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    2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学文及答案解析.docx

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    2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学文及答案解析.docx

    1、2 0 1 5 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 陕 西 卷 ) 数 学 文一 .选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .( 本 大 题 共 1 0 小 题 ,每 小 题 5 分 , 共 5 0 分 ) .1 . 设 集 合 2 | M x x x , | lg 0N x x , 则 M N ( )A. 0,1B.(0,1C. 0,1) D.( ,1【 答 案 】 A解 析 : 由 , 所 以, 故 答 案 选 A.2 . 某 中 学 初 中 部 共 有 1 1 0 名 教 师 , 高

    2、中 部 共 有 1 5 0 名 教 师 , 其 性 别 比 例 如 图 所 示 , 则 该 校女 教 师 的 人 数 为 ( ) A.9 3B.1 2 3C.1 3 7D.1 6 7【 答 案 】 C解 析 : 由 图 可 知 该 校 女 教 师 的 人 数 为 110 70% 150 (1 60%) 77 60 137 故 答 案 选 C. 3 . 已 知 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p 的 准 线 经 过 点 ( 1,1) , 则 抛 物 线 焦 点 坐 标 为 ( )A.( 1,0)B.(1,0)C.(0, 1)D.(0,1)【 答 案 】 B解 析 : 由 抛 物 线 2 2

    3、 ( 0)y px p 得 准 线 2px , 因 为 准 线 经 过 点 ( 1,1) , 所 以 2p , 所 以 抛 物 线 焦 点 坐 标 为 (1,0), 故 答 案 选 B4 . 设 1 , 0( ) 2 , 0 x x xf x x , 则 ( ( 2)f f ( )A. 1B. 14C. 12D. 32 【 答 案 】 C解 析 : 因 为 , 所 以 故 答 案 选 C.5 . 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ( ) A. 3B. 4C. 2 4 D. 3 4 【 答 案 】 D解 析 : 由 几 何 体 的 三

    4、 视 图 可 知 该 几 何 体 为 圆 柱 的 截 去 一 半 ,所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 为 211 2 1 2 2 2 3 42 , 故 答 案 选 D6 . “ sin cos ” 是 “ cos2 0 ” 的 ( ) A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要【 答 案 】 A解 析 : 所 以故 答 案 选 A.7 . 根 据 下 边 框 图 , 当 输 入 x 为 6 时 , 输 出 的 y ( ) A.1B. 2 C. 5D.10【 答 案 】 D解 析 : 该 程 序 框 图 运 行

    5、如 下 : 6 3 3 0 x , 3 3 0 x , 0 3 3 0 x ,2( 3) 1 10y , 故 答 案 选 D .8 .对 任 意 向 量 ,a b , 下 列 关 系 式 中 不 恒 成 立 的 是 ( )A. | | | | |a b a b B. | | | | | |a b a b C. 2 2( ) | |a b a b D. 2 2( )( )a b a b a b 【 答 案 】 B解 析 : 因 为 所 以 A选 项 正 确 ; 当 方 向 相 反 时 , B 选 项 不成 立 , 所 以 B 选 项 错 误 ; 向 量 平 方 等 于 向 量 模 的 平 方 ,

    6、 所 以 C 选 项 正 确 ;所 以 D选 项 正 确 , 故 答 案 选 B. 9.设 ( ) sinf x x x , 则 ( )f x ( )A.既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数B.既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数C.是 有 零 点 的 减 函 数D.是 没 有 零 点 的 奇 函 数【 答 案 】 B解 析 : ( ) sin ( ) ( ) sin( ) sin ( sin ) ( )f x x x f x x x x x x x f x 又 ( )f x 的 定 义 域 为 R是 关 于 原 点 对 称 , 所 以 ( )f x 是 奇 函 数 ;( ) 1 cos

    7、0 ( )f x x f x 是 增 函 数 .故 答 案 选 B1 0 .设 ( ) ln ,0f x x a b , 若 ( )p f ab , ( )2a bq f , 1 ( ( ) ( )2r f a f b , 则 下 列 关 系 式 中 正 确 的 是 ( )A. q r p B. q r p C. p r q D. p r q 【 答 案 】 C解 析 : 1( ) ln ln2p f ab ab ab ; ( ) ln2 2a b a bq f ;1 1( ( ) ( ) ln2 2r f a f b ab 因 为 2a b ab , 由 ( ) lnf x x 是 个 递

    8、增 函 数 , ( ) ( )2a bf f ab 所 以 q p r , 故 答 案 选 C1 1 .某 企 业 生 产 甲 乙 两 种 产 品 均 需 用 A, B 两 种 原 料 , 已 知 生 产 1 吨 每 种 产 品 需 原 料 及 每 天 原料 的 可 用 限 额 表 所 示 , 如 果 生 产 1 吨 甲 乙 产 品 可 获 利 润 分 别 为 3 万 元 、 4 万 元 , 则 该 企 业 每天 可 获 得 最 大 利 润 为 ( )A.1 2 万 元 B.1 6 万 元C.1 7 万 元D.1 8 万 元【 答 案 】 D解 析 : 设 该 企 业 每 天 生 产 甲 乙

    9、两 种 产 品 分 别 x, y 吨 , 则 利 润 z=3x+4y, 由 题 意 可 列, 其 表 示 如 图 阴 影 部 分 区 域 : 当 直 线 3 4 0 x y z 过 点 (2,3)A 时 , z 取 得 最 大 值 3 2 4 3 18z 故 答 案 选 D1 2 . 设 复 数 ( 1)z x yi ( , )x y R , 若 | | 1z , 则 y x 的 概 率 ( )A. 3 14 2B. 1 12 C. 1 14 2D. 1 12 【 答 案 】 C解 析 : 2 2 2 2( 1) | | ( 1) 1 ( 1) 1z x yi z x y x y 如 图 可

    10、求 得 (1,1)A , (1,0)B , 阴 影 面 积 等 于 21 1 11 1 14 2 4 2 若 | | 1z , 则 y x 的 概 率 21 1 14 21 4 2 故 答 案 选 C二 、 填 空 题 : 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 题 号 后 的 横 线 上 ( 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 ,共 2 5 分 ) . 1 3 、 中 位 数 为 1 0 1 0 的 一 组 数 构 成 等 差 数 列 , 其 末 项 为 2 0 1 5 , 则 该 数 列 的 首 项 为 _【 答 案 】 5解 析 : 若 这 组 数 有 2n+1个 ,

    11、 则 若 这组 数 有 2n 个 , 则 ; 故答 案 为 5.1 4 、 如 图 , 某 港 口 一 天 6 时 到 1 8 时 的 谁 深 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数 y 3 sin( 6 x ) k, 据此 函 数 可 知 , 这 段 时 间 水 深 (单 位 : m)的 最 大 值 为 _. 【 答 案 】 8解 析 : 由 图 像 得 , 当 sin( ) 16 x 时 min 2y , 求 得 5k ,当 sin( ) 16 x 时 , max 3 1 5 8y , 故 答 案 为 8.1 5 、 函 数 xy xe 在 其 极 值 点 处 的 切 线 方 程 为 _.

    12、解 析 : , 函 数在 其 极 值 点 处 的 切 线 方 程 为 1y e . 1 6 、 观 察 下 列 等 式 :1 1 12 21 1 1 1 1 12 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 4 5 6 据 此 规 律 , 第 n 个 等 式 可 为 _.【 答 案 】 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n 【 解 析 】解 析 : 观 察 等 式 知 : 第 n 个 等 式 的 左 边 有 2n个 数 相 加 减 , 奇 数 项 为 正 , 偶 数 项 为 负 , 且 分子 为 1, 分 母 是 1

    13、到 2n的 连 续 正 整 数 , 等 式 的 右 边 是 1 1 11 2 2n n n .故 答 案 为 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n 三 、 解 答 题 : 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ( 本 大 题 共 6 小 题 , 共 75分 )1 7 . ABC 的 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c , 向 量 ( , 3 )m a b 与 (cos ,sin )n A B平 行 .(I)求 A; (II)若 7, 2a b 求 ABC 的 面 积 .解

    14、 析 : ( ) 利 用 向 量 的 平 行 , 列 出 方 程 , 通 过 正 弦 定 理 求 解 A;( ) 利 用 A, 以 及 7, 2a b , 通 过 余 弦 定 理 求 出 c, 然 后 求 解 ABC的 面 积 .答 案 : (I)因 为 /m n , 所 以 sin 3 cos 0a B b A 由 正 弦 定 理 , 得 sin sin 3sin cos 0A B B A ,又 sin 0B , 从 而 tan 3A ,由 于 0 A 所 以 3A (II)解 法 一 : 由 余 弦 定 理 , 得2 2 2 2 cosa b c bc A , 而 7, 2a b , 3A

    15、 ,得 27 4 2c c , 即 2 2 3 0c c 因 为 0c , 所 以 3c ,故 ABC 面 积 为 1 3 3sin2 2bc A . 解 法 二 : 由 正 弦 定 理 , 得 7 2sinsin 3 B 从 而 21sin 7B 又 由 a b 知 A B , 所 以 2 7cos 7B 故 sin sin( ) sin( )3C A B B 3 21sin cos cos sin3 3 14B B ,所 以 ABC 面 积 为 1 3 3sin2 2ab C .1 8 .如 图 1 , 在 直 角 梯 形 ABCD中 , / , ,2AD BC BAD AB BC 12

    16、AD a , E 是AD 的 中 点 , O是 OC 与 BE 的 交 点 , 将 ABE 沿 BE 折 起 到 图 2 中 1ABE 的 位 置 , 得到 四 棱 锥 1A BCDE .(I)证 明 : CD平 面 1AOC ;(II)当 平 面 1ABE 平 面 BCDE时 , 四 棱 锥 1A BCDE 的 体 积 为 36 2 , 求 a 的 值 . 解 析 : ( 1 ) 运 用 E 是 AD 的 中 点 , 判 断 得 出 BE AC, BE 面 A1OC, 考 虑 CD DE, 即 可 判 断CD 面 A1OC(II)由 已 知 , 平 面 1ABE 平 面 BCDE , 且 平

    17、 面 1ABE 平 面 BCDE BE , 又 由 (I)知 ,1AO BE , 所 以 1AO 平 面 BCDE, 即 1AO 是 四 棱 锥 1A BCDE 的 高 , 易 求 得 平 行 四边 形 BCDE 面 积 2S BC AB a , 从 而 四 棱 锥 1A BCDE 的 为311 23 6V S AO a , 由 32 36 26 a , 得 6a .答 案 : ( 1 ) 在 图 1中 ,因 为 AB=BC= AD=a, E是 AD的 中 点 , BAD= , 所 以 BE AC,即 在 图 2中 , BE A1O, BE OC,从 而 BE 面 A1OC,由 CD DE,所

    18、 以 CD 面 A1OC.(II)由 已 知 , 平 面 1ABE 平 面 BCDE,且 平 面 1ABE 平 面 BCDE BE又 由 (I)知 , 1AO BE , 所 以1AO 平 面 BCDE, 即 1AO 是 四 棱 锥 1A BCDE 的 高 ,由 图 1 可 知 , 1 2 22 2AO AB a , 平 行 四 边 形 BCDE面 积 2S BC AB a ,从 而 四 棱 锥 1A BCDE 的 为2 311 1 2 23 3 2 6V S AO a a a ,由 32 36 26 a , 得 6a . 1 9 .随 机 抽 取 一 个 年 份 , 对 西 安 市 该 年 4

    19、 月 份 的 天 气 情 况 进 行 统 计 , 结 果 如 下 :日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5天 气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日 期 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 0天 气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨(I)在 4 月 份 任 取 一 天 , 估 计 西 安 市 在 该 天 不 下 雨 的 概 率 ;(II)西 安 市 某 学 校 拟 从 4 月 份 的 一 个 晴 天 开 始 举

    20、行 连 续 两 天 的 运 动 会 , 估 计 运 动 会 期 间 不 下 雨 的 概 率 .解 析 : (I)在 容 量 为 3 0 的 样 本 中 , 从 表 格 中 得 , 不 下 雨 的 天 数 是 2 6 , 以 频 率 估 计 概 率 , 4 月份 任 选 一 天 , 西 安 市 不 下 雨 的 概 率 是 26 1330 15 .(II)称 相 邻 两 个 日 期 为 “ 互 邻 日 期 对 ” ( 如 1 日 与 2 日 , 2 日 与 3 日 等 ) 这 样 在 4 月 份 中 , 前 一 天 为 晴 天 的 互 邻 日 期 对 有 1 6 对 , 其 中 后 一 天 不 下

    21、 雨 的 有 1 4 个 , 所 以 晴 天 的 次 日 不 下 雨 的频 率 为 14 716 8 , 以 频 率 估 计 概 率 , 运 动 会 期 间 不 下 雨 的 概 率 为 78 .答 案 : (I)在 容 量 为 3 0 的 样 本 中 , 不 下 雨 的 天 数 是 2 6 , 以 频 率 估 计 概 率 , 4 月 份 任 选 一 天 ,西 安 市 不 下 雨 的 概 率 是 1315 .(II)称 相 邻 两 个 日 期 为 “ 互 邻 日 期 对 ” ( 如 1 日 与 2 日 , 2 日 与 3 日 等 ) 这 样 在 4 月 份 中 , 前一 天 为 晴 天 的 互

    22、邻 日 期 对 有 1 6 对 , 其 中 后 一 天 不 下 雨 的 有 1 4 个 , 所 以 晴 天 的 次 日 不 下 雨 的频 率 为 78 , 以 频 率 估 计 概 率 , 运 动 会 期 间 不 下 雨 的 概 率 为 78 .2 0 .如 图 , 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yE a ba b 经 过 点 (0, 1)A , 且 离 心 率 为 22 .(I)求 椭 圆 E 的 方 程 ;(II)经 过 点 (1,1) , 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 E 交 于 不 同 两 点 ,P Q ( 均 异 于 点 A) , 证 明 :直 线 AP 与 AQ

    23、的 斜 率 之 和 为 2 . 解 析 : (I)由 题 意 知 2 , 12c ba , 由 2 2 2a b c , 解 得 2a , 继 而 得 椭 圆 的 方 程 为2 2 12x y ;(II) 设 1 1 2 2,P x y Q x y , 1 2 0 x x 由 题 设 知 , 直 线 PQ 的 方 程 为 ( 1) 1( 2)y k x k ,代 入2 2 12x y , 化 简 得 2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k , 则1 2 1 22 24 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2k k k kx x x xk k , 由 已 知

    24、 0 , 从 而 直 线 AP 与 AQ 的 斜 率 之 和 1 2 1 21 2 1 11 1 2 2AP AQ y y kx k kx kk k x x x x 化 简 得 1 21 22 (2 )AP AQ x xk k k k x x 4 ( 1)2 2 2 (2 1) 22 ( 2)k kk k k kk k .答 案 : (I)由 题 意 知 2 , 12c ba ,综 合 2 2 2a b c , 解 得 2a ,所 以 , 椭 圆 的 方 程 为 2 2 12x y . (II)由 题 设 知 , 直 线 PQ 的 方 程 为 ( 1) 1( 2)y k x k , 代 入 2

    25、 2 12x y , 得2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k ,由 已 知 0 , 设 1 1 2 2,P x y Q x y , 1 2 0 x x 则 1 2 1 22 24 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2k k k kx x x xk k ,从 而 直 线 AP 与 AQ的 斜 率 之 和1 2 1 21 2 1 11 1 2 2AP AQ y y kx k kx kk k x x x x 1 21 2 1 21 12 (2 ) 2 (2 ) x xk k k kx x x x 4 ( 1)2 2 2 (2 1) 22 ( 2)k kk k

    26、 k kk k .2 1 . 设 2( ) 1, , 2.nnf x x x x n N n (I)求 (2)nf ;(II)证 明 : ( )nf x 在 20, 3 内 有 且 仅 有 一 个 零 点 ( 记 为 na ) , 且 1 1 20 2 3 3 nna . 解 析 : (I)由 题 设 1( ) 1 2 nnf x x nx , 所 以 1(2) 1 2 2 2nnf n , 此 式 等 价于 数 列 1 2 nn 的 前 n项 和 , 由 错 位 相 减 法 求 得 (2) ( 1)2 1nnf n ; (II)因 为 (0) 1 0f , 22 2 2( ) 1 2 1 2

    27、 03 3 3nnf , 所 以 ( )nf x 在 2(0, )3 内至 少 存 在 一 个 零 点 , 又 1( ) 1 2 0nnf x x nx , 所 以 ( )nf x 在 2(0, )3 内 单 调 递 增 ,因 此 , ( )nf x 在 2(0, )3 内 有 且 只 有 一 个 零 点 na , 由 于 1( ) 11 nn xf x x , 所 以10 ( ) 11 nnn n naf a a , 由 此 可 得 11 1 12 2 2nn na a 故 1 22 3na , 继 而 得 111 1 1 2 1 20 2 2 2 3 3 3n nnn na a . 答 案

    28、 : (I)由 题 设 1( ) 1 2 nnf x x nx ,所 以 1(2) 1 2 2 2nnf n 由 22 (2) 1 2 2 2 2nnf n 得 2 1(2) 1 2 2 2 2n nnf n 21 2 2 (1 )2 11 2 n nn n ,所 以 (2) ( 1)2 1nnf n (II)因 为 (0) 1 0f 22 213 32 2 2( ) 1 1 2 1 2 023 3 31 3 n nnf ,所 以 ( )nf x 在 2(0, )3 内 至 少 存 在 一 个 零 点 ,又 1( ) 1 2 0nnf x x nx 所 以 ( )nf x 在 2(0, )3

    29、内 单 调 递 增 , 因 此 , ( )nf x 在 2(0, )3 内 有 且 只 有 一 个 零 点 na ,由 于 1( ) 11 nn xf x x , 所 以 10 ( ) 11 nnn n naf a a 由 此 可 得 11 1 12 2 2nn na a 故 1 22 3na 所 以 111 1 1 2 1 20 2 2 2 3 3 3n nnn na a 2 2 . 如 图 , AB 切 O 于 点 B , 直 线 AO交 O 于 ,D E 两 点 , ,BC DE 垂 足 为 C .(I)证 明 : CBD DBA (II)若 3 , 2AD DC BC , 求 O 的

    30、直 径 .解 析 : (I)因 为 DE 是 O 的 直 径 , 则 90BED EDB , 又 BC DE , 所 以90CBD EDB , 又 AB 切 O 于 点 B , 得 DBA BED , 所 以CBD DBA ;(II)由 (I)知 BD 平 分 CBA , 则 3BA ADBC CD , 又 2BC , 从 而 3 2AB , 由2 2 2AB BC AC ,解 得 4AC , 所 以 3AD , 由 切 割 线 定 理 得 2AB AD AE , 解 得 6AE , 故3DE AE AD ,即 O 的 直 径 为 3 .答 案 : (I)因 为 DE 是 O 的 直 径 ,则

    31、 90BED EDB 又 BC DE , 所 以 90CBD EDB 又 AB 切 O 于 点 B ,得 DBA BED 所 以 CBD DBA (II)由 (I)知 BD 平 分 CBA ,则 3BA ADBC CD ,又 2BC , 从 而 3 2AB ,所 以 2 2 4AC AB BC 所 以 3AD ,由 切 割 线 定 理 得 2AB AD AE 即 2 6ABAE AD ,故 3DE AE AD ,即 O 的 直 径 为 3 .2 3 .在 直 角 坐 标 系 xOy中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 13 2 (32x t ty t 为 参 数 ) , 以 原 点 为

    32、极 点 , x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , C 的 极 坐 标 方 程 为 2 3sin . (I)写 出 C 的 直 角 坐 标 方 程 ;(II) P 为 直 线 l 上 一 动 点 , 当 P 到 圆 心 C的 距 离 最 小 时 , 求 点 P 的 坐 标 .解 析 : (I) 由 2 3sin , 得 2 2 3 sin , 从 而 有 2 2 2 3x y y , 所 以 22 3 3x y (II)设 1 33 ,2 2P t t , 又 (0, 3)C , 则 22 21 33 3 122 2PC t t t ,故 当 0t 时 , PC 取 得

    33、最 小 值 , 此 时 P点 的 坐 标 为 (3,0). 答 案 : (I)由 2 3sin ,得 2 2 3 sin ,从 而 有 2 2 2 3x y y 所 以 22 3 3x y (II)设 1 33 ,2 2P t t , 又 (0, 3)C ,则 22 21 33 3 122 2PC t t t ,故 当 0t 时 , PC 取 得 最 小 值 ,此 时 P点 的 坐 标 为 (3,0).2 4 .已 知 关 于 x 的 不 等 式 x a b 的 解 集 为 |2 4x x (I)求 实 数 ,a b 的 值 ;(II)求 12at bt 的 最 大 值 .解 析 : (I)由

    34、 x a b , 得 b a x b a , 由 题 意 得 24b ab a , 解 得 3, 1a b ;(II)柯 西 不 等 式 得3 12 3 4t t t t 2 2 2 2( 3) 1 ( 4 ) ( )t t 2 4 4t t ,当 且 仅 当 4 13 t t 即 1t 时 等 号 成 立 , 故 min3 12 4t t . 答 案 : (I)由 x a b , 得 b a x b a 则 24b ab a , 解 得 3, 1.a b (II) 3 12 3 4t t t t 2 2 2 2( 3) 1 ( 4 ) ( )t t 2 4 4t t 当 且 仅 当 4 13 t t 即 1t 时 等 号 成 立 , 故 min3 12 4t t


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