A.奇 函 数 B.偶 函 数C.增 函 数D.周 期 函 数解 析 ： f(x)=x-x， f(x+1)=(x+1)-x+1=x+1-x-1=x-x=f(x)， f(x)=x-x
10、在 R上 为 周 期 是 1 的 函 数 .答 案 ： D.9.(5分 )某 旅 行 社 租 用 A、 B 两 种 型 号 的 客 车 安 排 900名 客 人 旅 行 ， A、 B 两 种 车 辆 的 载 客 量分 别 为 36 人 和 60 人 ， 租 金 分 别 为 1600元 /辆 和 2400元 /辆 ， 旅 行 社 要 求 租 车 总 数 不 超 过21辆 ， 且 B型 车 不 多 于 A型 车 7 辆 .则 租 金 最 少 为 ( )A.31200 元B.36000 元C.36800 元 D.38400 元解 析 ： 设 分 别 租 用 A、 B 两 种 型 号 的 客 车 x
11、辆 、 y辆 ， 所 用 的 总 租 金 为 z元 ， 则z=1600 x+2400y， 其 中 x、 y 满 足 不 等 式 组 ， (x、 y N) A 型 车 租 金 为 1600元 ， 可 载 客 36人 ， A 型 车 的 人 均 租 金 是 44.4元 ，同 理 可 得 B型 车 的 人 均 租 金 是 =40元 ，由 此 可 得 ， 租 用 B 型 车 的 成 本 比 租 用 A型 车 的 成 本 低 ，因 此 ， 在 满 足 不 等 式 组 的 情 况 下 尽 可 能 多 地 租 用 B 型 车 ， 可 使 总 租 金 最 低 ，由 此 进 行 验 证 ， 可 得 当 x=5、
12、 y=12时 ， 可 载 客 36 5+60 12=900 人 ， 符 合 要 求 ，且 此 时 的 总 租 金 z=1600 5+2400 12=36800， 达 到 最 小 值 .答 案 ： C10.(5分 )已 知 函 数 f(x)=x(lnx-ax)有 两 个 极 值 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 0)B.(0， ) C.(0， 1)D.(0， + )解 析 ： 函 数 f(x)=x(lnx-ax)， 则 f (x)=lnx-ax+x( -a)=lnx-2ax+1，令 f (x)=lnx-2ax+1=0 得 lnx=2ax-1，函 数 f(x)=x
13、(lnx-ax)有 两 个 极 值 点 ， 等 价 于 f (x)=lnx-2ax+1 有 两 个 零 点 ，等 价 于 函 数 y=lnx 与 y=2ax-1的 图 象 有 两 个 交 点 ，在 同 一 个 坐 标 系 中 作 出 它 们 的 图 象 (如 图 )， 当 a= 时 ， 直 线 y=2ax-1与 y=lnx 的 图 象 相 切 ，由 图 可 知 ， 当 0 a 时 ， y=lnx 与 y=2ax-1 的 图 象 有 两 个 交 点 .则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (0，).答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 5 分 ，
14、共 35分 . 11.(5分 )i为 虚 数 单 位 ， 设 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 原 点 对 称 ， 若 z1=2-3i， 则z2= .解 析 ： 设 复 数 z1， z2在 复 平 面 内 对 应 的 点 关 于 原 点 对 称 ， 复 数 z1， z2的 实 部 相 反 ， 虚 部 相 反 ，z1=2-3i， 所 以 z2=-2+3i.答 案 ： -2+3i.12.(5分 )某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10次 ， 命 中 环 数 如 下 ： 7， 8， 7， 9， 5， 4， 9， 10，7， 4 则( )平 均 命 中
15、环 数 为 ；( )命 中 环 数 的 标 准 差 为 .解 析 ： (I)根 据 条 件 中 的 数 据 ， 得 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 命 中 环 数 的 平 均 数 是= (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， (II)可 得 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 命 中 环 数 的 方 差 是 s2= (7-7)2+(8-7)2+ +(4-7)2=4.答 案 ： 7， 2.13.(5分 )阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 .若 输 入 m 的 值 为 2， 则 输 出 的 结 果i= . 解 析 ： 框 图 首 先
16、 给 累 积 变 量 A， B 赋 值 1， 1， 给 循 环 变 量 i 赋 值 0.若 输 入 m 的 值 为 2， 执 行 i=1+1， A=1 2=2， B=1 1=1；判 断 2 1 不 成 立 ， 执 行 i=1+1=2， A=2 2=4， B=1 2=2；判 断 4 2 不 成 立 ， 执 行 i=2+1=3， A=4 2=8， B=2 3=6；判 断 8 6 不 成 立 ， 执 行 i=3+1=4， A=8 2=16， B=6 4=24；判 断 16 24成 立 ， 跳 出 循 环 ， 输 出 i 的 值 为 4.答 案 ： 4. 14.(5分 )已 知 圆 O： x2+y2=
17、5， 直 线 l： xcos +ysin =1(0 ).设 圆 O 上 到 直 线 l的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 为 k， 则 k= .解 析 ： 由 圆 的 方 程 得 到 圆 心 O(0， 0)， 半 径 r= ， 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 d= =1 ， 且 r-d= -1 1=d， 圆 O上 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 为 4， 即 k=4.答 案 ： 415.(5分 )在 区 间 -2， 4上 随 机 地 取 一 个 数 x， 若 x 满 足 |x| m的 概 率 为 ， 则 m= .解 析 ： 如 图 区 间 长 度 是
18、 6， 区 间 -2， 4上 随 机 地 取 一 个 数 x， 若 x满 足 |x| m 的 概 率 为 ， 所 以 m=3.答 案 ： 3.16.(5分 )我 国 古 代 数 学 名 著 数 书 九 章 中 有 “ 天 池 盆 测 雨 ” 题 ： 在 下 雨 时 ， 用 一 个 圆 台形 的 天 池 盆 接 雨 水 .天 池 盆 盆 口 直 径 为 二 尺 八 寸 ， 盆 底 直 径 为 一 尺 二 寸 ， 盆 深 一 尺 八 寸 .若 盆中 积 水 深 九 寸 ， 则 平 地 降 雨 量 是 寸 .(注 ： 平 地 降 雨 量 等 于 盆 中 积 水 体 积 除 以 盆 口 面 积 ； 一
19、 尺 等 于 十 寸 )解 析 ： 如 图 ， 由 题 意 可 知 ， 天 池 盆 上 底 面 半 径 为 14 寸 ， 下 底 面 半 径 为 6 寸 ， 高 为 18寸 . 因 为 积 水 深 9 寸 ， 所 以 水 面 半 径 为 寸 .则 盆 中 水 的 体 积 为 (立 方 寸 ).所 以 则 平 地 降 雨 量 等于 (寸 ).答 案 ： 3.17.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 点 P(x， y)的 坐 标 x， y 均 为 整 数 ， 则 称 点 P 为 格 点 .若 一个 多 边 形 的 顶 点 全 是 格 点 ， 则 称 该 多 边 形 为 格 点 多
20、 边 形 .格 点 多 边 形 的 面 积 记 为 S， 其 内 部的 格 点 数 记 为 N， 边 界 上 的 格 点 数 记 为 L.例 如 图 中 ABC是 格 点 三 角 形 ， 对 应 的 S=1， N=0，L=4. ( )图 中 格 点 四 边 形 DEFG对 应 的 S， N， L 分 别 是 ；( )已 知 格 点 多 边 形 的 面 积 可 表 示 为 S=aN+bL+c其 中 a， b， c为 常 数 .若 某 格 点 多 边 形 对 应的 N=71， L=18， 则 S= (用 数 值 作 答 ).解 析 ： ( )观 察 图 形 ， 可 得 S=3， N=1， L=6；
21、( )不 妨 设 某 个 格 点 四 边 形 由 两 个 小 正 方 形 组 成 ， 此 时 ， S=2， N=0， L=6， 格 点 多 边 形 的 面 积 S=aN+bL+c， 结 合 图 中 的 格 点 三 角 形 ABC及 格 点 四 边 形 DEFG可 得 ， ， S=N+ -1， 将 N=71， L=18代 入 可 得 S=79. 答 案 ： ( )3， 1， 6； ( )79.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 65分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .18.(12分 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C
22、对 应 的 边 分 别 是 a， b， c， 已 知 cos2A-3cos(B+C)=1.( )求 角 A的 大 小 ；( )若 ABC的 面 积 S=5 ， b=5， 求 sinBsinC 的 值 .解 析 ： (I)利 用 倍 角 公 式 和 诱 导 公 式 即 可 得 出 ；(II)由 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 得 到 bc=20.又 b=5， 解 得 c=4.由 余 弦 定 理 得a 2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21， 即 可 得 出 a.又 由 正 弦 定 理 得 即 可 得 到即 可 得 出 .答 案 ： ( )由 cos2A-3cos(B+C)
23、=1， 得 2cos2A+3cosA-2=0，即 (2cosA-1)(cosA+2)=0， 解 得 (舍 去 ).因 为 0 A ， 所 以 .( )由 S= = = ， 得 到 bc=20.又 b=5， 解 得 c=4.由 余 弦 定 理 得 a 2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21， 故 .又 由 正 弦 定 理 得 . 19.(13分 )已 知 Sn是 等 比 数 列 an的 前 n 项 和 ， S4， S2， S3成 等 差 数 列 ， 且 a2+a3+a4=-18.( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )是 否 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 20
24、13？ 若 存 在 ， 求 出 符 合 条 件 的 所 有 n的 集 合 ； 若 不 存 在 ，说 明 理 由 .解 析 ： ( )设 数 列 an的 公 比 为 q， 依 题 意 ， 列 出 关 于 其 首 项 a1与 公 办 q的 方 程 组 ， 解 之 即可 求 得 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )依 题 意 ， 可 求 得 1-(-2)n 2013， 对 n 的 奇 偶 性 分 类 讨 论 ， 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： ( )设 数 列 a n的 公 比 为 q， 显 然 q 1，由 题 意 得 ， 解 得 q=-2， a3=12，故 数 列 a n的 通 项 公
25、式 为 an=a3 qn-3=12 (-2)n-3=(- ) (-2)n.( )由 ( )有 an=(- ) (-2)n.若 存 在 正 整 数 n， 使 得 Sn 2013，则 Sn= =1-(-2)n， 即 1-(-2)n 2013，当 n 为 偶 数 时 ， 2 n -2012， 上 式 不 成 立 ；当 n 为 奇 数 时 ， 1+2n 2013， 即 2n 2012， 则 n 11.综 上 ， 存 在 符 合 条 件 的 正 整 数 n=2k+1(k 5)， 且 所 有 这 样 的 n 的 集 合 为 n|n=2k+1(k 5).20.(13分 )如 图 ， 某 地 质 队 自 水
26、平 地 面 A， B， C三 处 垂 直 向 地 下 钻 探 ， 自 A点 向 下 钻 到 A1处 发 现 矿 藏 ， 再 继 续 下 钻 到 A2处 后 下 面 已 无 矿 ， 从 而 得 到 在 A处 正 下 方 的 矿 层 厚 度 为 A1A2=d1.同 样 可 得 在 B， C 处 正 下 方 的 矿 层 厚 度 分 别 为 B 1B2=d2， C1C2=d3， 且 d1 d2 d3.过 AB， AC 的 中点 M， N 且 与 直 线 AA2平 行 的 平 面 截 多 面 体 A1B1C1-A2B2C2所 得 的 截 面 DEFG为 该 多 面 体 的 一 个 中截 面 ， 其 面
27、积 记 为 S 中 .( )证 明 ： 中 截 面 DEFG 是 梯 形 ；( )在 ABC中 ， 记 BC=a， BC边 上 的 高 为 h， 面 积 为 S.在 估 测 三 角 形 ABC区 域 内 正 下 方 的 矿 藏 储 量 (即 多 面 体 A1B1C1-A2B2C2的 体 积 V)时 ， 可 用 近 似 公 式 V 估 =S 中 -h 来 估 算 .已 知V= (d1+d2+d3)S， 试 判 断 V 估 与 V的 大 小 关 系 ， 并 加 以 证 明 .解 析 ： ( )首 先 利 用 线 面 垂 直 、 线 面 平 行 的 性 质 及 平 行 公 理 证 出 四 边 形 D
28、EFG的 一 组 对 边 相互 平 行 ， 然 后 由 梯 形 中 位 线 知 识 证 明 一 组 对 边 不 相 等 ， 则 可 证 明 中 截 面 DEFG是 梯 形 ； ( )由 题 意 可 证 得 MN 是 中 截 面 梯 形 DEFG 的 高 ， 根 据 四 边 形 A1A2B2B1， A1A2C2C1均 是 梯 形 ， 利用 梯 形 的 中 位 线 公 式 吧 DE， FG 用 d1， d2， d3表 示 ， 这 样 就 能 把 V 估 用 含 有 a， h， d1， d2， d3的 代 数 式 表 示 ， 把 V= (d1+d2+d3)S与 V 估 作 差 后 利 用 d1， d
29、2， d3的 大 小 关 系 可 以 判 断 出 差 的符 号 ， 及 能 判 断 V 估 与 V 的 大 小 关 系 .答 案 ： ( )依 题 意 A1A2 平 面 ABC， B1B2 平 面 ABC， C1C2 平 面 ABC，所 以 A1A2 B1B2 C1C2， 又 A1A2=d1， B1B2=d2， C1C2=d3， 且 d1 d2 d3.因 此 四 边 形 A 1A2B2B1， A1A2C2C1均 是 梯 形 .由 AA2 平 面 MEFN， AA2平 面 AA2B2B， 且 平 面 AA2B2B 平 面 MEFN=ME，可 得 AA2 ME， 即 A1A2 DE.同 理 可 证
30、 A1A2 FG， 所 以 DE FG.又 M， N 分 别 为 AB， AC 的 中 点 ，则 D， E， F， G 分 别 为 A1B1， A2B2， A2C2， A1C1 的 中 点 ，即 DE、 FG 分 别 为 梯 形 A1A2B2B1、 A1A2C2C1的 中 位 线 .因 此 DE= ， FG= ，而 d 1 d2 d3， 故 DE FG， 所 以 中 截 面 DEFG是 梯 形 .( )V 估 V.证 明 ：由 A1A2 平 面 ABC， MN平 面 ABC， 可 得 A1A2 MN.而 EM A1A2， 所 以 EM MN， 同 理 可 得 FN MN.由 MN 是 ABC的
31、 中 位 线 ， 可 得 MN= BC= a， 即 为 梯 形 DEFG 的 高 ，因 此 ，即 .又S= ah， 所 以 .于 是 =.由 d1 d20， d3-d1 0， 故 V 估 V.21.(13分 )设 a 0， b 0， 已 知 函 数 f(x)= .( )当 a b 时 ， 讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性 ；( )当 x 0 时 ， 称 f(x)为 a、 b 关 于 x的 加 权 平 均 数 .(i)判 断 f(1)， f( )， f( )是 否 成 等 比 数 列 ， 并 证 明 f( ) f( )；(ii)a、 b 的 几 何 平 均 数 记 为 G.称 为 a、 b
32、 的 调 和 平 均 数 ， 记 为 H.若 H f(x) G， 求 x 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )确 定 函 数 的 定 义 域 ， 利 用 导 数 的 正 负 ， 结 合 分 类 讨 论 ， 即 可 求 得 数 f(x)的 单 调性 ；( )(i)利 用 函 数 解 析 式 ， 求 出 f(1)， f( )， f( )， 根 据 等 比 数 列 的 定 义 ， 即 可 得 到 结论 ；(ii)利 用 定 义 ， 结 合 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 确 定 x 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )函 数 的 定 义 域 为 x|x -1， 当 a b 0 时 ，
33、f (x) 0， 函 数 f(x)在 (- ， -1)， (-1， + )上 单 调 递 增 ；当 0 a b时 ， f (x) 0， 函 数 f(x)在 (- ， -1)， (-1， + )上 单 调 递 减 .( )(i)计 算 得 f(1)= ， f( )= ， f( )= . ， f(1)， f( )， f( )成 等 比 数 列 ， a 0， b 0， ， f( ) f( )；(ii)由 (i)知 f( )= ， f( )= ，故 由 H f(x) G， 得 f( ) f(x) f( ).当 a=b时 ， f( )=f(x)=f( )=f(1)=a， 此 时 x 的 取 值 范 围
34、是 (0， + )，当 a b 时 ， 函 数 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 这 时 有 x ， 即 x 的 取 值 范 围 为 x ； 当 a b 时 ， 函 数 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ， 这 时 有 x ， 即 x的 取 值 范 围 为 x .22.(14分 )如 图 ， 已 知 椭 圆 C1与 C2的 中 心 在 坐 标 原 点 O， 长 轴 均 为 MN 且 在 x轴 上 ， 短 轴 长分 别 为 2m， 2n(m n)， 过 原 点 且 不 与 x轴 重 合 的 直 线 l 与 C1， C2的 四 个 交 点 按 纵 坐 标 从 大到 小
35、依 次 为 A， B， C， D， 记 ， BDM和 ABN的 面 积 分 别 为 S 1和 S2.( )当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时 ， 若 S 1= S2， 求 的 值 ；( )当 变 化 时 ， 是 否 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2？ 并 说 明 理 由 . 解 析 ： ( )设 出 两 个 椭 圆 的 方 程 ， 当 直 线 l 与 y 轴 重 合 时 ， 求 出 BDM和 ABN的 面 积 S1和S2， 直 接 由 面 积 比 = 列 式 求 的 值 ；( )假 设 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得
36、S1= S2， 设 出 直 线 方 程 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公式 求 出 M和 N到 直 线 l的 距 离 ， 利 用 数 学 转 化 思 想 把 两 个 三 角 形 的 面 积 比 转 化 为 线 段 长 度 比 ，由 弦 长 公 式 得 到 线 段 长 度 比 的 另 一 表 达 式 ， 两 式 相 等 得 到 ， 换元 后 利 用 非 零 的 k 值 存 在 讨 论 的 取 值 范 围 .答 案 ： 以 题 意 可 设 椭 圆 C 1和 C2的 方 程 分 别 为 ， .其 中 a m n 0，.( )如 图 1， 若 直 线 l 与 y 轴 重 合 ， 即 直 线 l
37、的 方 程 为 x=0， 则 ， ， 所 以 .在 C1和 C2的 方 程 中 分 别 令 x=0， 可 得 yA=m， yB=n， yD=-m，于 是 .若 ， 则 ， 化 简 得 2-2 -1=0， 由 1， 解 得 .故 当 直 线 l与 y轴 重 合 时 ， 若 S1= S2， 则 .( )如 图 2， 若 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2， 根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 直 线 l：y=kx(k 0)， 点 M(-a， 0)， N(a， 0)到 直 线 l 的 距 离 分 别 为 d1， d2，则 ， 所 以 d1=d2.又 ， 所 以
38、 ， 即 |BD|= |AB|.由 对 称 性 可 知 |AB|=|CD|， 所 以 |BC|=|BD|-|AB|=( -1)|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=( +1)|AB|， 于 是 .将 l 的 方 程 分 别 与 C 1和 C2的 方 程 联 立 ， 可 求 得根 据 对 称 性 可 知 xC=-xB， xD=-xA， 于 是 从 而 由 和 可 得 令 ， 则 由 m n， 可 得 t 1， 于 是 由 可 得 .因 为 k 0， 所 以 k 2 0.于 是 关 于 k 有 解 ， 当 且 仅 当 ，等 价 于 ， 由 1， 解 得 ，即 ， 由 1， 解 得 ， 所 以当 时 ， 不 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S 1= S2；当 时 ， 存 在 与 坐 标 轴 不 重 合 的 直 线 l， 使 得 S1= S2.
