1、2018年 陕 西 省 榆 林 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=x|-1 x 2， x N， 集 合 B=2， 3， 则 A B 等 于 ( )A.2B.1， 2， 3C.-1， 0， 1， 2， 3D.0， 1， 2， 3解 析 ： 根 据 并 集 的 运 算 即 可 得 到 结 论 . A=x|-1 x 2， x N=0， 1， 2， 集 合 B=2， 3， A B=0， 1
2、， 2， 3.答 案 ： D2.若 向 量 ra=(1， 1)， rb=(2， 5)， rc =(3， x)满 足 条 件 8 30 gr r ra b c ， 则 x=( )A.6B.5C.4D.3解 析 ： 向 量 ra=(1， 1)， rb=(2， 5)， 8 r ra b=(8， 8)-(2， 5)=(6， 3) 8 6 3 3 30 r r rga b c x ， x=4.答 案 ： C3.设 Sn是 等 差 数 列 an的 前 n项 和 ， 已 知 a2=3， a6=11， 则 S7等 于 ( )A.13B.35C.49D.63解 析 ： 根 据 等 差 数 列 的 性 质 可 知
3、 项 数 之 和 相 等 的 两 项 之 和 相 等 即 a 1+a7=a2+a6， 求 出 a1+a7的值 ， 然 后 利 用 等 差 数 列 的 前 n项 和 的 公 式 表 示 出 S7， 将 a1+a7的 值 代 入 即 可 求 出 . a1+a7=a2+a6=3+11=14， 1 7 2 67 7 7 7 14 492 2 2 a a a aS .答 案 ： C 4.按 下 面 的 流 程 图 进 行 计 算 .若 输 出 的 x=202， 则 输 入 的 正 实 数 x 值 的 个 数 最 多 为 ( )A.2B.3C.4D.5解 析 ： 通 过 分 析 循 环 框 图 ， 当 计
4、 数 变 量 x 100时 ， 结 果 循 环 ， 输 出 202.求 出 输 入 x的 个 数即 可 .程 序 框 图 的 用 途 是 数 列 求 和 ， 当 x 100时 结 束 循 环 ， 输 出 x 的 值 为 202：当 202=3x+1， 解 得 x=67； 即 输 入 x=67时 ， 输 出 结 果 202. 202=3(3x+1)+1， 解 得 x=22； 即 输 入 x=22时 ， 输 出 结 果 202.202=3(3(3x+1)+1)+1.即 201=3(3(3x+1)+1)， 67=3(3x+1)+1， 即 22=3x+1， 解 得 x=7， 输 入 x=7 时 ， 输
5、 出 结 果 202.202=3(3(3(3x+1)+1)+1)+1.解 得 x=2， 输 入 x=2时 ， 输 出 结 果 202.202=3(3(3(3(3x+1)+1)+1)+1)+1.解 得 x= 13 ， 输 入 x= 13 时 ， 输 出 结 果 202.共 有 5个 不 同 的 x 值 .答 案 ： D5.设 F 1， F2分 别 是 椭 圆 C： 2 22 2 1 x ya b (a b 0)的 左 、 右 焦 点 ， 点 P 在 椭 圆 C 上 ， 线 段 PF1的 中 点 在 y轴 上 ， 若 PF1F2=30 ， 则 椭 圆 C 的 离 心 率 为 ( )A. 33B.
6、36C. 13 D. 16解 析 ： 线 段 PF1的 中 点 在 y 轴 上设 P 的 横 坐 标 为 x， F1(-c， 0)， -c+x=0， x=c； P 与 F2的 横 坐 标 相 等 ， PF2 x轴 ， PF1F2=30 ， PF 2= 12 PF1， PF1+PF2=2a， PF2= 23 a，21 2 1 2 232 3t n 3a aPFPFF FF c ， 3ac ， 33 e ca .答 案 ： A6.已 知 曲 线 C 1： y=sinx， C2： 5cos 612 y x ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.把 C1上 各 点 横 坐 标 伸 长 到
7、原 来 的 2 倍 ， 再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 3 ， 得 到 曲 线 C2B.把 C1上 各 点 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ， 再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 23 ， 得 到 曲 线 C2C.把 C 1向 右 平 移 3 ， 再 把 得 到 的 曲 线 上 各 点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C2D.把 C1向 右 平 移 6 ， 再 把 得 到 的 曲 线 上 各 点 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C2解 析 ： 由 题 意 利 用 诱 导 公 式 、 y=Asin( x+
8、 )的 图 象 变 换 规 律 ， 得 出 结 论 .根 据 曲 线 C1： y=sinx， C2： 5cos si2 2n1 6 31 xy x ，把 C 1上 各 点 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ， 可 得 12sin xy 的 图 象 ；再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 23 ， 得 到 曲 线 C2： 5cos si2 2n1 6 31 xy x 的 图 象 .答 案 ： B7. 九 章 算 术 卷 五 商 功 中 有 如 下 问 题 ： 今 有 刍 甍 ， 下 广 三 丈 ， 袤 四 丈 ， 上 袤 二 丈 ， 无 广 ，高 一 丈 ， 问 积 几 何 .刍
9、 甍 ： 底 面 为 矩 形 的 屋 脊 状 的 几 何 体 (网 格 纸 中 粗 线 部 分 为 其 三 视 图 ， 设网 格 纸 上 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1丈 )， 那 么 该 刍 甍 的 体 积 为 ( ) A.4立 方 丈B.5立 方 丈C.6立 方 丈D.12立 方 丈解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 ， 可 知 该 几 何 体 是 组 合 体 ， 由 一 个 三 棱 柱 和 两 个 相 同 的 四 棱 锥 构 成 ，分 别 求 出 体 积 累 加 ， 即 可 .三 棱 柱 的 底 面 是 边 长 为 3， 高 为 1的 等 腰 三 角 形 .三 棱 柱
10、 的 高 为 2. 三 棱 柱 的 体 积 V= 12 3 2 1=3.两 个 相 同 的 四 棱 锥 合 拼 ， 可 得 底 面 边 长 为 2和 3的 矩 形 的 四 棱 锥 ， 其 高 为 1. 体 积 V= 13 2 3 1=2.该 刍 甍 的 体 积 为 ： 3+2=5.答 案 ： B8.曲 线 3 1 f x x x (x 0)上 一 动 点 P(x 0， f(x0)处 的 切 线 斜 率 的 最 小 值 为 ( )A. 3B.3C.2 3D.6解 析 ： 先 求 出 曲 线 对 应 函 数 的 导 数 ， 由 基 本 不 等 式 求 出 导 数 的 最 小 值 ， 即 得 到 曲
11、 线 斜 率 的 最小 值 . 3 1 f x x x (x 0)的 导 数 2 213 f x x x ， 在 该 曲 线 上 点 (x0， f(x0)处 切 线 斜 率 20 2013 k x x ，由 函 数 的 定 义 域 知 x0 0， 20 203 312 2 gk x x ， 当 且 仅 当 20 2013 x x ， 即 20 33x 时 ， 等 号 成 立 . k 的 最 小 值 为 2 3 .答 案 ： C9.已 知 直 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 6 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 若 AB=3， AC=4， AB AC， AA1=12， 则 球
12、 O的 直 径 为 ( )A.13B.4 10C.2 10D. 3 172解 析 ： BC为 过 底 面 ABC 的 截 面 圆 的 直 径 .取 BC中 点 D， 则 OD 底 面 ABC， 则 O在 侧 面 BCC 1B1内 ， 矩 形 BCC1B1的 对 角 线 长 即 为 球 直 径 . 因 为 直 三 棱 柱 中 ， AB=3， AC=4， AA1=12， AB AC，所 以 BC=5， 且 BC为 过 底 面 ABC的 截 面 圆 的 直 径 .取 BC 中 点 D， 则 OD 底 面 ABC， 则 O 在 侧 面 BCC1B1，矩 形 BCC1B1的 对 角 线 长 即 为 球
13、直 径 ， 所 以 2 22 12 5 13 R .答 案 ： A10.设 x， y 满 足 约 束 条 件 11 01 x yxx y ， 若 目 标 函 数 2 yz x 的 取 值 范 围 m， n恰 好 是 函 数y=2sin x( 0)的 一 个 单 调 递 增 区 间 ， 则 的 值 为 ( ) A. 12B. 2C. 4D. 8 解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 进 行 求 解 m， n， 然 后 利用 正 弦 函 数 的 单 调 区 间 列 出 方 程 求 解 即 可 .作 出 不 等 式 组 对
14、 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 则 z 的 几 何 意 义 为 区 域 内 的 点 D(-2， 0)的 斜 率 ，由 图 象 知 DB的 斜 率 最 小 ， DA的 斜 率 最 大 ，由 1 01 xx y ， 解 得 12 xy ， 即 A(-1， 2)，则 DA 的 斜 率 2 22 1 DAk ，由 1 01 xx y ， 解 得 12 xy ， 即 B(-1， -2)，则 DB 的 斜 率 2 21 2 DBk ，则 -2 z 2， 目 标 函 数 2 yz x 的 取 值 范 围 -2， 2恰 好 是 函 数 y=2sin x( 0)的 一 个 单 调 递 增 区 间 ，可 得
15、 2 = 2 ， 解 得 = 4 .答 案 ： C11.已 知 F 1， F2是 双 曲 线 2 22 2 1 x ya b (a 0， b 0)的 左 右 焦 点 ， 过 点 F2与 双 曲 线 的 一 条 渐 近线 平 行 的 直 线 交 双 曲 线 另 一 条 渐 近 线 于 点 M， 若 点 M 在 以 线 段 F1F2为 直 径 的 圆 外 ， 则 双 曲 线离 心 率 的 取 值 范 围 是 ( )A.(2， + )B.( 3 ， 2)C.( 2 ， 3 ) D.(1， 2 )解 析 ： 根 据 斜 率 与 平 行 的 关 系 即 可 得 出 过 焦 点 F2的 直 线 ， 与 另
16、 一 条 渐 近 线 联 立 即 可 得 到 交点 M 的 坐 标 ， 再 利 用 点 M在 以 线 段 F1F2为 直 径 的 圆 外 和 离 心 率 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .双 曲 线 2 22 2 1 x ya b 的 渐 近 线 方 程 为 y= ba x，不 妨 设 过 点 F2 与 双 曲 线 的 一 条 渐 过 线 平 行 的 直 线 方 程 为 y= ba (x-c)，与 y=ba x 联 立 ， 可 得 交 点 M( 2c ， 2 bca )， 点 M在 以 线 段 F 1F2为 直 径 的 圆 外 ， |OM| |OF2|， 即 有 2 2 2 224 4 c
17、 b c ca ， 22 3ba ， 即 b2 3a2， c 2-a2 3a2， 即 c 2a.则 e= ca 2. 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是 (2， + ).答 案 ： A12.对 于 函 数 f(x)和 g(x)， 设 x R|f(x)=0， x R|g(x)=0， 若 存 在 、 ， 使得 | - | 1， 则 称 f(x)与 g(x)互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” .若 函 数 f(x)=e x-1+x-2 与g(x)=x2-ax-a+3互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ( )A. 73 ， 3B.2， 7
18、3 C.2， 3D.2， 4解 析 ： 先 得 出 函 数 f(x)=e x-1+x-2 的 零 点 为 x=1.再 设 g(x)=x2-ax-a+3 的 零 点 为 ， 根 据 函 数f(x)=ex-1+x-2 与 g(x)=x2-ax-a+3 互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” ， 及 新 定 义 的 零 点 关 联 函 数 ， 有 |1- | 1， 从 而 得 出 g(x)=x2-ax-a+3的 零 点 所 在 的 范 围 ， 最 后 利 用 数 形 结 合 法 求 解 即 可 .函 数 f(x)=ex-1+x-2的 零 点 为 x=1.设 g(x)=x2-ax-a+3的 零 点 为
19、 ，若 函 数 f(x)=ex-1+x-2与 g(x)=x2-ax-a+3互 为 “ 零 点 关 联 函 数 ” ，根 据 零 点 关 联 函 数 ， 则 |1- | 1， 0 2， 如 图 ： 由 于 g(x)=x2-ax-a+3必 过 点 A(-1， 4)，故 要 使 其 零 点 在 区 间 0， 2上 ， 则g(0) g(2) 0或 0 02 000 22 V gg a ，解 得 2 a 3.答 案 ： C二 、 填 空 题 (本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 ) 13.若 角 的 终 边 经 过 点 P( 35
20、 ， 45 )， 则 sin tan 的 值 是 .解 析 ： 求 出 OP 的 距 离 ， 利 用 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 求 出 sin ， tan ， 即 可 求 出 sintan 的 值 得 到 结 果 .2 23 4 15 5 OP r ， 点 P 在 单 位 圆 上 ， 4sin 5 ， 4 45tan 3 35 ， 得 4 4 16sin tan 5 3 15 .答 案 ： 1615 14.有 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 歌 手 参 加 比 赛 ， 其 中 只 有 一 位 获 奖 ， 有 人 走 访 了 四 位 歌 手 ， 甲 说 ：“ 是 乙 或 丙
21、 获 奖 .” 乙 说 ： “ 甲 、 丙 都 未 获 奖 .” 丙 说 ： “ 我 获 奖 了 .” 丁 说 ： “ 是 乙 获 奖 .” 四 位 歌 手 的 话 只 有 两 句 是 对 的 ， 则 获 奖 的 歌 手 是 .解 析 ： 这 是 一 个 简 单 的 合 情 推 理 题 ， 我 们 根 据 “ 四 位 歌 手 的 话 只 有 两 句 是 对 的 ” ， 假 设 某 一个 人 说 的 是 真 话 ， 如 果 与 条 件 不 符 ， 说 明 假 设 不 成 立 ， 如 果 与 条 件 相 符 ， 则 假 设 成 立 的 方 法解 决 问 题 .若 甲 是 获 奖 的 歌 手 ， 则
22、 都 说 假 话 ， 不 合 题 意 .若 乙 是 获 奖 的 歌 手 ， 则 甲 、 乙 、 丁 都 说 真 话 ， 丙 说 假 话 ， 不 符 合 题 意 .若 丁 是 获 奖 的 歌 手 ， 则 甲 、 丁 、 丙 都 说 假 话 ， 乙 说 真 话 ， 不 符 合 题 意 .答 案 ： 丙15.设 l， m是 不 同 的 直 线 ， ， ， 是 不 同 的 平 面 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 . 若 l m， m ， 则 l 或 l 若 l ， ， 则 l 或 l 若 l ， m ， 则 l m或 l与 m相 交 若 l ， ， 则 l 或 l解 析 ： 对 于 四 个 选
23、 项 利 用 线 面 平 行 与 垂 直 以 及 面 面 垂 直 的 定 理 ， 公 理 逐 个 进 行 判 断 即 可 . 若 l m， m ， 则 l 或 l ， 故 错 ； 由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 知 ， 若 l ， ， 则 l 或 l ， 故 对 ； 若 l ， m ， 则 l m或 l与 m相 交 ， 或 l 与 m 异 面 ， 故 错 ； 若 l ， ， 则 l 或 l 或 l 或 l ， 或 l 与 相 交 .故 错 .答 案 ： 16.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 P 是 函 数 f(x)=e x(x 0)的 图 象 上 的 动 点 ，
24、 该 图 象 在 点 P处 的 切 线 l 交 y 轴 于 点 M， 过 点 P 作 l 的 垂 线 交 y 轴 于 点 N， 设 线 段 MN的 中 点 的 纵 坐 标 为 t，则 t 的 最 大 值 是 .解 析 ： 先 设 切 点 坐 标 为 (m， em)， 然 后 根 据 导 数 的 几 何 意 义 求 出 函 数 f(x)在 x=m处 的 导 数 ，从 而 求 出 切 线 的 斜 率 ， 求 出 切 线 方 程 ， 从 而 求 出 点 M 的 纵 坐 标 ， 同 理 可 求 出 点 N 的 纵 坐 标 ，将 t 用 m 表 示 出 来 ， 最 后 借 助 导 数 的 方 法 求 出
25、 函 数 的 最 大 值 即 可 .设 切 点 坐 标 为 (m， em). 该 图 象 在 点 P处 的 切 线 l 的 方 程 为 y-e m=em(x-m).令 x=0， 解 得 y=(1-m)em.过 点 P作 l的 垂 线 的 切 线 方 程 为 y-em=-e-m(x-m).令 x=0， 解 得 y=em+me-m. 线 段 MN 的 中 点 的 纵 坐 标 为 t= 12 (2-m)em+me-m.t = 12 -e m+(2-m)em+e-m-me-m， 令 t =0 解 得 ： m=1.当 m (0， 1)时 ， t 0， 当 m (1， + )时 ， t 0. 当 m=1时
26、 t 取 最 大 值 12 (e+e-1).答 案 ： 12 (e+e-1)三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 第 1721 题 为 必 考 题 ， 每 小 题 12 分 ， 第 22、 23题 为 选 考 题 ， 有 10 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .) 17.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 cos 2 cos b c aB A，( )求 角 A的 大 小 .解 析 ： ( )利 用 正 弦 定 理 化 简 ， 结 合 和 与 差 的 公 式
27、 求 角 A的 大 小 .答 案 ： ( )已 知 cos 2 cos b c aB A，正 弦 定 理 化 简 可 得 ：sin 2 sin sincos cos B C AB A ， 即 2 sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC 0 C ， sinC 0， 2 cosA=1.即 cosA= 22 ， A= 4 .( )若 a=2， 求 的 面 积 S的 最 大 值 .解 析 ： ( )a=2， 利 用 余 弦 定 理 建 立 等 式 关 系 ， 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 求 解 bc 的 最 大 值 ， 可 得 面 积 S 的 最 大 值 .答 案
28、： ( ) a=2， A= 4 ，余 弦 定 理 ： a2=b2+c2-2bccosA，可 得 ： b2+c2=4+ 2 bc， 4+ 2 bc 2bc， 当 且 仅 当 b=c时 取 等 号 .解 得 ： bc 2(2+ 2 )那 么 三 角 形 面 积 1 1 22 22 2sin 2 122 S bc A . 18.数 列 an满 足 a1=1， nan+1=(n+1)an+n(n+1)， n N*. ( )证 明 ： 数 列 nan 是 等 差 数 列 .解 析 ： ( )根 据 数 列 的 递 推 公 式 可 得 nan 是 以 11a =1为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差
29、 数 列 .答 案 ： ( )证 明 ： 由 已 知 可 得 1 11 n na an n ，即 1 11 n na an n ， nan 是 以 11a =1为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 .( )若 T n=a1-a2+a3-a4+ +(-1)n+1an， 求 T2n.解 析 ： ( ) 先 求 出 an 的 通 项 公 式 ， 然 后 根 据 T2n=a1-a2+a3-a4+ +a2n-1-a2n=12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2， 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： ( )由 ( )得 nan =n， an=n2， Tn=a1-a2+a3-a4+
30、 +(-1)n+1an， T 2n=a1-a2+a3-a4+ +a2n-1-a2n=12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2，=-(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+ +(2n+2n-1)(2n-2n+1)，=-(3+7+ +2n-1)，= 3 4 12 n n ，=-2n2-n.19.在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ABD=90 ， EB 平 面 ABCD， EF AB， AB=2， EB= 3 ， EF=1， BC= 13 ， 且 M 是 BD的 中 点 . ( )求 证 ： EM 平 面 ADF.解 析 ：
31、( )法 一 、 取 AD 的 中 点 N， 连 接 MN， NF， 由 已 知 及 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得 MN EF且 MN=EF.得 到 四 边 形 MNFE为 平 行 四 边 形 ， 则 EM FN， 由 线 面 平 行 的 判 定 可 得 EM 平 面 ADF.法 二 、 由 EB 平 面 ABD， AB BD， 故 以 B 为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 B-xyz.再 由 已 知 求 得 所 用 点 的 坐 标 ， 求 出 uuurEM 与 平 面 ADF 的 一 个 法 向 量 ， 由 数 量 积 为 0 可 得r uuu
32、rn EM ， 再 由 EM平 面 ADF， 可 得 EM 平 面 ADF. 答 案 ： ( )证 明 ： 法 一 、 取 AD的 中 点 N， 连 接 MN， NF，在 DAB中 ， M 是 BD 的 中 点 ， N是 AD的 中 点 ， MN AB， MN= 12 AB，又 EF AB， EF= 12 AB， MN EF 且 MN=EF. 四 边 形 MNFE 为 平 行 四 边 形 ， 则 EM FN，又 FN平 面 ADF， EM平 面 ADF， 故 EM 平 面 ADF.法 二 、 EB 平 面 ABD， AB BD，故 以 B为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直
33、角 坐 标 系 B-xyz： AB=2， EB= 3 ， EF=1， BC= 13 ， B(0， 0， 0)， D(3， 0， 0)， A(0， 0， 2)， E(0， 0， 3 )， F(0， 1， 3 )， M( 32 ， 0， 0)，uuurEM =( 32 ， 0， 3 )， uuurAD=(3， -2， 0)， uuurAF =(0， -1， 3 )，设 平 面 ADF的 一 个 法 向 量 是 rn=(x， y， z).由 2 0 033 ggr uuurr uuurn AD x yn AF y z ， 令 y=3， 得 rn=(2， 3， 3 ).又 uur rguEM n=3-
34、3=0， r uuurn EM ，又 EM平 面 ADF， 故 EM 平 面 ADF.( )求 二 面 角 A-FD-B的 余 弦 值 的 大 小 . 解 析 ： ( )由 ( )可 知 平 面 ADF的 一 个 法 向 量 是 rn=(2， 3， 3 ).再 求 出 平 面 BFD的 一 个 法向 量 是 urm=(0， 3 ， 1)， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 A-FD-B 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )由 ( )可 知 平 面 ADF的 一 个 法 向 量 是 rn=(2， 3， 3 ).uuurBD=(3， 0， 0)， uuurBF =
35、(0， 1， 3 )，设 平 面 BFD的 一 个 法 向 量 是 urm=(x， y， z)，由 3 03 0 ggur uuurur uuurm BD xm BF y z ， 令 z=1， 得 urm=(0， 3 ， 1)， cos urm， rn 342 432 ur ru ggr rm nm n ，又 二 面 角 A-FD-B为 锐 角 ，故 二 面 角 A-FD-B的 余 弦 值 大 小 为 34 .20.已 知 抛 物 线 E： y 2=2px(p 0)的 准 线 与 x 轴 交 于 点 K， 过 点 K 做 圆 C： (x-5)2+y2=9的 两 条切 线 ， 切 点 为 M，
36、N， |MN|=3 3 .( )求 抛 物 线 E的 方 程 .解 析 ： ( )由 抛 物 线 的 方 程 可 得 K 的 坐 标 以 及 C 的 坐 标 ， 设 MN 与 x 轴 交 于 点 R， 分 析 可 得|MR|与 |CR|的 值 ， 进 而 可 得 P的 值 ， 代 入 抛 物 线 的 方 程 即 可 得 答 案 .答 案 ： ( )根 据 题 意 ， 抛 物 线 的 E的 方 程 为 y 2=2px(p 0)， 则 K( 2 p ， 0)， C(5， 0)设 MN 与 x 轴 交 于 点 R， 由 圆 的 对 称 性 可 知 ， |MR|= 3 32 .于 是 |CR|= 32
37、 ， 所 以 CMR=30 ， MCR=60 ，所 以 |CK|=6， 所 以 p=2.故 抛 物 线 E的 方 程 为 y2=4x.( )若 直 线 AB是 过 定 点 Q(2， 0)的 一 条 直 线 ， 且 与 抛 物 线 E 交 于 A， B 两 点 ， 过 定 点 Q 作 AB的 垂 线 与 抛 物 线 交 于 G， D 两 点 ， 求 四 边 形 AGBD面 积 的 最 小 值 .解 析 ： ( )设 直 线 AB的 方 程 为 x=my+2， 设 A=(x 1， y1)， B=(x2， y2)， 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方程 ， 由 根 与 系 数 的 关 系 分 析
38、 可 得 |AB|的 长 ， 再 设 G=(x3， y3)， D=(x4， y4)， 同 理 可 得 |GD|的长 ， 进 而 可 以 用 m 表 示 四 边 形 AGBD面 积 ， 由 基 本 不 等 式 的 性 质 分 析 可 得 答 案 .答 案 ： ( )设 直 线 AB的 方 程 为 x=my+2， 设 A=(x1， y1)， B=(x2， y2)，联 立 2 4 2 y xx my 得 y2-4my-8=0， 则 y1+y2=4m， y1y2=-8. 2 2 2 2 21 21 1 16 32 4 1 2 g gAB m y y m m m m ，设 G=(x3， y3)， D=(
39、x4， y4)，同 理 得 2 21 14 1 2 gGD m m ，则 四 边 形 AGBD 的 面 积 2 22 21 18 1 112 2 2 g g g gS AB GD m mm m2 22 21 18 2 2 5 gm mm m ，令 2 21m m = ( 2)， 则 28 2 2 5 8 2 9 10 S ，28 2 9 10 S 是 关 于 的 增 函 数 ，故 Smin=48， 当 且 仅 当 m= 1 时 取 得 最 小 值 48.21.已 知 函 数 f(x)=xlnx， xxg x e ， 记 F(x)=f(x)-g(x).( )求 证 ： F(x)在 区 间 (1，
40、 + )内 有 且 仅 有 一 个 实 根 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 以 及 零 点 定 理 证 明 即 可 .答 案 ： ( )证 明 ： ln xxF x x x e ， 定 义 域 为 x (0， + )， 11 ln xxF x x e ， 当 x 1时 ， F (x) 0， F(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 ，又 F(1)= 1e 0， F(2)=2ln2 22e 0，而 F(x)在 (1， + )上 连 续 ，根 据 零 点 存 在 定 理 可 得 ：F(x)在 区 间 (1， + )有 且 仅 有 一 个 实
41、根 .( )用 mina， b表 示 a， b 中 的 最 小 值 ， 设 函 数 m(x)=minf(x)， g(x)， 若 方 程 m(x)=c在 区 间 (1， + )内 有 两 个 不 相 等 的 实 根 x 1， x2(x1 x2)， 记 F(x)在 (1， + )内 的 实 根 为 x0.求 证 ： 1 2 02 x x x .解 析 ： ( )根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 m(x)的 解 析 式 ， 问 题 转 化 为 证 明 0 10 11 1 22ln x xx xx x e ， x1 (1， x0)记 0022ln x xx xh x x x e ， x (1，
42、x0)， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 . 答 案 ： ( )当 0 x 1 时 ， f(x)=xlnx 0，而 g(x)= xxe 0， 故 此 时 有 f(x) g(x)，由 ( )知 ， F(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 ，有 x0为 F(x)在 (1， + )内 的 实 根 ，所 以 F(x0)=f(x0)-g(x0)=0，故 当 1 x x0时 ， F(x) 0， 即 f(x) g(x)；当 x x 0时 ， F(x) 0， 即 f(x) g(x).因 而 00ln 0 ， ， xx x x xm x x x xe ，当 1 x x0时 ， m(x)=x
43、lnx， m (x)=1+lnx 0，因 而 m(x)在 (1， x0)上 递 增 ；当 x x0 时 ， xxm x e ， 1 0 xxm x e ，因 而 m(x)在 (x 0， + )上 递 减 ；若 方 程 m(x)=c 在 (1， + )有 两 不 等 实 根 x1， x2，则 满 足 x1 (1， x0)， x2 (x0， + )要 证 ： 1 2 02 x x x ， 即 证 ： x1+x2 2x0， 即 证 ： x2 2x0-x1 x0，而 m(x)在 (x0， + )上 递 减 ，即 证 ： m(x2) m(2x0-x1)， 又 因 为 m(x1)=m(x2)，即 证 ：
44、m(x 1) m(2x0-x1)，即 证 ： 0 10 11 1 22ln x xx xx x e ， x1 (1， x0)记 0022ln x xx xh x x x e ， x (1， x0)，由 F(x0)=0得 ： 000 0ln xxx x e ， h(x 0)=0， 0 0 00 02 2 21 2 1 21 ln 1 ln x x x x x xx x x xh x x xe e e ， xxg x e ， 则 1 xxg x e ， 当 0 x 1 时 ， g (x) 0； 当 x 1时 ， g (x) 0.故 g(x) g(x)= 1e ， 所 以 当 x 0 时 ， 0 g
45、(x) 1e ， 2x 0-x 0， 0022 10 x xx xe e ，因 此 0 0 00 02 2 21 2 1 2 11 ln 1 ln 1 0 x x x x x xx x x xh x x xe e e e ，即 h(x)在 递 增 .从 而 当 1 x1 x0时 ，h(x) h(x0)=0， 即 0 10 11 1 22ln x xx xx x e ， 故 1 2 02 x x x 得 证 .请 考 生 在 22、 23两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在
46、 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 点 A 的极 坐 标 为 (4 2 ， 4 )， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos( - 4 )=a， 且 l 过 点 A， 曲 线 C 1的 参考 方 程 为 32cossin xy ( 为 参 数 ).( )求 曲 线 C1上 的 点 到 直 线 l 的 距 离 的 最 大 值 与 最 小 值 .解 析 ： ( )由 直 线 l过 点 A 可 得 4 cos 4 42 a， 故 a=4 2 ， 从 而 直 线 l 的 极 坐 标方 程 为
47、sin + cos =8， 由 此 能 求 出 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y-8=0.根 据 点 到 直 线 的距 离 方 程 可 得 曲 线 C 1 上 的 点 到 直 线 l 的 距 离 2cos sin32 28 7 sin 8 a a ad ， 2sin 77 ， 21cos 7 ， 由 此 能求 出 曲 线 C1上 的 点 到 直 线 l 的 距 离 的 最 大 值 与 最 小 值 .答 案 ： ( ) 点 A的 极 坐 标 为 (4 2 ， 4 )， 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 cos( - 4 )=a， 且 l过 点 A， 由 直 线 l过 点 A
48、 可 得 4 cos 4 42 a， 故 a=4 2 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 sin + cos =8， 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y-8=0. 曲 线 C1 的 参 考 方 程 为 32cossin xy ( 为 参 数 ). 根 据 点 到 直 线 的 距 离 方 程 可 得 曲 线 C1上 的 点 到 直 线 l 的 距 离 ： 2cos sin32 28 7 sin 8 a a ad ， 2sin 77 ， 21cos 7 ， 8 14 8 2227 maxd ， 8 2 142mind .( )过 点 B(-2， 2)与 直 线 l 平 行 的 直 线 l 1与 曲 C1线 交 于 M， N两 点 ， 求 |BM| |BN|的 值 . 解 析 ： ( )由 直 线 l 的 倾 斜 角 为 34 ， 得 到 直 线 l1的 参 数 方 程 为 2 co 3432 4ssin x ty t (t 为参 数 ).由 曲 线 C1的 普 通 方 程 为 2 2 14 3 x y ， 把 直 线 l1的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C1的 普 通 方 程 可得 2 27 14 16 02 t t ， 由 此 能 求 出 |BM|
