1、2018年 河 南 省 南 阳 市 方 城 县 中 考 一 模 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 , 共 30 分 )下 列 各 小 题 均 有 四 个 答 案 , 其 中 只 有 一 个 是 正 确 的 .1.下 列 各 数 中 , 比 - 12 小 的 数 是 ( )A.-1B. 3C. 12 D.0解 析 : -1 - 1 0 32 , 最 小 的 数 是 -1.答 案 : A2.近 期 浙 江 大 学 的 科 学 家 们 研 制 出 今 为 止 世 界 上 最 轻 的 材 料 , 这 种 被 称 为 “ 全 碳 气 凝 胶 ” 的固 态 材 料 密 度 仅 每 立
2、 方 厘 米 0.00016克 , 数 据 0.00016用 科 学 记 数 法 表 示 应 是 ( )A.1.6 10 4B.0.16 10-3C.1.6 10-4D.16 10-5解 析 : 绝 对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数 法 表 示 , 一 般 形 式 为 a 10-n, 与 较 大 数 的科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 , 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数 字 前 面 的0的 个 数 所 决 定 .0.00016=1.6 10-4.答 案 : C3.下 列 计 算 正 确
3、的 是 ( )A. 2 3 6 B. 20 2 10C. 4 2 2 D. 23 3 解 析 : A、 根 据 二 次 根 式 的 乘 法 运 算 法 则 , 2 3 6 , 运 算 正 确 , 故 本 选 项 正 确 ;B、 20 4 5 2 5 , 所 以 本 项 运 算 错 误 , 故 本 选 项 错 误 ;C、 4 2 , 与 2 不 是 同 类 二 次 根 式 , 不 能 进 行 合 并 同 类 二 次 根 式 , 故 本 选 项 错 误 ; D、 23 9 3 , 所 以 本 项 中 的 二 次 根 式 化 简 错 误 , 故 本 选 项 错 误 .答 案 : A4.如 图 , 在
4、 正 方 体 的 一 角 截 去 一 个 小 正 方 体 , 所 得 立 体 图 形 的 主 视 图 是 ( )A. B.C.D.解 析 : 从 正 面 看 是 一 个 大 正 方 形 内 的 左 上 角 是 一 个 小 正 方 形 .答 案 : D 5.如 图 , 直 线 a b, Rt ABC的 直 角 顶 点 B落 在 直 线 a上 , 若 1=27 , 则 2的 度 数 是 ( )A.53B.63C.73D.83解 析 : 1=27 , 3=90 - 1=90 -27 =63 . a b, 2= 3=63 .答 案 : B 6.如 图 , O 的 半 径 为 2, ABC是 O 的 内
5、 接 三 角 形 , 连 接 OB、 OC.若 BAC与 BOC互 补 ,则 弦 BC的 长 为 ( ) A.4 3B.3 3C.2 3D. 3解 析 : BAC与 BOC 互 补 , BAC+ BOC=180 , BAC= 12 BOC, BOC=120 ,过 O 作 OD BC, 垂 足 为 D, BD=CD, OB=OC, OB平 分 BOC, DOC= 12 BOC=60 , OCD=90 -60 =30 ,在 Rt DOC中 , OC=2, OD=1, DC= 3 , BC=2DC=2 3 .答 案 : C7.不 等 式 组 2 1 58 4 0 x x , 的 解 集 是 ( )A
6、.x 2B.x 3C.2 x 3 D.x 2解 析 : 2 1 58 4 0 x x , , 解 不 等 式 , 得 x 3; 解 不 等 式 , 得 x 2; 不 等 式 组 的 解 集 为 x 3.答 案 : B 8.如 图 , 已 知 ABC(AC BC), 用 尺 规 在 BC上 确 定 一 点 P, 使 PA+PC=BC, 则 符 合 要 求 的 作 图痕 迹 是 ( )A. B.C.D. s解 析 : D 选 项 中 作 的 是 AB的 中 垂 线 , PA=PB, PB+PC=BC, PA+PC=BC.答 案 : D9.如 图 , 已 知 正 方 形 ABCD, 顶 点 A(1,
7、 3)、 B(1, 1)、 C(3, 1).规 定 “ 把 正 方 形 ABCD先 沿 x轴 翻 折 , 再 向 左 平 移 一 个 单 位 ” 为 一 次 变 换 .如 此 这 样 , 连 续 经 过 2018 次 变 换 后 , 正 方 形ABCD的 对 角 线 交 点 M的 坐 标 为 ( ) A.(2018, 2) B.(2018, -2)C.(-2016, 2)D.(2016, 2)解 析 : 正 方 形 ABCD, 顶 点 A(1, 3)、 B(1, 1)、 C(3, 1). 点 M 的 坐 标 为 (2, 2),根 据 题 意 得 : 第 1 次 变 换 后 的 点 M的 对 应
8、 点 的 坐 标 为 (2-1, -2), 即 (1, -2),第 2 次 变 换 后 的 点 M的 对 应 点 的 坐 标 为 : (2-2, 2), 即 (0, 2),第 3 次 变 换 后 的 点 M的 对 应 点 的 坐 标 为 (2-3, -2), 即 (-1, -2),第 n 次 变 换 后 的 点 M的 对 应 点 的 为 : 当 n为 奇 数 时 为 (2-n, -2), 当 n为 偶 数 时 为 (2-n, 2), 连 续 经 过 2018次 变 换 后 , 点 M 的 坐 标 变 为 (-2016, 2).答 案 : C10.如 图 , 矩 形 ABCD中 , AB=3,
9、BC=5, 点 P 是 BC 边 上 的 一 个 动 点 (点 P 不 与 点 B, C重 合 ),现 将 PCD 沿 直 线 PD 折 叠 , 使 点 C落 下 点 C 1处 ; 作 BPC1的 平 分 线 交 AB于 点 E.设 BP=x,BE=y, 那 么 y 关 于 x的 函 数 图 象 大 致 应 为 ( )A. B.C.D.解 析 : 由 翻 折 的 性 质 得 , CPD= C PD, PE 平 分 BPC , BPE= C PE, BPE+ CPD=90 , C=90 , CPD+ PDC=90 , BPE= PDC, 又 B= C=90 , PCD EBP, BE PBPC
10、CD , 即 5 3y xx , 21 1 5 2553 3 2 12y x x x , 函 数 图 象 为 C选 项 图 象 .答 案 : C二 、 选 择 题 (每 小 题 3 分 , 共 15 分 )11.计 算 : 2cos60 -(3+1) 0= .解 析 : 原 式 =2 12 -1=1-1=0.答 案 : 012.一 副 三 角 尺 按 如 图 的 位 置 摆 放 (顶 点 C 与 F 重 合 , 边 CA 与 边 FE 叠 合 , 顶 点 B、 C、 D 在一 条 直 线 上 ).将 三 角 尺 DEF绕 着 点 F按 顺 时 针 方 向 旋 转 n 后 (0 n 180 ),
11、 如 果 EF AB,那 么 n的 值 是 .解 析 : 如 图 1中 , EF AB 时 , ACE= A=45 , 旋 转 角 n=45时 , EF AB. 如 图 2 中 , EF AB时 , ACE+ A=180 , ACE=135 , 旋 转 角 n=360-135=225, 0 n 180, 此 种 情 形 不 合 题 意 ,答 案 : 45 13.在 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 放 入 只 有 颜 色 不 同 的 白 球 6 个 , 黑 球 4 个 , 黄 球 n 个 , 搅 匀 后 随机 摸 出 一 个 球 恰 好 是 黄 球 的 概 率 是 13 .则 n= .解 析
12、 : 口 袋 中 装 有 白 球 6 个 , 黑 球 4个 , 黄 球 n 个 , 球 的 总 个 数 为 6+4+n, 从 中 随 机 摸 出 一 个 球 , 摸 到 黄 球 的 概 率 为 13 , 16 4 3n n , 解 得 , n=5.答 案 : 514.如 图 , 点 D 在 O 的 直 径 AB 的 延 长 线 上 , 点 C 在 O 上 , 且 AC=CD, ACD=120 , CD是 O的 切 线 : 若 O 的 半 径 为 2, 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 .解 析 : 连 接 OC, AC=CD, ACD=120 , CAD= D=30 , DC 切 O
13、于 C, OC CD, OCD=90 , COD=60 ,在 Rt OCD中 , OCD=90 , D=30 , OC=2, CD=2 3 , 阴 影 部 分 的 面 积 是 S OCD-S 扇 形 COB= 21 60 2 22 2 3 2 3 .2 360 3 答 案 : 22 3 315.如 图 , 在 矩 形 AOBC中 , O 为 坐 标 原 点 , OA、 OB分 别 在 x 轴 、 y 轴 上 , 点 B 的 坐 标 为 (0,3 3 ), ABO=30 , 将 ABC 沿 AB 所 在 直 线 对 折 后 , 点 C 落 在 点 D 处 , 则 点 D 的 坐 标 为 .解 析
14、 : 如 图 , 过 点 D作 DM x轴 于 点 M, 四 边 形 AOBC 是 矩 形 , ABO=30 , 点 B 的 坐 标 为 (0, 3 3 ), AC=OB=3 3 , CAB=30 , BC=AC tan30 = 13 3 33 =3, 将 ABC沿 AB所 在 直 线 对 折 后 , 点 C落 在 点 D处 , BAD=30 , AD=3 3 , CAB= BAD=30 , DAM=30 , DM= 1 3 32 2AD , AM= 93 3 cos30 2 , MO= 9 332 2 , 点 D的 坐 标 为 ( 3 3 32 2, ).答 案 : ( 3 3 32 2,
15、)三 、 解 答 题 (本 题 共 8 分 , 满 分 75分 )16.先 化 简 , 再 求 值 : 211 1 2 1mm m m , 其 中 m= 5 -1. 解 析 : 根 据 分 式 的 运 算 法 则 即 可 求 出 答 案 .答 案 : 当 m= 5 -1 时 , 原 式 = 21 1 5.1 mm mm m 17.某 市 为 提 倡 节 约 用 水 , 准 备 实 行 自 来 水 “ 阶 梯 计 费 ” 方 式 , 用 户 用 水 不 超 出 基 本 用 水 量的 部 分 享 受 基 本 价 格 , 超 出 基 本 用 水 量 的 部 分 实 行 加 价 收 费 , 为 更 好
16、 地 做 决 策 , 自 来 水 公 司随 机 抽 取 部 分 用 户 的 用 水 量 数 据 , 并 绘 制 了 如 图 不 完 整 的 统 计 图 (每 组 数 据 包 括 最 大 值 但 不包 括 最 小 值 ), 请 你 根 据 统 计 图 解 决 下 列 问 题 : (1)此 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 .(2)补 全 左 侧 统 计 图 , 并 求 扇 形 统 计 图 中 “ 25吨 30吨 ” 部 分 的 圆 心 角 度 数 .(3)如 果 自 来 水 公 司 将 基 本 用 水 量 定 为 每 户 25吨 , 那 么 该 地 区 6 万 用 户 中 约 有 多
17、少 用 户 的 用水 全 部 享 受 基 本 价 格 ?解 析 : (1)根 据 统 计 图 可 知 “ 10 吨 15 吨 ” 的 用 户 10 户 占 10%, 从 而 可 以 求 得 此 次 调 查 抽取 的 户 数 ;(2)根 据 (1)中 求 得 的 用 户 数 与 条 形 统 计 图 可 以 得 到 “ 15 吨 20 吨 ” 的 用 户 数 , 再 用 360乘 以 “ 25 吨 30吨 ” 户 数 所 占 百 分 比 ;(3)根 据 前 面 统 计 图 的 信 息 可 以 得 到 该 地 6 万 用 户 中 约 有 多 少 用 户 的 用 水 全 部 享 受 基 本 价格 .答
18、 案 : (1)此 次 抽 样 调 查 的 样 本 容 量 是 10 10%=100,(2)用 水 量 在 15 20的 户 数 为 100-(10+36+25+9)=20, 补 全 图 形 如 下 : 其 中 扇 形 统 计 图 中 “ 25 吨 30吨 ” 部 分 的 圆 心 角 度 数 为 360 25100 =90 ;(3)60000 10 20 36100 =39600(户 ),答 : 该 地 区 6 万 用 户 中 约 有 39600户 的 用 水 全 部 享 受 基 本 价 格 .18.如 图 , 已 知 O 与 等 腰 ABD的 两 腰 AB、 AD 分 别 相 切 于 点 E
19、、 F, 连 接 AO并 延 长 到 点 C,使 OC=AO, 连 接 CD、 CB. (1)试 判 断 四 边 形 ABCD的 形 状 , 并 说 明 理 由 ;(2)若 AB=4cm, 填 空 : 当 O 的 半 径 为 cm时 , ABD为 等 边 三 角 形 ; 当 O 的 半 径 为 cm 时 , 四 边 形 ABCD为 正 方 形 .解 析 : (1)由 AB、 AD 分 别 相 切 于 点 E、 F, 得 到 EAO= FAO, 于 是 得 到 OD=OB, 根 据 AO=OC,推 出 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , 于 是 得 到 结 论 ;(2) 连 接 OE
20、 由 切 线 的 性 质 得 到 OE AD, 由 ABD 为 等 边 三 角 形 , 得 到 BD=AB=AD=4, 根 据直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 结 论 由 正 方 形 的 性 质 得 到 DAO= ADO=45 , 由 AD=AB=4, 得 到OA=OD=2 2 , 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 .答 案 : (1)四 边 形 ABCD是 菱 形 ,理 由 如 下 : AB、 AD分 别 相 切 于 点 E、 F, EAO= FAO, OD=OB, AO=OC, 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , AB=AD, 平 行
21、 四 边 形 ABCD是 菱 形 ; (2) 当 O的 半 径 为 3 时 , ABD为 等 边 三 角 形 ;连 接 OE, AD 切 O于 点 E, OE AD, ABD为 等 边 三 角 形 , BD=AB=AD=4, DAO=30 ,1 12 2 3 38 8OD BD AO OE AO , , , 当 O 的 半 径 为 3 时 , ABD 为 等 边 三 角 形 ; 当 O 的 半 径 为 2cm时 , 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ;如 图 , DAO= ADO=45 , AD=AB=4, OA=OD=2 2 , 由 (2)知 , OE AD, OE=AE=2, 当 O 的
22、 半 径 为 2cm时 , 四 边 形 ABCD为 正 方 形 .19.如 图 , 某 兴 趣 小 组 用 高 为 1.6米 的 仪 器 测 量 塔 CD的 高 度 .由 距 塔 CD 一 定 距 离 的 A 处 用 仪器 观 察 建 筑 物 顶 部 D 的 仰 角 为 , 在 A 和 C 之 间 选 一 点 B, 由 B 处 用 仪 器 观 察 建 筑 物 顶 部 D 的 仰 角 为 .测 得 A, B 之 间 的 距 离 为 10米 , tan =1.6, tan =1.2, 试 求 塔 CD 的 大 约 高 度 .解 析 : CD 与 EF 的 延 长 线 交 于 点 M, 设 DM=x
23、 米 .由 三 角 函 数 的 定 义 得 到 , 在 Rt DMF 中 ,DMFM =tan =1.6, 在 Rt DGE中 , DMEM =tan =1.2, 根 据 EF=EM-FM, 得 到 关 于 x的 方 程 , 求 出 x, 再 加 上 1.6即 为 建 筑 物 CD的 高 度 .答 案 : 延 长 EF 与 CD交 于 点 M, 设 DM=x米 , 由 题 意 知 , EF=EM-FM=AB=10,在 Rt DMF中 , DMFM =tan =1.6, 在 Rt DME中 , DMEM =tan =1.2,101.6 1.2 1.2 1.6x x x xFM EM EM FM
24、, , , 解 得 : x=48, CD=DM+1.6=49.6 米 ,答 : 塔 CD 的 高 度 大 约 是 49.6米 .20.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 一 次 函 数 y=mx+n(m 0)的 图 象 与 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 交 于 第 一 、 三 象 限 内 的 A、 B 两 点 , 与 y 轴 交 于 点 C, 过 点 B 作 BM x 轴 , 垂 足 为 M,BM=OM, OB=2 2 , 点 A 的 纵 坐 标 为 4. (1)求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 ;(2)连 接 MC, 求
25、四 边 形 MBOC的 面 积 .解 析 : (1)根 据 题 意 可 以 求 得 点 B 的 坐 标 , 从 而 可 以 求 得 反 比 例 函 数 的 解 析 式 , 进 而 求 得 点A的 坐 标 , 从 而 可 以 求 得 一 次 函 数 的 解 析 式 ;(2)根 据 (1)中 的 函 数 解 析 式 可 以 求 得 点 C, 点 M、 点 B、 点 O 的 坐 标 , 从 而 可 以 求 得 四 边 形MBOC的 面 积 .答 案 : (1)由 题 意 可 得 , BM=OM, OB=2 2 , BM=OM=2, 点 B的 坐 标 为 (-2, -2),设 反 比 例 函 数 的
26、解 析 式 为 y= kx , 则 -2= 2k , 得 k=4, 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 4x , 点 A的 纵 坐 标 是 4, 4= 4x , 得 x=1, 点 A 的 坐 标 为 (1, 4), 一 次 函 数 y=mx+n(m 0)的 图 象 过 点 A(1, 4)、 点 B(-2, -2), 42 2m nm n , , 得 22mn , 即 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=2x+2;(2) y=2x+2与 y 轴 交 与 点 C, 点 C 的 坐 标 为 (0, 2), 点 B(-2, -2), 点 M(-2, 0), 点 O(0, 0), OM=2
27、, OC=2, MB=2, 四 边 形 MBOC 的 面 积 是 : 2 2 2 2 42 2 2 2OM OC OM MB . 21.某 市 正 在 举 行 文 化 艺 术 节 活 动 , 一 商 店 抓 住 商 机 , 决 定 购 进 甲 , 乙 两 种 艺 术 节 纪 念 品 .若 购 进 甲 种 纪 念 品 4 件 , 乙 种 纪 念 品 3 件 , 需 要 550元 , 若 购 进 甲 种 纪 念 品 5件 , 乙 种 纪 念品 6 件 , 需 要 800元 .(1)求 购 进 甲 、 乙 两 种 纪 念 品 每 件 各 需 多 少 元 ?(2)若 该 商 店 决 定 购 进 这 两
28、 种 纪 念 品 共 80件 , 其 中 甲 种 纪 念 品 的 数 量 不 少 于 60件 .考 虑 到 资金 周 转 , 用 于 购 买 这 80 件 纪 念 品 的 资 金 不 能 超 过 7100元 , 那 么 该 商 店 共 有 几 种 进 货 方 案 7(3)若 销 售 每 件 甲 种 纪 含 晶 可 获 利 润 20 元 , 每 件 乙 种 纪 念 品 可 获 利 润 30元 .在 (2)中 的 各 种进 货 方 案 中 , 若 全 部 销 售 完 , 哪 一 种 方 案 获 利 最 大 ? 最 大 利 利 润 多 少 元 ?解 析 : (1)根 据 甲 种 纪 念 品 4 件
29、乙 种 纪 念 品 3 件 需 要 550 元 , 甲 种 纪 念 品 5 件 乙 种 纪 念 品 6件 需 要 800元 ; 列 出 方 程 组 , 求 出 甲 乙 的 单 价 ;(2根 据 甲 纪 念 品 的 进 货 价 +乙 纪 念 品 的 进 货 价 7100元 , 甲 纪 念 品 数 量 不 小 于 60件 , 列 出不 等 式 组 或 不 等 式 , 确 定 一 个 纪 念 品 的 取 值 范 围 .根 据 取 值 范 围 得 进 货 方 案 .(3)根 据 : 总 利 润 =甲 种 纪 念 品 的 利 润 +乙 种 纪 念 品 的 利 润 , 得 函 数 关 系 , 利 用 一
30、次 函 数 的 性 质 , 得 结 论 .答 案 : (1)设 购 进 甲 种 纪 念 品 每 件 需 x 元 , 购 进 乙 种 纪 念 品 每 件 需 y 元 .由 题 意 得 : 4 3 5505 6 800 x yx y , 解 得 : 10050 xy ,答 : 购 进 甲 种 纪 念 品 每 件 需 100元 , 购 进 乙 种 纪 念 品 每 件 需 50元 .(2)设 购 进 甲 种 纪 念 品 a(a 60)件 , 则 购 进 乙 种 纪 念 品 (80-a)件 .由 题 意 得 : 100a+50(80-a) 7100, 解 得 a 62,又 a 60, 所 以 a 可 取
31、 60、 61、 62.即 有 三 种 进 货 方 案 .方 案 一 : 甲 种 纪 念 品 60 件 , 乙 种 纪 念 品 20件 ;方 案 二 : 甲 种 纪 念 品 61 件 , 乙 种 纪 念 品 19件 ;方 案 三 : 甲 种 纪 念 品 62 件 , 乙 种 纪 念 品 18件 . (3)设 利 润 为 W, 则 W=20a+30(80-a)=-10a+2400所 以 W是 a的 一 次 函 数 , -10 0, W 随 a 的 增 大 而 减 小 .所 以 当 a 最 小 时 , W最 大 .此 时 W=-10 60+2400=1800答 : 若 全 部 销 售 完 , 方
32、案 一 获 利 最 大 , 最 大 利 润 是 1800 元 .22.如 图 , ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 , BAC=90 , AB=AC, 四 边 形 ADEF是 正 方 形 , 点 B、C分 别 在 边 AD、 AF 上 , 此 时 BD=CF, BD CF成 立 . (1)当 ABC绕 点 A 逆 时 针 旋 转 (0 90 )时 , 如 图 , BD=CF 成 立 吗 ? 若 成 立 , 请证 明 ; 若 不 成 立 , 请 说 明 理 由 ; (2)当 ABC绕 点 A 逆 时 针 旋 转 45 时 , 如 图 , 延 长 DB交 CF于 点 H;( )求 证 : BD
33、 CF;( )当 AB=2, AD=3 2 时 , 求 线 段 DH 的 长 .解 析 : (1)欲 证 明 BD=CF, 只 要 证 明 CAF BAD即 可 ;(2)( )由 (1)得 CAF BAD, 推 出 CFA= BDA, 由 FNH= DNA, DNA+ NAD=90 , 即可 推 出 CFA+ FNH=90 , 由 此 即 可 解 决 问 题 ;( )只 要 证 明 DMB DHF, 可 得 DM DBDH DF , 构 建 方 程 即 可 解 决 问 题 ;答 案 : (1)BD=CF.理 由 如 下 : 由 题 意 得 , CAF= BAD= ,在 CAF和 BAD中 ,
34、CA BACAF BADFA DA , , CAF BAD, BD=CF. (2)( )由 (1)得 CAF BAD, CFA= BDA, FNH= DNA, DNA+ NAD=90 , CFA+ FNH=90 , FHN=90 , 即 BD CF.( )连 接 DF, 延 长 AB交 DF 于 M, 四 边 形 ADEF 是 正 方 形 , AD=3 2 , AB=2, AM=DM=3, BM=AM-AB=1, DB= 2 2 10DM BM , MAD= MDA=45 , AMD=90 , 又 DHF=90 , MDB= HDF, DMB DHF, DM DBDH DF , 即 3 106
35、DH , 解 得 , DH= 9 105 .23.如 图 , 已 知 二 次 函 数 21 32 2y x bx 与 x 轴 交 于 点 A(-3, 0)和 点 B, 以 AB 为 边 在 x轴 上 方 作 正 方 形 ABCD, 点 P 是 x 轴 上 一 动 点 , 连 接 DP, 过 点 P 作 DP 的 垂 线 与 y 轴 交 于 点E. (1)试 求 出 二 次 函 数 的 表 达 式 和 点 B 的 坐 标 ;(2)当 点 P 在 线 段 AO(点 P 不 与 A、 O 重 合 )运 动 至 何 处 时 , 线 段 OE的 长 有 最 大 值 , 求 出 这 个最 大 值 ;(3)
36、是 否 存 在 这 样 的 点 P, 使 PED是 等 腰 三 角 形 ? 若 存 在 , 请 求 出 点 P 的 坐 标 及 此 时 PED与 正 方 形 ABCD 重 叠 部 分 的 面 积 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (1)将 A 点 坐 标 代 入 21 32 2y x bx 中 求 出 b 得 到 二 次 函 数 的 表 达 式 为21 32 2y x x , 然 后 解 方 程 21 32 2x x =0得 B点 坐 标 ;(2)设 PA=t(-3 t 0), 则 OP=3-t, 如 图 1, 证 明 DAP POE, 利 用 相 似 比 得 到OE=
37、 21 34 4t t , 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 解 决 问 题 ;(3)讨 论 : 当 点 P 在 y 轴 左 侧 时 , 如 图 2, DE交 AB于 G 点 , 证 明 DAP POE得 到 PO=AD=4, 则 PA=1, OE=1, 再 利 用 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 计 算 出 AG=125 , 则 计 算 S DAG即 可 得 到 此 时 PED 与 正 方 形 ABCD重 叠 部 分 的 面 积 ; 当 P 点 在 y 轴 右 侧 时 , 如 图 3, DE 交 AB 于 G 点 , DP与 BC 相 交 于 Q, 同 理 可 得 DA
38、P POE, 则 PO=AD=4, PA=7, OE=7, 再 利 用 平 行 线 分 线 段 成比 例 定 理 计 算 出 OG和 BQ, 然 后 计 算 S 四 边 形 DGBQ得 到 此 时 PED与 正 方 形 ABCD重 叠 部 分 的 面 积 .答 案 : (1)将 点 A(-3, 0)代 入 21 32 2y x bx 得 9 332 2b =0, 解 得 b=1, 二 次 函 数 的 表 达 式 为 21 32 2y x x ,当 y=0时 , 21 32 2x x =0, 解 得 x 1=1, x2=-3, B(1, 0);(2)设 PA=t(-3 t 0), 则 OP=3-
39、t, 如 图 1, DP PE, DPA= PEO, DAP POE, AP ADOE PO , 即 43tOE t , 221 3 1 3 94 4 4 2 16OE t t t , 当 t= 32 时 , OE 有 最 大 值 , 即 P 为 AO 中 点 时 , OE的 最 大 值 为 916 ;(3)存 在 .当 点 P在 y轴 左 侧 时 , 如 图 2, DE交 AB于 G 点 , PD=PE, DPE=90 , DAP POE, PO=AD=4, PA=1, OE=1, AD OE, 124 5AG AD AGOG OE , , S DAG= 1 12 2442 5 5 , P
40、点 坐 标 为 (-4, 0), 此 时 PED与 正 方 形 ABCD重 叠 部 分 的 面 积 为 245 ;当 P 点 在 y轴 右 侧 时 , 如 图 3, DE交 AB于 G 点 , DP与 BC相 交 于 Q, 同 理 可 得 DAP POE, PO=AD=4, PA=7, OE=7, AD OE, 4 217 11AG AD OGOG OE , , 同 理 可 得 BQ=127 , S 四 边 形 DGBQ= 1 21 1 12 7121 4 4 .2 11 2 7 77 当 点 P 的 坐 标 为 (4, 0)时 , 此 时 PED与 正 方 形 ABCD重 叠 部 分 的 面 积 为 71277 .