1、2013年 广 西 省 梧 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 )1.(3分 )|6|=( )A. 6B. 7C. 8D. 10解 析 ： |6|=6.答 案 ： A. 2.(3分 )化 简 ： a+a=( )A. 2B. a2C. 2a2D. 2a解 析 ： 原 式 =2a.答 案 ： D.3.(3分 )sin30 =( )A. 0B. 1C. D.解 析 ： sin30 = .答 案 ： C.4.(3分 )如 图 ， 直 线 AB CD， AB、 CD与 直 线 BE分 别 交 与 点 B、 E， B=7
2、0 ， BED=( ) A. 110B. 50C. 60D. 70解 析 ： AB CD， BED= B=70 . 答 案 ： D.5.(3分 )如 图 ， ABC以 点 O 为 旋 转 中 心 ， 旋 转 180 后 得 到 A B C .ED是 ABC的 中位 线 ， 经 旋 转 后 为 线 段 E D .已 知 BC=4， 则 E D =( )A. 2B. 3C. 4 D. 1.5解 析 ： ABC以 点 O 为 旋 转 中 心 ， 旋 转 180 后 得 到 A B C ， ABC A B C ， B C =BC=4， D E 是 A B C 的 中 位 线 ， D E = B C =
3、 4=2.答 案 ： A.6.(3分 )如 图 ， 由 四 个 正 方 体 组 成 的 图 形 ， 观 察 这 个 图 形 ， 不 能 得 到 的 平 面 图 形 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 该 图 形 的 主 视 图 为 ： ， 俯 视 图 为 ： ， 左 视 图 为 ： ， A、 该 图 形 为 原 图 形 的 主 视 图 ， 本 选 项 正 确 ；B、 该 图 形 为 原 图 形 的 俯 视 图 ， 本 选 项 正 确 ；C、 该 图 形 为 原 图 形 的 左 视 图 ， 本 选 项 正 确 ；D、 观 察 原 图 形 ， 不 能 得 到 此 平 面 图 形 ， 故 本
4、选 项 错 误 ；答 案 ： D.7.(3分 )如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， 已 知 A=60 ， AB=5， 则 ABD的 周 长 是 ( )A. 10 B. 12C. 15D. 20解 析 ： 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， AB=AD，又 A=60 ， ABD是 等 边 三 角 形 ， ABD的 周 长 =3AB=15.答 案 ： C.8.(3分 )下 列 各 组 线 段 的 长 为 边 ， 能 组 成 三 角 形 的 是 ( )A. 2cm， 3cm， 4cmB. 2cm， 3cm， 5cmC. 2cm， 5cm， 10cmD. 8cm， 4cm， 4cm解 析 ： 根
5、据 三 角 形 任 意 两 边 的 和 大 于 第 三 边 ， 可 知 A、 2+3 4， 能 组 成 三 角 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 2+3=5， 不 能 组 成 三 角 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 2+5 10， 不 能 够 组 成 三 角 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 4+4=8， 不 能 组 成 三 角 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： A.9.(3分 )如 图 ， 把 矩 形 ABCD沿 直 线 EF折 叠 ， 若 1=20 ， 则 2=( )A.80 B.70C.40D.20解 析 ： 过 G点 作 GH AD， 如 图 ， 2=
6、4， 矩 形 ABCD沿 直 线 EF 折 叠 ， 3+ 4= B=90 ， AD BC， HG BC， 1= 3=20 ， 4=90 -20 =70 ， 2=70 .答 案 ： B.10.(3分 )小 李 是 9 人 队 伍 中 的 一 员 ， 他 们 随 机 排 成 一 列 队 伍 ， 从 1开 始 按 顺 序 报 数 ， 小 李报 到 偶 数 的 概 率 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 小 李 是 9 人 队 伍 中 的 一 员 ， 他 们 随 机 排 成 一 列 队 伍 ， 从 1开 始 按 顺 序 报 数 ， 偶 数 一 共 有 4个 ， 小 李 报 到 偶 数 的 概 率
7、是 ： .答 案 ： ： B.11.(3分 )如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， AB 垂 直 于 弦 CD， BOC=70 ， 则 ABD=( ) A. 20B. 46C. 55D. 70解 析 ： 连 接 BC， OC=OB， OBC= OCB= = =55 ， AB CD， = ， ABD= OBC=55 .答 案 ： C.12.(3分 )父 子 两 人 沿 周 长 为 a的 圆 周 骑 自 行 车 匀 速 行 驶 .同 向 行 驶 时 父 亲 不 时 超 过 儿 子 ， 而反 向 行 驶 时 相 遇 的 频 率 增 大 为 11 倍 .已 知 儿 子 的 速 度 为 v， 则 父
8、亲 的 速 度 为 ( )A. 1.1vB. 1.2vC. 1.3vD. 1.4v解 析 ： 设 父 亲 的 速 度 为 x， 根 据 题 意 得 出 ： = ， 解 得 ： x=1.2V. 答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )13.(3分 )计 算 ： 0-7= .解 析 ： 0-7=-7；答 案 ： -7.14.(3分 )若 反 比 例 函 数 的 图 象 经 过 点 (2， 4)， 则 k的 值 为 .解 析 ： 点 (2， 4)在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， 4= ， 即 k=8.答 案 ： 8.
9、 15.(3分 )若 一 个 三 角 形 的 各 边 长 扩 大 为 原 来 的 5倍 ， 则 此 三 角 形 的 周 长 扩 大 为 原 来 的倍 .解 析 ： 一 个 三 角 形 的 各 边 长 扩 大 为 原 来 的 5 倍 ， 扩 大 后 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 ， 相 似 三 角 形 的 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ， 这 个 三 角 形 的 周 长 扩 大 为 原 来 的 5倍 ，答 案 ： 5.16.(3分 )分 解 因 式 ： ax2-9a= .解 析 ： ax 2-9a=a(x2-9)=a(x+3)(x-3).答 案 ： a(x+3)(x-3).1
10、7.(3分 )若 一 条 直 线 经 过 点 (-1， 1)和 点 (1， 5)， 则 这 条 直 线 与 x轴 的 交 点 坐 标 为 .解 析 ： 设 经 过 点 (-1， 1)和 点 (1， 5)的 直 线 方 程 为 y=kx+b(k 0)，则 ， 解 得 ， ， 所 以 该 直 线 方 程 为 y=2x+3.令 y=0， 则 x=- ， 故 这 条 直 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (- ， 0). 答 案 ： (- ， 0).18.(3分 )如 图 ， AC BC， AC=BC=4， 以 AC 为 直 径 作 半 圆 ， 圆 心 为 点 O； 以 点 C 为 圆 心 ，
11、BC为 半 径 作 .过 点 O 作 BC 的 平 行 线 交 两 弧 于 点 D、 E， 则 阴 影 部 分 的 面 积 是 .解 析 ： 如 图 ， 连 接 CE. AC BC， AC=BC=4， 以 AC 为 直 径 作 半 圆 ， 圆 心 为 点 O； 以 点 C 为 圆 心 ， BC为 半 径 作 ， ACB=90 ， OA=OC=OD=2， BC=CE=4.又 OE BC， AOE= COE=90 . 在 直 角 OEC中 ， OC= CE， OEC=30 ， OE=2 . ECB= OEC=30 ， S 阴 影 =S 扇 形 ACB-S 扇 形 AOD-S 扇 形ECB-S OC
12、E= - - - 2 2 = -2 .答 案 ： -2 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 分 ， 满 分 66分 .) 19.(6分 )解 方 程 ： .解 析 ： 方 程 去 括 号 ， 移 项 合 并 ， 将 x 系 数 化 为 1， 即 可 求 出 解 .答 案 ： 方 程 去 括 号 得 ： 3x+2=8+x，移 项 合 并 得 ： 2x=6，解 得 ： x=3.20.(6分 )如 图 ， 已 知 ： AB CD， BE AD， 垂 足 为 点 E， CF AD， 垂 足 为 点 F， 并 且 AE=DF.求 证 ： 四 边 形 BECF 是 平 行 四 边 形 . 解 析
13、： 通 过 全 等 三 角 形 ( AEB DFC)的 对 应 边 相 等 证 得 BE=CF， 由 “ 在 同 一 平 面 内 ， 同 垂直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行 ” 证 得 BE CF.则 四 边 形 BECF是 平 行 四 边 形 .答 案 ： BE AD， CF AD， AEB= DFC=90 ， AB CD， A= D，在 AEB与 DFC中 ， ， AEB DFC(ASA)， BE=CF. BE AD， CF AD， BE CF. 四 边 形 BECF是 平 行 四 边 形 .21.(6分 )某 校 为 了 招 聘 一 名 优 秀 教 师 ，
14、对 入 选 的 三 名 候 选 人 进 行 教 学 技 能 与 专 业 知 识 两 种考 核 ， 现 将 甲 、 乙 、 丙 三 人 的 考 核 成 绩 统 计 如 下 ： (1)如 果 校 方 认 为 教 师 的 教 学 技 能 水 平 与 专 业 知 识 水 平 同 等 重 要 ， 则 候 选 人 甲 将 被 录 取 .(2)如 果 校 方 认 为 教 师 的 教 学 技 能 水 平 比 专 业 知 识 水 平 重 要 ， 因 此 分 别 赋 予 它 们 6 和 4 的 权 .计 算 他 们 赋 权 后 各 自 的 平 均 成 绩 ， 并 说 明 谁 将 被 录 取 .解 析 ： (1)根
15、 据 平 均 数 的 计 算 公 式 分 别 计 算 出 甲 、 乙 、 丙 的 平 均 数 ， 再 进 行 比 较 ， 即 可 得 出答 案 ；(2)根 据 题 意 先 算 出 按 6 和 4 的 甲 、 乙 、 丙 的 平 均 数 ， 再 进 行 比 较 ， 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)甲 的 平 均 数 是 ： (85+92) 2=88.5(分 )，乙 的 平 均 数 是 ： (91+85) 2=88(分 )，丙 的 平 均 数 是 ： (80+90) 2=85(分 )， 甲 的 平 均 成 绩 最 高 ， 候 选 人 甲 将 被 录 取 .故 答 案 为 ： 甲 .(2
16、)根 据 题 意 得 ：甲 的 平 均 成 绩 为 ： (85 6+92 4) 10=87.8(分 )， 乙 的 平 均 成 绩 为 ： (91 6+85 4) 10=88.6(分 )，丙 的 平 均 成 绩 为 ： (80 6+90 4) 10=84(分 )，因 为 乙 的 平 均 分 数 最 高 ， 所 以 乙 将 被 录 取 .22.(8分 )某 工 厂 现 在 平 均 每 天 比 原 计 划 多 生 产 50台 机 器 ， 现 在 生 产 600 台 机 器 所 需 要 的 时间 与 原 计 划 生 产 450台 机 器 所 需 要 的 时 间 相 同 ， 现 在 平 均 每 天 生
17、产 多 少 台 机 器 ？ 解 析 ： 本 题 考 查 列 分 式 方 程 解 实 际 问 题 的 能 力 ， 因 为 现 在 生 产 600台 机 器 的 时 间 与 原 计 划 生产 450台 机 器 的 时 间 相 同 .所 以 可 得 等 量 关 系 为 ： 现 在 生 产 600台 机 器 时 间 =原 计 划 生 产 450台 时 间 .答 案 ： 设 ： 现 在 平 均 每 天 生 产 x 台 机 器 ， 则 原 计 划 可 生 产 (x-50)台 .依 题 意 得 ： .(4分 )解 得 ： x=200.检 验 ： 当 x=200时 ， x(x-50) 0. x=200 是 原
18、 分 式 方 程 的 解 .答 ： 现 在 平 均 每 天 生 产 200 台 机 器 .(8分 )23.(8分 )海 上 有 一 小 岛 ， 为 了 测 量 小 岛 两 端 A、 B 的 距 离 ， 测 量 人 员 设 计 了 一 种 测 量 方 法 ，如 图 所 示 ， 已 知 B 点 是 CD的 中 点 ， E是 BA延 长 线 上 的 一 点 ， 测 得 AE=8.3 海 里 ， DE=30 海 里 ，且 DE EC， cos D= . (1)求 小 岛 两 端 A、 B的 距 离 ；(2)过 点 C 作 CF AB交 AB的 延 长 线 于 点 F， 求 sin BCF的 值 .解
19、析 ： (1)在 Rt CED中 ， 利 用 三 角 函 数 求 出 CE， CD的 长 ， 根 据 中 点 的 定 义 求 得 BE 的 长 ，AB=BE-AE即 可 求 解 ；(2)设 BF=x海 里 .在 Rt CFB中 ， 利 用 勾 股 定 理 求 得 CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.在 Rt CFE中 ， 列 出 关 于 x 的 方 程 ， 求 得 x 的 值 ， 从 而 求 得 sin BCF 的 值 .答 案 ： (1)在 Rt CED中 ， CED=90 ， DE=30 海 里 ， cos D= ， CE=40(海 里 )， CD=50(海 里 ). B
20、点 是 CD的 中 点 ， BE= CD=25(海 里 ) AB=BE-AE=25-8.3=16.7(海 里 ).答 ： 小 岛 两 端 A、 B 的 距 离 为 16.7海 里 .(2)设 BF=x海 里 .在 Rt CFB 中 ， CFB=90 ， CF 2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.在 Rt CFE中 ， CFE=90 ， CF2+EF2=CE2， 即 625-x2+(25+x)2=1600.解 得 x=7. sin BCF= .24.(10分 )我 市 某 商 场 有 甲 、 乙 两 种 商 品 ， 甲 种 每 件 进 价 15元 ， 售 价 20 元 ； 乙 种 每
21、 件 进 价35元 ， 售 价 45元 .(1)若 商 家 同 时 购 进 甲 、 乙 两 种 商 品 100件 ， 设 甲 商 品 购 进 x 件 ， 售 完 此 两 种 商 品 总 利 润 为 y 元 .写 出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 . (2)该 商 家 计 划 最 多 投 入 3000元 用 于 购 进 此 两 种 商 品 共 100件 ， 则 至 少 要 购 进 多 少 件 甲 种 商品 ？ 若 售 完 这 些 商 品 ， 商 家 可 获 得 的 最 大 利 润 是 多 少 元 ？(3)“ 五 一 ” 期 间 ， 商 家 对 甲 、 乙 两 种 商 品 进 行 表 中 的
22、 优 惠 活 动 ， 小 王 到 该 商 场 一 次 性 付款 324元 购 买 此 类 商 品 ， 商 家 可 获 得 的 最 小 利 润 和 最 大 利 润 各 是 多 少 ？解 析 ： (1)根 据 利 润 =甲 种 商 品 的 利 润 +乙 种 商 品 的 利 润 就 可 以 得 出 结 论 ；(2)根 据 “ 商 家 计 划 最 多 投 入 3000元 用 于 购 进 此 两 种 商 品 共 100件 ” 列 出 不 等 式 ， 解 不 等 式求 出 其 解 ， 再 根 据 一 次 函 数 的 性 质 ， 求 出 商 家 可 获 得 的 最 大 利 润 ；(3)设 小 王 到 该 商
23、 场 购 买 甲 种 商 品 m 件 ， 购 买 乙 种 商 品 n 件 .分 两 种 情 况 讨 论 ： 打 折 前 一 次性 购 物 总 金 额 不 超 过 400； 打 折 前 一 次 性 购 物 总 金 额 超 过 400.答 案 ： (1)设 甲 商 品 购 进 x 件 ， 则 乙 商 品 购 进 (100-x)件 ，由 题 意 ， 得 y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+1000，故 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y=-5x+1000；(2)由 题 意 ， 得 15x+35(100-x) 3000， 解 之 ， 得 x 25. y=-5
24、x+1000， k=-5 0， y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x取 最 小 值 25 时 ， y最 大 值 ， 此 时 y=-5 25+1000=875(元 )， 至 少 要 购 进 25件 甲 种 商 品 ； 若 售 完 这 些 商 品 ， 商 家 可 获 得 的 最 大 利 润 是 875 元 ；(3)设 小 王 到 该 商 场 购 买 甲 种 商 品 m 件 ， 购 买 乙 种 商 品 n 件 . 当 打 折 前 一 次 性 购 物 总 金 额 不 超 过 400时 ， 购 物 总 金 额 为 324 0.9=360(元 )，则 20m+45n=360， m=18- n 0，
25、0 n 8. n 是 4 的 倍 数 ， n=4， m=9.此 时 的 利 润 为 ： 324-(15 9+35 4)=49(元 )； 当 打 折 前 一 次 性 购 物 总 金 额 超 过 400时 ， 购 物 总 金 额 为 324 0.8=405(元 )，则 20m+45n=405， m= 0， 0 n 9. m、 n均 是 正 整 数 ， m=9， n=5 或 m=18， n=1.当 m=9， n=5的 利 润 为 ： 324-(9 15+5 35)=14(元 )； 当 m=18， n=1的 利 润 为 ： 324-(18 15+1 35)=19(元 ).综 上 所 述 ， 商 家 可
26、 获 得 的 最 小 利 润 是 14 元 ， 最 大 利 润 是 49 元 .25.(10分 )已 知 ， 点 C 在 以 AB为 直 径 的 半 圆 上 ， CAB的 平 分 线 AD交 BC 于 点 D， O 经 过A、 D 两 点 ， 且 圆 心 O在 AB上 .(1)求 证 ： BD是 O 的 切 线 .(2)若 ， ， 求 O的 面 积 .解 析 ： (1)连 接 OD， 求 出 CAD= OAD= ADO， 推 出 OD AC， 推 出 OD CB， 根 据 切 线 判 定 推出 即 可 ；(2)根 据 勾 股 定 理 求 出 AC= ， AB=4 .设 O 的 半 径 为 r，
27、 证 BOD BAC， 得 出 ，代 入 求 出 r 即 可 . 答 案 ： (1)连 接 OD. AB 为 直 径 ， ACB=90 ， OA=OD， ODA= OAD， AD 平 分 CAB， OAD= CAD， ODA= CAD， OD AC， ODB= ACB=90 ， BD是 O 的 切 线 .(2) ， AB=4AC， BC2=AB2-AC2， 15AC2=80， AC= ， AB=4 .设 O的 半 径 为 r， OD AC， BOD BAC， ， 解 得 ： r= r2= ( )2= ， O 的 面 积 为 .26.(12分 )如 图 ， 抛 物 线 y=a(x-h)2+k 经
28、 过 点 A(0， 1)， 且 顶 点 坐 标 为 B(1， 2)， 它 的 对 称 轴与 x 轴 交 于 点 C. (1)求 此 抛 物 线 的 解 析 式 .(2)在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 求 点 P， 使 得 ACP是 以 AC 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 请 求 出 此 时 点P的 坐 标 .(3)上 述 点 是 否 是 第 一 象 限 内 此 抛 物 线 上 与 AC 距 离 最 远 的 点 ？ 若 是 ， 请 说 明 理 由 ； 若 不 是 ，请 求 出 第 一 象 限 内 此 抛 物 线 上 与 AC距 离 最 远 的 点 的 坐 标 .解 析 ： (1
29、)由 抛 物 线 y=a(x-h)2+k 的 顶 点 坐 标 是 B(1， 2)知 ： h=1， k=2， 则 y=a(x-1)2+2， 再把 A 点 坐 标 代 入 此 解 析 式 即 可 ；(2)易 知 OAC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 可 得 AC的 垂 直 平 分 线 是 直 线 y=x， 根 据 “ 线 段 垂 直 平 分线 上 的 点 到 线 段 两 个 端 点 的 距 离 相 等 ” 知 直 线 y=x与 抛 物 线 的 交 点 即 为 点 P， 解 方 程 组 即 可求 出 P点 坐 标 ； (3)先 求 出 第 一 象 限 内 此 抛 物 线 上 与 AC距 离 最
30、远 的 点 的 坐 标 ， 再 与 P点 的 坐 标 比 较 进 行 判 断 .满 足 条 件 的 点 一 定 是 与 直 线 AC 平 行 且 与 抛 物 线 有 唯 一 交 点 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 产 生 的 ， 易求 出 直 线 AC 的 解 析 式 ， 设 出 与 AC平 行 的 直 线 的 解 析 式 ， 令 它 与 抛 物 线 的 解 析 式 组 成 的 方 程组 有 唯 一 解 ， 求 出 交 点 坐 标 ， 通 过 判 断 它 与 点 P 是 否 重 合 来 判 断 点 P 是 否 是 第 一 象 限 内 此 抛物 线 上 与 AC 距 离 最 远 的 点 .答
31、 案 ： (1) 抛 物 线 y=a(x-h)2+k 顶 点 坐 标 为 B(1， 2)， y=a(x-1)2+2， 抛 物 线 经 过 点 A(0， 1)， a(0-1)2+2=1， a=-1， 此 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-(x-1) 2+2或 y=-x2+2x+1；(2) A(0， 1)， C(1， 0)， OA=OC， OAC是 等 腰 直 角 三 角 形 .过 点 O作 AC的 垂 线 l， 根 据 等 腰 三 角 形 的 “ 三 线 合 一 ” 的 性 质 知 ： l 是 AC 的 中 垂 线 ， l 与 抛 物 线 的 交 点 即 为 点 P.如 图 ， 直 线 l
32、的 解 析 式 为 y=x，解 方 程 组 ， 得 ， (不 合 题 意 舍 去 )， 点 P的 坐 标 为 ( ， )；(3)点 P 不 是 第 一 象 限 内 此 抛 物 线 上 与 AC 距 离 最 远 的 点 . 由 (1)知 ， 点 C 的 坐 标 为 (1， 0).设 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 则 ， 解 得 ， 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=-x+1.设 与 AC平 行 的 直 线 的 解 析 式 为 y=-x+m.解 方 程 组 ，代 入 消 元 ， 得 -x 2+2x+1=-x+m， 此 点 与 AC距 离 最 远 ， 直 线 y=-x+m与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交 点 ，即 方 程 -x2+2x+1=-x+m有 两 个 相 等 的 实 数 根 .整 理 方 程 得 ： x2-3x+m-1=0， =9-4(m-1)=0， 解 之 得 m= .则 x2-3x+ -1=0， 解 之 得 x1=x2= ， 此 时 y= . 第 一 象 限 内 此 抛 物 线 上 与 AC距 离 最 远 的 点 的 坐 标 为 ( ， ).
