1、2015年 四 川 省 绵 阳 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 ， 每 小 题 只 有 一 个 选 项 最 符 合 题 目 要求 )1.(3分 ) 2 是 4 的 ( )A.平 方 根B.相 反 数C.绝 对 值D.算 术 平 方 根解 析 ： 2是 4的 平 方 根 .故 选 ： A. 2.(3分 )下 列 图 案 中 ， 轴 对 称 图 形 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误
2、；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；故 选 ； D.3.(3分 )若 +|2a-b+1|=0 ， 则 (b-a) 2015=( )A.-1B.1C.52015D.-52015解 析 ： +|2a-b+1|=0， ，解 得 ： ，则 (b-a)2015=(-3+2)2015=-1.故 选 ： A.4.(3分 )福 布 斯 2015年 全 球 富 豪 榜 出 炉 ， 中 国 上 榜 人 数 仅 次 于 美 国 ， 其 中 王 健 林 以 242亿美 元 的 财 富 雄 踞 中 国 内 地 富 豪 榜 榜 首
3、， 这 一 数 据 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.0.242 10 10美 元B.0.242 1011美 元C.2.42 1010美 元D.2.42 1011美 元解 析 ： 将 242亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 2.42 1010.故 选 ： C.5.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， B、 C 的 平 分 线 BE， CD相 交 于 点 F， ABC=42 ， A=60 ，则 BFC=( ) A.118B.119C.120D.121解 析 ： A=60 ， ABC+ ACB=120 ， BE， CD 是 B、 C 的 平 分 线 ， CBE= ABC
4、， BCD= ， CBE+ BCD= ( ABC+ BCA)=60 ， BFC=180 -60 =120 ，故 选 ： C. 6.(3分 )要 使 代 数 式 有 意 义 ， 则 x 的 ( )A.最 大 值 是 B.最 小 值 是C.最 大 值 是D.最 小 值 是解 析 ： 代 数 式 有 意 义 ， 2-3x 0， 解 得 x .故 选 ： A.7.(3分 )如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 E， CBD=90 ， BC=4， BE=ED=3， AC=10， 则 四 边 形 ABCD的 面 积 为 ( )A.6B.12C.20D.24解
5、 析 ： 在 Rt BCE中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得CE= =5. BE=DE=3， AE=CE=5， 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 .四 边 形 ABCD的 面 积 为 BC BD=4 (3+3)=24，故 选 ： D.8.(3分 )由 若 干 个 边 长 为 1cm的 正 方 体 堆 积 成 一 个 几 何 体 ， 它 的 三 视 图 如 图 ， 则 这 个 几 何 体的 表 面 积 是 ( )A.15cm 2B.18cm2C.21cm2D.24cm2解 析 ： 综 合 三 视 图 ， 我 们 可 以 得 出 ， 这 个 几 何 模 型 的 底 层 有 2+1=3
6、个 小 正 方 体 ， 第 二 层 应 该有 1 个 小 正 方 体 ， 因 此 搭 成 这 个 几 何 体 模 型 所 用 的 小 正 方 体 的 个 数 是 3+1=4个 .所 以 表 面 积 为 3 6=18cm2.故 选 ： B.9.(3分 )要 估 计 鱼 塘 中 的 鱼 数 ， 养 鱼 者 首 先 从 鱼 塘 中 打 捞 了 50条 鱼 ， 在 每 条 鱼 身 上 做 好 记号 后 把 这 些 鱼 放 归 鱼 塘 ， 再 从 鱼 塘 中 打 捞 出 100条 鱼 ， 发 现 只 有 两 条 鱼 是 刚 才 做 了 记 号 的 鱼 .假 设 鱼 在 鱼 塘 内 均 匀 分 布 ， 那
7、 么 估 计 这 个 鱼 塘 的 鱼 数 约 为 ( )A.5000条B.2500条C.1750条D.1250条解 析 ： 由 题 意 可 得 ： 50 =2500(条 ). 故 选 ： B.10.(3分 )如 图 ， 要 在 宽 为 22米 的 九 州 大 道 两 边 安 装 路 灯 ， 路 灯 的 灯 臂 CD 长 2 米 ， 且 与 灯柱 BC 成 120 角 ， 路 灯 采 用 圆 锥 形 灯 罩 ， 灯 罩 的 轴 线 DO与 灯 臂 CD垂 直 ， 当 灯 罩 的 轴 线 DO通 过 公 路 路 面 的 中 心 线 时 照 明 效 果 最 佳 ， 此 时 ， 路 灯 的 灯 柱 B
8、C高 度 应 该 设 计 为 ( )A.(11-2 )米B.(11 -2 )米C.(11-2 )米 D.(11 -4)米解 析 ： 如 图 ， 延 长 OD， BC交 于 点 P. ODC= B=90 ， P=30 ， OB=11米 ， CD=2米 ， 在 直 角 CPD中 ， DP=DC cot30 =2 m， PC=CD (sin30 )=4米 ， P= P， PDC= B=90 ， PDC PBO， = ， PB= =11 米 ， BC=PB-PC=(11 -4)米 .故 选 ： D.11.(3分 )将 一 些 相 同 的 “ ” 按 如 图 所 示 的 规 律 依 次 摆 放 ， 观
9、察 每 个 “ 龟 图 ” 中 的 “ ”的 个 数 ， 若 第 n个 “ 龟 图 ” 中 有 245个 “ ” ， 则 n=( )A.14B.15C.16 D.17解 析 ： 第 一 个 图 形 有 ： 5个 ，第 二 个 图 形 有 ： 2 1+5=7个 ，第 三 个 图 形 有 ： 3 2+5=11个 ，第 四 个 图 形 有 ： 4 3+5=17个 ，由 此 可 得 第 n 个 图 形 有 ： n(n-1)+5个 ，则 可 得 方 程 ： n(n-1)+5=245解 得 ： n 1=16， n2=-15(舍 去 ).故 选 ： C.12.(3分 )如 图 ， D 是 等 边 ABC边
10、AB 上 的 一 点 ， 且 AD： DB=1： 2， 现 将 ABC折 叠 ， 使 点 C与 D 重 合 ， 折 痕 为 EF， 点 E， F 分 别 在 AC 和 BC上 ， 则 CE： CF=( ) A.B.C.D.解 析 ： 设 AD=k， 则 DB=2k； ABC为 等 边 三 角 形 ， AB=AC=3k， A=60 ；设 CE=x， 则 AE=3k-x； 由 题 意 知 ：EF CD， 且 EF 平 分 CD， CE=DE=x；由 余 弦 定 理 得 ：DE 2=AE2+AD2-2AE AD cos60即 x2=(3k-x)2+k2-2k(3k-x)cos60 ，整 理 得 ：
11、x= ，同 理 可 求 ： CF= ， CE： CF=4： 5.故 选 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )13.(3分 )计 算 ： a(a 2 a)-a2=_.解 析 ： a(a2 a)-a2=a2-a2=0.故 答 案 为 ： 0.14.(3分 )如 图 是 轰 炸 机 机 群 的 一 个 飞 行 队 形 ， 如 果 最 后 两 架 轰 炸 机 的 平 面 坐 标 分 别 为 A(-2，1)和 B(-2， -3)， 那 么 第 一 架 轰 炸 机 C的 平 面 坐 标 是 _. 解 析 ： 因 为 A(-2， 1)和 B(-
12、2， -3)，所 以 可 得 点 C 的 坐 标 为 (2， -1)，故 答 案 为 ： (2， -1).15.(3分 )在 实 数 范 围 内 因 式 分 解 ： x2y-3y=_.解 析 ： 原 式 提 取 y， 再 利 用 平 方 差 公 式 分 解 即 可 .答 案 ： 原 式 =y(x2-3)=y(x- )(x+ ).16.(3分 )如 图 ， AB CD， CDE=119 ， GF交 DEB的 平 分 线 EF 于 点 F， AGF=130 ， 则 F=_. 解 析 ： AB CD， CDE=119 ， AED=180 -119 =61 ， DEB=119 . GF 交 DEB的
13、平 分 线 EF于 点 F， GEF= 119 =59.5 ， GEF=61 +59.5 =120.5 . AGF=130 ， F= AGF- GEF=130 -120.5 =9.5 .故 答 案 为 ： 9.5 .17.(3分 )关 于 m的 一 元 二 次 方 程 nm 2-n2m-2=0 的 一 个 根 为 2， 则 n2+n-2=_.解 析 ： 把 m=2代 入 nm2-n2m-2=0得 4 n-2n2-2=0，所 以 n+ =2 ，所 以 原 式 =(n+ )2-2=(2 )2-2=26.故 答 案 为 ： 26.18.(3分 )如 图 ， 在 等 边 ABC 内 有 一 点 D，
14、AD=5， BD=6， CD=4， 将 ABD绕 A 点 逆 时 针 旋 转 ，使 AB 与 AC重 合 ， 点 D 旋 转 至 点 E， 则 CDE的 正 切 值 为 _. 解 析 ： 先 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 AB=AC， BAC=60 ， 再 根 据 旋 转 的 性 质 得 AD=AE=5， DAE= BNAC=60 ， CE=BD=6， 于 是 可 判 断 ADE为 等 边 三 角 形 ， 得 到 DE=AD=5； 过 E 点 作EH CD 于 H， 如 图 ， 设 DH=x， 则 CH=4-x， 利 用 勾 股 定 理 得 到 52-x2=62-(4-x)2，
15、解 得 x= ，再 计 算 出 EH， 然 后 根 据 正 切 的 定 义 求 解 .答 案 ： ABC为 等 边 三 角 形 ， AB=AC， BAC=60 ， ABD绕 A 点 逆 时 针 旋 转 得 ACE， AD=AE=5， DAE= BNAC=60 ， CE=BD=6， ADE为 等 边 三 角 形 ， DE=AD=5，过 E 点 作 EH CD于 H， 如 图 ， 设 DH=x， 则 CH=4-x，在 Rt DHE中 ， EH 2=52-x2，在 Rt DHE中 ， EH2=62-(4-x)2， 52-x2=62-(4-x)2， 解 得 x= ， EH= ，在 Rt EDH中 ，
16、tan HDE= ，即 CDE的 正 切 值 为 3 . 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 7 小 题 ， 共 86分 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )19.(16分 )(1)计 算 ： |1- |+(- )-2- ；(2)解 方 程 ： .解 析 ： (1)原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第三 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 立 方 根 定 义 计 算 即 可 得 到 结 果 ；(
17、2)分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分 式方 程 的 解 .答 案 ： (1)原 式 = -1+4- -2=1；(2)去 分 母 得 ： 3=2x+2-2， 解 得 ： x= ，经 检 验 x= 是 分 式 方 程 的 解 .20.(11分 )阳 泉 同 学 参 加 周 末 社 会 实 践 活 动 ， 到 “ 富 乐 花 乡 ” 蔬 菜 大 棚 中 收 集 到 20 株 西 红柿 秧 上 小 西 红 柿 的 个 数 ：32 39 45 55 60 54 60 28 56 4151 3
18、6 44 46 40 53 37 47 45 46(1)前 10 株 西 红 柿 秧 上 小 西 红 柿 个 数 的 平 均 数 是 _， 中 位 数 是 _， 众 数 是 _； (2)若 对 这 20 个 数 按 组 距 为 8进 行 分 组 ， 请 补 全 频 数 分 布 表 及 频 数 分 布 直 方 图 (3)通 过 频 数 分 布 直 方 图 试 分 析 此 大 棚 中 西 红 柿 的 长 势 .解 析 ： (1)根 据 平 均 数 的 计 算 公 式 进 行 计 算 求 出 平 均 数 ， 再 根 据 中 位 数 和 众 数 的 定 义 即 可 得出 答 案 ；(2)根 据 所 给
19、 出 的 数 据 分 别 得 出 各 段 的 频 数 ， 从 而 补 全 统 计 图 ；(3)根 据 频 数 分 布 直 方 图 所 给 出 的 数 据 分 别 进 行 分 析 即 可 .答 案 ： (1)前 10株 西 红 柿 秧 上 小 西 红 柿 个 数 的 平 均 数 是(32+39+45+55+60+54+60+28+56+41) 10=47；把 这 些 数 据 从 小 到 大 排 列 ： 28、 32、 39、 41、 45、 54、 55、 56、 60、 60，最 中 间 的 数 是 (45+54) 2=49.5，则 中 位 数 是 49.5；60出 现 了 2次 ， 出 现
20、的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 60；故 答 案 为 ： 47， 49.5， 60；(2)根 据 题 意 填 表 如 下 ： 补 图 如 下 ：故 答 案 为 ： 5， 7， 4；(3)此 大 棚 的 西 红 柿 长 势 普 遍 较 好 ， 最 少 都 有 28个 ； 西 红 柿 个 数 最 集 中 的 株 数 在 第 三 组 ， 共 7 株 ； 西 红 柿 的 个 数 分 布 合 理 ， 中 间 多 ， 两 端 少 .21.(11分 )如 图 ， 反 比 例 函 数 y= (k 0)与 正 比 例 函 数 y=ax 相 交 于 A(1， k)， B(-k， -1)两点 .(1)求 反
21、 比 例 函 数 和 正 比 例 函 数 的 解 析 式 ； (2)将 正 比 例 函 数 y=ax的 图 象 平 移 ， 得 到 一 次 函 数 y=ax+b的 图 象 ， 与 函 数 y= (k 0)的 图象 交 于 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 且 |x1-x2| |y1-y2|=5， 求 b的 值 .解 析 ： (1)首 先 根 据 点 A 与 点 B 关 于 原 点 对 称 ， 可 以 求 出 k 的 值 ， 将 点 A 分 别 代 入 反 比 例 函数 与 正 比 例 函 数 的 解 析 式 ， 即 可 得 解 .(2)分 别 把 点 (x1， y1)、 (x2， y
22、2)代 入 一 次 函 数 y=x+b， 再 把 两 式 相 减 ， 根 据 |x1-x2| |y1-y2|=5得 出 |x1-x2|=|y1-y2|= ， 然 后 通 过 联 立 方 程 求 得 x1、 x2的 值 ， 代 入 即 可 求 得 b 的 值 .答 案 ： (1)据 题 意 得 ： 点 A(1， k)与 点 B(-k， -1)关 于 原 点 对 称 ， k=1， A(1， 1)， B(-1， -1)， 反 比 例 函 数 和 正 比 例 函 数 的 解 析 式 分 别 为 y= ， y=x；(2) 一 次 函 数 y=x+b 的 图 象 过 点 (x 1， y1)、 (x2， y
23、2)， ， - 得 ， y2-y1=x2-x1， |x1-x2| |y1-y2|=5， |x1-x2|=|y1-y2|= ，由 得 x 2+bx-1=0，解 得 ， x1= ， x2= ， |x 1-x2|= ，解 得 b= 1. 22.(11分 )如 图 ， O 是 ABC的 内 心 ， BO的 延 长 线 和 ABC的 外 接 圆 相 交 于 点 D， 连 接 DC，DA， OA， OC， 四 边 形 OADC为 平 行 四 边 形 .(1)求 证 ： BOC CDA；(2)若 AB=2， 求 阴 影 部 分 的 面 积 .解 析 ： (1)由 于 O 是 ABC的 内 心 ， 也 是 A
24、BC的 外 心 ， 则 可 判 断 ABC为 等 边 三 角 形 ， 所 以 AOB= BOC= AOC=120 ， BC=AC， 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 ADC= AOC=120 ， AD=OC，CD=OA=OB， 则 根 据 “ SAS” 证 明 BOC CDA； (2)作 OH AB于 H， 如 图 ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得 到 BOH=30 ， 根据 垂 径 定 理 得 到 BH=AH= AB=1， 再 利 用 含 30度 的 直 角 三 角 形 三 边 的 关 系 得 到 BH=AH= AB=1，OH=
25、 BH= ， OB=2OH= ， 然 后 根 据 三 角 形 面 积 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 ， 利 用 S 阴 影 部 分 =S 扇形 AOB-S AOB进 行 计 算 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： O是 ABC的 内 心 ， 也 是 ABC的 外 心 ， ABC为 等 边 三 角 形 ， AOB= BOC= AOC=120 ， BC=AC， 四 边 形 OADC 为 平 行 四 边 形 ， ADC= AOC=120 ， AD=OC， CD=OA， AD=OB， 在 BOC和 CDA中， BOC CDA；(2)作 OH AB 于 H， 如 图 ， AOB=120 ， O
26、A=OB， BOH= (180 -120 )=30 ， OH AB， BH=AH= AB=1，OH= BH= ，OB=2OH= ， S 阴 影 部 分 =S 扇 形 AOB-S AOB= 23.(11分 )南 海 地 质 勘 探 队 在 南 沙 群 岛 的 一 小 岛 发 现 很 有 价 值 的 A， B两 种 矿 石 ， A 矿 石 大 约565吨 ， B 矿 石 大 约 500 吨 ， 上 报 公 司 ， 要 一 次 性 将 两 种 矿 石 运 往 冶 炼 厂 ， 需 要 不 同 型 号 的甲 、 乙 两 种 货 船 共 30艘 ， 甲 货 船 每 艘 运 费 1000元 ， 乙 货 船
27、每 艘 运 费 1200 元 .(1)设 运 送 这 些 矿 石 的 总 费 用 为 y 元 ， 若 使 用 甲 货 船 x 艘 ， 请 写 出 y 和 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)如 果 甲 货 船 最 多 可 装 A 矿 石 20吨 和 B 矿 石 15吨 ， 乙 货 船 最 多 可 装 A 矿 石 15吨 和 B 矿 石25吨 ， 装 矿 石 时 按 此 要 求 安 排 甲 、 乙 两 种 货 船 ， 共 有 几 种 安 排 方 案 ？ 哪 种 安 排 方 案 运 费 最低 并 求 出 最 低 运 费 .解 析 ： (1)根 据 这 些 矿 石 的 总 费 用 为 y=甲
28、 货 船 运 费 +乙 货 船 运 费 ， 即 可 解 答 ；(2)根 据 A 矿 石 大 约 565吨 ， B 矿 石 大 约 500吨 ， 列 出 不 等 式 组 ， 确 定 x 的 取 值 范 围 ， 根 据 x为 整 数 ， 确 定 x 的 取 值 ， 即 可 解 答 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： y=1000 x+1200(30-x)=36000-200 x.(2)设 安 排 甲 货 船 x 艘 ， 则 安 排 乙 货 船 30-x艘 ， 根 据 题 意 得 ： ，化 简 得 ： ， 23 x 25， x 为 整 数 ， x=23， 24， 25，方 案 一 ： 甲 货
29、 船 23 艘 ， 则 安 排 乙 货 船 7 艘 ，运 费 y=36000-200 23=31400元 ；方 案 二 ： 甲 货 船 24 艘 ， 则 安 排 乙 货 船 6 艘 ，运 费 y=36000-200 24=31200元 ；方 案 三 ： 甲 货 船 25 艘 ， 则 安 排 乙 货 船 5 艘 ， 运 费 y=36000-200 25=31000元 ；经 分 析 得 方 案 三 运 费 最 低 ， 为 31000元 . 24.(12分 )已 知 抛 物 线 y=-x2-2x+a(a 0)与 y 轴 相 交 于 A点 ， 顶 点 为 M， 直 线 y= x-a分 别与 x 轴 、
30、 y轴 相 交 于 B， C两 点 ， 并 且 与 直 线 MA相 交 于 N点 . (1)若 直 线 BC 和 抛 物 线 有 两 个 不 同 交 点 ， 求 a 的 取 值 范 围 ， 并 用 a表 示 交 点 M， A 的 坐 标 ；(2)将 NAC沿 着 y 轴 翻 转 ， 若 点 N的 对 称 点 P 恰 好 落 在 抛 物 线 上 ， AP 与 抛 物 线 的 对 称 轴 相交 于 点 D， 连 接 CD， 求 a的 值 及 PCD的 面 积 ；(3)在 抛 物 线 y=-x2-2x+a(a 0)上 是 否 存 在 点 P， 使 得 以 P， A， C， N 为 顶 点 的 四 边
31、 形 是 平 行四 边 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 联 立 抛 物 线 与 直 线 的 解 析 式 得 出 关 于 x 的 方 程 ， 再 由 直 线 BC 和 抛 物 线 有 两 个 不同 交 点 可 知 0， 求 出 a 的 取 值 范 围 ， 令 x=0 求 出 y 的 值 即 可 得 出 A 点 坐 标 ， 把 抛 物 线 的解 析 式 化 为 顶 点 式 的 形 式 即 可 得 出 M 点 的 坐 标 ；(2)利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 MA 的 解 析 式 ， 联 立 两 直
32、 线 的 解 析 式 可 得 出 N点 坐 标 ， 进 而 可 得出 P 点 坐 标 ， 根 据 S PCD=S PAC-S ADC可 得 出 结 论 ；(3)分 点 P 在 y 轴 左 侧 与 右 侧 两 种 情 况 进 行 讨 论 即 可 .答 案 ： (1)由 题 意 得 ， ， 整 理 得 2x2+5x-4a=0. =25+32a 0， 解 得 a - . a 0， a - 且 a 0.令 x=0， 得 y=a， A(0， a). 由 y=-(x+1)2+1+a得 ， M(-1， 1+a).(2)设 直 线 MA 的 解 析 式 为 y=kx+b(k 0)， A(0， a)， M(-1
33、， 1+a)， ， 解 得 ， 直 线 MA 的 解 析 式 为 y=-x+a， 联 立 得 ， ， 解 得 ， N( ， - ). 点 P是 点 N 关 于 y轴 的 对 称 点 ， P(- ， - ).代 入 y=-x2-2x+a得 ， - =- a2+ a+a， 解 得 a= 或 a=0(舍 去 ). A(0， )， C(0， - )， M(-1， )， |AC|= ， S PCD=S PAC-S ADC= |AC| |xp|- |AC| |x0|= (3-1)=(3) 当 点 P 在 y 轴 左 侧 时 ， 四 边 形 APCN 是 平 行 四 边 形 ， AC 与 PN互 相 平 分
34、 ， N( ， - )， P(- ， )；代 入 y=-x 2-2x+a得 ， =- a2+ a+a， 解 得 a= ， P(- ， ). 当 点 P 在 y 轴 右 侧 时 ， 四 边 形 ACPN 是 平 行 四 边 形 ， NP AC 且 NP=AC， N( ， - )， A(0， a)， C(0， -a)， P( ， - ).代 入 y=-x 2-2x+a得 ， - =- a2- a+a， 解 得 a= ， P( ， - ).综 上 所 述 ， 当 点 P(- ， )和 ( ， - )时 ， A、 C、 P、 N能 构 成 平 行 四 边 形 . 25.(14分 )如 图 ， 在 边
35、长 为 2 的 正 方 形 ABCD 中 ， G是 AD延 长 线 时 的 一 点 ， 且 DG=AD， 动 点 M从 A点 出 发 ， 以 每 秒 1个 单 位 的 速 度 沿 着 A C G的 路 线 向 G点 匀 速 运 动 (M不 与 A， G重 合 )，设 运 动 时 间 为 t秒 ， 连 接 BM 并 延 长 AG于 N.(1)是 否 存 在 点 M， 使 ABM为 等 腰 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 分 析 点 M 的 位 置 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 ；(2)当 点 N 在 AD边 上 时 ， 若 BN HN， NH交 CDG的 平 分 线 于 H， 求 证
36、 ： BN=HN； (3)过 点 M 分 别 作 AB， AD的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 E， F， 矩 形 AEMF与 ACG重 叠 部 分 的 面 积 为S， 求 S 的 最 大 值 .解 析 ： (1)四 种 情 况 ： 当 点 M 为 AC 的 中 点 时 ， AM=BM； 当 点 M 与 点 C 重 合 时 ， AB=BM； 当 点 M在 AC 上 ， 且 AM=2时 ， AM=AB； 当 点 M 为 CG的 中 点 时 ， AM=BM； ABM为 等 腰 三 角 形 ；(2)在 AB 上 截 取 AK=AN， 连 接 KN； 由 正 方 形 的 性 质 得 出 ADC=90
37、 ， AB=AD， CDG=90 ，得 出 BK=DN， 先 证 出 BKN= NDH， 再 证 出 ABN= DNH， 由 ASA证 明 BNK NHD， 得 出 BN=NH即 可 ；(3) 当 M 在 AC上 时 ， 即 0 t 2 时 ， AMF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 得 出 AF=FM= t， 求出 S= AF FM= t 2； 当 t=2 时 ， 即 可 求 出 S的 最 大 值 ； 当 M 在 CG 上 时 ， 即 2 t 4 时 ， 先 证 明 ACD GCD， 得 出 ACD= GCD=45 ，求 出 ACM=90 ， 证 出 MFG为 等 腰 直 角 三 角 形
38、， 得 出 FG=MG cos45 =4- t， 得 出S=S ACG-S CMJ-S FMG， S 为 t 的 二 次 函 数 ， 即 可 求 出 结 果 .答 案 ： (1)解 ： 存 在 ； 当 点 M 为 AC的 中 点 时 ， AM=BM， 则 ABM为 等 腰 三 角 形 ；当 点 M与 点 C 重 合 时 ， AB=BM， 则 ABM为 等 腰 三 角 形 ；当 点 M在 AC上 ， 且 AM=2时 ， AM=AB， 则 ABM为 等 腰 三 角 形 ；当 点 M为 CG的 中 点 时 ， AM=BM， 则 ABM为 等 腰 三 角 形 ； (2)证 明 ： 在 AB上 截 取
39、AK=AN， 连 接 KN； 如 图 1所 示 ： 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， ADC=90 ， AB=AD， CDG=90 ， BK=AB-AK， ND=AD-AN， BK=DN， DH 平 分 CDG， CDH=45 ， NDH=90 +45 =135 ， BKN=180 - AKN=135 ， BKN= NDH，在 Rt ABN中 ， ABN+ ANB=90 ，又 BN NH，即 BNH=90 ， ANB+ DNH=180 - BNH=90 ， ABN= DNH，在 BNK和 NHD中 ， ， BNK NHD(ASA)， BN=NH；(3)解 ： 当 M 在 AC上 时 ，
40、 即 0 t 2 时 ， AMF为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AM=t， AF=FM= t， S= AF FM= t t= t 2；当 t=2 时 ， S 的 最 大 值 = (2 )2=2； 当 M在 CG上 时 ， 即 2 t 4 时 ， 如 图 2 所 示 ： CM=t-AC=t-2 ， MG=4 -t，在 ACD和 GCD中 ， ACD GCD(SAS)， ACD= GCD=45 ， ACM= ACD+ GCD=90 ， G=90 - GCD=45 ， MFG为 等 腰 直 角 三 角 形 ， FG=MG cos45 =(4 -t) =4- t， S=S ACG-S CMJ-S FMG= 4 2- CM CM- FG FG=4- (t-2 )2- (4- )2=- +4 t-8=- (t- )2+ ， 当 t= 时 ， S的 最 大 值 为 .
