1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 山 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题1.(5分 )复 数 z满 足 (z-3)(2-i)=5(i 为 虚 数 单 位 )， 则 z 的 共 轭 复 数 为 ( )A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i解 析 ： (z-3)(2-i)=5， z-3= =2+i z=5+i， =5-i.答 案 ： D. 2.(5分 )已 知 集 合 A=0， 1， 2， 则 集 合 B=x-y|x A， y A中 元 素 的 个 数 是 ( )A.1B.3C.5D.9解 析 ： A=0， 1， 2， B=x-y|x A， y A，
2、当 x=0， y 分 别 取 0， 1， 2 时 ， x-y的 值 分 别 为 0， -1， -2；当 x=1， y 分 别 取 0， 1， 2 时 ， x-y的 值 分 别 为 1， 0， -1；当 x=2， y 分 别 取 0， 1， 2 时 ， x-y的 值 分 别 为 2， 1， 0； B=-2， -1， 0， 1， 2， 集 合 B=x-y|x A， y A中 元 素 的 个 数 是 5 个 .答 案 ： C. 3.(5分 )已 知 函 数 f(x)为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， ， 则 f(-1)=( )A.-2B.0C.1D.2解 析 ： 函 数 f(x)为 奇 函
3、数 ， x 0 时 ， f(x)=x2+ ， f(-1)=-f(1)=-2，答 案 ： A.4.(5分 )已 知 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 侧 棱 与 底 面 垂 直 ， 体 积 为 ， 底 面 是 边 长 为 的 正 三 角 形 ，若 P 为 底 面 A1B1C1的 中 心 ， 则 PA 与 平 面 ABC所 成 角 的 大 小 为 ( )A.B.C. D.解 析 ： 如 图 所 示 ， AA1 底 面 A1B1C1， APA1为 PA与 平 面 A1B1C1所 成 角 ， 平 面 ABC 平 面 A1B1C1， APA1为 PA 与 平 面 ABC 所 成 角 . = = .
4、V 三 棱 柱 ABC-A1B1C1= = ， 解 得 .又 P 为 底 面 正 三 角 形 A 1B1C1的 中 心 ， = =1，在 Rt AA1P中 ， ， .答 案 ： B.5.(5分 )函 数 y=sin(2x+ )的 图 象 沿 x轴 向 左 平 移 个 单 位 后 ， 得 到 一 个 偶 函 数 的 图 象 ，则 的 一 个 可 能 的 值 为 ( )A.B. C.0D.解 析 ： 令 y=f(x)=sin(2x+ )， 则 f(x+ )=sin2(x+ )+ =sin(2x+ + )， f(x+ )为 偶 函 数 ， + =k + ， =k + ， k Z， 当 k=0时 ，
5、= .故 的 一 个 可 能 的 值 为 .答 案 ： B. 6.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， M 为 不 等 式 组 所 表 示 的 区 域 上 一 动 点 ，则 直 线 OM 斜 率 的 最 小 值 为 ( )A.2B.1C.D.解 析 ： 不 等 式 组 表 示 的 区 域 如 图 ， 当 M 取 得 点 A(3， -1)时 ， z 直 线 OM斜 率 取 得 最 小 ， 最 小 值 为 k= =- .答 案 ： C.7.(5分 )给 定 两 个 命 题 p， q.若 p是 q的 必 要 而 不 充 分 条 件 ， 则 p是 q 的 ( )A.充 分 而 不 必
6、 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： p是 q的 必 要 而 不 充 分 条 件 ， q 是 p 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 即 qp， 但 p不 能 q，其 逆 否 命 题 为 pq， 但 q不 能 p， 则 p 是 q的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A. 8.(5分 )函 数 y=xcosx+sinx的 图 象 大 致 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 因 为 函 数 y=xcosx+sinx为 奇 函 数 ， 所 以 排 除 选 项 B，由 当 x= 时 ， ，当 x= 时 ，
7、y= cos +sin =- 0.由 此 可 排 除 选 项 A 和 选 项 C.故 正 确 的 选 项 为 D.答 案 ： D.9.(5分 )过 点 (3， 1)作 圆 (x-1) 2+y2=1 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A， B， 则 直 线 AB的 方 程 为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解 析 ： 因 为 过 点 (3， 1)作 圆 (x-1)2+y2=1的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A， B，所 以 圆 的 一 条 切 线 方 程 为 y=1， 切 点 之 一 为 (1， 1)， 显 然 B、 D
8、选 项 不 过 (1， 1)， B、 D 不 满足 题 意 ； 另 一 个 切 点 的 坐 标 在 (1， -1)的 右 侧 ， 所 以 切 线 的 斜 率 为 负 ， 选 项 C 不 满 足 ， A 满足 .答 案 ： A. 10.(5分 )用 0， 1， 2， ， 9十 个 数 字 ， 可 以 组 成 有 重 复 数 字 的 三 位 数 的 个 数 为 ( )A.243 B.252C.261D.279解 析 ： 用 0， 1， 2， ， 9 十 个 数 字 ， 所 有 三 位 数 个 数 为 ： 900，其 中 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数 百 位 数 从 非 0 的 9 个 数
9、 字 中 选 取 一 位 ， 十 位 数 从 余 下 的 9 个 数 字中 选 一 个 ， 个 位 数 再 从 余 下 的 8 个 中 选 一 个 ， 所 以 共 有 ： 9 9 8=648，所 以 可 以 组 成 有 重 复 数 字 的 三 位 数 的 个 数 为 ： 900-648=252.答 案 ： B.11.(5分 )抛 物 线 C 1： 的 焦 点 与 双 曲 线 C2： 的 右 焦 点 的 连 线交 C1于 第 一 象 限 的 点 M.若 C1在 点 M 处 的 切 线 平 行 于 C2的 一 条 渐 近 线 ， 则 p=( )A.B.C.D.解 析 ： 由 ， 得 x 2=2py
10、(p 0)， 所 以 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 F( ).由 ， 得 ， .所 以 双 曲 线 的 右 焦 点 为 (2， 0).则 抛 物 线 的 焦 点 与 双 曲 线 的 右 焦 点 的 连 线 所 在 直 线 方 程 为 ， 即 .设 该 直 线 交 抛 物 线 于 M( )， 则 C 1在 点 M 处 的 切 线 的 斜 率 为 .由 题 意 可 知 ， 得 ， 代 入 M 点 得 M( )把 M 点 代 入 得 ： .解 得 p= .答 案 ： D.12.(5分 )设 正 实 数 x， y， z 满 足 x 2-3xy+4y2-z=0.则 当 取 得 最 大 值 时 ，
11、的 最 大值 为 ( )A.0B.1 C.D.3解 析 ： x2-3xy+4y2-z=0， z=x2-3xy+4y2， 又 x， y， z 均 为 正 实 数 ， = = =1(当 且 仅 当 x=2y时 取 “ =” )， =1， 此 时 ， x=2y. z=x 2-3xy+4y2=(2y)2-3 2y y+4y2=2y2， + - = + - =- +1 1. 的 最 大 值 为 1.答 案 ： B.二 、 填 空 题13.(4分 )执 行 右 面 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 的 值 为 0.25， 则 输 出 的 n 值 为 . 解 析 ： 循 环 前 ， F0=1， F1=2，
12、 n=1，第 一 次 循 环 ， F0=1， F1=3， n=2， 第 二 次 循 环 ， F0=2， F1=4， n=3，此 时 ， 满 足 条 件 ， 退 出 循 环 ， 输 出 n=3，答 案 ： 3.14.(4分 )在 区 间 -3， 3上 随 机 取 一 个 数 x使 得 |x+1|-|x-2| 1 的 概 率 为 .解 析 ： 利 用 几 何 概 型 ， 其 测 度 为 线 段 的 长 度 .由 不 等 式 |x+1|-|x-2| 1 可 得 ， 或 ， .解 可 得 x ， 解 可 得 1 x 2， 解 可 得 x 2.故 原 不 等 式 的 解 集 为 x|x 1， |在 区
13、间 -3， 3上 随 机 取 一 个 数 x 使 得 |x+1|-|x-2| 1的 概 率 为 P= = .答 案 ：15.(4分 )已 知 向 量 与 的 夹 角 为 120 ， 且 ， .若 ， 且， 则 实 数 = . 解 析 ： 由 题 意 可 知 ： ，因 为 ， 所 以 ，所 以 = =-12 +7=0， 解 得 = .答 案 ： .16.(4分 )定 义 “ 正 数 对 ” ： ln +x= ， 现 有 四 个 命 题 ： 若 a 0， b 0， 则 ln+(ab)=bln+a； 若 a 0， b 0， 则 ln+(ab)=ln+a+ln+b； 若 a 0， b 0， 则 ； 若
14、 a 0， b 0， 则 ln+(a+b) ln+a+ln+b+2.其 中 的 真 命 题 有 (写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 )解 析 ： 对 于 ， 由 定 义 ， 当 a 1 时 ， ab 1， 故 ln+(ab)=ln(ab)=blna， 又 bln+a=blna， 故 有ln+(ab)=bln+a；当 a 1 时 ， ab 1， 故 ln+(ab)=0， 又 a 1 时 bln+a=0， 所 以 此 时 亦 有 ln+(ab)=bln+a.由 上 判断 知 正 确 ；对 于 ， 此 命 题 不 成 立 ， 可 令 a=2， b= ， 则 ab= ， 由 定 义 ln+(ab
15、)=0， ln+a+ln+b=ln2， 所以 ln +(ab) ln+a+ln+b； 由 此 知 错 误 ；对 于 ， 当 a b 0时 ， 1， 此 时 0， 当 a b 1 时 ，ln+a-ln+b=lna-lnb= ， 此 时 命 题 成 立 ； 当 a 1 b 时 ， ln+a-ln+b=lna， 此 时 ，故 命 题 成 立 ； 同 理 可 验 证 当 1 a b 0 时 ， 成 立 ； 当 1时 ， 同 理 可 验 证 是 正 确 的 ， 故 正 确 ；对 于 ， 可 分 a 1， b 1 与 两 者 中 仅 有 一 个 小 于 等 于 1、 两 者 都 大 于 1三 类 讨 论
16、， 依 据 定义 判 断 出 是 正 确 的 .答 案 ： 三 、 解 答 题17.(12分 )设 ABC 的 内 角 A， B， C 所 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 a+c=6， b=2， .(1)求 a， c的 值 ；(2)求 sin(A-B)的 值 .解 析 ： (1)利 用 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 将 b 与 cosB的 值 代 入 ， 利 用 完 全 平 方 公 式 变 形 ， 求 出acb的 值 ， 与 a+c的 值 联 立 即 可 求 出 a与 c的 值 即 可 ；(2)先 由 cosB 的 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关
17、 系 求 出 sinB 的 值 ， 再 由 a， b 及 sinB的值 ， 利 用 正 弦 定 理 求 出 sinA的 值 ， 进 而 求 出 cosA 的 值 ， 所 求 式 子 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函数 公 式 化 简 后 ， 将 各 自 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： (1) a+c=6 ， b=2， cosB= ， 由 余 弦 定 理 得 ： b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac- ac=36- ac=4，整 理 得 ： ac=9 ， 联 立 解 得 ： a=c=3；(2) cosB= ， B为 三 角 形 的 内 角 ，
18、 sinB= = ， b=2， a=3， sinB= ， 由 正 弦 定 理 得 ： sinA= = = ， a=c， 即 A=C， A为 锐 角 ， cosA= = ， 则 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= - = .18.(12分 )如 图 所 示 ， 在 三 棱 锥 P-ABQ 中 ， PB 平 面 ABQ， BA=BP=BQ， D， C， E， F 分 别 是 AQ，BQ， AP， BP的 中 点 ， AQ=2BD， PD 与 EQ交 于 点 G， PC与 FQ交 于 点 H， 连 接 GH. (1)求 证 ： AB GH；(2)求 二 面 角 D-GH-E的 余
19、 弦 值 .解 析 ： (1)由 给 出 的 D， C， E， F 分 别 是 AQ， BQ， AP， BP 的 中 点 ， 利 用 三 角 形 中 位 线 知 识 及平 行 公 理 得 到 DC平 行 于 EF， 再 利 用 线 面 平 行 的 判 定 和 性 质 得 到 DC平 行 于 GH， 从 而 得 到AB GH；(2)由 题 意 可 知 BA、 BQ、 BP两 两 相 互 垂 直 ， 以 B为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 出 BA、BQ、 BP的 长 度 ， 标 出 点 的 坐 标 ， 求 出 一 些 向 量 的 坐 标 ， 利 用 二 面 角 的
20、两 个 面 的 法 向 量 所 成的 角 的 余 弦 值 求 解 二 面 角 D-GH-E的 余 弦 值 .答 案 ： (1)如 图 ， C， D为 AQ， BQ的 中 点 ， CD AB，又 E， F 分 别 AP， BP的 中 点 ， EF AB， 则 EF CD.又 EF平 面 EFQ， CD 平 面 EFQ.又 CD平 面 PCD， 且 平 面 PCD 平 面 EFQ=GH， CD GH.又 AB CD， AB GH；(2)由 AQ=2BD， D 为 AQ 的 中 点 可 得 ， 三 角 形 ABQ为 直 角 三 角 形 ，以 B 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 BA、 BQ、 B
21、P 所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 AB=BP=BQ=2， 则 D(1， 1， 0)， C(0， 1， 0)， E(1， 0， 1)， F(0， 0， 1)，因 为 H为 三 角 形 PBQ的 重 心 ， 所 以 H(0， ， ).则 ， ， .设 平 面 GCD的 一 个 法 向 量 为 ，由 ， 得 ， 取 z 1=1， 得 y1=2， 所 以 .设 平 面 EFG的 一 个 法 向 量 为 ，由 ， 得 ， 取 z2=2， 得 y2=1.所 以 .所 以 = .则 二 面 角 D-GH-E的 余 弦 值 等 于 . 19.(12分 )甲
22、 乙 两 支 排 球 队 进 行 比 赛 ， 先 胜 3 局 者 获 得 比 赛 的 胜 利 ， 比 赛 随 即 结 束 .除 第 五局 甲 队 获 胜 的 概 率 是 ， 其 余 每 局 比 赛 甲 队 获 胜 的 概 率 都 是 .设 各 局 比 赛 结 果 相 互 独 立 .(1)分 别 求 甲 队 3： 0， 3： 1， 3： 2胜 利 的 概 率 ；(2)若 比 赛 结 果 3： 0或 3： 1， 则 胜 利 方 得 3分 ， 对 方 得 0分 ； 若 比 赛 结 果 为 3： 2， 则 胜 利方 得 2分 ， 对 方 得 1分 ， 求 乙 队 得 分 X的 分 布 列 及 数 学
23、期 望 .解 析 ： (1)甲 队 获 胜 有 三 种 情 形 ， 3： 0， 3： 1， 3： 2， 其 每 种 情 形 的 最 后 一 局 肯 定 是甲 队 胜 ， 分 别 求 出 相 应 的 概 率 ， 最 后 根 据 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 求 出 甲 队 获 得 这 次 比 赛 胜 利 的概 率 ；(2)X的 取 值 可 能 为 0， 1， 2， 3， 然 后 利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 求 出 相 应 的 概 率 ，列 出 分 布 列 ， 最 后 根 据 数 学 期 望 公 式 解 之 即 可 .答 案 ： (1)甲 队 获 胜 有 三
24、种 情 形 ， 其 每 种 情 形 的 最 后 一 局 肯 定 是 甲 队 胜 3： 0， 概 率 为 P1=( )3= ； 3： 1， 概 率 为 P2=C ( )2 (1- ) = ； 3： 2， 概 率 为 P3=C ( )2 (1- )2 = 甲 队 3： 0， 3： 1， 3： 2 胜 利 的 概 率 ： .(2)乙 队 得 分 X， 则 X的 取 值 可 能 为 0， 1， 2， 3.由 (1)知 P(X=0)=P 1+P2= ； P(X=1)=P3= ；P(X=2)=C (1- )2 ( )2 = ；P(X=3)=(1- )3+C (1- )2 ( ) = ；则 X 的 分 布
25、列 为E(X)=3 +2 +1 +0 = . 20.(12分 )设 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 且 S4=4S2， a2n=2an+1.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)设 数 列 bn的 前 n项 和 为 Tn且 ( 为 常 数 ).令 cn=b2n(n N*)求 数 列 cn的前 n 项 和 Rn.解 析 ： (1)设 出 等 差 数 列 的 首 项 和 公 差 ， 由 已 知 条 件 列 关 于 首 项 和 公 差 的 方 程 组 ， 解 出 首 项和 公 差 后 可 得 数 列 a n的 通 项 公 式 ；(2)把 an的 通 项 公 式 代 入
26、 ， 求 出 当 n 2时 的 通 项 公 式 ， 然 后 由 cn=b2n得 数列 cn的 通 项 公 式 ， 最 后 利 用 错 位 相 减 法 求 其 前 n项 和 .答 案 ： (1)设 等 差 数 列 an的 首 项 为 a1， 公 差 为 d， 由 a2n=2an+1， 取 n=1， 得 a2=2a1+1， 即a1-d+1=0再 由 S 4=4S2， 得 ， 即 d=2a1联 立 、 得 a1=1， d=2.所 以 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1；(2)把 an=2n-1 代 入 ， 得 ， 则 .所 以 b1=T1= -1，当 n 2 时 ， = .所 以
27、， . Rn=c1+c2+ +cn= - 得 ： =所 以 ； 所 以 数 列 c n的 前 n 项 和 .21.(13分 )设 函 数 .(1)求 f(x)的 单 调 区 间 及 最 大 值 ；(2)讨 论 关 于 x 的 方 程 |lnx|=f(x)根 的 个 数 .解 析 ： (1)利 用 导 数 的 运 算 法 则 求 出 f (x)， 分 别 解 出 f (x) 0 与 f (x) 0即 可 得 出 单 调区 间 及 极 值 与 最 值 ；(2)分 类 讨 论 ： 当 0 x 1 时 ， 令 u(x)=-lnx- -c， 当 x 1 时 ， 令 v(x)=lnx- .利 用 导 数
28、分 别 求 出 c 的 取 值 范 围 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) = ， 解 f (x) 0， 得 ； 解 f (x) 0，得 . 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 ； 单 调 递 减 区 间 为 . 故 f(x)在 x= 取 得 最 大 值 ， 且 .(2)函 数 y=|lnx|， 当 x 0 时 的 值 域 为 0， + ).如 图 所 示 ： 当 0 x 1 时 ， 令 u(x)=-lnx- -c， c= =g(x)，则 = . 令 h(x)=e2x+x-2x2， 则 h (x)=2e2x+1-4x 0， h(x)在 x (0， 1单 调 递 增 ，
29、 1=h(0) h(x) h(1)=e2-1. g (x) 0， g(x)在 x (0， 1单 调 递 减 . c . 当 x 1 时 ， 令 v(x)=lnx- ， 得 到 c=lnx- =m(x)，则 = 0，故 m(x)在 1， + )上 单 调 递 增 ， c m(1)= .综 上 可 知 ： 当 时 ， 方 程 |lnx|=f(x)无 实 数 根 ； 当 时 ， 方 程 |lnx|=f(x)有 一 个 实 数 根 ；当 时 ， 方 程 |lnx|=f(x)有 两 个 实 数 根 .22.(13分 )椭 圆 C： 的 左 右 焦 点 分 别 是 F1， F2， 离 心 率 为 ，过 F
30、 1且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 1.(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(2)点 P 是 椭 圆 C 上 除 长 轴 端 点 外 的 任 一 点 ， 连 接 PF1， PF2， 设 F1PF2的 角 平 分 线 PM交 C 的长 轴 于 点 M(m， 0)， 求 m的 取 值 范 围 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 过 点 P 作 斜 率 为 k 的 直 线 l， 使 得 l 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 设直 线 PF1， PF2的 斜 率 分 别 为 k1， k2， 若 k 0， 试 证 明 为 定 值 ，
31、 并 求 出 这 个 定 值 .解 析 ： (1)把 -c代 入 椭 圆 方 程 得 ， 解 得 ， 由 已 知 过 F 1且 垂 直 于 x 轴 的 直线 被 椭 圆 C截 得 的 线 段 长 为 1， 可 得 .再 利 用 ， 及 a2=b2+c2即 可 得 出 ；(2)设 |PF1|=t， |PF2|=n， 由 角 平 分 线 的 性 质 可 得 ， 利 用 椭 圆 的 定 义 可 得t+n=2a=4， 消 去 t得 到 ， 化 为 ， 再 根 据 a-c n a+c， 即 可得 到 m的 取 值 范 围 ；(3)设 P(x 0， y0)， 不 妨 设 y0 0， 由 椭 圆 方 程 ，
32、 取 ， 利 用 导 数 即 可 得到 切 线 的 斜 率 ， 再 利 用 斜 率 计 算 公 式 即 可 得 到 k1， k2， 代 入 即 可 证 明 结 论 . 答 案 ： (1)把 -c代 入 椭 圆 方 程 得 ， 解 得 ， 过 F1且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 1， .又 ， 联 立 得 解 得 ， 椭 圆 C的 方 程 为 .(2)如 图 所 示 ， 设 |PF 1|=t， |PF2|=n，由 角 平 分 线 的 性 质 可 得 ，又 t+n=2a=4， 消 去 t得 到 ， 化 为 ， a-c n a+c， 即 ， 也 即 ， 解 得. m 的 取 值 范 围 ： .(3)设 P(x 0， y0)， 不 妨 设 y0 0， 由 椭 圆 方 程 ，取 ， 则 = ， k= = . ， ， = ， = =-8为 定 值 .
