1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 文一 、 填 空 题 (本 大 题 共 有 14题 ， 满 分 56分 )1.(4分 )不 等 式 0 的 解 为 .解 析 ： 原 不 等 式 化 为 或 ， 解 得 ： 0 x ，答 案 ： 0 x 2.(4分 )在 等 差 数 列 an中 ， 若 a1+a2+a3+a4=30， 则 a2+a3= .解 析 ： 因 为 数 列 an是 等 差 数 列 ， 根 据 等 差 数 列 的 性 质 有 ： a1+a4=a2+a3，由 a1+a2+a3+a4=30， 所 以 ， 2(a2+a3)=30，
2、则 a2+a3=15.答 案 ： 15.3.(4分 )设 m R， m2+m-2+(m2-1)i是 纯 虚 数 ， 其 中 i是 虚 数 单 位 ， 则 m= .解 析 ： 复 数 z=(m2+m-2)+(m-1)i为 纯 虚 数 ， m2+m-2=0， m2-1 0， 解 得 m=-2，答 案 ： -2.4.(4分 )已 知 ， ， 则 y= .解 析 ： 由 已 知 ， ， 所 以 x-2=0， x-y=1 所 以 x=2， y=1. 答 案 ： 1.5.(4分 )已 知 ABC 的 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 是 a， b， c， 若 a2+ab+b2-c2=0， 则
3、 角 C 的大 小 是 .解 析 ： a2+ab+b2-c2=0， 即 a2+b2-c2=-ab， cosC= = =- ， C 为 三 角 形 的 内 角 ， C= .答 案 ：6.(4分 )某 学 校 高 一 年 级 男 生 人 数 占 该 年 级 学 生 人 数 的 40%， 在 一 次 考 试 中 ， 男 ， 女 平 均 分 数 分 别 为 75、 80， 则 这 次 考 试 该 年 级 学 生 平 均 分 数 为 .解 析 ： 设 该 班 男 生 有 x 人 ， 女 生 有 y 人 ， 这 次 考 试 该 年 级 学 生 平 均 分 数 为 a.根 据 题 意 可 知 ：75x+80
4、y=(x+y) a， 且 =40%.所 以 a=78， 则 这 次 考 试 该 年 级 学 生 平 均 分 数 为 78.答 案 ： 78. 7.(4分 )设 常 数 a R， 若 的 二 项 展 开 式 中 x7项 的 系 数 为 -10， 则 a= .解 析 ： 的 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1=C5rx10-2r( )r=C5rx10-3rar，令 10-3r=7得 r=1， x7的 系 数 是 aC51， x7的 系 数 是 -10， aC51=-10， 解 得 a=-2.答 案 ： -2.8.(4分 )方 程 的 实 数 解 为 .解 析 ： 令 t=3 x(t 0)则 原
5、方 程 可 化 为 ： (t-1)2=9(t 0) t-1=3， t=4， 即 x=log34 可 满 足 条 件 即 方 程 的 实 数 解 为 log34.答 案 ： log34.9.(4分 )若 cosxcosy+sinxsiny= ， 则 cos(2x-2y)= .解 析 ： cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)= ， cos(2x-2y)=cos2(x-y)=2cos 2(x-y)-1=- .答 案 ： -10.(4分 )已 知 圆 柱 的 母 线 长 为 l， 底 面 半 径 为 r， O是 上 底 面 圆 心 ， A， B 是 下 底 面 圆 周 上两 个 不 同
6、 的 点 ， BC 是 母 线 ， 如 图 ， 若 直 线 OA与 BC 所 成 角 的 大 小 为 ， 则 = . 解 析 ： 如 图 ， 过 A 作 与 BC平 行 的 母 线 AD， 连 接 OD， 则 OAD 为 直 线 OA与 BC所 成 的 角 ， 大小 为 .在 直 角 三 角 形 ODA中 ， 因 为 ， 所 以 .则 . 答 案 ：11.(4分 )盒 子 中 装 有 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 的 七 个 球 ， 从 中 任 意 抽 取 两 个 ， 则 这 两个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是 (结 果 用 最 简 分 数 表 示
7、)解 析 ： 从 7个 球 中 任 取 2个 球 共 有 =21种 ，所 取 两 球 编 号 之 积 为 偶 数 包 括 均 为 偶 数 、 一 奇 一 偶 两 种 情 况 ， 共 有 =15种 取 法 ，所 以 两 球 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 为 ： = .答 案 ： . 12.(4分 )设 AB是 椭 圆 的 长 轴 ， 点 C在 上 ， 且 CBA= ， 若 AB=4， BC= ， 则 的 两个 焦 点 之 间 的 距 离 为 .解 析 ： 如 图 ， 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ， 由 题 意 知 ， 2a=4， a=2. CBA= ， BC= ， 点 C 的
8、坐 标 为 C(-1， 1)， 因 点 C 在 椭 圆 上 ， ， b2= ， c2=a2-b2=4- = ， c= ， 则 的 两 个 焦 点 之 间 的 距 离 为 .答 案 ： .13.(4分 )设 常 数 a 0， 若 9x+ 对 一 切 正 实 数 x 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 常 数 a 0， 若 9x+ a+1对 一 切 正 实 数 x 成 立 ， 故 (9x+ ) min a+1， 9x+ 6a又 9x+ 6a， 当 且 仅 当 9x= ， 即 x= 时 ， 等 号 成 立 故 6a a+1， 解 得 a答 案 ： ， + )14.(4分 )已
9、知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 1， 记 以 A 为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为； 以 C为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 ， 若 i， j， k，l 1， 2， 3， 且 i j， k l， 则 的 最 小 值 是 .解 析 ： 不 妨 记 以 A 为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 ， ， ， 以 C为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 ， ， .如 图 建 立 坐 标 系 .(1)当 i=1， j=2， k=1， l=2时 ， 则 =(1， 0)+(
10、1， 1) (-1， 0)+(-1， -1)=-5；(2)当 i=1， j=2， k=1， l=3时 ， 则 =(1， 0)+(1， 1) (-1，0)+(0， -1)=-3；(3)当 i=1， j=2， k=2， l=3时 ， 则 =(1， 0)+(1， 1) (-1，-1)+(0， -1)=-4；(4)当 i=1， j=3， k=1， l=2时 ， 则 =(1， 0)+(0， 1) (-1，0)+(-1， -1)=-3；同 样 地 ， 当 i， j， k， l 取 其 它 值 时 ， =-5， -4， 或 -3. 则 的 最 小 值 是 -5.答 案 ： -5. 二 、 选 择 题 (本
11、大 题 共 有 4 题 ， 满 分 20分 )15.(5分 )函 数 f(x)=x2-1(x 0)的 反 函 数 为 f-1(x)， 则 f-1(2)的 值 是 ( )A.B.C.1+D.1-解 析 ： 由 题 意 令 2=x 2-1(x 0)， 解 得 x= ， 所 以 f-1(2)= .答 案 ： A.16.(5分 )设 常 数 a R， 集 合 A=x|(x-1)(x-a) 0， B=x|x a-1， 若 A B=R， 则 a 的 取值 范 围 为 ( )A.(- ， 2)B.(- ， 2C.(2， + )D.2， + )解 析 ： 当 a 1 时 ， A=(- ， 1 a， + )，
12、B=a-1， + )，若 A B=R， 则 a-1 1， 1 a 2；当 a=1时 ， 易 得 A=R， 此 时 A B=R； 当 a 1 时 ， A=(- ， a 1， + )， B=a-1， + )，若 A B=R， 则 a-1 a， 显 然 成 立 a 1；综 上 ， a 的 取 值 范 围 是 (- ， 2.答 案 ： B.17.(5分 )钱 大 姐 常 说 “ 好 货 不 便 宜 ” ， 她 这 句 话 的 意 思 是 ： “ 好 货 ” 是 “ 不 便 宜 ” 的 ( )A.充 分 条 件B.必 要 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件解 析
13、： 若 pq 为 真 命 题 ， 则 命 题 p 是 命 题 q 的 充 分 条 件 ；“ 好 货 不 便 宜 ” ， 其 条 件 是 ： 此 货 是 好 货 ， 结 论 是 此 货 不 便 宜 ， 由 条 件 结 论 .故 “ 好 货 ” 是 “ 不 便 宜 ” 的 充 分 条 件 . 答 案 ： A18.(5分 )记 椭 圆 围 成 的 区 域 (含 边 界 )为 n(n=1， 2， )， 当 点 (x， y)分 别 在 1， 2， 上 时 ， x+y的 最 大 值 分 别 是 M1， M2， ， 则 Mn=( )A.0B.C.2D.2 解 析 ： 把 椭 圆 得 ， 椭 圆 的 参 数
14、方 程 为 ： ( 为 参 数 )， x+y=2cos + sin ， (x+y)max= = . Mn= =2 .答 案 ： D.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 有 5 题 ， 满 分 74分 )19.(12分 )如 图 ， 正 三 棱 锥 O-ABC的 底 面 边 长 为 2， 高 为 1， 求 该 三 棱 锥 的 体 积 及 表 面 积 . 解 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 形 ， 结 合 正 三 棱 锥 O-ABC 的 底 面 边 长 为 2， 高 为 1， 由 此 入 手 ， 能 够求 出 此 三 棱 锥 的 体 积 及 表 面 积 .答 案 ： O-ABC是 正 三 棱
15、 锥 ， 其 底 面 三 角 形 ABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 其 面 积 为 ， 该 三 棱 锥 的 体 积 = = ；设 O 是 正 三 角 形 ABC的 中 心 ， 则 OO 平 面 ABC， 延 长 AO 交 BC于 D.则 AD= ， O D= ， 又 OO =1， 三 棱 锥 的 斜 高 OD= ， 三 棱 锥 的 侧 面 积 为 =2 ， 该 三 棱 锥 的 表 面 积 为 .20.(14分 )甲 厂 以 x千 克 /小 时 的 速 度 匀 速 生 产 某 种 产 品 (生 产 条 件 要 求 1 x 10)， 每 一 小时 可 获 得 的 利 润 是 100
16、(5x+1- )元 .(1)求 证 ： 生 产 a 千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 为 100a(5+ )元 ； (2)要 使 生 产 900千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 最 大 ， 问 ： 甲 厂 应 该 选 取 何 种 生 产 速 度 ？ 并 求 此 最大 利 润 .解 析 ： (1)由 题 意 可 得 生 产 a 千 克 该 产 品 所 用 的 时 间 是 小 时 ， 由 于 每 一 小 时 可 获 得 的 利 润是 100(5x+1- )元 ， 即 可 得 到 生 产 a千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 ；(2)利 用 (1)的 结 论 可 得 生 产
17、1 千 克 所 获 得 的 利 润 为 90000(5+ )， 1 x 10.进 而 得 到生 产 900 千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 ， 利 用 二 次 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 .答 案 ： (1)生 产 a 千 克 该 产 品 所 用 的 时 间 是 小 时 ， 每 一 小 时 可 获 得 的 利 润 是 100(5x+1- )元 ， 获 得 的 利 润 为 100(5x+1- ) 元 . 因 此 生 产 a千 克 该 产 品 所 获 得 的 利 润 为 100a(5+ )元 .(2)生 产 900千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 为 90000(5+ )
18、， 1 x 10.设 f(x)= ， 1 x 10.则 f(x)= ， 当 且 仅 当 x=6取 得 最大 值 .故 获 得 最 大 利 润 为 =457500元 .因 此 甲 厂 应 以 6 千 克 /小 时 的 速 度 生 产 ， 可 获 得 最 大 利 润 457500 元 .21.(14分 )已 知 函 数 f(x)=2sin( x)， 其 中 常 数 0 (1)令 =1， 判 断 函 数 F(x)=f(x)+f(x+ )的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 ；(2)令 =2， 将 函 数 y=f(x)的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1个 单 位 ，
19、得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 ， 对 任 意 a R， 求 y=g(x)在 区 间 a， a+10 上 零 点 个 数 的 所 有 可 能 值 .解 析 ： (1)特 值 法 ： =1时 ， 写 出 f(x)、 F(x)， 求 出 F( )、 F(- )， 结 合 函 数 奇 偶 性 的定 义 可 作 出 正 确 判 断 ；(2)根 据 图 象 平 移 变 换 求 出 g(x)， 令 g(x)=0可 得 g(x)可 能 的 零 点 ， 而 a， a+10 恰 含 10个 周 期 ， 分 a 是 零 点 ， a不 是 零 点 两 种 情 况 讨 论 ， 结 合 图 象 可 得 g(x)
20、在 a， a+10 上 零 点个 数 的 所 有 可 能 值 ；答 案 ： (1)f(x)=2sinx，F(x)=f(x)+f(x+ )=2sinx+2sin(x+ )=2(sinx+cosx)， F( )=2 ， F(- )=0， F(- ) F( )， F(- ) -F( )，所 以 ， F(x)既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 . (2)f(x)=2sin2x， 将 y=f(x)的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1个 单 位 后 得 到y=2sin2(x+ )+1的 图 象 ， 所 以 g(x)=2sin2(x+ )+1.令 g(x)=0，
21、 得 x=k + 或 x=k + (k z)，因 为 a， a+10 恰 含 10个 周 期 ， 所 以 ， 当 a 是 零 点 时 ， 在 a， a+10 上 零 点 个 数 21，当 a 不 是 零 点 时 ， a+k (k z)也 都 不 是 零 点 ， 区 间 a+k ， a+(k+1) 上 恰 有 两 个 零 点 ，故 在 a， a+10 上 有 20个 零 点 .综 上 ， y=g(x)在 a， a+10 上 零 点 个 数 的 所 有 可 能 值 为 21 或 20.22.(16分 )已 知 函 数 f(x)=2-|x|， 无 穷 数 列 a n满 足 an+1=f(an)， n
22、 N*(1)若 a1=0， 求 a2， a3， a4；(2)若 a1 0， 且 a1， a2， a3成 等 比 数 列 ， 求 a1的 值(3)是 否 存 在 a1， 使 得 a1， a2， ， an， 成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 这 样 的 a1， 若 不 存在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 题 意 代 入 式 子 计 算 即 可 ；(2)把 a2， a3表 示 为 a1的 式 子 ， 通 过 对 a1的 范 围 进 行 讨 论 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 根 据 a1， a2， a3成 等 比 数 列 可 得 关 于 a 1的 方 程 ， 解
23、出 即 可 ；(3)假 设 这 样 的 等 差 数 列 存 在 ， 则 a1， a2， a3成 等 差 数 列 ， 即 2a2=a1+a3， 亦 即2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)， 分 情 况 当 a1 2 时 当 0 a1 2时 当 a1 0 时 讨 论 ， 由 (*)式可 求 得 a1进 行 判 断 ； 当 a1 0时 ， 由 公 差 d 2 可 得 矛 盾 ；答 案 ： (1)由 题 意 ， 代 入 计 算 得 a2=2， a3=0， a4=2；(2)a2=2-|a1|=2-a1， a3=2-|a2|=2-|2-a1|， 当 0 a 1 2 时 ， a3=2-(2-a1)=a
24、1， 所 以 ， 得 a1=1； 当 a1 2时 ， a3=2-(a1-2)=4-a1， 所 以 ， 得 (舍去 )或 .综 合 得 a1=1或 .(3)假 设 这 样 的 等 差 数 列 存 在 ， 那 么 a 2=2-|a1|，a3=2-|2-|a1|， 由 2a2=a1+a3得 2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)，以 下 分 情 况 讨 论 ： 当 a1 2时 ， 由 (*)得 a1=0， 与 a1 2矛 盾 ； 当 0 a1 2 时 ， 由 (*)得 a1=1， 从 而 an=1(n=1， 2， )， 所 以 an是 一 个 等 差 数 列 ； 当 a1 0时 ， 则 公 差
25、d=a2-a1=(a1+2)-a1=2 0，因 此 存 在 m 2 使 得 am=a1+2(m-1) 2， 此 时 d=am+1-am=2-|am|-am 0， 矛 盾 .综 合 可 知 ， 当 且 仅 当 a 1=1时 ， a1， a2， ， an， 成 等 差 数 列 .23.(18分 )如 图 ， 已 知 双 曲 线 C1： ， 曲 线 C2： |y|=|x|+1， P 是 平 面 内 一 点 ， 若存 在 过 点 P的 直 线 与 C1， C2都 有 公 共 点 ， 则 称 P为 “ C1-C2型 点 ” . (1)在 正 确 证 明 C1的 左 焦 点 是 “ C1-C2型 点 “
26、时 ， 要 使 用 一 条 过 该 焦 点 的 直 线 ， 试 写 出 一 条 这样 的 直 线 的 方 程 (不 要 求 验 证 )；(2)设 直 线 y=kx与 C2有 公 共 点 ， 求 证 |k| 1， 进 而 证 明 原 点 不 是 “ C1-C2型 点 ” ；(3)求 证 ： 圆 x2+y2= 内 的 点 都 不 是 “ C1-C2型 点 ”解 析 ： (1)由 双 曲 线 方 程 可 知 ， 双 曲 线 的 左 焦 点 为 ( )， 当 过 左 焦 点 的 直 线 的 斜 率不 存 在 时 满 足 左 焦 点 是 “ C1-C2型 点 ” ， 当 斜 率 存 在 时 ， 要 保
27、证 斜 率 的 绝 对 值 大 于 等 于 该 焦点 与 (0， 1)连 线 的 斜 率 ；(2)由 直 线 y=kx与 C 2有 公 共 点 联 立 方 程 组 有 实 数 解 得 到 |k| 1， 分 过 原 点 的 直 线 斜 率 不 存在 和 斜 率 存 在 两 种 情 况 说 明 过 远 点 的 直 线 不 可 能 同 时 与 C1和 C2有 公 共 点 ；(3)由 给 出 的 圆 的 方 程 得 到 圆 的 图 形 夹 在 直 线 y=x 1 与 y=-x 1 之 间 ， 进 而 说 明 当 |k| 1时 过 圆 内 的 点 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 C2无 公 共 点
28、， 当 |k| 1时 ， 过 圆 内的 点 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 C2有 公 共 点 ， 再 由 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 半 径 列 式 得 出 k 的 范 围 ，结 果 与 |k| 1矛 盾 .从 而 证 明 了 结 论 .答 案 ： (1)C 1的 左 焦 点 为 ( )， 写 出 的 直 线 方 程 可 以 是 以 下 形 式 ：或 ， 其 中 .(2)证 明 ： 因 为 直 线 y=kx与 C2有 公 共 点 ，所 以 方 程 组 有 实 数 解 ， 因 此 |kx|=|x|+1， 得 .若 原 点 是 “ C1-C2型 点 ” ， 则 存 在 过 原 点
29、 的 直 线 与 C1、 C2都 有 公 共 点 .考 虑 过 原 点 与 C 2有 公 共 点 的 直 线 x=0 或 y=kx(|k| 1).显 然 直 线 x=0与 C1无 公 共 点 .如 果 直 线 为 y=kx(|k| 1)， 则 由 方 程 组 ， 得 ， 矛 盾 .所 以 直 线 y=kx(|k| 1)与 C1也 无 公 共 点 .因 此 原 点 不 是 “ C1-C2型 点 ” .(3)证 明 ： 记 圆 O： ， 取 圆 O内 的 一 点 Q， 设 有 经 过 Q的 直 线 l与 C 1， C2都 有 公 共点 ， 显 然 l不 与 x 轴 垂 直 ， 故 可 设 l： y
30、=kx+b.若 |k| 1， 由 于 圆 O 夹 在 两 组 平 行 线 y=x 1与 y=-x 1 之 间 ， 因 此 圆 O也 夹 在 直 线 y=kx 1与 y=-kx 1 之 间 ，从 而 过 Q 且 以 k为 斜 率 的 直 线 l 与 C2无 公 共 点 ， 矛 盾 ， 所 以 |k| 1. 因 为 l与 C1由 公 共 点 ， 所 以 方 程 组 有 实 数 解 ， 得 (1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因 为 |k| 1， 所 以 1-2k2 0， 因 此 =(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2) 0， 即 b2 2k2-1.因 为 圆 O 的 圆 心 (0， 0)到 直 线 l 的 距 离 ，所 以 ， 从 而 ， 得 k 2 1， 与 |k| 1 矛 盾 .因 此 ， 圆 内 的 点 不 是 “ C1-C2型 点 ” .
