1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 天 津 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 ,共 40分 )1.已 知 全 集 1,2,3,4,5,6U = ,集 合 2,3,5A= ,集 合 1,3,4,6B = ,则 集 合A UB =（ ） ( )A. 3B. 2,5C. 1,4,6D. 2,3,5解 析 ： 2,3,5A= , 2,5UB= ,则 A 2,5UB =（ ） ,故 选 B. 2.设 变 量 ,yx 满 足 约 束 条 件 2 02 02 8 0 xx yx y - - + - ,则 目 标 函 数 3 yz x= + 的 最
2、 大 值 为 ( )A.7B.8C.9D.14解 析 ： 取 得 最 大 值 9.故 选 C.3.阅 读 下 边 的 程 序 框 图 ,运 行 相 应 的 程 序 ,则 输 出 i 的 值 为 ( ) A.2B.3 C.4D.5解 析 ： 由 程 序 框 图 可 知 ： 2, 8; 3,S 5; 4, 1.i S i i S 故 选 C.4.设 x R ,则 “ 1 2x ” 是 “ | 2| 1x- ” 的 ( )A. 充 分 而 不 必 要 条 件B. 必 要 而 不 充 分 条 件C. 充 要 条 件D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 2 1 1 2 1 1 3x
3、 x x ,可 知 “ 1 2x ” 是 “ | 2| 1x- 的 一 个 焦 点 为 (2,0)F ,且 双 曲 线 的 渐 近 线 与 圆( )2 22 y 3x- + = 相 切 ,则 双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 19 13x y- =B. 2 2 113 9x y- =C. 2 2 13x y- = D. 22 13yx - =解 析 ： 由 双 曲 线 的 渐 近 线 0bx ay 与 圆 2 22 3x y 相 切 得 2 22 3ba b ， 由2 2 2c a b ， 解 得 a=1， b= 3.故 选 D.6. 如 图 ,在 圆 O中 ,M,N 是 弦 A
4、B的 三 等 分 点 ,弦 CD,CE分 别 经 过 点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则 线 段 NE 的 长 为 ( ) A. 83B.3C. 103D. 52解 析 ： 由 相 交 弦 定 理 可 1 8,3 3CM MDCM MD CN NE AB AB NE CN 故选 A.7. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 | |( ) 2 1( )x mf x m-= - 为 实 数 为 偶 函 数 ,记 0.5(log 3),a f= 2b (log 5),c (2 )f f m= = ,则 , ,a b c,的 大 小 关 系 为 ( )A. b ca B. bc a
5、C. ba c D. bc a ,函 数 ( ) 3 (2 )g x f x= - - ,则 函 数 y ( ) ( )f x g x= - 的零 点 的 个 数 为 ( ) A.2B.3C.4D.5解 析 ： 当 x 0 时 22f x x ， 此 时 方 程 21f x g x x x 的 小 于 零 的 零 点 为1 52x ； 当 0 x 2时 ， 2 2 2f x x x ， 方 程 2 2f x g x x x 无 零 点 ； 当 x 2 时 ， 2 2 2 4f x x x ， 方 程 2 21 2 7 3 3f x g x x x x x 大 于 2的 零 点 有 一 个 .故
6、 选 A.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 30分 .9. i 是 虚 数 单 位 ,计 算 1 2i2 i 的 结 果 为 解 析 ： 2 i i 21 2i i 2i i2 i 2 i 2 i .10. 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： m),则 该 几 何 体 的 体 积 为 3m . 解 析 ： 该 几 何 体 是 由 两 个 高 为 1 的 圆 锥 与 一 个 高 为 2圆 柱 组 合 而 成 ,所 以 该 几 何 体 的 体 积 为31 82 1 2 (m )3 3 .答 案 ： 8311. 已 知 函 数
7、 ln , 0,f x ax x x ,其 中 a 为 实 数 , f x 为 f x 的 导 函 数 ,若 1 3f ,则 a 的 值 为 解 析 ： 因 为 1 lnf x a x ,所 以 1 3f a . 12. 已 知 0, 0, 8,a b ab 则 当 a 的 值 为 时 2 2log log 2a b 取 得 最 大 值 .解 析 ： 2 22 22 2 2 2log log 2 1 1log log 2 log 2 log 16 4,2 4 4a ba b ab 当2a b 时 取 等 号 ,结 合 0, 0, 8,a b ab 可 得 4, 2.a b 13. 在 等 腰
8、梯 形 ABCD中 ,已 知 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC 点 E和 点 F分 别 在 线 段 BC和 CD 上 ,且 2 1, ,3 6BE BC DF DC 则 AE AF 的 值 为 解 析 ： 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 ,由 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC 得12AD BC , 1AB AD , 12DC AB ,所 以 AE AF AB BE AD DF 22 1 2 1 1 1 1 1 2913 12 3 12 18 3 3 18 18AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB 答 案 ： 2918 1
9、4. 已 知 函 数 sin cos 0 , ,f x x x x R 若 函 数 f x 在 区 间 , 内 单调 递 增 ,且 函 数 f x 的 图 像 关 于 直 线 x 对 称 ,则 的 值 为 解 析 ： 由 f x 在 区 间 , 内 单 调 递 增 ,且 f x 的 图 像 关 于 直 线 x 对 称 ,可 得2 ,且 2 2 2 sin cos 2 sin 14f ,所 以 2 .4 2 2 答 案 ： 2三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ,共 80 分 .15.设 甲 、 乙 、 丙 三 个 乒 乓 球 协 会 的 运 动 员 人 数 分 别 为 27,9,
10、18,先 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 这三 个 协 会 中 抽 取 6 名 运 动 员 参 加 比 赛 .(1)求 应 从 这 三 个 协 会 中 分 别 抽 取 的 运 动 员 人 数 ；(2)将 抽 取 的 6名 运 动 员 进 行 编 号 ,编 号 分 别 为 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A ,从 这 6 名 运 动 员 中 随 机抽 取 2名 参 加 双 打 比 赛 . 用 所 给 编 号 列 出 所 有 可 能 的 结 果 ； 设 A为 事 件 “ 编 号 为 5 6,A A 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 ” ,求
11、 事 件 A 发 生 的 概 率 . 解 析 ： (1)应 从 甲 、 乙 、 丙 这 三 个 协 会 中 分 别 抽 取 的 运 动 员 人 数 分 别 为 3,1,2；(2) 从 这 6 名 运 动 员 中 随 机 抽 取 2 名 参 加 双 打 比 赛 ,所 有 可 能 的 结 果 为 1 2,A A , 1 3,A A , 1 4,A A , 1 5,A A , 1 6,A A , 2 3,A A , 2 4,A A , 2 5,A A , 2 6,A A , 3 4,A A , 3 5,A A , 3 6,A A , 4 5,A A , 4 6,A A , 5 6,A A ,共 15
12、种 . 编 号 为 5 6,A A 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 1 5,A A , 1 6,A A , 2 5,A A , 2 6,A A , 3 5,A A , 3 6,A A , 4 5,A A , 4 6,A A , 5 6,A A ,共 9 种 ,所 以 事 件A发 生 的 概 率 9 3.15 5P A 答 案 ： (1)由 分 层 抽 样 方 法 可 知 应 从 甲 、 乙 、 丙 这 三 个 协 会 中 分 别 抽 取 的 运 动 员 人 数 分 别 为3,1,2；(2) 一 一 列 举 ,共 15种 ； 符 合 条 件 的 结 果 有
13、 9 种 ,所 以 9 3.15 5P A . 16. ABC中 ,内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,已 知 ABC的 面 积 为3 15, 12,cos ,4b c A (1)求 a 和 sinC的 值 ；(2)求 cos 2 6A 的 值 .解 析 ： (1)由 面 积 公 式 可 得 bc=24， 结 合 b-c=2， 可 求 得 解 得 b=6， c=4.再 由 余 弦 定 理 求 得 a=8.最 后 由 正 弦 定 理 求 sinC 的 值 .(2)直 接 展 开 求 值 .答 案 ： (1) ABC中 ， 由 cosA= 14 ， 得 sinA= 154 ，
14、 由 12 bcsinA=3 5， 得 bc=24.又 由 b-c=2， 解 得 b=6， c=4.由 2 2 2 2 cosa b c ab A ， 可 得 a=8.sin sina cA C ， 得 sinC= 158 .(2) 23 15 7 3cos 2 cos2 cos sin2 sin 2cos 1 sin cos6 6 6 2 16A A A A A A 17.如 图 ,已 知 1AA 平 面 ABC, 1 1/ ,BB AA AB=AC=3, 12 5, 7BC AA , 1 2 7,BB 点 E,F分 别 是 BC, 1AC 的 中 点 . (1)求 证 ： EF/平 面 1
15、 1ABBA.(2)求 证 ： 平 面 1AEA 平 面 1BCB .(3)求 直 线 1 1AB 与 平 面 1BCB 所 成 角 的 大 小 .解 析 ： (1)要 证 明 EF/平 面 1 1ABBA, 只 需 证 明 1/EF BA 且 EF 平 面 1 1ABBA.(2)要 证 明 平 面 1AEA 平 面 1BCB ,可 证 明 AE BC , 1BB AE .(3)取 1BC 中 点 N,连 接 1AN ,则 1 1AB N 就 是 直 线 1 1AB 与 平 面 1BCB 所 成 角 ,Rt 1 1ANB 中 ,由 11 1 1 1sin ,2ANAB N AB 得 直 线 1
16、 1AB 与 平 面 1BCB 所 成 角 为 30.答 案 ： (1)证 明 ： 如 图 , 连 接 1AB,在 1ABC中 ,因 为 E和 F分 别 是 BC, 1AC 的 中 点 ,所 以 1/EF BA , 又 因 为 EF 平 面 1 1ABBA,所 以 EF/平 面 1 1ABBA.(2)因 为 AB=AC,E 为 BC 中 点 ,所 以 AE BC ,因 为 1AA 平 面 ABC, 1 1/ ,BB AA所 以 1BB 平 面 ABC,从 而 1BB AE ,又 1BC BB B ,所 以 AE 平 面 1BCB ,又 因 为 AE 平 面 1AEA ,所 以 平 面 1AEA
17、 平 面 1BCB . (3)取 1BB 中 点 M 和 1BC中 点 N， 连 接 1AM ， 1AN .因 为 N 和 E 分 别 为 1BC， BC中 点 ，所 以 NE/ 1BB ， NE= 112BB .故 NE/ 1AA ， NE= 1AA ，所 以 1AN /AE， 1AN =AE.又 因 为 AE 平 面 1BCB ，所 以 1AN 平 面 1BCB ， 从 而 1 1AB N 就 是 直 线 1 1AB 与 平 面 1BCB 所 成 角 . 在 ABC中 ， 可 得 AE=2， 所 以 1AN =AE=2 .因 为 BM/ 1AA ， BM= 1AA ，所 以 1AM /AB
18、， 1AM =AB，又 由 AB 1BB ， 有 1AM 1BB .在 Rt 1 1AMB 中 ， 可 得 1 1AB =4 .在 Rt 1 1ANB 中 ， sin 1 1AB N = 11 1=2ANAB ， 因 此 1 1AB N =3 0 ， 所 以 直 线 1 1AB 与 平 面 1BCB 所 成 角 为 3 0 .18.已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , nb 是 等 差 数 列 ,且 1 1 2 3 31, 2a b b b a= = + = , 5 23 7a b- = .(1)求 na 和 nb 的 通 项 公 式 .(2)设 *,n n nc
19、a b n N= ,求 数 列 nc 的 前 n 项 和 .解 析 ： (1)列 出 关 于 q 与 d 的 方 程 组 ,通 过 解 方 程 组 求 出 q,d,即 可 确 定 通 项 .(2)用 错 位 相 减 法 求 和 .答 案 ： (1)设 na 的 公 比 为 q, nb 的 公 差 为 d,由 题 意 0q ,由 已 知 ,有 242 3 2,3 10,q dq d 消去 d 得 4 22 8 0,q q 解 得 2, 2q d ,所 以 na 的 通 项 公 式 为 12 ,nna n N , nb 的 通 项 公 式 为 2 1,nb n n N .(2)由 (1)有 12
20、1 2nnc n ,设 nc 的 前 n项 和 为 nS ,则 0 1 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nnS n 1 2 32 1 2 3 2 5 2 2 1 2 ,nnS n 两 式 相 减 得 2 31 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3,n n nnS n n 所 以 2 3 2 3nnS n . 19. 已 知 椭 圆 2 22 2 1(a b 0)x ya b+ = 的 上 顶 点 为 B,左 焦 点 为 F ,离 心 率 为 55 ,(1)求 直 线 BF 的 斜 率 .(2)设 直 线 BF 与 椭 圆 交 于 点 P(P 异 于 点 B),故 点 B 且 垂
21、直 于 BF的 直 线 与 椭 圆 交 于 点 Q(Q 异于 点 B)直 线 PQ与 x轴 交 于 点 M,| |= | |PM MQl . 求 l 的 值 . 若 7 5| |sin = 9PM BQP ,求 椭 圆 的 方 程 .解 析 ： (1)先 由 55ca 及 2 2 2,a b c 得 5 , 2a c b c ,直 线 BF的 斜 率 0 20b bk c c .(2)先 把 直 线 BF,BQ 的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ,求 出 点 P,Q 横 坐 标 ,可 得 PMMQ 7.8M P PQ M Qx x xx x x 先 由 7 5| |sin = 9PM B
22、QP 得=| |sinBP PQ BQP =15 5 5| |sin7 3PM BQP = ,由 此 求 出 c=1,故 椭 圆 方 程 为2 2 1.5 4x y 答 案 ： (1) ,0F c ,由 已 知 55ca 及 2 2 2,a b c 可 得 5 , 2a c b c ,又 因 为 0,B b ,故 直 线 BF的 斜 率 0 20b bk c c .(2)设 点 , , , , ,P P Q Q M MP x y Q x y M x y , 由 (1)可 得 椭 圆 方 程 为 2 22 2 1,5 4x yc c 直线 BF 的 方 程 为 2 2y x c ,两 方 程 联
23、 立 消 去 y 得 23 5 0,x cx 解 得 53P cx .因 为BQ BP ,所 以 直 线 BQ方 程 为 1 22y x c ,与 椭 圆 方 程 联 立 消 去 y 得221 40 0 x cx ,解 得 4021Q cx .又 因 为 PMMQ ,及 0Mx 得7.8M P P Q M Qx x xx x x 由 得 78PMMQ ,所 以 7 77 8 15PMPM MQ ,即 157PQ PM ,又 因 为7 5| |sin = 9PM BQP ,所 以 =| |sinBP PQ BQP =15 5 5| |sin7 3PM BQP = .又 因 为 42 2 3P P
24、y x c c , 所 以 2 25 4 5 50 23 3 3c cBP c c ,因 此5 5 5 5, 1,3 3c c 所 以 椭 圆 方 程 为 2 2 1.5 4x y 20.已 知 函 数 4( ) 4 , ,f x x x x R= - (1)求 ( )f x 的 单 调 性 . (2)设 曲 线 ( )y f x= 与 x轴 正 半 轴 的 交 点 为 P,曲 线 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 ( )y g x= ,求 证 ：对 于 任 意 的 正 实 数 x,都 有 ( ) ( )f x g x .(3)若 方 程 ( )= ( )f x a a为 实 数 有 两
25、 个 正 实 数 根 1 2x x， ， 且 1 2x x ,求 证 ： 132 1- 43ax x - + .解 析 ： (1)由 34 4f x x ， 可 得 f x 的 单 调 递 增 区 间 是 1， ， 单 调 递 减 区 间 是 1, + .(2) 0 0g x f x x x , F x f x g x ， 证 明 F x 在 0,x 单 调 递 增 ,在 0,x 单 调 递 减 ， 所 以 对 任 意 的 实 数 x, 0 0F x F x ,对 于 任 意 的 正 实 数 x,都 有( ) ( )f x g x .(3)设 方 程 g x a 的 根 为 2x ， 可 得
26、132 412ax .由 g x 在 ， 单 调 递 减 ， 得 2 2 2g x f x a g x ， 所 以 2 2x x .设 曲 线 y f x 在 原 点 处 的 切 线 为 y h x ， 方 程 h x a 的 根 为 1x， 可 得 1 4ax ，由 4h x x 在 ， 单 调 递 增 且 1 1 1h x a f x h x ， 可 得 1 1x x ， 所 以 132 1 2 1 43ax x x x .答 案 ： (1)由 4( ) 4f x x x= - ,可 得 3( ) 4 4f x x = - ,当 0f x ,即 1x 时 ,函 数 f x单 调 递 增 ；
27、 当 0f x ,即 1x 时 ,函 数 f x 单 调 递 减 .所 以 函 数 f x 的 单 调 递 增区 间 是 ,1 ,单 调 递 减 区 间 是 1, .(2)设 0,0P x ,则 130 4x , 0 12,f x 曲 线 y f x 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 0 0y f x x x ,即 0 0g x f x x x ,令 F x f x g x 即 0F x f x f x x x 则 0F x f x f x . 由 于 3( ) 4 4f x x= - 在 , 单 调 递 减 ,故 F x 在 , 单 调 递 减 ,又 因 为 0 0F x ,所 以 当
28、 0,x x 时 , 0F x ,所 以 当 0,x x 时 , 0F x ,所 以 F x 在 0,x 单 调 递 增 ,在 0,x 单 调 递 减 ,所 以 对 任 意 的 实 数x, 0 0F x F x ,对 于 任 意 的 正 实 数 x,都 有 ( ) ( )f x g x .(3)由 (2)知 1312 4g x x ， 设 方 程 g x a 的 根 为 2x ， 可 得 132 412ax .因 为 g x 在 ， 单 调 递 减 ， 又 由 (2)知 2 2 2g x f x a g x ，所 以 2 2x x .类 似 的 设 曲 线 y f x 在 原 点 处 的 切 线 为 y h x ， 可 得 4h x x ， 对 任 意 的 x ， ， 有 4 0f x h x x 即 f x h x .设 方 程 h x a 的 根 为 1x， 可 得 1 4ax ，因 为 4h x x 在 ， 单 调 递 增 且 1 1 1h x a f x h x ， 因 此 ， 1 1x x ，所 以 132 1 2 1 43ax x x x .
