1、2018年 江 苏 省 南 京 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共 12分 ， 在 每 小 题 所 给 出 的 四 个 选 中 ， 恰 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1. 94 的 值 等 于 ( )A. 32B. 32 C. 32D. 8116解 析 ： 根 据 算 术 平 方 根 解 答 即 可 .9 34 2 .答 案 ： A2.计 算 a 3 (a3)2的 结 果 是 ( )A.a8B.a9C.a11D.a18解 析 ： 根 据 幂 的 乘 方 ， 即 可 解 答 .a3 (a3)2=a9.答 案 ：
2、 B3.下 列 无 理 数 中 ， 与 4 最 接 近 的 是 ( )A. 11 B. 13C. 17D. 19解 析 ： 直 接 利 用 估 算 无 理 数 的 大 小 方 法 得 出 最 接 近 4的 无 理 数 . 16 =4， 与 4最 接 近 的 是 ： 17 .答 案 ： C4.某 排 球 队 6 名 场 上 队 员 的 身 高 (单 位 ： cm)是 ： 180， 184， 188， 190， 192， 194.现 用 一 名身 高 为 186cm 的 队 员 换 下 场 上 身 高 为 192cm的 队 员 ， 与 换 人 前 相 比 ， 场 上 队 员 的 身 高 ( )A.
3、平 均 数 变 小 ， 方 差 变 小B.平 均 数 变 小 ， 方 差 变 大C.平 均 数 变 大 ， 方 差 变 小D.平 均 数 变 大 ， 方 差 变 大解 析 ： 分 别 计 算 出 原 数 据 和 新 数 据 的 平 均 数 和 方 差 即 可 得 .原 数 据 的 平 均 数 为 16 (180+184+188+190+192+194)=188， 则 原 数 据 的 方 差 为 16 (180-188)2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(192-188)2+(194-188)2= 683 ；新 数 据 的 平 均 数 为 16 (180+18
4、4+188+190+186+194)=187，则 新 数 据 的 方 差 为 16 (180-188) 2+(184-188)2+(188-188)2+(190-188)2+(186-188)2+(194-188)2= 623 .所 以 平 均 数 变 小 ， 方 差 变 小 .答 案 ： A5.如 图 ， AB CD， 且 AB=CD.E、 F是 AD上 两 点 ， CE AD， BF AD.若 CE=a， BF=b， EF=c， 则AD的 长 为 ( ) A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c解 析 ： AB CD， CE AD， BF AD， AFB= CED=90 ， A+
5、D=90 ， C+ D=90 ， A= C，在 ABF与 CDE中 AFB CEDA CAB CD ， ABF CDE(AAS)， AF=CE=a， BF=DE=b， EF=c， AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.答 案 ： D6.用 一 个 平 面 去 截 正 方 体 (如 图 )， 下 列 关 于 截 面 (截 出 的 面 )的 形 状 的 结 论 ： 可 能 是 锐 角 三 角 形 ； 可 能 是 直 角 三 角 形 ； 可 能 是 钝 角 三 角 形 ； 可 能 是 平 行 四 边 形 .其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 ( )A. B. C. D. 解 析
6、： 用 平 面 去 截 正 方 体 ， 得 的 截 面 可 能 为 三 角 形 、 四 边 形 、 五 边 形 、 六 边 形 ， 而 三 角 形 只能 是 锐 角 三 角 形 ， 不 能 是 直 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 .答 案 ： B 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 2 分 ， 共 20 分 ， 不 需 写 出 解 答 过 程 )7.写 出 一 个 数 ， 使 这 个 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 ： .解 析 ： 一 个 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 ， 那 么 这 个 数 0 或 负 数 .答 案 ：
7、 -1(答 案 不 唯 一 )8.习 近 平 同 志 在 党 的 十 九 大 报 告 中 强 调 ， 生 态 文 明 建 设 功 在 当 代 ， 利 在 千 秋 .55年 来 ， 经 过三 代 人 的 努 力 ， 河 北 塞 罕 坝 林 场 有 林 地 面 积 达 到 1120000 亩 .用 科 学 记 数 法 表 示 1120000是 .解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与
8、 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .1120000=1.12 106.答 案 ： 1.12 106 9.若 式 子 2x 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 被 开 方 数 是 非 负 数 ， 可 得 答 案 .由 题 意 ， 得 x-2 0， 解 得 x 2.答 案 ： x 210.计 算 3 6 8 的 结 果 是 .解 析 ： 先 利 用 二 次 根 式 的 乘 法 运 算 ， 然 后 化 简 后 合 并 即 可 .
9、原 式 2 2 2 23 6 2 3 2 .答 案 ： 2 11.已 知 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 经 过 点 (-3， -1)， 则 k= .解 析 ： 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 经 过 点 (-3， -1)， 1 3 k ，解 得 k=3.答 案 ： 312.设 x 1、 x2是 一 元 二 次 方 程 x2-mx-6=0的 两 个 根 ， 且 x1+x2=1， 则 x1= ， x2= .解 析 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 结 合 x1+x2=1可 得 出 m 的 值 ， 将 其 代 入 原 方 程 ， 再 利 用 因 式 分 解法 解 一 元
10、二 次 方 程 ， 即 可 得 出 结 论 . x1、 x2是 一 元 二 次 方 程 x2-mx-6=0的 两 个 根 ， x1+x2=m， x1+x2=1， m=1， 原 方 程 为 x 2-x-6=0， 即 (x+2)(x-3)=0，解 得 ： x1=-2， x2=3.答 案 ： -2； 313.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 的 坐 标 是 (-1， 2)， 作 点 A 关 于 y 轴 的 对 称 点 ， 得 到 点 A，再 将 点 A向 下 平 移 4个 单 位 ， 得 到 点 A ， 则 点 A 的 坐 标 是 ( ， ).解 析 ： 直 接 利 用 关 于 y 轴
11、 对 称 点 的 性 质 得 出 点 A坐 标 ， 再 利 用 平 移 的 性 质 得 出 答 案 . 点 A的 坐 标 是 (-1， 2)， 作 点 A 关 于 y 轴 的 对 称 点 ， 得 到 点 A， A (1， 2)， 将 点 A向 下 平 移 4个 单 位 ， 得 到 点 A ， 点 A 的 坐 标 是 ： (1， -2).答 案 ： 1； -2 14.如 图 ， 在 ABC中 ， 用 直 尺 和 圆 规 作 AB、 AC的 垂 直 平 分 线 ， 分 别 交 AB、 AC 于 点 D、 E， 连 接 DE.若 BC=10cm， 则 DE= cm.解 析 ： 直 接 利 用 线 段
12、 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出 DE 是 ABC的 中 位 线 ， 进 而 得 出 答 案 . 用 直 尺 和 圆 规 作 AB、 AC的 垂 直 平 分 线 ， D 为 AB 的 中 点 ， E为 AC的 中 点 ， DE 是 ABC的 中 位 线 ， DE= 12 BC=5cm.答 案 ： 515.如 图 ， 五 边 形 ABCDE 是 正 五 边 形 .若 l1 l2， 则 1- 2= .解 析 ： 过 B点 作 BF l 1， 五 边 形 ABCDE是 正 五 边 形 ， ABC=108 ， BF l 1， l1 l2， BF l2， 4= 2， 3=180 - 1， ABC
13、= 3+ 4=180 - 1+ 2=108 ， 1- 2=72 .答 案 ： 7216.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB=5， BC=4， 以 CD 为 直 径 作 O.将 矩 形 ABCD绕 点 C旋 转 ， 使 所 得 矩 形 A B C D 的 边 A B 与 O 相 切 ， 切 点 为 E， 边 CD 与 O相 交 于 点F， 则 CF 的 长 为 . 解 析 ： 连 接 OE， 延 长 EO交 CD于 点 G， 作 OH B C 于 点 H，则 OEB = OHB =90 ， 矩 形 ABCD绕 点 C 旋 转 所 得 矩 形 为 A B C D ， B = B CD =
14、90 ， AB=CD=5、 BC=B C=4， 四 边 形 OEB H 和 四 边 形 EB CG都 是 矩 形 ， OE=OD=OC=2.5， B H=OE=2.5， CH=B C-B H=1.5， 2 2 2 22.5 1.5 2 CG B E OH OC CH ， 四 边 形 EB CG是 矩 形 ， OGC=90 ， 即 OG CD ， CF=2CG=4.答 案 ： 4三 、 解 答 题 (本 大 题 共 11小 题 ， 共 88 分 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.计 算 5 32 2 2 4 mm m m . 解 析 ：
15、根 据 分 式 混 合 运 算 顺 序 和 运 算 法 则 计 算 可 得 .答 案 ： 原 式 2 4 5 32 2 2 2 m mm m m 3 3 2 22 3 gm m mm m=2(m+3)=2m+6. 18.如 图 ， 在 数 轴 上 ， 点 A、 B分 别 表 示 数 1、 -2x+3.(1)求 x 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)根 据 数 轴 上 的 点 表 示 的 数 右 边 的 总 比 左 边 的 大 ， 可 得 不 等 式 ， 根 据 解 不 等 式 ， 可得 答 案 .答 案 ： (1) 数 轴 上 的 点 表 示 的 数 右 边 的 总 比 左 边 的 大
16、， -2x+3 1，解 得 x 1.(2)数 轴 上 表 示 数 -x+2的 点 应 落 在 . A.点 A的 左 边B.线 段 AB 上C.点 B的 右 边解 析 ： (2)根 据 不 等 式 的 性 质 ， 可 得 点 在 A 点 的 右 边 ， 根 据 作 差 法 ， 可 得 点 在 B 点 的 左 边 .由 x 1， 得 -x -1，-x+2 -1+2，解 得 -x+2 1.数 轴 上 表 示 数 -x+2的 点 在 A 点 的 右 边 ；作 差 ， 得 -2x+3-(-x+2)=-x+1，由 x 1， 得 -x -1，-x+1 0，-2x+3-(-x+2) 0， -2x+3 -x+2
17、， 数 轴 上 表 示 数 -x+2的 点 在 B 点 的 左 边 .故 数 轴 上 表 示 数 -x+2的 点 应 落 在 线 段 AB上 .答 案 ： (2)B.19.刘 阿 姨 到 超 市 购 买 大 米 ， 第 一 次 按 原 价 购 买 ， 用 了 105 元 ， 几 天 后 ， 遇 上 这 种 大 米 8 折出 售 ， 她 用 140元 又 买 了 一 些 ， 两 次 一 共 购 买 了 40kg.这 种 大 米 的 原 价 是 多 少 ？解 析 ： 设 这 种 大 米 的 原 价 是 每 千 克 x 元 ， 根 据 两 次 一 共 购 买 了 40kg列 出 方 程 ， 求 解
18、即 可 .答 案 ： 设 这 种 大 米 的 原 价 是 每 千 克 x 元 ， 根 据 题 意 ， 得105 140 400.8 x x ，解 得 ： x=7.经 检 验 ， x=7是 原 方 程 的 解 .答 ： 这 种 大 米 的 原 价 是 每 千 克 7 元 . 20.如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， BC=CD， C=2 BAD.O是 四 边 形 ABCD内 一 点 ， 且 OA=OB=OD. 求 证 ：(1) BOD= C.解 析 ： (1)延 长 AO 到 E， 利 用 等 边 对 等 角 和 角 之 间 关 系 解 答 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 延 长
19、 OA到 E， OA=OB， ABO= BAO，又 BOE= ABO+ BAO， BOE=2 BAO，同 理 DOE=2 DAO， BOE+ DOE=2 BAO+2 DAO=2( BAO+ DAO)，即 BOD=2 BAD，又 C=2 BAD， BOD= C.(2)四 边 形 OBCD是 菱 形 .解 析 ： (2)连 接 OC， 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 以 及 菱 形 的 判 定 解 答 即 可 .答 案 ： (2)证 明 ： 连 接 OC， OB=OD， CB=CD， OC=OC， OBC ODC， BOC= DOC， BCO= DCO， BOD= BOC+ D
20、OC， BCD= BCO+ DCO， BOC= 12 BOD， BCO= 12 BCD，又 BOD= BCD， BOC= BCO， BO=BC，又 OB=OD， BC=CD， OB=BC=CD=DO， 四 边 形 OBCD 是 菱 形 .21.随 机 抽 取 某 理 发 店 一 周 的 营 业 额 如 下 表 (单 位 ： 元 )： (1)求 该 店 本 周 的 日 平 均 营 业 额 .解 析 ： (1)根 据 平 均 数 的 定 义 计 算 可 得 .答 案 ： (1)该 店 本 周 的 日 平 均 营 业 额 为 7560 7=1080(元 )，答 ： 该 店 本 周 的 日 平 均 营
21、 业 额 为 1080 元 .(2)如 果 用 该 店 本 周 星 期 一 到 星 期 五 的 日 平 均 营 业 额 估 计 当 月 的 营 业 总 额 ， 你 认 为 是 否 合理 ？ 如 果 合 理 ， 请 说 明 理 由 ； 如 果 不 合 理 ， 请 设 计 一 个 方 案 ， 并 估 计 该 店 当 月 (按 30天 计 算 )的 营 业 总 额 .解 析 ： (2)从 极 端 值 对 平 均 数 的 影 响 作 出 判 断 ， 可 用 该 店 本 周 一 到 周 日 的 日 均 营 业 额 估 计 当月 营 业 额 .答 案 ： (2)因 为 在 周 一 至 周 日 的 营 业
22、额 中 周 六 、 日 的 营 业 额 明 显 高 于 其 他 五 天 的 营 业 额 ，所 以 去 掉 周 六 、 日 的 营 业 额 对 平 均 数 的 影 响 较 大 ，故 用 该 店 本 周 星 期 一 到 星 期 五 的 日 平 均 营 业 额 估 计 当 月 的 营 业 总 额 不 合 理 ， 方 案 ： 用 该 店 本 周 一 到 周 日 的 日 均 营 业 额 估 计 当 月 营 业 额 ，当 月 的 营 业 额 为 30 1080=32400(元 )，答 ： 当 月 的 营 业 额 为 32400 元 .22.甲 口 袋 中 有 2个 白 球 、 1个 红 球 ， 乙 口 袋
23、 中 有 1 个 白 球 、 1个 红 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 无 其他 差 别 .分 别 从 每 个 口 袋 中 随 机 摸 出 1 个 球 .(1)求 摸 出 的 2 个 球 都 是 白 球 的 概 率 .解 析 ： (1)先 画 出 树 状 图 展 示 所 有 6 种 等 可 能 的 结 果 数 ， 再 找 出 2 个 球 都 是 白 球 所 占 结 果 数 ，然 后 根 据 概 率 公 式 求 解 .答 案 ： (1)画 树 状 图 如 下 ： 由 树 状 图 知 ， 共 有 6种 等 可 能 结 果 ， 其 中 摸 出 的 2 个 球 都 是 白 球 的 有 2种 结 果
24、 ，所 以 摸 出 的 2 个 球 都 是 白 球 的 概 率 为 26 13 .(2)下 列 事 件 中 ， 概 率 最 大 的 是 .A.摸 出 的 2个 球 颜 色 相 同B.摸 出 的 2个 球 颜 色 不 相 同C.摸 出 的 2个 球 中 至 少 有 1 个 红 球D.摸 出 的 2个 球 中 至 少 有 1 个 白 球解 析 ： (2)根 据 概 率 公 式 分 别 计 算 出 每 种 情 况 的 概 率 ， 据 此 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (2) 摸 出 的 2 个 球 颜 色 相 同 概 率 为 36 12 ； 摸 出 的 2 个 球 颜 色 不 相 同 的 概
25、 率 为 36 12 ；摸 出 的 2 个 球 中 至 少 有 1个 红 球 的 概 率 为 46 23 ；摸 出 的 2 个 球 中 至 少 有 1个 白 球 的 概 率 为 56 . 概 率 最 大 的 是 摸 出 的 2个 球 中 至 少 有 1 个 白 球 .答 案 ： D.23.如 图 ， 为 了 测 量 建 筑 物 AB的 高 度 ， 在 D 处 树 立 标 杆 CD， 标 杆 的 高 是 2m， 在 DB 上 选 取 观测 点 E、 F， 从 E 测 得 标 杆 和 建 筑 物 的 顶 部 C、 A 的 仰 角 分 别 为 58 、 45 .从 F 测 得 C、 A的 仰 角 分
26、 别 为 22 、 70 .求 建 筑 物 AB 的 高 度 (精 确 到 0.1m).(参 考 数 据 ： tan22 0.40，tan58 1.60， tan70 2.75.) 解 析 ： 在 CED 中 ， 得 出 DE， 在 CFD 中 ， 得 出 DF， 进 而 得 出 EF， 列 出 方 程 即 可 得 出 建 筑物 AB 的 高 度 . 答 案 ： 在 Rt CED中 ， CED=58 ， tan58 CDDE ， 2tan58 tan58 CDDE ，在 Rt CFD中 ， CFD=22 ， tan 22 CDDF ， 2tan 22 tan 22 CDDF ， 2 2tan
27、22 tan58 EF DF DE ， 同 理 ： tan 45 tan 70 AB ABEF BE BF ， 2 2tan 45 tan 70 tan 22 tan58 AB AB ，解 得 ： AB 5.9(米 )，答 ： 建 筑 物 AB 的 高 度 约 为 5.9米 .24.已 知 二 次 函 数 y=2(x-1)(x-m-3)(m 为 常 数 ).(1)求 证 ： 不 论 m 为 何 值 ， 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 总 有 公 共 点 .解 析 ： (1)代 入 y=0求 出 x 的 值 ， 分 m+3=1和 m+3 1两 种 情 况 考 虑 方 程 解 的 情 况 ，
28、进 而 即 可证 出 ： 不 论 m 为 何 值 ， 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 总 有 公 共 点 .答 案 ： (1)证 明 ： 当 y=0 时 ， 2(x-1)(x-m-3)=0， 解 得 ： x1=1， x2=m+3.当 m+3=1， 即 m=-2时 ， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ；当 m+3 1， 即 m -2时 ， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 . 不 论 m 为 何 值 ， 该 函 数 的 图 象 与 x 轴 总 有 公 共 点 .(2)当 m 取 什 么 值 时 ， 该 函 数 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 在 x 轴 的 上
29、方 ？解 析 ： (2)利 用 二 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 求 出 该 函 数 的 图 象 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 ， 令 其大 于 0即 可 求 出 结 论 .答 案 ： (2)当 x=0时 ， y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6， 该 函 数 的 图 象 与 y轴 交 点 的 纵 坐 标 为 2m+6， 当 2m+6 0， 即 m -3时 ， 该 函 数 的 图 象 与 y轴 的 交 点 在 x轴 的 上 方 .25.小 明 从 家 出 发 ， 沿 一 条 直 道 跑 步 ， 经 过 一 段 时 间 原 路 返 回 ， 刚 好 在 第 16min
30、回 到 家 中 . 设 小 明 出 发 第 t min时 的 速 度 为 vm/min， 离 家 的 距 离 为 s m， v 与 t 之 间 的 函 数 关 系 如 图 所示 (图 中 的 空 心 圈 表 示 不 包 含 这 一 点 ). (1)小 明 出 发 第 2min时 离 家 的 距 离 为 m.解 析 ： (1)根 据 路 程 =速 度 时 间 求 出 小 明 出 发 第 2min时 离 家 的 距 离 即 可 .100 2=200(m).故 小 明 出 发 第 2min 时 离 家 的 距 离 为 200m.答 案 ： (1)200.(2)当 2 t 5 时 ， 求 s 与 t
31、之 间 的 函 数 表 达 式 .解 析 ： (2)当 2 t 5 时 ， 离 家 的 距 离 s=前 面 2min走 的 路 程 加 上 后 面 (t-2)min 走 过 的 路 程列 式 即 可 .答 案 ： (2)当 2 t 5 时 ， s=100 2+160(t-2)=160t-120.故 s 与 t 之 间 的 函 数 表 达 式 为 160t-120.(3)画 出 s 与 t 之 间 的 函 数 图 象 . 解 析 ： (3)分 类 讨 论 ： 0 t 2、 2 t 5、 5 t 6.25和 6.25 t 16四 种 情 况 ， 画 出 各 自的 图 形 即 可 求 解 .答 案
32、： (3)s与 t之 间 的 函 数 关 系 式 为 100 0 2160 120 2 580 280 5 6.251280 80 6.25 16 t tt tt tt t .s与 t之 间 的 函 数 图 象 如 图 所 示 ： 26.如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， E是 AB上 一 点 ， 连 接 DE.过 点 A 作 AF DE， 垂 足 为 F， O 经过 点 C、 D、 F， 与 AD相 交 于 点 G. (1)求 证 ： AFG DFC.解 析 ： (1)欲 证 明 AFG DFC， 只 要 证 明 FAG= FDC， AGF= FCD.答 案 ： (1)证 明 ： 在
33、 正 方 形 ABCD中 ， ADC=90 ， CDF+ ADF=90 ， AF DE， AFD=90 ， DAF+ ADF=90 ， DAF= CDF， 四 边 形 GFCD 是 O的 内 接 四 边 形 ， FCD+ DGF=180 ， FGA+ DGF=180 ， FGA= FCD， AFG DFC. (2)若 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4， AE=1， 求 O 的 半 径 .解 析 ： (2)首 先 证 明 CG 是 直 径 ， 求 出 CG即 可 解 决 问 题 ；答 案 ： (2)如 图 ， 连 接 CG. EAD= AFD=90 ， EDA= ADF， EDA ADF，
34、 EA DAAF DF ， 即 EA AFDA DF ， AFG DFC， AG AFDC DF ， AG EADC DA，在 正 方 形 ABCD 中 ， DA=DC， AG=EA=1， DG=DA-AG=4-1=3， 2 2 5 CG DG DC ， CDG=90 ， CG 是 O的 直 径 ， O的 半 径 为 52 .27.结 果 如 此 巧 合 !下 面 是 小 颖 对 一 道 题 目 的 解 答 . 题 目 ： 如 图 ， Rt ABC的 内 切 圆 与 斜 边 AB 相 切 于 点 D， AD=3， BD=4，求 ABC的 面 积 .解 ： 设 ABC的 内 切 圆 分 别 与
35、AC、 BC 相 切 于 点 E、 F， CE的 长 为 x.根 据 切 线 长 定 理 ， 得 AE=AD=3， BF=BD=4， CF=CE=x.根 据 勾 股 定 理 ， 得 (x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整 理 ， 得 x2+7x=12.所 以 S ABC= 12 AC BC= 12 (x+3)(x+4)= 12 (x2+7x+12)= 12 (12+12)=12.小 颖 发 现 12恰 好 就 是 3 4， 即 ABC 的 面 积 等 于 AD与 BD的 积 .这 仅 仅 是 巧 合 吗 ？请 你 帮 她 完 成 下 面 的 探 索 .已 知 ： ABC的 内 切 圆 与
36、 AB 相 切 于 点 D， AD=m， BD=n.可 以 一 般 化 吗 ？ (1)若 C=90 ， 求 证 ： ABC的 面 积 等 于 mn.解 析 ： (1)由 切 线 长 知 AE=AD=m、 BF=BD=n、 CF=CE=x， 根 据 勾 股 定 理 得 (x+m)2+(x+n)2=(m+n)2，即 x2+(m+n)x=mn， 再 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 可 得 .答 案 ： (1)设 ABC的 内 切 圆 分 别 与 AC、 BC相 切 于 点 E、 F， CE的 长 为 x，根 据 切 线 长 定 理 ， 得 ： AE=AD=m、 BF=BD=n、 CF
37、=CE=x，如 图 1， 在 Rt ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 得 ： (x+m)2+(x+n)2=(m+n)2，整 理 ， 得 ： x2+(m+n)x=mn，所 以 S ABC= 12 AC BC= 12 (x+m)(x+n)= 12 x 2+(m+n)x+mn= 12 (mn+mn)=mn.(2)倒 过 来 思 考 呢 ？若 AC BC=2mn， 求 证 C=90 .解 析 ： (2)由 AC BC=2mn得 (x+m)(x+n)=2mn， 即 x 2+(m+n)x=mn， 再 利 用 勾 股 定 理 逆 定 理 求 证即 可 .答 案 ： (2)由 AC BC=2mn， 得
38、 ： (x+m)(x+n)=2mn，整 理 ， 得 ： x2+(m+n)x=mn， AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2x2+(m+n)x+m2+n2=2mn+m2+n2=(m+n) 2=AB2，根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 可 得 C=90 .(3)改 变 一 下 条 件 若 C=60 ， 用 m、 n 表 示 ABC的 面 积 .解 析 ： (3)作 AG BC， 由 三 角 函 数 得 AG=AC sin60 = 32 (x+m)， CG=AC cos60 = 12 (x+m)，BG=BC-CG=(x+n)- 12 (x+m)， 在 Rt ABG中 ， 根 据 勾 股 定
39、 理 可 得 x 2+(m+n)x=3mn， 最 后 利 用 三角 形 的 面 积 公 式 计 算 可 得 .答 案 ： (3)如 图 2， 过 点 A作 AG BC于 点 G， 在 Rt ACG中 ， AG=AC sin60 = 32 (x+m)， CG=AC cos60 = 12 (x+m)， BG=BC-CG=(x+n)- 12 (x+m)，在 Rt ABG中 ， 根 据 勾 股 定 理 可 得 ： 32 (x+m)2+(x+n)- 12 (x+m)2=(m+n)2，整 理 ， 得 ： x 2+(m+n)x=3mn， S ABC= 12 BC AG= 12 (x+n) 32 (x+m)= 34 x 2+(m+n)x+mn= 34 (3mn+mn)= 3 mn.
