1、2014年 广 西 省 南 宁 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 其中 只 有 一 是 正 确 的 .1.(3分 )如 果 水 位 升 高 3m时 水 位 变 化 记 作 +3m， 那 么 水 位 下 降 3m 时 水 位 变 化 记 作 ( )A.-3mB.3mC.6mD.-6m解 析 ： 因 为 上 升 记 为 +， 所 以 下 降 记 为 -， 所 以 水 位 下 降 3m时 水 位 变 化 记 作 -3m.答 案 ： A.2.(3分 )下 列 图
2、形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 A 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 B 选 项 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 C 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 D 选 项 正 确 .答 案 ： D.3.(3分 )南 宁 东 高 铁 火 车 站 位 于 南 宁 青 秀 区 凤 岭 北 路 ， 火 车 站 总 建 筑 面 积 约 为 267000平 方米 ， 其 中 数 据 267000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.26.7 10
3、4B.2.67 104C.2.67 105D.0.267 106解 析 ： 267 000=2.67 105.答 案 ： C. 4.(3分 )要 使 二 次 根 式 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 实 数 x的 取 值 范 围 是 ( )A.x 2B.x 2C.x -2D.x -2解 析 ： 二 次 根 式 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， x+2 0， 解 得 ： x -2，则 实 数 x 的 取 值 范 围 是 ： x -2.答 案 ： D.5.(3分 )下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a 2 a3=a6B.(x2)3=x6C.m6 m2=m3D.6a-4a=2
4、解 析 ： A、 a2 a3=a5 a6， 故 A选 项 错 误 ；B、 (x2)3=x6， 故 B 选 项 正 确 ；C、 m6 m2=m4 m3， 故 C 选 项 错 误 ；D、 6a-4a=2a 2， 故 D 选 项 错 误 .答 案 ： B.6.(3分 )在 直 径 为 200cm的 圆 柱 形 油 槽 内 装 入 一 些 油 以 后 ， 截 面 如 图 .若 油 面 的 宽 AB=160cm，则 油 的 最 大 深 度 为 ( ) A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm解 析 ： 连 接 OA， 过 点 O 作 OE AB， 交 AB 于 点 M， 直 径 为 200cm
5、， AB=160cm， OA=OE=100cm， AM=80cm， OM= = =60cm， ME=OE-OM=100-60=40cm.答 案 ： A. 7.(3分 )数 据 1， 2， 4， 0， 5， 3， 5 的 中 位 数 和 众 数 分 别 是 ( )A.3 和 2B.3 和 3C.0 和 5D.3 和 5解 析 ： 把 所 有 数 据 从 小 到 大 排 列 ： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 5， 位 置 处 于 中 间 的 是 3， 故 中 位 数为 3； 出 现 次 数 最 多 的 是 3 和 5， 故 众 数 为 3 和 5，答 案 ： D.8.(3分 )如 图 所 示
6、 ， 把 一 张 长 方 形 纸 片 对 折 ， 折 痕 为 AB， 再 以 AB 的 中 点 O 为 顶 点 ， 把 平 角 AOB三 等 分 ， 沿 平 角 的 三 等 分 线 折 叠 ， 将 折 叠 后 的 图 形 剪 出 一 个 以 O 为 顶 点 的 直 角 三 角 形 ，那 么 剪 出 的 直 角 三 角 形 全 部 展 开 铺 平 后 得 到 的 平 面 图 形 一 定 是 ( ) A.正 三 角 形B.正 方 形C.正 五 边 形D.正 六 边 形解 析 ： 平 角 AOB三 等 分 ， O=60 ， 90 -60 =30 ， 剪 出 的 直 角 三 角 形 沿 折 痕 展 开
7、 一 次 得 到 底 角 是 30 的 等 腰 三 角 形 ，再 沿 另 一 折 痕 展 开 得 到 有 一 个 角 是 30 的 直 角 三 角 形 ， 最 后 沿 折 痕 AB展 开 得 到 等 边 三 角 形 ，即 正 三 角 形 .答 案 ： A.9.(3分 )“ 黄 金 1 号 ” 玉 米 种 子 的 价 格 为 5元 /千 克 ， 如 果 一 次 购 买 2 千 克 以 上 的 种 子 ， 超过 2 千 克 部 分 的 种 子 价 格 打 6折 ， 设 购 买 种 子 数 量 为 x 千 克 ， 付 款 金 额 为 y元 ， 则 y与 x的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是
8、( ) A.B.C. D.解 析 ： 可 知 2 千 克 以 下 付 款 金 额 为 y 元 随 购 买 种 子 数 量 为 x 千 克 增 大 而 增 大 ，超 过 2千 克 的 部 分 打 6 折 ， y仍 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 不 过 增 加 的 幅 度 低 一 点 ，答 案 ： B.10.(3分 )如 图 ， 已 知 二 次 函 数 y=-x2+2x， 当 -1 x a 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( ) A.a 1B.-1 a 1C.a 0D.-1 a 2解 析 ： 二 次 函 数 y=-x2+2x的 对 称 轴
9、 为 直 线 x=1， -1 x a时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， a 1， -1 a 1.答 案 ： B.11.(3分 )如 图 ， 在 ABCD中 ， 点 E 是 AD 的 中 点 ， 延 长 BC到 点 F， 使 CF： BC=1： 2， 连 接DF， EC.若 AB=5， AD=8， sinB= ， 则 DF的 长 等 于 ( ) A.B.C.D.2解 析 ： 如 图 ， 在 ABCD中 ， B= D， AB=CD=5， AD BC， 且 AD=BC=8. E 是 AD 的 中 点 ， DE= AD.又 CF： BC=1： 2， DE=CF， 且 DE CF， 四 边
10、形 CFDE是 平 行 四 边 形 . CE=DF.过 点 C作 CH AD于 点 H. 又 sinB= ， sin CDH= = = ， CH=4.在 Rt CDH中 ， 由 勾 股 定 理 得 到 ： DH= =3， 则 EH=4-3=1， 在 Rt CEH中 ， 由 勾 股 定 理 得 到 ： EC= = = ， 则 DF=EC= .答 案 ： C.12.(3分 )已 知 点 A 在 双 曲 线 y=- 上 ， 点 B 在 直 线 y=x-4 上 ， 且 A， B 两 点 关 于 y 轴 对 称 .设 点 A的 坐 标 为 (m， n)， 则 + 的 值 是 ( )A.-10 B.-8C
11、.6D.4解 析 ： 点 A 的 坐 标 为 (m， n)， A、 B 两 点 关 于 y轴 对 称 ， B(-m， n)， 点 A在 双 曲 线 y=- 上 ， 点 B在 直 线 y=x-4上 ， n=- -m-4=n， 即 mn=-2， m+n=-4， 原 式 = = =-10.答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 ) 13.(3分 )比 较 大 小 ： -5 3(填 ， 或 =).解 析 ： -5是 负 数 ， 3 是 正 数 ； -5 3；答 案 ： .14.(3分 )如 图 ， 已 知 直 线 a b， 1=120
12、， 则 2的 度 数 是 .解 析 ： 1=120 ， 3=180 -120 =60 ， a b， 2= 3=60 ，答 案 ： 60.15.(3分 )分 解 因 式 ： 2a2-6a= .解 析 ： 2a2-6a=2a(a-3).答 案 ： 2a(a-3).16.(3分 )第 45届 世 界 体 操 锦 标 赛 将 于 2014年 10月 3 日 至 12日 在 南 宁 隆 重 举 行 ， 届 时 某校 将 从 小 记 者 团 内 负 责 体 育 赛 事 报 道 的 3 名 同 学 (2 男 1 女 )中 任 选 2 名 前 往 采 访 ， 那 么 选 出的 2 名 同 学 恰 好 是 一
13、男 一 女 的 概 率 是 .解 析 ： 列 表 得 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 6 种 ， 其 中 选 出 的 2 名 同 学 恰 好 是 一 男 一 女 的 情 况 有 4种 ， 则 P= = ，答 案 ：17.(3分 )如 图 ， 一 渔 船 由 西 往 东 航 行 ， 在 A点 测 得 海 岛 C位 于 北 偏 东 60 的 方 向 ， 前 进 20海 里 到 达 B点 ， 此 时 ， 测 得 海 岛 C位 于 北 偏 东 30 的 方 向 ， 则 海 岛 C 到 航 线 AB的 距 离 CD等 于 海 里 . 解 析 ： 根 据 题 意 可 知 CAD=30 ， CBD=
14、60 ， CBD= CAD+ ACB， CAD=30 = ACB， AB=BC=20海 里 ，在 Rt CBD中 ， BDC=90 ， DBC=60 ， sin DBC= ， sin60 = ， CD=12 sin60 =20 =10 海 里 ，答 案 ： 10 . 18.(3分 )如 图 ， ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AC=BC=a， 以 斜 边 AB 上 的 点 O 为 圆 心 的 圆 分 别 与AC， BC相 切 于 点 E， F， 与 AB 分 别 交 于 点 G， H， 且 EH的 延 长 线 和 CB的 延 长 线 交 于 点 D， 则CD的 长 为 .解 析 ：
15、如 图 ， 连 接 OE、 OF， 由 切 线 的 性 质 可 得 OE=OF= O 的 半 径 ， OEC= OFC= C=90 ， OECF是 正 方 形 ， 由 ABC的 面 积 可 知 AC BC= AC OE+ BC OF， OE=OF= a=EC=CF， BF=BC-CF=0.5a， GH=2OE=a， 由 切 割 线 定 理 可 得 BF2=BH BG， a2=BH(BH+a)， BH= a 或 BH= a(舍 去 )， OE DB， OE=OH， OEH BDH， = ， BH=BD， CD=BC+BD=a+ a= a.答 案 ： a. 三 、 解 答 题 ： (本 大 题 共
16、 2 小 题 ， 每 小 题 满 分 12分 ， 共 12分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果 运 算结 果 含 有 根 号 ， 请 保 留 根 号 .19.(6分 )计 算 ： (-1)2-4sin45 +|-3|+ .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 乘 方 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 二 次 根 式 化 简 四 个 考 点 .针 对 每 个考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =1-2 +3+2 =4.20.(6分 )解 方 程 ： - =1. 解 析 ： 分
17、式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 .答 案 ： 去 分 母 得 ： x(x+2)-2=x2-4，去 括 号 得 ： x2+2x-2=x2-4，解 得 ： x=-1，经 检 验 x=-1 是 分 式 方 程 的 解 .四 、 解 答 题 ： (本 大 题 共 2 小 题 ， 每 小 题 满 分 16分 ， 共 16分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果 运 算结 果 含 有 根 号 ， 请 保 留 根 号 .21.(8分 )如 图 ， ABC三 个 顶 点 的
18、坐 标 分 别 为 A(1， 1)， B(4， 2)， C(3， 4). (1)请 画 出 ABC向 左 平 移 5 个 单 位 长 度 后 得 到 的 A1B1C1；(2)请 画 出 ABC关 于 原 点 对 称 的 A2B2C2；(3)在 x 轴 上 求 作 一 点 P， 使 PAB的 周 长 最 小 ， 请 画 出 PAB， 并 直 接 写 出 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C 平 移 后 的 对 应 点 A1、 B1、 C1的 位 置 ， 然 后 顺 次 连 接即 可 ；(2)根 据 网 格 结 构 找 出 点 A、 B、 C 关
19、于 原 点 的 对 称 点 A2、 B2、 C2的 位 置 ， 然 后 顺 次 连 接 即 可 ；(3)找 出 点 A 关 于 x 轴 的 对 称 点 A ， 连 接 A B 与 x 轴 相 交 于 一 点 ， 根 据 轴 对 称 确 定 最 短 路线 问 题 ， 交 点 即 为 所 求 的 点 P 的 位 置 ， 然 后 连 接 AP、 BP并 根 据 图 象 写 出 点 P 的 坐 标 即 可 .答 案 ： (1) A 1B1C1如 图 所 示 ；(2) A2B2C2如 图 所 示 ；(3) PAB如 图 所 示 ， P(2， 0). 22.(8分 )考 试 前 ， 同 学 们 总 会 采
20、 用 各 种 方 式 缓 解 考 试 压 力 ， 以 最 佳 状 态 迎 接 考 试 .某 校 对 该校 九 年 级 的 部 分 同 学 做 了 一 次 内 容 为 “ 最 适 合 自 己 的 考 前 减 压 方 式 ” 的 调 查 活 动 ， 学 校 将 减压 方 式 分 为 五 类 ， 同 学 们 可 根 据 自 己 的 情 况 必 选 且 只 选 其 中 一 类 .学 校 收 集 整 理 数 据 后 ， 绘制 了 图 1 和 图 2两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 根 据 统 计 图 中 信 息 解 答 下 列 问 题 ：(1)这 次 抽 样 调 查 中 ， 一 共 抽 查 了
21、 多 少 名 学 生 ？(2)请 补 全 条 形 统 计 图 ；(3)请 计 算 扇 形 统 计 图 中 “ 享 受 美 食 ” 所 对 应 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 ；(4)根 据 调 查 结 果 ， 估 计 该 校 九 年 级 500名 学 生 中 采 用 “ 听 音 乐 ” 来 减 压 方 式 的 人 数 . 解 析 ： (1)利 用 “ 流 谈 心 ” 的 人 数 除 以 所 占 的 百 分 比 计 算 即 可 得 解 ；(2)用 总 人 数 乘 以 “ 体 育 活 动 ” 所 占 的 百 分 比 计 算 求 出 体 育 活 动 的 人 数 ， 然 后 补 全 统 计 图 即
22、可 ；(3)用 360 乘 以 “ 享 受 美 食 ” 所 占 的 百 分 比 计 算 即 可 得 解 ；(4)用 总 人 数 乘 以 “ 听 音 乐 ” 所 占 的 百 分 比 计 算 即 可 得 解 .答 案 ： (1)一 共 抽 查 的 学 生 ： 8 16%=50人 ；(2)参 加 “ 体 育 活 动 ” 的 人 数 为 ： 50 30%=15，补 全 统 计 图 如 图 所 示 ： (3)“ 享 受 美 食 ” 所 对 应 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 为 ： 360 =72 ；(4)该 校 九 年 级 500名 学 生 中 采 用 “ 听 音 乐 ” 来 减 压 方 式 的
23、人 数 为 ： 500 =120人 .五 、 解 答 题 ： (本 大 题 满 分 8 分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果 运 算 结 果 含 有 根 号 ， 请 保 留 根 号 .23.(8分 )如 图 ， AB FC， D 是 AB 上 一 点 ， DF交 AC 于 点 E， DE=FE， 分 别 延 长 FD和 CB交 于点 G. (1)求 证 ： ADE CFE；(2)若 GB=2， BC=4， BD=1， 求 AB 的 长 .解 析 ： (1)由 平 行 线 的 性 质 可 得 ： A= FCE， 再 根 据 对 顶 角 相 等 以 及 全 等 三 角 形 的 判 定 方
24、 法即 可 证 明 ： ADE CFE；(2)由 AB FC， 可 证 明 GBD FCF， 根 据 给 出 的 已 知 数 据 可 求 出 CF 的 长 ， 即 AD 的 长 ， 进而 可 求 出 AB 的 长 .答 案 ： (1) AB FC， A= FCE，在 ADE和 CFE中 ， ， ADE CFE(AAS)；(2) AB FC， GBD FCF， GB： GC=BD： CF， GB=2， BC=4， BD=1， 2： 6=1： CF， CF=3， AD=CF， AB=AD+BD=4. 六 、 解 答 题 ： (本 大 题 满 分 10分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果
25、运 算 结 果 含 有 根 号 ， 请 保 留 根 号 .24.(10分 )“ 保 护 好 环 境 ， 拒 绝 冒 黑 烟 ” .某 市 公 交 公 司 将 淘 汰 某 一 条 线 路 上 “ 冒 黑 烟 ” 较严 重 的 公 交 车 ， 计 划 购 买 A型 和 B 型 两 种 环 保 节 能 公 交 车 共 10 辆 ， 若 购 买 A 型 公 交 车 1 辆 ，B型 公 交 车 2 辆 ， 共 需 400万 元 ； 若 购 买 A 型 公 交 车 2辆 ， B型 公 交 车 1 辆 ， 共 需 350万 元 .(1)求 购 买 A 型 和 B 型 公 交 车 每 辆 各 需 多 少 万
26、元 ？(2)预 计 在 该 线 路 上 A 型 和 B 型 公 交 车 每 辆 年 均 载 客 量 分 别 为 60 万 人 次 和 100万 人 次 .若 该公 司 购 买 A型 和 B 型 公 交 车 的 总 费 用 不 超 过 1200万 元 ， 且 确 保 这 10 辆 公 交 车 在 该 线 路 的 年均 载 客 总 和 不 少 于 680万 人 次 ， 则 该 公 司 有 哪 几 种 购 车 方 案 ？ 哪 种 购 车 方 案 总 费 用 最 少 ？ 最少 总 费 用 是 多 少 ？解 析 ： (1)设 购 买 A 型 公 交 车 每 辆 需 x 万 元 ， 购 买 B 型 公 交
27、 车 每 辆 需 y 万 元 ， 根 据 “ A型 公交 车 1辆 ， B 型 公 交 车 2辆 ， 共 需 400万 元 ； A 型 公 交 车 2 辆 ， B 型 公 交 车 1辆 ， 共 需 350万 元 ” 列 出 方 程 组 解 决 问 题 ； (2)设 购 买 A 型 公 交 车 a 辆 ， 则 B 型 公 交 车 (10-a)辆 ， 由 “ 购 买 A 型 和 B 型 公 交 车 的 总 费 用不 超 过 1200万 元 ” 和 “ 10辆 公 交 车 在 该 线 路 的 年 均 载 客 总 和 不 少 于 680万 人 次 ” 列 出 不 等式 组 探 讨 得 出 答 案 即
28、可 .答 案 ： (1)设 购 买 A 型 公 交 车 每 辆 需 x 万 元 ， 购 买 B 型 公 交 车 每 辆 需 y 万 元 ， 由 题 意 得， 解 得答 ： 设 购 买 A 型 公 交 车 每 辆 需 100万 元 ， 购 买 B型 公 交 车 每 辆 需 150万 元 .(2)设 购 买 A 型 公 交 车 a 辆 ， 则 B 型 公 交 车 (10-a)辆 ，由 题 意 得 ， 解 得 ： 6 a 8， 所 以 a=6， 7， 8； 则 (10-a)=4， 3， 2；三 种 方 案 ： 购 买 A 型 公 交 车 6辆 ， 则 B型 公 交 车 4 辆 ： 100 6+150
29、 4=1200万 元 ； 购 买 A 型 公 交 车 7辆 ， 则 B型 公 交 车 3 辆 ： 100 7+150 3=1150万 元 ； 购 买 A 型 公 交 车 8辆 ， 则 B型 公 交 车 2 辆 ： 100 8+150 2=1100万 元 ；购 买 A 型 公 交 车 8 辆 ， 则 B 型 公 交 车 2 辆 费 用 最 少 ， 最 少 总 费 用 为 1100 万 元 .七 、 解 答 题 ： (本 大 题 满 分 10分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果 运 算 结 果 含 有 根 号 ， 请 保 留 根 号 .25.(10分 )如 图 1， 四 边 形 ABCD
30、是 正 方 形 ， 点 E是 边 BC上 一 点 ， 点 F在 射 线 CM上 ， AEF=90 ，AE=EF， 过 点 F 作 射 线 BC的 垂 线 ， 垂 足 为 H， 连 接 AC. (1)试 判 断 BE 与 FH 的 数 量 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(2)求 证 ： ACF=90 ；(3)连 接 AF， 过 A、 E、 F三 点 作 圆 ， 如 图 2， 若 EC=4， CEF=15 ， 求 的 长 .解 析 ： (1)利 用 ABE EHF求 证 BE=FH，(2)由 BE=FH， AB=EH， 推 出 CH=FH， 得 到 HCF=45 ， 由 四 边 形 ABCD是
31、 正 方 形 ， 所 以 ACB=45 ，得 出 ACF=90 ，(3)作 CP EF 于 P， 利 用 相 似 三 角 形 CPE FHE， 求 出 EF， 利 用 公 式 求 出 的 长 .答 案 ： (1)BE=FH.证 明 ： AEF=90 ， ABC=90 ， HEF+ AEB=90 ， BAE+ AEB=90 ， HEF= BAE， 在 ABE和 EHF中 ， ， ABE EHF(AAS) BE=FH.(2)由 (1)得 BE=FH， AB=EH， BC=AB， BE=CH， CH=FH， HCF=45 ， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ACB=45 ， ACF=180
32、 - HCF- ACB=90 .(3)由 (2)知 HCF=45 ， CF= FH. CFE= HCF- CEF=45 -15 =30 .如 图 2， 过 点 C作 CP EF于 P， 则 CP= CF= FH. CEP= FEH， CPE= FHE=90 ， CPE FHE. ， 即 ， EF=4 . AEF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AF=8.取 AF 中 点 O， 连 接 OE， 则 OE=OA=4， AOE=90 ， 的 弧 长 为 ： =2 .八 、 解 答 题 ： (本 大 题 满 分 10分 )要 求 写 出 解 答 过 程 .如 果 运 算 结 果 含 有 根 号 ，
33、请 保 留 根 号 .26.(10分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y=x 2+(k-1)x-k 与 直 线 y=kx+1交 于 A， B 两 点 ， 点A在 点 B 的 左 侧 . (1)如 图 1， 当 k=1时 ， 直 接 写 出 A， B两 点 的 坐 标 ；(2)在 (1)的 条 件 下 ， 点 P为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 且 在 直 线 AB下 方 ， 试 求 出 ABP面 积 的最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标 ；(3)如 图 2， 抛 物 线 y=x2+(k-1)x-k(k 0)与 x 轴 交 于 点 C、 D 两 点 (点
34、C在 点 D 的 左 侧 )， 在直 线 y=kx+1上 是 否 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 此 时 k 的 值 ； 若 不存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)当 k=1时 ， 联 立 抛 物 线 与 直 线 的 解 析 式 ， 解 方 程 求 得 点 A、 B的 坐 标 ；(2)如 答 图 2， 作 辅 助 线 ， 求 出 ABP 面 积 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 大 值 及点 P 的 坐 标 ；(3)“ 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ” 的 含 义
35、 是 ， 以 OC为 直 径 的 圆 与 直 线 AB相 切 于 点 Q，由 圆 周 角 定 理 可 知 ， 此 时 OQC=90 且 点 Q 为 唯 一 .以 此 为 基 础 ， 构 造 相 似 三 角 形 ， 利 用 比例 式 列 出 方 程 ， 求 得 k 的 值 .答 案 ： (1)当 k=1时 ， 抛 物 线 解 析 式 为 y=x 2-1， 直 线 解 析 式 为 y=x+1.联 立 两 个 解 析 式 ， 得 ： x2-1=x+1， 解 得 ： x=-1或 x=2，当 x=-1时 ， y=x+1=0； 当 x=2时 ， y=x+1=3， A(-1， 0)， B(2， 3). (2
36、)设 P(x， x2-1).如 答 图 2 所 示 ， 过 点 P 作 PF y 轴 ， 交 直 线 AB 于 点 F， 则 F(x， x+1). PF=y F-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.S ABP=S PFA+S PFB= PF(xF-xA)+ PF(xB-xF)= PF(xB-xA)= PF S ABP= (-x2+x+2)=- (x- )2+当 x= 时 ， yP=x2-1=- . ABP 面 积 最 大 值 为 ， 此 时 点 P 坐 标 为 ( ， - ).(3)设 直 线 AB： y=kx+1与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 E、 F， 则 E(-
37、， 0)， F(0， 1)， OE= ， OF=1.在 Rt EOF中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： EF= = . 令 y=x2+(k-1)x-k=0， 即 (x+k)(x-1)=0， 解 得 ： x=-k或 x=1. C(-k， 0)， OC=k.假 设 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ， 如 答 图 3 所 示 ，则 以 OC为 直 径 的 圆 与 直 线 AB相 切 于 点 Q， 根 据 圆 周 角 定 理 ， 此 时 OQC=90 . 设 点 N为 OC中 点 ， 连 接 NQ， 则 NQ EF， NQ=CN=ON= . EN=OE-ON= - . NEQ= FEO， EQN= EOF=90 ， EQN EOF， ， 即 ： ， 解 得 ： k= ， k 0， k= . 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ， 此 时 k= .
