1、2013年 山 东 省 东 营 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 正 确 的 ， 请 把 正确 的 选 项 选 出 来 .每 小 题 选 对 得 3 分 ， 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 均 记 零 分 .1.（ 3分 ） 的 算 术 平 方 根 是 （ ）A. 4B.4C. 2D.2解 析 ： =4， 4 的 算 术 平 方 根 是 2， 的 算 术 平 方 根 是 2； 答 案 ： D.2.（ 3分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （
2、）A.a3 a2=aB.a2a3=a6C.（ a3） 2=a6D.（ 3a） 3=9a3解 析 ： A、 不 是 同 类 项 ， 不 能 合 并 ， 选 项 错 误 ；B、 a 2a3=a5， 选 项 错 误 ；C、 正 确 ；D、 （ 3a） 3=27a3， 选 项 错 误 .答 案 ： C.3.（ 3分 ） 国 家 卫 生 和 计 划 生 育 委 员 会 公 布 H7N9禽 流 感 病 毒 直 径 约 为 0.0000001m， 则 病 毒直 径 0.0000001m用 科 学 记 数 法 表 示 为 （ ） （ 保 留 两 位 有 效 数 字 ） .A.0.10 10 6mB.1 10
3、7mC.1.0 10 7mD.0.1 10 6m解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值是 易 错 点 ， 由 于 0.0000001中 1的 前 面 有 7个 0， 所 以 可 以 确 定 n= 7.有 效 数 字 的 计 算 方 法是 ： 从 左 边 第 一 个 不 是 0 的 数 字 起 ， 后 面 所 有 的 数 字 都 是 有 效 数 字 .用 科 学 记 数 法 表 示 的 数的 有 效 数 字 只 与 前 面 的 a 有 关 ， 与 10的 多 少 次 方 无 关 .答 案
4、： C.4.（ 3 分 ） 如 图 ， 已 知 AB CD， AD和 BC相 交 于 点 O， A=50 ， AOB=105 ， 则 C 等 于（ ） A.20B.25C.35D.45解 析 ： A=50 ， AOB=105 ， B=180 A AOB=25 ， AB CD， C= B=25 ，答 案 ： B.5.（ 3 分 ） 将 等 腰 直 角 三 角 形 AOB按 如 图 所 示 放 置 ， 然 后 绕 点 O逆 时 针 旋 转 90 至 A OB的 位 置 ， 点 B 的 横 坐 标 为 2， 则 点 A 的 坐 标 为 （ ） A.（ 1， 1）B.（ ）C.（ 1， 1）D.（ ）
5、解 析 ： 如 图 ， 过 点 A 作 AC OB 于 C， 过 点 A 作 A C OB 于 C ， AOB是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 点 B的 横 坐 标 为 2， OC=AC= 2=1， A OB 是 AOB绕 点 O 逆 时 针 旋 转 90 得 到 ， OC =OC=1， A C =AC=1， 点 A 的 坐 标 为 （ 1， 1） . 答 案 ： C.6.（ 3分 ） 若 定 义 ： f（ a， b） =（ a， b） ， g（ m， n） =（ m， n） ， 例 如 f（ 1， 2） =（ 1，2） ， g（ 4， 5） =（ 4， 5） ， 则 g（ f（ 2， 3）
6、 ） =（ ）A.（ 2， 3）B.（ 2， 3）C.（ 2， 3） D.（ 2， 3）解 析 ： 根 据 定 义 ， f（ 2， 3） =（ 2， 3） ，所 以 ， g（ f（ 2， 3） ） =g（ 2， 3） =（ 2， 3） .答 案 ： B.7.（ 3分 ） 已 知 O1的 半 径 r1=2， O2的 半 径 r2是 方 程 的 根 ， O1与 O2的 圆 心 距为 1， 那 么 两 圆 的 位 置 关 系 为 （ ）A.内 含B.内 切C.相 交D.外 切 解 析 ： 解 方 程 得 ： x=3 r1=2， O1与 O2的 圆 心 距 为 1， 3 2=1 两 圆 内 切 ，答
7、案 ： B8.（ 3 分 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD中 ， 分 别 以 B、 D 为 圆 心 ， 以 正 方 形 的 边 长 a为 半 径 画 弧 ， 形成 树 叶 形 （ 阴 影 部 分 ） 图 案 ， 则 树 叶 形 图 案 的 周 长 为 （ ） A. aB.2 aC.D.3a解 析 ： 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 a 正 方 形 ， B= D=90 ， AB=CB=AD=CD=a， 树 叶 形 图 案 的 周 长 = 2= a.答 案 ： A.9.（ 3分 ） 2013年 “ 五 一 ” 期 间 ， 小 明 与 小 亮 两 家 准 备 从 东 营 港 、 黄 河 入
8、 海 口 、 龙 悦 湖 中选 择 一 景 点 游 玩 ， 小 明 与 小 亮 通 过 抽 签 方 式 确 定 景 点 ， 则 两 家 抽 到 同 一 景 点 的 概 率 是 （ ） A. B.C.D.解 析 ： 用 A、 B、 C 表 示 ： 东 营 港 、 黄 河 入 海 口 、 龙 悦 湖 ；画 树 状 图 得 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， 则 两 家 抽 到 同 一 景 点 的 有 3 种 情 况 ， 则 两 家 抽 到 同 一 景 点 的 概 率 是 ： = .答 案 ： A.10.（ 3 分 ） 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 两 条 边 长 分 别 是
9、6 和 8， 另 一 个 与 它 相 似 的 直 角 三 角 形 边长 分 别 是 3和 4及 x， 那 么 x的 值 （ ）A.只 有 1 个B.可 以 有 2 个C.有 2 个 以 上 ， 但 有 限D.有 无 数 个解 析 ： 根 据 题 意 ， 两 条 边 长 分 别 是 6 和 8 的 直 角 三 角 形 有 两 种 可 能 ， 一 种 是 6 和 8 为 直 角 边 ，那 么 根 据 勾 股 定 理 可 知 斜 边 为 10； 另 一 种 可 能 是 6是 直 角 边 ， 而 8 是 斜 边 ， 那 么 根 据 勾 股 定 理 可 知 另 一 条 直 角 边 为 .所 以 另 一
10、个 与 它 相 似 的 直 角 三 角 形 也 有 两 种 可 能 ，第 一 种 是 ， 解 得 x=5；第 二 种 是 ， 解 得 x= .所 以 可 以 有 2 个 .答 案 ： B.11.（ 3分 ） 要 组 织 一 次 篮 球 联 赛 ， 赛 制 为 单 循 环 形 式 （ 每 两 队 之 间 都 赛 一 场 ） ， 计 划 安 排 21场 比 赛 ， 则 参 赛 球 队 的 个 数 是 （ ）A.5个B.6个C.7个 D.8个解 析 ： 设 有 x 个 队 ， 每 个 队 都 要 赛 （ x 1） 场 ， 但 两 队 之 间 只 有 一 场 比 赛 ，x（ x 1） 2=21，解 得
11、 x=7或 6（ 舍 去 ） .故 应 邀 请 7个 球 队 参 加 比 赛 . 答 案 ： C.12.（ 3分 ） 如 图 ， E、 F 分 别 是 正 方 形 ABCD的 边 CD、 AD 上 的 点 ， 且 CE=DF， AE、 BF 相 交 于点 O， 下 列 结 论 ：（ 1） AE=BF； （ 2） AE BF； （ 3） AO=OE； （ 4） S AOB=S 四 边 形 DEOF中 正 确 的 有 （ ）A.4个 B.3个C.2个D.1个解 析 ： 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， AB=AD=DC， BAD= D=90 ，而 CE=DF， AF=DE，在 ABF和 DA
12、E中， ABF DAE， AE=BF， 所 以 （ 1） 正 确 ； ABF= EAD，而 EAD+ EAB=90 ， ABF+ EAB=90 ， AOB=90 ， AE BF， 所 以 （ 2） 正 确 ；连 结 BE， BE BC， BA BE，而 BO AE， OA OE， 所 以 （ 3） 错 误 ； ABF DAE， S ABF=S DAE， S ABF S AOF=S DAE S AOF， S AOB=S 四 边 形 DEOF， 所 以 （ 4） 正 确 . 答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 20分 ， 只 要 求 填 写 最 后 结 果
13、， 每 小 题 填 对 得 4 分 .13.（ 4分 ） 分 解 因 式 ： 2a2 8b2= .解 析 ： 2a2 8b2，=2（ a2 4b2） ，=2（ a+2b） （ a 2b） .答 案 ： 2（ a 2b） （ a+2b）14.（ 4分 ） 一 组 数 据 1， 3， 2， 5， 2， a 的 众 数 是 a， 这 组 数 据 的 中 位 数 是 .解 析 ： 1， 3， 2， 5， 2， a的 众 数 是 a， a=2，将 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 1， 2， 2， 2， 3， 5， 中 位 数 为 ： 2.答 案 ： 2.15.（ 4分 ） 某 校 研 究 性 学
14、 习 小 组 测 量 学 校 旗 杆 AB的 高 度 ， 如 图 在 教 学 楼 一 楼 C 处 测 得 旗 杆顶 部 的 仰 角 为 60 ， 在 教 学 楼 三 楼 D 处 测 得 旗 杆 顶 部 的 仰 角 为 30 ， 旗 杆 底 部 与 教 学 楼 一楼 在 同 一 水 平 线 上 ， 已 知 每 层 楼 的 高 度 为 3米 ， 则 旗 杆 AB的 高 度 为 米 . 解 析 ： 过 点 D 作 DE AB， 垂 足 为 E， 由 题 意 可 知 ， 四 边 形 ACDE 为 矩 形 ，则 AE=CD=6米 ， AC=DE.设 BE=x米 .在 Rt BDE中 ， BED=90 ，
15、 BDE=30 ， DE= BE= x米 ， AC=DE= x米 . 在 Rt ABC中 ， BAC=90 ， ACB=60 ， AB= AC= x=3x米 ， AB BE=AE， 3x x=6， x=3，AB=3 3=9（ 米 ） .即 旗 杆 AB 的 高 度 为 9 米 .故 答 案 为 9. 16.（ 4分 ） 如 图 ， 圆 柱 形 容 器 中 ， 高 为 1.2m， 底 面 周 长 为 1m， 在 容 器 内 壁 离 容 器 底 部 0.3m的 点 B处 有 一 蚊 子 ， 此 时 一 只 壁 虎 正 好 在 容 器 外 壁 ， 离 容 器 上 沿 0.3m 与 蚊 子 相 对 的
16、 点 A 处 ，则 壁 虎 捕 捉 蚊 子 的 最 短 距 离 为 m（ 容 器 厚 度 忽 略 不 计 ） .解 析 ： 如 图 ， 高 为 1.2m， 底 面 周 长 为 1m， 在 容 器 内 壁 离 容 器 底 部 0.3m的 点 B 处 有 一 蚊 子 ，此 时 一 只 壁 虎 正 好 在 容 器 外 壁 ， 离 容 器 上 沿 0.3m与 蚊 子 相 对 的 点 A 处 ， A D=0.5m， BD=1.2m， 将 容 器 侧 面 展 开 ， 作 A关 于 EF 的 对 称 点 A ，连 接 A B， 则 A B即 为 最 短 距 离 ，A B=1.3（ m） . 答 案 ： 1.
17、3.17.（ 4分 ） 如 图 ， 已 知 直 线 l： y= x， 过 点 A（ 0， 1） 作 y轴 的 垂 线 交 直 线 l于 点 B， 过点 B 作 直 线 l 的 垂 线 交 y轴 于 点 A1； 过 点 A1作 y 轴 的 垂 线 交 直 线 l 于 点 B1， 过 点 B1作 直 线 l的 垂 线 交 y轴 于 点 A2； 按 此 作 法 继 续 下 去 ， 则 点 A2013的 坐 标 为 . 解 析 ： 直 线 l 的 解 析 式 为 ： y= x， l 与 x 轴 的 夹 角 为 30 ， AB x 轴 ， ABO=30 ， OA=1， AB= ， A 1B l， ABA
18、1=60 ， AA1=3， A1（ 0， 4） ，同 理 可 得 A2（ 0， 16） ， ， A2013纵 坐 标 为 ： 42013， A 2013（ 0， 42013） .答 案 ： （ 0， 42013） 或 （ 0， 24026）三 、 答 案 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 64分 .答 案 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步骤 . 18.（ 7分 ） （ 1） 计 算 ： .（ 2） 先 化 简 再 计 算 ： ， 再 选 取 一 个 你 喜 欢 的 数 代 入 求 值 .解 析 ： （ 1） 原 式 第 一 项 利 用 负 指
19、 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 三 项利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 化 简 ， 第 四 项 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 最 后 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 ；（ 2） 原 式 第 一 项 约 分 后 ， 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 得 到 最 简 结 果 ， 将 a=0代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： （ 1） 原 式 = +1 2 2 （ 1 3 ） = +1 2 1+3 = ； （ 2）
20、 原 式 = =1 = ，当 a=0时 ， 原 式 =1.19.（ 8分 ） 东 营 市 “ 创 建 文 明 城 市 ” 活 动 如 火 如 荼 的 展 开 .某 中 学 为 了 搞 好 “ 创 城 ” 活 动 的宣 传 ， 校 学 生 会 就 本 校 学 生 对 东 营 “ 市 情 市 况 ” 的 了 解 程 度 进 行 了 一 次 调 查 测 试 .经 过 对 测试 成 绩 的 解 析 ， 得 到 如 图 所 示 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 （ A： 59分 及 以 下 ； B： 60 69 分 ； C：70 79分 ； D： 80 89 分 ； E： 90 100分 ） .请
21、 你 根 据 图 中 提 供 的 信 息 答 案 以 下 问 题 ： （ 1） 求 该 校 共 有 多 少 名 学 生 ；（ 2） 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；（ 3） 在 扇 形 统 计 图 中 ， 计 算 出 “ 60 69分 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 ；（ 4） 从 该 校 中 任 选 一 名 学 生 ， 其 测 试 成 绩 为 “ 90 100分 ” 的 概 率 是 多 少 ？解 析 ： （ 1） 根 据 扇 形 图 可 得 70 79 分 的 学 生 占 总 体 的 30%， 由 条 形 图 可 得 70 79 分 的 学 生有 300人 ，
22、利 用 总 数 =频 数 所 占 百 分 比 进 行 计 算 即 可 ；（ 2） 首 先 计 算 出 59分 及 以 下 、 80 89分 的 学 生 人 数 ， 再 补 图 ；（ 3） 首 先 计 算 出 60 69分 部 分 的 学 生 所 占 百 分 比 ， 再 利 用 360 百 分 比 即 可 ；（ 4） 成 绩 为 “ 90 100分 ” 的 学 生 有 50人 ， 用 50： 总 人 数 1000即 可 .答 案 ： （ 1） 该 学 校 的 学 生 人 数 是 ： 300 30%=1000（ 人 ） . （ 2） 1000 10%=100（ 人 ） ，1000 35%=350（
23、 人 ） ，条 形 统 计 图 如 图 所 示 .（ 3） 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 60 69分 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 的 度 数 是 ： 360 （ 100%）=72 ；（ 4） 从 该 校 中 任 选 一 名 学 生 ， 其 测 试 成 绩 为 “ 90 100分 ” 的 概 率 是 ： = . 20.（ 8分 ） 如 图 ， AB为 O 的 直 径 ， 点 C 为 O上 一 点 ， 若 BAC= CAM， 过 点 C 作 直 线 l垂 直 于 射 线 AM， 垂 足 为 点 D.（ 1） 试 判 断 CD与 O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；
24、（ 2） 若 直 线 l 与 AB的 延 长 线 相 交 于 点 E， O 的 半 径 为 3， 并 且 CAB=30 ， 求 CE的 长 . 解 析 ： （ 1） 连 接 OC， 根 据 OA=OC， 推 出 BAC= OCA， 求 出 OCA= CAM， 推 出 OC AM，求 出 OC CD， 根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 ；（ 2） 根 据 OC=OA 推 出 BAC= ACO， 求 出 COE=2 CAB=60 ， 在 Rt COE中 ， 根 据CE=OCtan60 求 出 即 可 .答 案 ： （ 1） 直 线 CD 与 O相 切 .理 由 如 下 ： 连 接 OC.
25、 OA=OC， BAC= OCA， BAC= CAM， OCA= CAM， OC AM， CD AM， OC CD， OC 为 半 径 ， 直 线 CD 与 O相 切 .（ 2） OC=OA， BAC= ACO， CAB=30 ， COE=2 CAB=60 ， 在 Rt COE中 ， OC=3， CE=OCtan60 = . 21.（ 9分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=nx+2（ n 0） 的 图 象 与 反 比 例 函 数在 第 一 象 限 内 的 图 象 交 于 点 A， 与 x轴 交 于 点 B， 线 段 OA=5， C 为 x 轴 正 半
26、轴 上 一 点 ， 且 sin AOC= .（ 1） 求 一 次 函 数 和 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 求 AOB的 面 积 . 解 析 ： （ 1） 过 A 点 作 AD x 轴 于 点 D， 根 据 已 知 的 AOC的 正 弦 值 以 及 OA的 长 ， 利 用 三角 形 函 数 的 定 义 求 出 AD 的 长 ， 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 OD的 长 ， 即 可 得 到 点 A 的 坐 标 ， 把 点 A的 坐 标 分 别 代 入 到 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 中 即 可 确 定 出 两 函 数 的 解 析 式 ；（ 2）
27、 根 据 x 轴 上 点 的 特 征 ， 令 一 次 函 数 的 y=0， 求 出 x的 值 ， 确 定 出 点 B的 坐 标 ， 得 到 线段 OB的 长 ， 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 求 出 三 角 形 AOB的 面 积 . 答 案 ： （ 1） 过 A 点 作 AD x 轴 于 点 D， sin AOC= = ， OA=5， AD=4，在 Rt AOD中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： DO=3， 点 A在 第 一 象 限 ， 点 A的 坐 标 为 （ 3， 4） ，将 A 的 坐 标 为 （ 3， 4） 代 入 y= ， 得 4= ， m=12， 该 反 比 例
28、函 数 的 解 析 式 为 y= ， 将 A 的 坐 标 为 （ 3， 4） 代 入 y=nx+2得 ： n= ， 一 次 函 数 的 解 析 式 是 y= x+2；（ 2） 在 y= x+2中 ， 令 y=0， 即 x+2=0， x= 3， 点 B的 坐 标 是 （ 3， 0） OB=3， 又 AD=4， S AOB= OBAD= 3 4=6，则 AOB的 面 积 为 6. 22.（ 10 分 ） 在 东 营 市 中 小 学 标 准 化 建 设 工 程 中 ， 某 学 校 计 划 购 进 一 批 电 脑 和 电 子 白 板 ， 经过 市 场 考 察 得 知 ， 购 买 1 台 电 脑 和 2
29、台 电 子 白 板 需 要 3.5万 元 ， 购 买 2 台 电 脑 和 1 台 电 子 白板 需 要 2.5万 元 .（ 1） 求 每 台 电 脑 、 每 台 电 子 白 板 各 多 少 万 元 ？（ 2） 根 据 学 校 实 际 ， 需 购 进 电 脑 和 电 子 白 板 共 30台 ， 总 费 用 不 超 过 30万 元 ， 但 不 低 于 28万 元 ， 请 你 通 过 计 算 求 出 有 几 种 购 买 方 案 ， 哪 种 方 案 费 用 最 低 . 解 析 ： （ 1） 先 设 每 台 电 脑 x 万 元 ， 每 台 电 子 白 板 y 万 元 ， 根 据 购 买 1 台 电 脑
30、和 2 台 电 子白 板 需 要 3.5万 元 ， 购 买 2 台 电 脑 和 1台 电 子 白 板 需 要 2.5万 元 列 出 方 程 组 ， 求 出 x， y 的值 即 可 ；（ 2） 先 设 需 购 进 电 脑 a 台 ， 则 购 进 电 子 白 板 （ 30 a） 台 ， 根 据 需 购 进 电 脑 和 电 子 白 板 共30台 ， 总 费 用 不 超 过 30万 元 ， 但 不 低 于 28万 元 列 出 不 等 式 组 ， 求 出 a 的 取 值 范 围 ， 再 根据 a 只 能 取 整 数 ， 得 出 购 买 方 案 ， 再 根 据 每 台 电 脑 的 价 格 和 每 台 电
31、子 白 板 的 价 格 ， 算 出 总 费用 ， 再 进 行 比 较 ， 即 可 得 出 最 省 钱 的 方 案 .答 案 ： 解 ： （ 1） 设 每 台 电 脑 x 万 元 ， 每 台 电 子 白 板 y 万 元 ， 根 据 题 意 得 ：，解 得 ： ，答 ： 每 台 电 脑 0.5万 元 ， 每 台 电 子 白 板 1.5万 元 ； （ 2） 设 需 购 进 电 脑 a 台 ， 则 购 进 电 子 白 板 （ 30 a） 台 ， 根 据 题 意 得 ：，解 得 ： 15 a 17， a 只 能 取 整 数 ， a=15， 16， 17， 有 三 种 购 买 方 案 ，方 案 1： 需
32、购 进 电 脑 15 台 ， 则 购 进 电 子 白 板 15台 ，方 案 2： 需 购 进 电 脑 16 台 ， 则 购 进 电 子 白 板 14台 ，方 案 3： 需 购 进 电 脑 17 台 ， 则 购 进 电 子 白 板 13台 ，方 案 1： 15 0.5+1.5 15=30（ 万 元 ） ，方 案 2： 16 0.5+1.5 14=29（ 万 元 ） ， 方 案 3： 17 0.5+1.5 13=28（ 万 元 ） ， 28 29 30， 选 择 方 案 3 最 省 钱 ， 即 购 买 电 脑 17台 ， 电 子 白 板 13 台 最 省 钱 .23.（ 10分 ） （ 1） 如
33、图 （ 1） ， 已 知 ： 在 ABC中 ， BAC=90 ， AB=AC， 直 线 m经 过 点 A， BD直 线 m， CE 直 线 m， 垂 足 分 别 为 点 D、 E.证 明 ： DE=BD+CE.（ 2） 如 图 （ 2） ， 将 （ 1） 中 的 条 件 改 为 ： 在 ABC中 ， AB=AC， D、 A、 E三 点 都 在 直 线 m 上 ，并 且 有 BDA= AEC= BAC= ， 其 中 为 任 意 锐 角 或 钝 角 .请 问 结 论 DE=BD+CE 是 否 成 立 ？ 如成 立 ， 请 你 给 出 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 .（ 3）
34、拓 展 与 应 用 ： 如 图 （ 3） ， D、 E 是 D、 A、 E三 点 所 在 直 线 m 上 的 两 动 点 （ D、 A、 E 三 点互 不 重 合 ） ， 点 F为 BAC平 分 线 上 的 一 点 ， 且 ABF和 ACF均 为 等 边 三 角 形 ， 连 接 BD、 CE，若 BDA= AEC= BAC， 试 判 断 DEF的 形 状 . 解 析 ： （ 1） 根 据 BD 直 线 m， CE 直 线 m 得 BDA= CEA=90 ， 而 BAC=90 ， 根 据 等角 的 余 角 相 等 得 CAE= ABD， 然 后 根 据 “ AAS” 可 判 断 ADB CEA，
35、则 AE=BD， AD=CE， 于 是 DE=AE+AD=BD+CE；（ 2） 与 （ 1） 的 证 明 方 法 一 样 ；（ 3） 与 前 面 的 结 论 得 到 ADB CEA， 则 BD=AE， DBA= CAE， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 ABF= CAF=60 ， 则 DBA+ ABF= CAE+ CAF， 则 DBF= FAE，利 用 “ SAS” 可 判 断 DBF EAF， 所 以 DF=EF， BFD= AFE， 于 是 DFE= DFA+ AFE= DFA+ BFD=60 ， 根 据 等 边 三 角 形 的 判 定 方 法 可 得 到 DEF 为 等 边
36、三角 形 .答 案 ： （ 1） BD 直 线 m， CE 直 线 m， BDA= CEA=90 ， BAC=90 ， BAD+ CAE=90 ， BAD+ ABD=90 ， CAE= ABD， 在 ADB和 CEA 中， ADB CEA（ AAS） ， AE=BD， AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（ 2） 成 立 . BDA= BAC= ， DBA+ BAD= BAD+ CAE=180 ， CAE= ABD， 在 ADB和 CEA 中， ADB CEA（ AAS） ， AE=BD， AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（ 3） DEF是 等 边 三 角 形 .由 （ 2
37、） 知 ， ADB CEA， BD=AE， DBA= CAE， ABF和 ACF均 为 等 边 三 角 形 ， ABF= CAF=60 ， DBA+ ABF= CAE+ CAF， DBF= FAE， BF=AF在 DBF和 EAF中， DBF EAF（ SAS） ， DF=EF， BFD= AFE， DFE= DFA+ AFE= DFA+ BFD=60 ， DEF为 等 边 三 角 形 .24.（ 12分 ） 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 顶 点 A（ 2， 0） ， 与 y 轴 的 交 点 为 B（ 0， 1） .（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2） 在 对
38、称 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 找 出 一 点 C， 使 以 BC为 直 径 的 圆 经 过 抛 物 线 的 顶 点 A.并 求 出点 C 的 坐 标 以 及 此 时 圆 的 圆 心 P 点 的 坐 标 .（ 3） 在 （ 2） 的 基 础 上 ， 设 直 线 x=t（ 0 t 10） 与 抛 物 线 交 于 点 N， 当 t为 何 值 时 ， BCN的 面 积 最 大 ， 并 求 出 最 大 值 . 解 析 ： （ 1） 利 用 顶 点 式 写 出 二 次 函 数 解 析 式 ， 进 而 得 出 a 的 值 ， 得 出 解 析 式 即 可 ；（ 2） 首 先 得 出 AOB CDA， 进
39、 而 得 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 ， 即 可 得 出 点 C 的 坐 标 ， 根据 PH= （ OB+CD） 求 出 P点 坐 标 即 可 ；（ 3） 首 先 设 点 N 的 坐 标 为 （ t， t2+t 1） ， 得 出 ，求 出 直 线 BC 的 解 析 式 ， 进 而 表 示 出 M 点 坐 标 ， 即 可 得 出 BCN与 t 的 函 数 关 系 式 ， 求 出 最值 即 可 .答 案 ： （ 1） 抛 物 线 的 顶 点 是 A（ 2， 0） ，设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a（ x 2） 2.由 抛 物 线 过 B（ 0， 1） 得 ： 4a= 1，
40、 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 .即 .（ 2） 如 图 1， 设 C 的 坐 标 为 （ x， y） . A 在 以 BC为 直 径 的 圆 上 . BAC=90 .作 CD x 轴 于 D， 连 接 AB、 AC. OAB+ DAC=90 ， OAB+ ABO=90 ， ABO= CAD， BOA= ADC=90 ， AOB CDA， OBCD=OAAD.即 1|y|=2（ x 2） . |y|=2x 4. 点 C在 第 四 象 限 . y= 2x+4，由 ，解 得 ， . 点 C在 对 称 轴 右 侧 的 抛 物 线 上 . 点 C的 坐 标 为 （ 10， 16） ， P 为 圆
41、 心 ， P 为 BC 中 点 .取 OD 中 点 H， 连 PH， 则 PH 为 梯 形 OBCD的 中 位 线 . PH= （ OB+CD） = . D（ 10， 0） H（ 5， 0） P （ 5， ） .故 点 P坐 标 为 （ 5， ） . （ 3） 如 图 2， 设 点 N的 坐 标 为 （ t， t2+t 1） ， 直 线 x=t（ 0 t 10） 与 直 线 BC交 于 点M. ， ， 所 以 ，设 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 直 线 BC经 过 B（ 0， 1） 、 C （ 10， 16） ，所 以 成 立 ，解 得 ： ，所 以 直 线 BC的 解 析 式 为 ， 则 点 M 的 坐 标 为 （ t， t 1） ，MN= = ， ，= ，所 以 ， 当 t=5时 ， S BCN有 最 大 值 ， 最 大 值 是 .
