1、2018年 湖 南 省 岳 阳 市 高 考 二 模 数 学 文一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .)1.已 知 集 合 A=1， 10， 110 ， B=y|y=lgx， x A， 则 A B=( )A. 110 B.10C.1D. 解 析 ： 将 集 合 A中 的 元 素 代 入 集 合 B中 的 函 数 y=lgx 中 ， 求 出 可 对 应 y 的 值 ， 确 定 出 集 合 B，找 出 两 集 合 的 公 共 元 素 ， 即
2、可 求 出 两 集 合 的 交 集 .将 x=1代 入 得 ： y=lg1=0； 将 x=10代 入 得 ： y=lg10=1； 将 x= 110 代 入 得 ： y=lg 110 =-1， 集 合 B=0， -1， 1， 又 A=1， 10， 110 ，则 A B=1.答 案 ： C2.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 复 数 101 2 ii 的 虚 部 为 ( )A.-2B.2 C.-2iD.2i解 析 ： 求 复 数 101 2 ii 的 虚 部 ， 首 先 把 该 复 数 分 子 分 母 同 时 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 ， 化 为 实 部 加虚 部 乘 以 i的 形 式
3、 ， 则 虚 部 可 求 . 10 1 210 20 10 4 21 2 1 2 1 2 5 i ii i ii i i ，所 以 复 数 101 2 ii 的 虚 部 为 2.答 案 ： B 3.设 x、 y 满 足 约 束 条 件 1 01 03 x yx yx ， 则 z=2x-3y 的 最 小 值 是 ( )A.-7B.-6 C.-5D.-3解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 ， 求 出 最 优 解 即 可 求 最 小 值 .由 z=2x-3y得 23 3y zx ，作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面
4、区 域 如 图 (阴 影 部 分 ABC)： 平 移 直 线 23 3y zx ， 由 图 象 可 知 当 直 线 23 3y zx ， 过 点 A 时 ， 直 线 23 3y zx 截 距最 大 ， 此 时 z 最 小 ，由 3 1 0 xx y 得 34 xy ， 即 A(3， 4)，代 入 目 标 函 数 z=2x-3y，得 z=2 3-3 4=6-12=-6. 目 标 函 数 z=2x-3y的 最 小 值 是 -6.答 案 ： B4.若 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 则 该 程 序 运 行 后 输 出 k的 值 是 ( ) A.5B.6C.7D.8解 析 ： 根 据 所 给 数
5、值 判 定 是 否 满 足 判 断 框 中 的 条 件 ， 然 后 执 行 循 环 语 句 ， 一 旦 不 满 足 条 件 就退 出 循 环 ， 执 行 语 句 输 出 k， 从 而 到 结 论 .当 输 入 的 值 为 n=5时 ，n不 满 足 第 一 判 断 框 中 的 条 件 ， n=16， k=1， n 不 满 足 第 二 判 断 框 中 的 条 件 ，n满 足 第 一 判 断 框 中 的 条 件 ， n=8， k=2， n 不 满 足 第 二 判 断 框 中 的 条 件 ，n满 足 第 一 判 断 框 中 的 条 件 ， n=4， k=3， n 不 满 足 第 二 判 断 框 中 的
6、 条 件 ，n满 足 第 一 判 断 框 中 的 条 件 ， n=2， k=4， n 不 满 足 第 二 判 断 框 中 的 条 件 ，n满 足 第 一 判 断 框 中 的 条 件 ， n=1， k=5， n 满 足 第 二 判 断 框 中 的 条 件 ，退 出 循 环 ， 即 输 出 的 结 果 为 k=5.答 案 ： A5.已 知 函 数 f(x)= 2 2 011 0 ， x x xxx 则 函 数 y=f(x)+3x 的 零 点 个 数 是 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 画 出 函 数 y=f(x)与 y=-3x 的 图 象 ， 判 断 函 数 的 零 点 个 数 即 可
7、. 函 数 f(x)= 2 2 011 0 ， x x xxx ，函 数 y=f(x)+3x的 零 点 个 数 ，就 是 函 数 y=f(x)与 y=-3x两 个 函 数 的 图 象 的 交 点 个 数 ：如 图 ： 由 函 数 的 图 象 可 知 ， 零 点 个 数 为 2个 .答 案 ： C6.七 巧 板 是 我 们 祖 先 的 一 项 创 造 ， 被 誉 为 “ 东 方 魔 板 ” ， 它 是 由 五 块 等 腰 直 角 三 角 形 (两 块 全等 的 小 三 角 形 、 一 块 中 三 角 形 和 两 块 全 等 的 大 三 角 形 )、 一 块 正 方 形 和 一 块 平 行 四 边
8、 形 组 成的 .如 图 是 一 个 用 七 巧 板 拼 成 的 正 方 形 中 任 取 一 点 ， 则 此 点 取 自 黑 色 部 分 的 概 率 是 ( ) A. 316B. 38C. 14D. 18解 析 ： 设 边 长 AB=2， 求 出 BCI和 平 行 四 边 形 EFGH 的 面 积 ， 计 算 对 应 的 面 积 比 即 可 . 设 AB=2， 则 BC=CD=DE=EF=1， 1 2 2 12 2 2 4 V BCIS ，2 1 14 22 V平 行 四 边 形 BCIEFGHS S ， 所 求 的 概 率 为 32 161 14 22 V 平 行 四 边 形正 方 形BCI
9、 EFGHABCDS SP S .答 案 ： A 7.“ 直 线 m与 平 面 内 无 数 条 直 线 平 行 ” 是 “ 直 线 m 平 面 ” 的 ( )A.充 要 条 件B.充 分 不 必 要 条 件C.必 要 不 充 分 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 性 质 定 理 、 充 分 必 要 条 件 即 可 判 断 出 结 论 .由 “ 直 线 m 平 面 ” ， 可 得 “ 直 线 m 与 平 面 内 无 数 条 直 线 平 行 ” ， 反 之 不 成 立 . “ 直 线 m与 平 面 内 无 数 条 直 线 平 行
10、 ” 是 “ 直 线 m 平 面 ” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： C8.若 将 函 数 y=sin2x的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 则 平 移 后 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 ( ) A. 2 12 kx (k Z)B. 2 2 kx (k Z)C. 2 kx (k Z)D. 2 12 kx (k Z)解 析 ： 利 用 函 数 y=Asin( x+ )的 图 象 变 换 规 律 ， 正 弦 函 数 的 图 象 的 对 称 性 ， 得 出 结 论 .将 函 数 y=sin2x 的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 则 平 移
11、 后 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为y=sin(2x+ 3 )， 令 2 3 2 x k ， 求 得 2 12 kx ， k Z， 故 所 得 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 2 12 kx ，k Z.答 案 ： D9.已 知 一 个 简 单 几 何 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 若 该 几 何 体 的 体 积 为 24 +48， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为 ( ) A.24 +48B.24 +90+6 41C.48 +48D.24 +66+6 41解 析 ： 由 题 意 ， 直 观 图 为 14 圆 锥 与 三 棱 锥 的 组 合 体 ， 该 几 何 体 的
12、 体 积 为 21 1 1 19 4 3 3 4 24 43 84 3 2 r r r r r ， r=2， 该 几 何 体 的 表 面 积 为1 1 1 1 122 2 4 212 8 6 82 36 6 6 6 10 24 66 6 44 1 .答 案 ： D10.函 数 2 ln x xy x 的 图 象 大 致 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 根 据 掌 握 函 数 的 奇 偶 性 和 函 数 的 单 调 性 即 可 判 断 .当 x 0 时 ， y=xlnx， y =1+lnx，即 0 x 1e 时 ， 函 数 y 单 调 递 减 ， 当 x 1e ， 函 数 y 单 调
13、递 增 ， 因 为 函 数 y为 偶 函 数 .答 案 ： D11.在 1 和 17之 间 插 入 n 个 数 ， 使 这 n+2 个 数 成 等 差 数 列 ， 若 这 n 个 数 中 第 一 个 为 a， 第 n个 为 b， 当 1 25a b 取 最 小 值 时 ， n=( )A.4B.5C.6D.7解 析 ： 利 用 等 差 数 列 的 性 质 可 得 a+b=18， 再 利 用 “ 乘 1 法 ” 与 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出 .由 已 知 得 a+b=1+17=18， 则 1 25 1 25 1 25 125 1 26 10 218 18 18 a b a b
14、a b a b b a ，当 且 仅 当 b=5a 时 取 等 号 ， 此 时 a=3， b=15， 可 得 n=7.答 案 ： D12.已 知 函 数 ln 2 x axf x x ， 若 有 且 仅 有 一 个 整 数 k， 使 得 f(k) 1， 则 实 数 a 的 取 值范 围 是 ( )A.(1， 3B. 14 ln 2 12 ， 16 ln 3 12 )C. 12 ln 2 1 ， 13 ln3 1 ) D.(1e -1， e-1解 析 ： 由 ln 2 1 x axx ， 得 ln2 1 xa x ，令 g(x)= ln xx ， 则 g (x)= 21 ln xx ，令 g (
15、x) 0， 解 得 ： 0 x e，令 g (x) 0， 解 得 ： x e，故 g(x)在 (0， e)递 增 ， 在 (e， + )递 减 ，而 g(2)= ln 22 0.345， g(3)= ln33 0.366，故 g(3) g(2)，故 g(2) 2a+1 g(3)， 故 1 1 1 14 2 6 2ln 2 ln 3 a .答 案 ： B二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 将 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 的 横 线 上 )13.若 数 列 an满 足 a1=1， a2= 12 ， an+12=an an+2(n
16、N*)， 则 数 列 an的 前 n项 和 Sn= .解 析 ： 利 用 等 比 数 列 的 定 义 、 求 和 公 式 即 可 得 出 . 数 列 a n满 足 a1=1， a2= 12 ， an+12=an an+2(n N*)， 数 列 an是 等 比 数 列 ， 公 比 21 12 aq a . 可 得 前 n 项 和 1 2 11 121 21 2 n nnS .答 案 ： 22 1 1 n14.已 知 f(x)=f(4-x)， 当 x 2 时 ， f(x)=e x， f (3)+f(3)= .解 析 ： 由 f(x)=f(4-x)可 得 ，函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线
17、 x=2对 称 ，当 x 2 时 ， f(x)=ex， f (x)=ex， f(3)=f(1)=e，f (3)=-f (1)=-e，故 f (3)+f(3)=0.答 案 ： 015.已 知 抛 物 线 y=ax 2(a 0)的 准 线 为 l， l与 双 曲 线 2 2 14 x y 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A， B两 点 ， 若 |AB|=4， 则 a= .解 析 ： 抛 物 线 y=ax2(a 0)的 准 线 l： y= 14 a ，双 曲 线 2 2 14 x y 的 两 条 渐 近 线 分 别 为 y= 12 x， y= 12 x，可 得 x A= 12 a ， xB=
18、 12a ， 可 得 |AB|= 1 12 2 a a =4， 则 a= 14 .答 案 ： 1416.直 线 ax+by+c=0 与 圆 O： x2+y2=16相 交 于 两 点 M、 N， 若 c2=a2+b2， P 为 圆 O 上 任 意 一 点 ，则 uuurguuurP PNM 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 取 MN 的 中 点 A， 连 接 OA， 则 OA MN.由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 算 出 OA=1， 从 而 在 RtAON 中 ， 得 到 cos AON= 14 ， 得 cos MON= 78 ， 最 后 根 据 向 量 数 量 积 的 公 式 即
19、可 算 出uuur uuurgOM ON 的 值 ， 运 用 向 量 的 加 减 运 算 和 向 量 数 量 积 的 定 义 ， 可 得 uuur uuurgPM PN =2-8cos AOP， 考 虑 uuurOP ， uurOA同 向 和 反 向 ， 可 得 最 值 ， 即 可 得 到 所 求 范 围 .取 MN 的 中 点 A， 连 接 OA， 则 OA MN， c2=a2+b2， O 点 到 直 线 MN的 距 离 2 2 1 cOA a b ，x2+y2=16的 半 径 r=4， Rt AON中 ， 设 AON= ， 得 cos 14 OAON ，2cos cos 2 2cos 1
20、718 81 MON ，由 此 可 得 ， cos 4 84 147 uuur uuur uuur uuurg gOM ON OM NON MO ， 则 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuuuu r uurg g g g ur uuurPM OM OP ON OP OM ON OP OP OM ONPN14 16 2 2 2 2 o8cos c s uuur uuuruur uurg gOP OP AOOA POA AOP，当 uuurOP ， uurOA同 向 时 ， 取 得 最 小 值 且 为 2-8=-6，当 uuurOP ， uu
21、rOA反 向 时 ， 取 得 最 大 值 且 为 2+8=10.则 uuurguuurP PNM 的 取 值 范 围 是 -6， 10.答 案 ： -6， 10三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 第 1721 题 为 必 考 题 ， 每 小 题 12 分 ， 第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 有 10 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 函 数 2sin3 sin cos f x x x x .(1)求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 .解 析 ： (1)利 用 三 角 恒 等
22、变 换 化 简 函 数 的 解 析 式 ， 利 用 三 角 函 数 的 周 期 公 式 即 可 得 解 .答 案 ： (1) 2sin sin cos cos2 sin 23 3 1 33 2 2 2 sin 2 3 2 f x x x x x x x ， 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 T= 22 = .(2)已 知 ABC的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 322 Af ， a=4， b+c=5， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (2)由 322 Af 求 得 A 的 值 ， 利 用 余 弦 定 理 求 得 bc 的 值 ， 可 得 ABC
23、 的 面 积 S= 12 bc sinA的 值 .答 案 ： (2) 3n2 3 32si 2 Af A ， sin 03 A ， A- 3 =0， A= 3 ，又 a=4， b+c=5， a2=b2+c2-2bc cosA=(b+c)2-3bc=25-3bc=16， bc=3， ABC的 面 积 sin 31 1 3 3 32 2 2 4 gS bc A .18.某 校 高 二 奥 赛 班 N 名 学 生 的 物 理 测 评 成 绩 (满 分 120 分 )分 布 直 方 图 如 图 ， 已 知 分 数 在100-110的 学 生 数 有 21 人 . (1)求 总 人 数 N 和 分 数
24、在 110-115 分 的 人 数 n.解 析 ： (1)求 出 该 班 总 人 数 、 分 数 在 110-115 内 的 学 生 的 频 率 ， 即 可 得 出 分 数 在 110-115内的 人 数 .答 案 ： (1)分 数 在 100-110内 的 学 生 的 频 率 为 P1=(0.04+0.03) 5=0.35，所 以 该 班 总 人 数 为 N= 210.35 =60，分 数 在 110-115 内 的 学 生 的 频 率 为 P2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01) 5=0.1， 分 数在 110-115内 的 人 数 n=60 0.1=6.(
25、2)现 准 备 从 分 数 在 110-115的 n 名 学 生 (女 生 占 13 )中 任 选 2 人 ， 求 其 中 恰 好 含 有 一 名 女 生的 概 率 .解 析 ： (2)利 用 列 举 法 确 定 基 本 事 件 的 个 数 ， 即 可 求 出 其 中 恰 好 含 有 一 名 女 生 的 概 率 . 答 案 ： (2)由 题 意 分 数 在 110-115 内 有 6 名 学 生 ， 其 中 女 生 有 2 名 ，设 男 生 为 A1， A2， A3， A4， 女 生 为 B1， B2，从 6 名 学 生 中 选 出 3人 的 基 本 事 件 为 ：(A1， A2)， (A1，
26、 A3)， (A1， A4)， (A1， B1)， (A1， B2)，(A2， A3)， (A2， A4)， (A2， B1)， (A2， B2)， (A3， A4)，(A3， B1)， (A3， B2)， (A4， B1)， (A4， B2)， (B1， B2)共 15 个 .其 中 恰 好 含 有 一 名 女 生 的 基 本 事 件 为(A 1， B1)， (A1， B2)， (A2， B2)， (A2， B1)， (A3， B1)，(A3， B2)， (A4， B1)， (A4， B2)， 共 8 个 ，所 以 所 求 的 概 率 为 P= 815 .(3)为 了 分 析 某 个 学 生
27、 的 学 习 状 态 ， 对 其 下 一 阶 段 的 学 生 提 供 指 导 性 建 议 ， 对 他 前 7 次 考 试的 数 学 成 绩 x(满 分 150分 )， 物 理 成 绩 y 进 行 分 析 ， 下 面 是 该 生 7次 考 试 的 成 绩 .已 知 该 生 的 物 理 成 绩 y与 数 学 成 绩 x是 线 性 相 关 的 ， 求 出 y关 于 x的 线 性 回 归 方 程 y bx a $ $ $. 若 该 生 的 数 学 成 绩 达 到 130分 ， 请 你 估 计 他 的 物 理 成 绩 大 约 是 多 少 ？(参 考 公 式 ： 1 21 $ n i ii n iix x
28、 y yb x x ， a y bx $ $ )解 析 ： (3)分 别 求 出 回 归 学 生 的 值 ， 代 入 从 而 求 出 线 性 回 归 方 程 ， 将 x=130 代 入 ， 从 而 求 出y的 值 .答 案 ： (3)x=100， y =100；由 于 x与 y之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 根 据 回 归 系 数 公 式 得 到 497 0.5994 $b ， $a=100-0.5 100=50， 线 性 回 归 方 程 为 $y =0.5x+50， 当 x=130时 ， $y =115.19.如 图 ， 多 面 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形 ABCD 为
29、 菱 形 ， 且 DAB=60 ， EF AC， AD=2，EA=ED=EF= 3 . (1)求 证 ： AD BE.解 析 ： (1)取 AD 中 点 O， 连 结 EO， BO.证 明 EO AD.BO AD.说 明 AD 平 面 BEO， 即 可 证 明 AD BE.答 案 ： (1)如 图 ， 取 AD 中 点 O， 连 结 EO， BO. EA=ED， EO AD. 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， AB=AD，又 DAB=60 ， ABD为 等 边 三 角 形 ， BA=BD， BO AD. BO EO=O， BO平 面 BEO， EO平 面 BEO， AD 平 面 BEO，
30、BE平 面 BEO， AD BE.(2)若 BE= 5 ， 求 三 棱 锥 F-BCD 的 体 积 .解 析 ： (2)解 法 一 ： 证 明 EO OB， 然 后 证 明 EO 平 面 ABCD.通 过 V F-BCD=VE-BCD求 解 即 可 .解 法 二 ： 解 法 二 ： 证 明 EO OB， 利 用 AD 平 面 EOB， 以 及 VF-BCD=VE-BCD=VE-ABD求 解 即 可 .答 案 ： (2)解 法 一 ： 在 EAD中 ， EA=ED= 3 ， AD=2， 2 2 2 EO AE AO ， ABD为 等 边 三 角 形 ， AB=BD=AD=2， BO= 3 .又
31、BE= 5 ， EO2+OB2=BE2， EO OB， AD OB=O， AD平 面 ABCD， BO平 面 ABCD， EO 平 面 ABCD.又 1 1 3 32 22 V g gABDS AD OB ， S BCD=S ABD= 3 .又 EF AC， 633 33 21 1 V gF BCD E BCD BCDV V S EO .解 法 二 ： 在 EAD中 ， EA=ED= 3 ， AD=2， 2 2 2 EO AE AO ， ABD为 等 边 三 角 形 ， AB=BD=AD=2， BO= 3 .又 BE= 5 ， EO2+OB2=BE2， EO OB，所 以 1 12 622 3
32、 2 V g gEOBS EO OB .又 S BCD=S ABD， EF AC， AD 平 面 EOB， 1 13 223 6 63 V gF BCD E BCD E ABD EOBV V V S AD .20.如 图 ， A， B 是 椭 圆 C： 2 2 14 x y 长 轴 的 两 个 端 点 ， P， Q是 椭 圆 C 上 都 不 与 A， B 重 合的 两 点 ， 记 直 线 BQ， AQ， AP 的 斜 率 分 别 是 kBQ， kAQ， kAP. (1)求 证 ： kBQ kAQ= 14 .解 析 ： (1)设 Q(x1， y1)， 由 题 意 方 程 求 出 A， B的 坐
33、标 ， 代 入 斜 率 公 式 即 可 证 明 kBQ kAQ= 14 .答 案 ： (1)证 明 ： 设 Q(x1， y1)，由 椭 圆 C： 2 2 14 x y ， 得 B(-2， 0)， A(2， 0)， 2121 1 12 21 1 1 11 42 2 4 14 4 g gBQ AQ xy y yk k x x x x . (2)若 kAP=4kBQ， 求 证 ： 直 线 PQ恒 过 定 点 ， 并 求 出 定 点 坐 标 .解 析 ： (2)由 (1)结 合 kAP=4kBQ， 可 得 kAP kAQ=-1， 设 P(x2， y2)， 直 线 PQ： x=ty+m， 联 立 直 线
34、方 程 与 椭 圆 方 程 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 及 kAP kAQ=-1列 式 求 得 m 值 ， 则 可 证 明 直 线 PQ恒 过定 点 ， 并 求 出 定 点 坐 标 .答 案 ： (2)由 (1)知 ： 14BQ BQk k 1 14 4gAP AQk k kAP kAQ=-1.设 P(x2， y2)， 直 线 PQ： x=ty+m，代 入 x 2+4y2=4， 得 (t2+4)y2+2mty+m2-4=0， 1 2 22 4 mty y t ， 21 2 2 44 my y t ，由 kAP kAQ=-1得 ： (x1-2)(x2-2)+y1y2=0， (t2+1
35、)y1y2+(m-2)t(y1+y2)+(m-2)2=0， (t2+1)(m2-4)+(m-2)t(-2mt)+(m-2)2(t2+4)=0， 5m 2-16m+12=0， 解 得 m=2或 m= 65 . m 2， m= 65 ， 直 线 PQ： x=ty+ 65 ， 恒 过 定 点 ( 65 ， 0).21.已 知 函 数 f(x)=ax 2+lnx+2.(1)若 a R， 讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性 .解 析 ： (1)求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 .答 案 ： (1) 21 2 12 axf
36、x ax x x ， (x 0)，a 0 时 ， 恒 有 f (x) 0， f(x)在 (0， + )递 增 ，a 0 时 ， 令 f (x) 0， 即 2ax 2+1 0， 解 得 ： 0 x 12 a ， 令 f (x) 0， 即 2ax2+1 0， 解 得 ： x 12 a ，综 上 ， a 0时 ， f(x)在 (0， + )递 增 ，a 0 时 ， f(x)在 (0， 12 a )递 增 ， 在 ( 12 a ， + )递 减 .(2)曲 线 g(x)=f(x)-ax 2与 直 线 l 交 于 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 两 点 ， 其 中 x1 x2， 若 直 线
37、l斜 率 为 k， 求 证 ： x1 1k x2.解 析 ： (2)问 题 等 价 于 21 2 12111 ln xx x xxx ， 令 t= 21xx ， 则 t 1， 问 题 转 化 为 只 需 证 1 1lnt t t， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 .答 案 ： (2)证 明 ： 2 1 2 12 1 2 1ln ln g x g x x xk x x x x ， 要 证 x1 1k x2， 即 证 2 11 22 1ln ln x xx xx x ，等 价 于 21 2 12111 ln xx x xxx ，令 t= 21xx ， 则 t 1， 只 需 证 1
38、1lnt t t，由 t 1 知 lnt 0， 故 等 价 于 lnt t-1 tlnt，设 (t)=t-1-lnt， 则 (t)=1-1t 0， 所 以 (t)在 (1， + )上 单 增 ，所 以 (t) (1)=0，即 t-1 lnt又 设 h(t)=tlnt-(t-1)，则 h (t)=lnt 0，所 以 h(t)在 (1， + )上 单 增 ，所 以 h(t) h(1)=0，即 tlnt t-1，故 x 1 1k x2. 请 考 生 在 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .作 答 时 请 写 清 题 号 .选
39、修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 =2cos ， 若 以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半 轴 ， 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 直 线 l 的 参 数 方 程 是3212 x t my t (t为 参 数 ).(1)求 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 与 直 线 l 的 普 通 方 程 .解 析 ： (1)由 x= cos ， y= sin ， x 2+y2= 2， 可 得 曲 线 C的 普 通 方 程 ； 运 用 代
40、 入 法 ， 可得 直 线 l 的 普 通 方 程 .答 案 ： (1)由 x= cos ， y= sin ， x2+y2= 2，曲 线 C的 极 坐 标 方 程 是 =2cos ， 即 为 2=2 cos ，即 有 x2+y2=2x， 即 圆 (x-1)2+y2=1；由 直 线 l 的 参 数 方 程 是 3212 x t my t (t为 参 数 )，可 得 x- 3 y-m=0. (2)设 点 P(m， 0)， 若 直 线 l与 曲 线 C交 于 A， B 两 点 ， 且 |PA| |PB|=1， 求 非 负 实 数 m 的 值 .解 析 ： (2)将 直 线 l 的 参 数 方 程 代
41、 入 曲 线 的 普 通 方 程 ， 运 用 判 别 式 大 于 0， 韦 达 定 理 ， 结 合参 数 的 几 何 意 义 ， 解 方 程 ， 即 可 得 到 所 求 m的 值 .答 案 ： (2)将 3212 x t my t 代 入 圆 (x-1)2+y2=1，可 得 t 2+ 3 (m-1)t+m2-2m=0，由 =3(m-1)2-4(m2-2m) 0， 可 得 -1 m 3，由 m 为 非 负 数 ， 可 得 0 m 3.设 t1， t2是 方 程 的 两 根 ， 可 得 t1t2=m2-2m，|PA| |PB|=1， 可 得 |m2-2m|=1，解 得 m=1或 1 2 ，由 0
42、m 3.可 得 m=1或 1+ 2 . 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|2x+2|-|2x-2|， x R.(1)求 不 等 式 f(x) 3 的 解 集 .解 析 ： (1)通 过 讨 论 x 的 范 围 ， 得 到 关 于 x 的 不 等 式 组 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可 .答 案 ： (1)原 不 等 式 等 价 于 14 3 x 或 1 14 3 xx 或 14 3 x ，解 得 ： x -1或 -1 x 34 ， 不 等 式 f(x) 3 的 解 集 为 (- ， 34 . (2)若 方 程 2 f x a x有 三 个 实 数 根 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (2)分 离 a， 得 到 a=x+|x-1|-|x+1|， 令 h(x)=x+|x-1|-|x+1|， 结 合 函 数 的 图 象 求 出 a的 范 围 即 可 .答 案 ： (2)由 方 程 2 f x a x可 变 形 为 a=x+|x-1|-|x+1|，令 2 11 1 1 12 1 ， ， ， x xh x x x x x xx x ，作 出 图 象 如 下 ： 于 是 由 题 意 可 得 -1 a 1.
