1、2 0 1 5 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 陕 西 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12个 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .）1 .设 集 合 2 | M x x x ， |lg 0N x x ， 则 M N （ ）A.0,1B.(0,1C.0,1) D.( ,1【 答 案 】 A解 析 ： 2 0,1x x x ， lg 0 0 1x x x x ， 所 以 0,1 ，故 选 A.2.某 中 学 初 中 部 共 有
2、1 1 0 名 教 师 ， 高 中 部 共 有 1 5 0 名 教 师 ， 其 性 别 比 例 如 图 所 示 ， 则 该 校 女教 师 的 人 数 为 （ ） A.1 6 7B.1 3 7C.1 2 3D.9 3【 答 案 】 B解 析 ： 该 校 女 教 师 的 人 数 是 110 70%+150 （ 1-60%） =137， 故 选 B.3.如 图 ， 某 港 口 一 天 6 时 到 1 8 时 的 水 深 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 3sin( )6y x k ， 据此 函 数 可 知 ， 这 段 时 间 水 深 （ 单 位 ： m） 的 最 大 值 为 （ ） A.5B.
3、6 C.8D.1 0【 答 案 】 C解 析 ： 由 图 象 知 ： min 2y ， 因 为 min 3y k ， 所 以 3 2k ， 解 得 ： 5k ， 所 以这 段 时 间 水 深 的 最 大 值 是 max 3 3 5 8y k ， 故 选 C.4.二 项 式 ( 1) ( )nx n N 的 展 开 式 中 2x 的 系 数 为 1 5 ， 则 n（ ）A.4B.5C.6 D.7【 答 案 】 C解 析 ： 二 项 式 （ x+1） n（ n N+） 的 展 开 式 中 x2的 系 数 为 15， ， 解 得 n=6，故 选 ： C5.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图
4、所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 （ ） A. 3B. 4C. 2 4 D. 3 4 【 答 案 】 D解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 该 几 何 体 是 半 个 圆 柱 ， 其 中 底 面 圆 的 半 径 为 1， 母 线 长 为 2， 所 以 该 几何 体 的 表 面 积 是 1 2 1 1 2 2 2 3 42 ， 故 选 D.6.“ sin cos ” 是 “ cos2 0 ” 的 （ ）A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 A解 析 ： 因 为 2 2co
5、s2 cos sin 0 ， 所 以 sin cos 或 sin cos ， 因 为 “ sin cos ” “ cos2 0 ” ， 但 “ sin cos ” “ cos2 0 ” ， 所 以“ sin cos ” 是 “ cos2 0 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ， 故 选 A.7.对 任 意 向 量 ,a b ， 下 列 关 系 式 中 不 恒 成 立 的 是 （ ）A.| | | | |a b a b B.| | | | | |a b a b C. 2 2( ) | |a b a b D. 2 2( )( )a b a b a b 【 答 案 】 B解 析 ： 因 为 所 以
6、 A选 项 正 确 ； 当 方 向 相 反 时 ，| | | | | |a b a b 不 成 立 ， B选 项 不 成 立 ， 所 以 B 选 项 错 误 ； 向 量 平 方 等 于 向 量 模 的 平 方 ，所 以 C选 项 正 确 ； 所 以 D 选 项 正 确 ， 故 答 案 选 B.8.根 据 右 边 的 图 ， 当 输 入 x 为 2 0 0 6 时 ， 输 出 的 y （ ） A.2 8B.1 0C.4D.2【 答 案 】 B解 析 ： 初 始 条 件 ： 2006x ； 第 1 次 运 行 ： 2004x ； 第 2 次 运 行 ： 2002x ； 第 3 次运 行 ： 200
7、0 x ； ； 第 1 0 0 3 次 运 行 ： 0 x ； 第 1 0 0 4 次 运 行 ： 2x .不 满 足 条 件0?x ， 停 止 运 行 ， 所 以 输 出 的 23 1 10y ， 故 选 B.9.设 ( ) ln ,0f x x a b ， 若 ( )p f ab ， ( )2a bq f ， 1( ( ) ( )2r f a f b ， 则 下 列 关 系 式 中 正 确 的 是 （ ）A. q r p B. q r p C. p r q D. p r q 【 答 案 】 C解 析 ： 1( ) ln ln2p f ab ab ab ； ( ) ln2 2a b a bq
8、 f ；1 1( ( ) ( ) ln2 2r f a f b ab 因 为 2a b ab ， 由 ( ) lnf x x 是 个 递 增 函 数 ， ( ) ( )2a bf f ab 所 以 q p r ， 故 答 案 选 C10.某 企 业 生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 均 需 用 A， B 两 种 原 料 .已 知 生 产 1 吨 每 种 产 品 需 原 料 及 每 天原 料 的 可 用 限 额 如 表 所 示 ， 如 果 生 产 1 吨 甲 、 乙 产 品 可 获 利 润 分 别 为 3 万 元 、 4 万 元 ， 则 该企 业 每 天 可 获 得 最 大 利 润 为 （ ）
9、A.1 2 万 元B.1 6 万 元C.1 7 万 元D.1 8 万 元【 答 案 】 D 解 析 ： 设 该 企 业 每 天 生 产 甲 、 乙 两 种 产 品 分 别 为 x 、 y 吨 ， 则 利 润 3 4z x y 由 题 意 可 列 3 2 122 800 x yx yxy ， 其 表 示 如 图 阴 影 部 分 区 域 ： 当 直 线 3 4 0 x y z 过 点 (2,3)A 时 ， z 取 得 最 大 值 ， 所 以 max 3 2 4 3 18z ， 故选 D.11.设 复 数 ( 1)z x yi ( , )x y R ， 若 | | 1z ， 则 y x 的 概 率
10、为 （ ）A. 3 14 2B. 1 14 2C.1 12 D.1 12 【 答 案 】 B解 析 ： 2 2 2 2( 1) | | ( 1) 1 ( 1) 1z x yi z x y x y 如 图 可 求 得 (1,1)A ， (1,0)B ， 阴 影 面 积 等 于 21 1 11 1 14 2 4 2 若 | | 1z ， 则 y x 的 概 率 是 21 1 14 21 4 2 ， 故 选 B.12.对 二 次 函 数 2( )f x ax bx c （ a 为 非 零 常 数 ） ， 四 位 同 学 分 别 给 出 下 列 结 论 ， 其 中 有且 仅 有 一 个 结 论 是 错
11、 误 的 ， 则 错 误 的 结 论 是 （ ）A.-1 是 ( )f x 的 零 点B.1 是 ( )f x 的 极 值 点C.3 是 ( )f x 的 极 值D. 点 (2,8)在 曲 线 ( )y f x 上 【 答 案 】 A解 析 ： 若 选 项 A错 误 时 ， 选 项 B、 C、 D正 确 ， 因 为 1 是 ( )f x 的 极 值 点 ， 3 是 ( )f x 的 极 值 ， 所 以 解 得 ： 因 为 点 （ 2,8） 在 曲 线( )y f x 上 ， 所 以 4a+2b+c=8， 即 4a+2 （ -2a） +a+3=8.解 得 ： a=5， 所 以 b=-10， c=
12、8，所 以 因 为 所 以 -1不 是 ( )f x 的 零 点 ，所 以 选 项 A错 误 ， 选 项 B、 C、 D 正 确 ， 故 选 A.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 .）13.中 位 数 1 0 1 0 的 一 组 数 构 成 等 差 数 列 ， 其 末 项 为 2 0 1 5 ， 则 该 数 列 的 首 项 为 .【 答 案 】 5解 析 ： 设 数 列 的 首 项 为 1a ， 则 1 2015 2 1010 2020a ， 所 以 1 5a ， 故 该 数 列 的 首 项 为 5， 所 以 答 案 应 填 ： 5
13、.14.若 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 准 线 经 过 双 曲 线 2 2 1x y 的 一 个 焦 点 ， 则 p= .【 答 案 】 2 2解 析 ： 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 准 线 方 程 是 ， 双 曲 线 的 一 个 焦 点因 为 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 准 线 方 程 经 过 双 曲 线 的 一 个 焦 点 ， 所 以， 解 得 P=2 2 .15.设 曲 线 xy e 在 点 （ 0,1） 处 的 切 线 与 曲 线 1( 0)y xx 上 点 p 处 的 切 线 垂 直 ， 则 p 的 坐 标 为 .【 答 案 】
14、1,1解 析 ： 因 为 xy e ， 所 以 xy e ， 所 以 曲 线 xy e 在 点 0,1 处 的 切 线 的 斜 率01 0 1xk y e ， 设 的 坐 标 为 0 0,x y （ 0 0 x ） ， 则 0 01y x ， 因 为 1y x ， 所 以21y x ， 所 以 曲 线 1y x 在 点 处 的 切 线 的 斜 率 02 201x xk y x ， 因 为 1 2 1k k ，所 以 201 1x ， 即 20 1x ， 解 得 0 1x ， 因 为 0 0 x ， 所 以 0 1x ， 所 以 0 1y ， 即 的 坐 标 是 1,1 ， 所 以 答 案 应
15、填 ： 1,1 . 16.如 图 ， 一 横 截 面 为 等 腰 梯 形 的 水 渠 ， 因 泥 沙 沉 积 ， 导 致 水 渠 截 面 边 界 呈 抛 物 线 型 （ 图 中虚 线 表 示 ） ， 则 原 始 的 最 大 流 量 与 当 前 最 大 流 量 的 比 值 为 .【 答 案 】 1.2解 析 ： 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 所 示 ： 原 始 的 最 大 流 量 是 1 10 10 2 2 2 162 ， 设 抛 物 线 的 方 程 为 2 2x py （ 0p ） ，因 为 该 抛 物 线 过 点 5,2 ， 所 以 22 2 5p ， 解 得 254p ，
16、 所 以 2 252x y ， 即 2225y x ，所 以 当 前 最 大 流 量 是 5 32 3 5 355 2 2 2 2 402 2 2 5 5 2 5 525 75 75 75 3x dx x x ，故 原 始 的 最 大 流 量 与 当 前 最 大 流 量 的 比 值 是 16 1.2403 ， 所 以 答 案 应 填 ： 1.2.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 7 0 分 .解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算步 骤 .） 1 7 . C 的 内 角 ， ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c .向 量
17、, 3m a b 与 cos ,sinn 平 行 .（ I） 求 ；（ II） 若 7a ， 2b 求 C 的 面 积 .解 析 ： （ ） 利 用 向 量 的 平 行 ， 列 出 方 程 ， 通 过 正 弦 定 理 求 解 A；（ ） 利 用 A， 以 及 7, 2a b ， 通 过 余 弦 定 理 求 出 c， 然 后 求 解 ABC的 面 积 .答 案 ： （ I） 因 为 /m n ， 所 以 sin 3 cos 0a B b A- = ，由 正 弦 定 理 ， 得 sinAsinB 3sinBcosA 0- = 又 sin 0 ， 从 而 tan 3A= ，由 于 0 A ， 所 以
18、 3A (II)解 法 一 ： 由 余 弦 定 理 ， 得 2 2 2 2 cosa b c bc A= + -而 7b 2,a = = 3得 27 4 2c c= + - ， 即 2 2 3 0c c- - =因 为 0c ， 所 以 3c = .故 ABC的 面 积 为 1 3 3bcsinA2 2= . 解 法 二 ： 由 正 弦 定 理 ， 得 7 2sinsin 3 B 从 而 21sin 7B 又 由 a b 知 A B ， 所 以 2 7cos 7B 故 sin sin( ) sin( )3C A B B 3 21sin cos cos sin3 3 14B B ， 所 以 AB
19、C 面 积 为 1 3 3sin2 2ab C .1 8 .如 图 1， 在 直 角 梯 形 CD 中 ， D/ C ， D 2 ， C 1 ， D 2 ，是 D 的 中 点 ， 是 C 与 的 交 点 .将 沿 折 起 到 1的 位 置 ， 如 图 2.（ I） 证 明 ： CD平 面 1 C ；（ II） 若 平 面 1平 面 CD ， 求 平 面 1 C 与 平 面 1CD 夹 角 的 余 弦 值 . 解 析 ： （ 1 ） 运 用 E 是 AD 的 中 点 ， 判 断 得 出 BE AC， BE 面 A1OC， 考 虑 CD DE， 即 可 判 断 CD 面 A1OC.(II)先 建
20、立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 再 算 出 平 面 1 C 和 平 面 1CD 的 法 向 量 ， 进 而 可 得 出 平 面1 C 与 平 面 1CD 夹 角 的 余 弦 值 .答 案 ： （ I） 在 图 1 中 ，因 为 AB=BC=1,AD=2,E是 AD 的 中 点 ， BAD= 2 ， 所 以 BE AC即 在 图 2 中 ， BE 1OA ， BE OC从 而 BE 平 面 1AOC 又 CD/BE， 所 以 CD 平 面 1AOC .(II)由 已 知 ， 平 面 1ABE 平 面 BCDE， 又 由 （ 1） 知 ， BE 1OA ， BE OC所 以 1AOC 为 二
21、面 角 1- -CA BE 的 平 面 角 ， 所 以 1OC 2A . 如 图 ， 以 O为 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，因 为 1 1B= E=BC=ED=1A A , BC/ED所 以 12 2 2 2( ,0,0),E( ,0,0),A (0,0, ),C(0, ,0),2 2 2 2B -得 2 2BC( , ,0),2 2- 1 2 2AC(0, , )2 2- ， CD BE ( 2,0,0)= = - .设 平 面 1BCA 的 法 向 量 1 1 1 1( , , )n x y z= ， 平 面 1CDA 的 法 向 量 2 2 2 2( , , )n
22、x y z= ， 平 面 1BCA与 平 面 1CDA 夹 角 为 ， 则 11 1 00n BCn AC ， 得 1 11 1 00 x yy z ， 取 1 (1,1,1)n = ， 22 1 00n CDn AC ， 得 22 20 0 xy z ， 取 2 (0,1,1)n ，从 而 1 2 2 6cos |cos , | 33 2n n ，即 平 面 1BCA 与 平 面 1CDA 夹 角 的 余 弦 值 为 63 .1 9 .设 某 校 新 、 老 校 区 之 间 开 车 单 程 所 需 时 间 为 ， 只 与 道 路 畅 通 状 况 有 关 ， 对 其 容 量 为100的 样 本
23、 进 行 统 计 ， 结 果 如 下 ：（ 分 钟 ） 25 30 35 40频 数 （ 次 ） 20 30 40 10 （ I） 求 的 分 布 列 与 数 学 期 望 ；（ II） 刘 教 授 驾 车 从 老 校 区 出 发 ， 前 往 新 校 区 做 一 个 5 0 分 钟 的 讲 座 ， 结 束 后 立 即 返 回 老 校 区 ，求 刘 教 授 从 离 开 老 校 区 到 返 回 老 校 区 共 用 时 间 不 超 过 1 2 0 分 钟 的 概 率 .解 析 ： （ I） 先 算 出 的 频 率 分 布 ， 进 而 可 得 的 分 布 列 ， 再 利 用 数 学 期 望 公 式 可
24、得 数 学 期望 ； （ II） 先 设 事 件 表 示 “ 刘 教 授 从 离 开 老 校 区 到 返 回 老 校 区 共 用 时 间 不 超 过 120分钟 ” ， 再 算 出 的 概 率 .答 案 ： （ I） 由 统 计 结 果 可 得 T的 频 率 分 步 为（ 分 钟 ） 25 30 35 40频 率 0.2 0.3 0.4 0.1以 频 率 估 计 概 率 得 T的 分 布 列 为 25 30 35 40 0.2 0.3 0.4 0.1从 而 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 32ET （ 分 钟 ）(II)设 1 2,T T 分 别 表 示 往 、 返 所
25、 需 时 间 ， 1 2,T T 的 取 值 相 互 独 立 ， 且 与 T 的 分 布 列 相 同 .设 事件 A 表 示 “ 刘 教 授 共 用 时 间 不 超 过 120分 钟 ” ， 由 于 讲 座 时 间 为 50分 钟 ， 所 以 事 件 A对 应 于“ 刘 教 授 在 途 中 的 时 间 不 超 过 70 分 钟 ” .解 法 一 ： 1 2 1 2 1 2(A) P( 70) P( 25, 45) P( 30, 40)P T T T T T T 1 2 1 2P( 35, 35) P( 40, 30)T T T T 1 0.2 1 0.3 0.9 0.4 0.5 0.1 0.9
26、1 .解 法 二 ：1 2 1 2 1 2(A) P( 70) P( 35, 40) P( 40, 35)P T T T T T T= + = = = + = = 1 2P( 40, 40)T T+ = =0.4 0.1 0.1 0.4 0.1 0.1 0.09 故 (A) 1 P(A) 0.91P = - = .2 0 .已 知 椭 圆 : 2 22 2 1x ya b （ 0a b ） 的 半 焦 距 为 c， 原 点 到 经 过 两 点 ,0c ， 0,b 的 直 线 的 距 离 为 12c .（ I） 求 椭 圆 的 离 心 率 ；（ II） 如 图 ， 是 圆 : 2 2 52 1
27、2x y 的 一 条 直 径 ， 若 椭 圆 经 过 ， 两 点 ，求 椭 圆 的 方 程 .解 析 ： （ I） 先 写 过 点 ,0c ， 0,b 的 直 线 方 程 ， 再 计 算 原 点 到 该 直 线 的 距 离 ， 进 而 可 得 椭 圆 的 离 心 率 ； （ II） 先 由 （ I） 知 椭 圆 的 方 程 ， 设 的 方 程 ， 联 立 2 2 22 14 4y k xx y b ，消 去 y ， 可 得 1 2x x 和 1 2x x 的 值 ， 进 而 可 得 k， 再 利 用 10 可 得 2b 的 值 ， 进 而 可得 椭 圆 的 方 程 .答 案 ： （ I） 过
28、点 (c,0),(0,b)的 直 线 方 程 为 0bx cy bc+ - = ，则 原 点 O 到 直 线 的 距 离 2 2bc bcd ab c ，由 12d c= ， 得 2 22 2a b a c= = - ， 解 得 离 心 率 32ca = . (II)解 法 一 ： 由 （ I） 知 ， 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 24 4x y b+ = . (1)依 题 意 ， 圆 心 M(-2,1)是 线 段 AB 的 中 点 ， 且 |AB| 10= .易 知 ， AB 不 与 x轴 垂 直 ， 设 其 直 线 方 程 为 ( 2) 1y k x= + + ， 代 入 (1)得
29、2 2 2 2(1 4 ) 8 (2 1) 4(2 1) 4 0k x k k x k b+ + + + + - =设 1 1 2 2( ,y ),B( ,y ),A x x 则 2 21 2 1 22 28 (2 1) 4(2 1) 4, .1 4 1 4k k k bx x x xk k+ + -+ =- =-+ +由 1 2 4x x+ =- ， 得 28 (2 1) 4,1 4k kk+- = -+ 解 得 12k = . 从 而 21 2 8 2x x b= - . 于 是 2 2 21 2 1 2 1 21 5|AB| 1 | | 4 10( 2)2 2x x x x x x b
30、.由 |AB| 10= ， 得 210( 2) 10b - = ， 解 得 2 3b = .故 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 112 3x y+ = .解 法 二 ： 由 （ I） 知 ， 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 24 4x y b+ = . (2)依 题 意 ， 点 A， B 关 于 圆 心 M(-2,1)对 称 ， 且 |AB| 10= .设 1 1 2 2( ,y ),B( ,y ),A x x 则 2 2 21 14 4x y b+ = ， 2 2 22 24 4x y b+ = ， 两 式 相 减 并 结 合 1 2 1 24,y 2,x x y+ =- + = 得
31、 ( )1 2 1 2-4( ) 8 0 x x y y- + - = .易 知 ， AB 不 与 x轴 垂 直 ， 则 1 2x x ， 所 以 AB的 斜 率 1 21 2 1k .2AB y yx x-= =-因 此 AB直 线 方 程 为 1( 2) 12y x= + + ， 代 入 (2)得 2 24 8 2 0.x x b+ + - =所 以 1 2 4x x+ =- ， 21 2 8 2x x b= - .于 是 2 2 21 2 1 2 1 21 5|AB| 1 | | 4 10( 2)2 2x x x x x x b . 由 |AB| 10= ， 得 210( 2) 10b
32、- = ， 解 得 2 3b = .故 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 112 3x y+ = .2 1 .设 nf x 是 等 比 数 列 1， x ， 2x ， ， nx 的 各 项 和 ， 其 中 0 x ， n ， 2n .（ I） 证 明 ： 函 数 F 2n nx f x 在 1,12 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 （ 记 为 nx ） ， 且11 12 2 nn nx x ；（ II） 设 有 一 个 与 上 述 等 比 数 列 的 首 项 、 末 项 、 项 数 分 别 相 同 的 等 差 数 列 ， 其 各 项 和 为 ng x ，比 较 nf x 与 ng x 的
33、 大 小 ， 并 加 以 证 明 . 解 析 ： （ I） 先 利 用 零 点 定 理 可 证 Fn x 在 1,12 内 至 少 存 在 一 个 零 点 ， 再 利 用 函 数 的 单 调性 可 证 Fn x 在 1,12 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ， 进 而 利 用 nx 是 Fn x 的 零 点 可 证 11 12 2 nn nx x ； （ II） 先 设 n nh x f x g x ， 再 对 x 的 取 值 范 围 进 行 讨 论 来 判 断 h x 与 0的 大 小 ， 进 而 可 得 nf x 和 ng x 的 大 小 .答 案 ： （ I） 2( ) ( ) 2
34、1 2,nn nF x f x x x x= - = + + + - 则 (1) 1 0,nF n= - 12 111 1 1 1 12( ) 1 2 2 0,12 2 2 2 21 2nnn nF 所 以 ( )nF x 在 1,12 内 至 少 存 在 一 个 零 点 nx . 又 1( ) 1 2 0nnF x x nx ， 故 在 1,12 内 单 调 递 增 ，所 以 ( )nF x 在 1,12 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 nx .因 为 nx 是 ( )nF x 的 零 点 ， 所 以 ( )=0n nF x ， 即 11 2 01 nn nxx +- - =- ， 故
35、11 1= +2 2 nn nx x + .(II)解 法 一 ： 由 题 设 ， ( )( )1 1( ) .2 nn n xg x + += 设 ( )( )2 1 1( ) ( ) ( ) 1 , 0.2 nnn n n xh x f x g x x x x x+ += - = + + + - 当 1x= 时 , ( ) ( )n nf x g x=当 1x 时 , 11 1( ) 1 2 .2 nn n n xh x x nx 若0 1x , 1 1 1 11( ) 2 2n n n nn nh x x x nx x ( ) ( )1 11 1 0.2 2n nn n n nx x-
36、-+ += - = 所 以 ( )h x 在 (0,1)上 递 增 ， 在 (1, ) 上 递 减 ，所 以 ( ) (1) 0h x h = ， 即 ( ) ( )n nf x g x .综 上 所 述 ， 当 1x= 时 , ( ) ( )n nf x g x= ； 当 1x 时 ( ) ( )n nf x g x当 1x= 时 , ( ) ( )n nf x g x=当 1x 时 , 用 数 学 归 纳 法 可 以 证 明 ( ) ( )n nf x g x . 当 2n= 时 , 22 2 1( ) ( ) (1 ) 0,2f x g x x- = - - 所 以 2 2( ) ( )
37、f x g x 成 立 .假 设 ( 2)n k k 时 ， 不 等 式 成 立 ， 即 ( ) ( )k kf x g x .那 么 ， 当 +1n k= 时 ， ( )( )1 1 1k+1 k 1 1( ) ( ) ( ) 2 kk k kk k xf x f x x g x x x+ + + += + ， 则 1 1( ) (k 1) 1 1 (x 1)k k k kh x k x k k x k k x 所 以 当 0 1x , ( ) 0kh x , ( )kh x 在 (1, ) 上 递 增 .所 以 ( ) (1) 0k kh x h = ， 从 而 ( )1k+1 2 1 1
38、( ) 2k kx k x kg x + + + + +故 1 1( ) ( )k kf x g x+ + .即 +1n k= ， 不 等 式 也 成 立 .所 以 ， 对 于 一 切 2n 的 整 数 ， 都 有 ( ) ( )n nf x g x ， 1 1n k .若 0 1x , 1 1n kx - + , 1 1n kx - + , ( ) 0km x ,从 而 ( )km x 在 (0,1)上 递 减 , ( )km x 在 (1, ) 上 递 增 .所 以 ( ) (1) 0k km x m = ，所 以 当 0 1 (2 ),k kx x a b k n 且 时 , 又 1 1
39、a b= , 1 1n na b+ += ， 故 ( ) ( )n nf x g x综 上 所 述 ， 当 1x= 时 , ( ) ( )n nf x g x= ； 当 1x 时 ( ) ( )n nf x g x请 在 2 2 、 2 3 、 2 4 三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .作 答时 用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 的 题 号 后 的 方 框 涂 黑 .2 2 .如 图 ， 切 O 于 点 ， 直 线 D 交 O 于 D， 两 点 ， C D ， 垂 足 为 C. （ I） 证 明 ：
40、C D D ；（ II） 若 D 3DC ， C 2 ， 求 O 的 直 径 .解 析 ： （ I） 先 证 C D D ， 再 证 D D ， 进 而 可 证 C D D ；（ II） 先 由 （ I） 知 D 平 分 C ， 进 而 可 得 D 的 值 ， 再 利 用 切 割 线 定 理 可 得 的值 ， 进 而 可 得 O 的 直 径 .答 案 ： （ I） 因 为 DE 为 圆 O 的 直 径 ， 则 BED EDB 90，又 BC DE， 所 以 CBD+ EDB=90 ， 从 而 CBD= BED.又 AB 切 圆 O 于 点 B， 得 DAB= BED， 所 以 CBD= DBA
41、.（ II） 由 （ I） 知 BD平 分 CBA， 则 = 3BA ADBC CD = ,又 = 2BC ， 从 而 3 2AB= ， 所 以 2 2 4AC AB BC= - = ， 所 以 D=3A . 由 切 割 线 定 理 得 2=ADAB AE ， 即 2= ADABAE =6，故 DE=AE-AD=3， 即 圆 O 的 直 径 为 3.2 3 .在 直 角 坐 标 系 x y 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 13 232x ty t （ t 为 参 数 ） .以 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， C 的 极 坐 标 方
42、程 为 2 3sin .（ I） 写 出 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ II） 为 直 线 l 上 一 动 点 ， 当 到 圆 心 C的 距 离 最 小 时 ， 求 的 直 角 坐 标 .【 答 案 】 （ I） 22 3 3x y ； （ II） 3,0 . 解 析 ：（ I） 先 将 2 3sin 两 边 同 乘 以 可 得 2 2 3 sin ， 再 利 用 2 2 2x y ，sinx 可 得 C 的 直 角 坐 标 方 程 ； （ II） 先 设 的 坐 标 ， 则 2C 12t ， 再 利 用 二次 函 数 的 性 质 可 得 C 的 最 小 值 ， 进 而 可 得 的 直
43、 角 坐 标 .答 案 ： （ I） 由 22 3sin , 2 3 sin 得 ，从 而 有 22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y 所 以 .(II)设 1 3(3 t, t), C(0, 3)2 2P + 又 ,则 22 21 3|PC| 3 3 122 2t t t ， 故 当 t=0时 ， |PC|取 最 小 值 ， 此 时 P 点 的 直 角 坐 标 为 （ 3， 0） .2 4 .已 知 关 于 x 的 不 等 式 x a b 的 解 集 为 2 4x x .（ I） 求 实 数 a， b的 值 ；（ II） 求 12at bt 的 最 大 值 .【 答 案 】
44、 （ I） 3a ， 1b ； （ II） 4.解 析 ： （ I） 先 由 x a b 可 得 b a x b a ， 再 利 用 关 于 x 的 不 等 式 x a b 的 解集 为 2 4x x 可 得 a ， b的 值 ； （ II） 先 将 3 12t t 变 形 为 3 4 t t ，再 利 用 柯 西 不 等 式 可 得 3 12t t 的 最 大 值 . 答 案 ： （ I） 由 | |x a b+ ， 得 b a x b a- - -则 2,4,b ab a 解 得 3a =- , 1b= （ II） 2 2 223 +12+ 3 4 3 1 4t t t t t t 2 4 4t t= - + =当 且 仅 当 4 13t t- = ， 即 1t = 时 等 号 成 立 ，故 ( )max3 +12+ 4t t- = .
