1、2018年 山 东 省 青 岛 市 中 考 模 拟 数 学一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24 分 )1.如 图 示 ， 数 轴 上 点 A 所 表 示 的 数 的 绝 对 值 为 ( )A.2B. 2C. 2D.以 上 均 不 对解 析 ： 由 数 轴 可 得 ，点 A 表 示 的 数 是 2， | 2|=2， 数 轴 上 点 A 所 表 示 的 数 的 绝 对 值 为 2. 答 案 ： A2.根 据 习 近 平 总 书 记 在 “ 一 带 一 路 ” 国 际 合 作 高 峰 论 坛 开 幕 式 上 的 演 讲 ， 中 国 将 在 未 来 3年 向
2、参 与 “ 一 带 一 路 ” 建 设 的 发 展 中 国 家 和 国 际 组 织 提 供 60000000000元 人 民 币 援 助 ， 建 设更 多 民 生 项 目 .其 中 数 据 60000000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.6 1010B.0.6 1011C.6 1010D.6 10 11解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移
3、 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1 时 ， n是 非 负 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n 是 负 数 .将 60000000000 用 科 学 记 数法 表 示 为 ： 6 1010.答 案 ： C3.下 列 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也
4、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 但 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 . 答 案 ： D4.计 算 232 ba b a 的 结 果 是 ( )A.a5b5B.a4b5C.ab5D.a5b6解 析 ： 根 据 积 的 乘 方 等 于 乘 方 的 积 ， 分 式 的 乘 法 ， 可 得 ， 原 式 = 26 3 ba b a =a 5b5.答 案 ： A5.如 图 ， 网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为 1.图 中 线 段 AB 和 点 P 绕 着 同 一 个 点 做 相 同 的 旋 转 ，分
5、 别 得 到 线 段 A B 和 点 P ， 则 点 P 所 在 的 单 位 正 方 形 区 域 是 ( ) A.1 区B.2 区C.3 区D.4 区解 析 ： 如 图 ， 连 接 AA 、 BB ， 分 别 作 AA 、 BB 的 中 垂 线 ， 两 直 线 的 交 点 即 为 旋 转 中 心 ， 由 图 可 知 ， 线 段 AB 和 点 P 绕 着 同 一 个 该 点 逆 时 针 旋 转 90 ， 点 P逆 时 针 旋 转 90 后 所 得 对 应 点 P 落 在 4区 .答 案 ： D6.某 校 美 术 社 团 为 练 习 素 描 ， 他 们 第 一 次 用 120元 买 了 若 干 本
6、 资 料 ， 第 二 次 用 240元 在 同 一商 家 买 同 样 的 资 料 ， 这 次 商 家 每 本 优 惠 4元 ， 结 果 比 上 次 多 买 了 20本 .求 第 一 次 买 了 多 少 本资 料 ？ 若 设 第 一 次 买 了 x本 资 料 ， 列 方 程 正 确 的 是 ( )A. 240 120 420 x x B. 240 120 420 x x C.120 240 420 x x D.120 240 420 x x 解 析 ： 设 他 上 月 买 了 x 本 笔 记 本 ， 则 这 次 买 了 (x+20)本 ，根 据 题 意 得 ： 120 240 420 x x .
7、答 案 ： D7.如 图 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB=1， BE 平 分 ABC， 交 AD 于 点 E， 若 点 E 是 AD 的 中 点 ， 以 点 B为 圆 心 ， BE长 为 半 径 画 弧 ， 交 BC于 点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 ( ) A.2 4B.32 4C.2 8D.32 8解 析 ： 矩 形 ABCD 的 边 AB=1， BE平 分 ABC， ABE= EBF=45 ， AD BC， AEB= CBE=45 ， AB=AE=1， BE= 2 ， 点 E是 AD的 中 点 ， AE=ED=1， 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 =S 矩
8、形 ABCD S ABE S 扇 形 EBF= 24511 2 1 1 22 360 =32 4 .答 案 ： B8.如 图 ， 反 比 例 函 数 ky x (x 0)与 一 次 函 数 y=x+4 的 图 象 交 于 A、 B 两 点 的 横 坐 标 分 别 为 3， 1.则 关 于 x 的 不 等 式 kx x+4(x 0)的 解 集 为 ( ) A.x 3B. 3 x 1C. 1 x 0D.x 3 或 1 x 0解 析 ： 观 察 图 象 可 知 ， 当 3 x 1时 ， 一 次 函 数 的 图 象 在 反 比 例 函 数 图 象 的 上 方 ， 关 于 x 的 不 等 式 kx x+
9、4(x 0)的 解 集 为 ： 3 x 1.答 案 ： B二 、 填 空 题 ： (本 题 满 分 18 分 ， 共 有 6道 小 题 ， 每 小 题 3分 )9.计 算 127 6 3 的 结 果 是 _.解 析 ： 原 式 = 33 3 3 333 6 3 2 答 案 ： 310.某 校 为 了 解 本 校 九 年 级 学 生 足 球 训 练 情 况 ， 随 机 抽 查 该 年 级 若 干 名 学 生 进 行 测 试 ， 然 后把 测 试 结 果 分 为 4 个 等 级 ： A、 B、 C、 D， 并 将 统 计 结 果 绘 制 成 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 .该 年 级共 有
10、700人 ， 估 计 该 年 级 足 球 测 试 成 绩 为 D等 的 人 数 为 _人 . 解 析 ： 总 人 数 为 14 28%=50人 ， 该 年 级 足 球 测 试 成 绩 为 D 等 的 人 数 为 700 450=56(人 ).答 案 ： 5611.如 图 ， 四 边 形 ABCD内 接 于 O， DA=DC， CBE=50 ， 则 DAC的 大 小 为 _. 解 析 ： CBE=50 ， ABC=180 CBE=180 50 =130 ， 四 边 形 ABCD 为 O的 内 接 四 边 形 ， D=180 ABC=180 130 =50 ， DA=DC， 180 652 DDA
11、C .答 案 ： 6512.甲 、 乙 两 动 点 分 别 从 线 段 AB 的 两 端 点 同 时 出 发 ， 甲 从 点 A 出 发 ， 向 终 点 B运 动 ， 乙 从 点B出 发 ， 向 终 点 A 运 动 .已 知 线 段 AB 长 为 90cm， 甲 的 速 度 为 2.5cm/s.设 运 动 时 间 为 x(s)，甲 、 乙 两 点 之 间 的 距 离 为 y(cm)， y 与 x 的 函 数 图 象 如 图 所 示 ， 则 图 中 线 段 DE所 表 示 的 函 数关 系 式 为 _.(并 写 出 自 变 量 取 值 范 围 ) 解 析 ： 90 362.5 (s)， 观 察
12、图 象 可 知 乙 的 运 动 时 间 为 45s， 乙 的 速 度 =9045=2cm/s，相 遇 时 间 = 902.5 2 =20， 图 中 线 段 DE 所 表 示 的 函 数 关 系 式 ： y=(2.5+2)(x 20)=4.5x 90(20 x 36).答 案 ： y=4.5x 90(20 x 36)13.如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AB= 2 ， E是 BC的 中 点 ， AE BD于 点 F， 则 CF的 长 是 _. 解 析 ： 方 法 1、 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， ABE= BAD=90 ， AE BD， AFB=90 ， BAF+ ABD= AB
13、D+ ADB=90 ， BAE= ADB， ABE ADB， AD ABAB BE ， E 是 BC 的 中 点 ， AD=2BE， 2BE2=AB2=2， BE=1， BC=2， 2 2 2 23 6AE AB BE BD BC CD ， ， 63AB BEBF AE ，过 F 作 FG BC 于 G， FG CD， BFG BDC， FG BF BGCD BD BC ， FG= 23 ， BG= 23 ， CG= 43 ， 2 2 2CF FG CG .故 答 案 为 ： 2 .方 法 2、 如 图 ， 过 点 C作 CG BD， AE BD， AFE= CGD=90 ， EF CG， 点
14、 E是 BC中 点 ， BF=FG， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AB=CD= 2 ， AB CD， ABF= CDG， ABF CDG， DG=BF=FG， CF=CD= 2 ，答 案 ： 2 14.一 个 长 方 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 若 其 俯 视 图 为 正 方 形 ， 则 这 个 长 方 体 的 体 积 为 _.解 析 ： 设 俯 视 图 的 正 方 形 的 边 长 为 a. 其 俯 视 图 为 正 方 形 ， 正 方 形 的 对 角 线 长 为 2 2， a 2+a2=(2 2)2，解 得 a2=4， 这 个 长 方 体 的 体 积 为 4 3=12.答
15、 案 ： 12三 、 作 图 题 (本 题 满 分 4 分 )用 圆 规 、 直 尺 作 图 ， 不 写 作 法 ， 但 要 保 留 作 图 痕 迹 .15.如 图 ， 已 知 ABC， B=40 .在 图 中 作 出 ABC 的 内 切 圆 O， 并 标 出 O 与 边 AB， BC， AC的 切 点 D， E， F. 解 析 ： 直 接 利 用 基 本 作 图 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： 如 图 ， O 即 为 所 求 .四 、 解 答 题 (本 题 共 有 9 道 题 ， 满 分 74分 ) 16.(1)计 算 ： 23 4 6 92 2 2a a aa a a (2)已 知
16、关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 6x+m+4=0有 两 个 实 数 根 x1， x2.求 m的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)利 用 通 分 、 完 全 平 方 公 式 、 分 解 因 式 等 方 法 ， 将 原 式 进 行 化 简 即 可 得 出 结 论 ；(2)根 据 方 程 的 系 数 结 合 根 的 判 别 式 0， 即 可 得 出 关 于 m的 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 之 即 可 得出 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)原 式 = 22 34 3 42 2 2aa aa a a ， = 2 23 22 3a a aa a ，= 23 22 3
17、a a aa a ，= 3aa .(2) 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2 6x+m+4=0有 两 个 实 数 根 x1， x2. =( 6) 2 4 1 (m+4) 0，解 得 ： m 5.17.若 n 是 一 个 两 位 正 整 数 ， 且 n 的 个 位 数 字 大 于 十 位 数 字 ， 则 称 n 为 “ 两 位 递 增 数 ” (如13， 35， 56等 ).在 某 次 数 学 趣 味 活 动 中 ， 每 位 参 加 者 需 从 由 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6 构 成 的所 有 的 “ 两 位 递 增 数 ” 中 随 机 抽 取 1 个 数 ， 且 只 能
18、 抽 取 一 次 .(1)写 出 所 有 个 位 数 字 是 5 的 “ 两 位 递 增 数 ” ；(2)请 用 列 表 法 或 树 状 图 ， 求 抽 取 的 “ 两 位 递 增 数 ” 的 个 位 数 字 与 十 位 数 字 之 积 能 被 10整 除的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 “ 两 位 递 增 数 ” 定 义 可 得 ；(2)画 树 状 图 列 出 所 有 “ 两 位 递 增 数 ” ， 找 到 个 位 数 字 与 十 位 数 字 之 积 能 被 10 整 除 的 结 果 数 ，根 据 概 率 公 式 求 解 可 得 .答 案 ： (1)根 据 题 意 所 有 个 位 数
19、字 是 5 的 “ 两 位 递 增 数 ” 是 15、 25、 35、 45这 4个 ；(2)画 树 状 图 为 ： 共 有 15种 等 可 能 的 结 果 数 ， 其 中 个 位 数 字 与 十 位 数 字 之 积 能 被 10整 除 的 结 果 数 为 3，所 以 个 位 数 字 与 十 位 数 字 之 积 能 被 10 整 除 的 概 率 = 3 1=15 5 .18.如 图 ， 学 校 的 实 验 楼 对 面 是 一 幢 教 学 楼 ， 小 敏 在 实 验 楼 的 窗 口 C测 得 教 学 楼 顶 部 D 的 仰角 为 18 ， 教 学 楼 底 部 B的 俯 角 为 20 ， 量 得
20、实 验 楼 与 教 学 楼 之 间 的 距 离 AB=30m.(1)求 BCD的 度 数 .(2)求 教 学 楼 的 高 BD.(结 果 精 确 到 0.1m， 参 考 数 据 ： tan20 0.36， tan18 0.32) 解 析 ： (1)过 点 C 作 CE 与 BD 垂 直 ， 根 据 题 意 确 定 出 所 求 角 度 数 即 可 ；(2)在 直 角 三 角 形 CBE 中 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出 BE的 长 ， 在 直 角 三 角 形 CDE中 ， 利 用锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出 DE的 长 ， 由 BE+DE 求 出 BD 的 长 ，
21、 即 为 教 学 楼 的 高 .答 案 ： (1)过 点 C 作 CE BD， 则 有 DCE=18 ， BCE=20 ， BCD= DCE+ BCE=18 +20 =38 ；(2)由 题 意 得 ： CE=AB=30m，在 Rt CBE中 ， BE=CEtan20 10.80m，在 Rt CDE中 ， DE=CDtan18 9.60m， 教 学 楼 的 高 BD=BE+DE=10.80+9.60 20.4m，则 教 学 楼 的 高 约 为 20.4m.19.一 次 学 科 测 验 ， 学 生 得 分 均 为 整 数 ， 满 分 10 分 ， 成 绩 达 到 6 分 以 上 为 合 格 .成
22、绩 达 到 9分 为 优 秀 .这 次 测 验 中 甲 乙 两 组 学 生 成 绩 分 布 的 条 形 统 计 图 如 下 ： (1)请 补 充 完 成 下 面 的 成 绩 统 计 分 析 表 ：平 均 分 方 差 中 位 数 合 格 率 优 秀 率甲 组 6.9 2.4 91.7% 16.7%乙 组 1.3 83.3% 8.3%(2)甲 组 学 生 说 他 们 的 合 格 率 、 优 秀 率 均 高 于 乙 组 ， 所 以 他 们 的 成 绩 好 于 乙 组 .但 乙 组 学 生 不同 意 甲 组 学 生 的 说 法 ， 认 为 他 们 组 的 成 绩 要 高 于 甲 组 .请 你 给 出
23、三 条 支 持 乙 组 学 生 观 点 的 理由 .解 析 ： (1)本 题 需 先 根 据 中 位 数 的 定 义 ， 再 结 合 统 计 图 得 出 它 们 的 平 均 分 和 中 位 数 即 可 求 出答 案 .(2)本 题 需 先 根 据 统 计 图 ， 再 结 合 它 们 的 合 格 率 、 优 秀 率 说 出 它 们 各 自 的 观 点 是 本 题 所 求 的答 案 .答 案 ： (1)从 统 计 图 中 可 以 看 出 ：甲 组 ： 中 位 数 7；乙 组 ： 平 均 分 7， 中 位 数 7； (2) 因 为 乙 组 学 生 的 平 均 成 绩 高 于 甲 组 学 生 的 平
24、均 成 绩 ， 所 以 乙 组 学 生 的 成 绩 好 于 甲 组 ； 因 为 甲 乙 两 组 学 生 成 绩 的 平 均 分 相 差 不 大 ， 而 乙 组 学 生 的 方 差 低 于 甲 组 学 生 的 方 差 ， 说 明乙 组 学 生 成 绩 的 波 动 性 比 甲 组 小 ， 所 以 乙 组 学 生 的 成 绩 好 于 甲 组 ； 因 为 乙 组 7 分 (含 7分 )以 上 人 数 多 于 甲 组 7 分 (含 7 分 )以 上 人 数 ， 所 以 乙 组 学 生 的 成 绩 好于 甲 组 .20.江 南 农 场 收 割 小 麦 ， 已 知 1 台 大 型 收 割 机 和 3 台 小
25、 型 收 割 机 1 小 时 可 以 收 割 小 麦 1.4公顷 ， 2台 大 型 收 割 机 和 5台 小 型 收 割 机 1 小 时 可 以 收 割 小 麦 2.5公 顷 .(1)每 台 大 型 收 割 机 和 每 台 小 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 各 多 少 公 顷 ？(2)大 型 收 割 机 每 小 时 费 用 为 300元 ， 小 型 收 割 机 每 小 时 费 用 为 200元 ， 两 种 型 号 的 收 割 机一 共 有 10 台 ， 要 求 2 小 时 完 成 8公 顷 小 麦 的 收 割 任 务 ， 且 总 费 用 不 超 过 5400 元 ， 有 几 种
26、方 案 ？ 请 指 出 费 用 最 低 的 一 种 方 案 ， 并 求 出 相 应 的 费 用 .解 析 ： (1)设 每 台 大 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 x 公 顷 ， 每 台 小 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 y 公顷 ， 根 据 “ 1 台 大 型 收 割 机 和 3 台 小 型 收 割 机 1 小 时 可 以 收 割 小 麦 1.4公 顷 ， 2 台 大 型 收 割机 和 5 台 小 型 收 割 机 1小 时 可 以 收 割 小 麦 2.5公 顷 ” ， 即 可 得 出 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 方 程组 ， 解 之 即 可 得 出 结 论
27、 ；(2)设 大 型 收 割 机 有 m台 ， 总 费 用 为 w 元 ， 则 小 型 收 割 机 有 (10 m)台 ， 根 据 总 费 用 =大 型 收割 机 的 费 用 +小 型 收 割 机 的 费 用 ， 即 可 得 出 w 与 m 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 由 “ 要 求 2小 时 完 成8公 顷 小 麦 的 收 割 任 务 ， 且 总 费 用 不 超 过 5400 元 ” ， 即 可 得 出 关 于 m的 一 元 一 次 不 等 式 组 ，解 之 即 可 得 出 m的 取 值 范 围 ， 依 此 可 找 出 各 方 案 ， 再 结 合 一 次 函 数 的 性 质 即 可
28、解 决 最 值 问 题 .答 案 ： (1)设 每 台 大 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 x 公 顷 ， 每 台 小 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 y 公顷 ，根 据 题 意 得 ： 3 1.42 5 2.5x yx y ， 解 得 ： 0.50.3xy .答 ： 每 台 大 型 收 割 机 1 小 时 收 割 小 麦 0.5公 顷 ， 每 台 小 型 收 割 机 1小 时 收 割 小 麦 0.3公 顷 .(2)设 大 型 收 割 机 用 m 台 ， 总 费 用 为 w 元 ， 则 小 型 收 割 机 用 (10 m)台 ，根 据 题 意 得 ： w=300 2m+
29、200 2(10 m)=200m+4000. 2 小 时 完 成 8公 顷 小 麦 的 收 割 任 务 ， 且 总 费 用 不 超 过 5400元 ， 2 0.5 2 0.310 8200 4000 5400m mm ，解 得 ： 5 m 7， 有 三 种 不 同 方 案 . w=200m+4000中 ， 200 0， w 值 随 m值 的 增 大 而 增 大 ， 当 m=5时 ， 总 费 用 取 最 小 值 ， 最 小 值 为 5000 元 . 答 ： 有 三 种 方 案 ， 当 大 型 收 割 机 用 5 台 、 小 型 收 割 机 用 5 台 时 ， 总 费 用 最 低 ， 最 低 费
30、用 为5000元 .21.如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 边 AB 的 垂 直 平 分 线 交 AD于 点 E， 交 CB的 延 长 线 于 点 F，连 接 AF， BE.(1)求 证 ： AGE BGF；(2)试 判 断 四 边 形 AFBE的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AD BC， 得 出 AEG= BFG， 由 AAS 证 明 AGE BGF 即 可 ；(2)由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 AE=BF， 由 AD BC， 证 出 四 边 形 AFBE 是 平 行 四 边 形 ， 再 根
31、据EF AB， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， AEG= BFG， EF 垂 直 平 分 AB， AG=BG， 在 AGE和 BGF中 ， AEG BFGAGE BGFAG BG ， AGE BGF(AAS)；(2)解 ： 四 边 形 AFBE是 菱 形 ， 理 由 如 下 ： AGE BGF， AE=BF， AD BC， 四 边 形 AFBE 是 平 行 四 边 形 ，又 EF AB， 四 边 形 AFBE 是 菱 形 .22.随 着 新 农 村 的 建 设 和 旧 城 的 改 造 ， 我 们 的 家 园
32、越 来 越 美 丽 ， 小 明 家 附 近 广 场 中 央 新 修 了个 圆 形 喷 水 池 ， 在 水 池 中 心 竖 直 安 装 了 一 根 高 为 2米 的 喷 水 管 ， 它 喷 出 的 抛 物 线 形 水 柱 在 与池 中 心 的 水 平 距 离 为 1 米 处 达 到 最 高 ， 水 柱 落 地 处 离 池 中 心 3米 . (1)请 你 建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 并 求 出 水 柱 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；(2)求 出 水 柱 的 最 大 高 度 是 多 少 ？解 析 ： (1)以 水 管 与 地 面 交 点 为 原 点 ， 原 点 与 水
33、 柱 落 地 点 所 在 直 线 为 x 轴 ， 水 管 所 在 直 线 为y轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x 1)2+h， 代 入 (0， 2)和 (3， 0)得 出方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 ，(2)求 出 当 x=1 时 ， y=83 即 可 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ： 以 水 管 与 地 面 交 点 为 原 点 ， 原 点 与 水 柱 落 地 点 所 在 直 线 为 x 轴 ， 水 管所 在 直 线 为 y 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为： y=a(
34、x 1)2+h，代 入 (0， 2)和 (3， 0)得 ： 4 02a ha h ，解 得 ： 2383ah ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： 22 813 3y x ；即 22 4 23 3y x x (0 x 3)； (2) 22 4 23 3y x x (0 x 3)，当 x=1时 ， y=83 ，即 水 柱 的 最 大 高 度 为 83 m.23.探 索 n n 的 正 方 形 钉 子 板 上 (n 是 钉 子 板 每 边 上 的 钉 子 数 )， 连 接 任 意 两 个 钉 子 所 得 到 的不 同 长 度 值 的 线 段 种 数 ：当 n=2 时 ， 钉 子 板 上 所 连
35、不 同 线 段 的 长 度 值 只 有 1 与 2 ， 所 以 不 同 长 度 值 的 线 段 只 有 2种 ， 若 用 S表 示 不 同 长 度 值 的 线 段 种 数 ， 则 S=2；当 n=3时 ， 钉 子 板 上 所 连 不 同 线 段 的 长 度 值 只 有 1， 2 ， 2， 5， 2 2五 种 ， 比 n=2时增 加 了 3 种 ， 即 S=2+3=5.(1)观 察 图 形 ， 填 写 下 表 ： (2)写 出 (n 1) (n 1)和 n n 的 两 个 钉 子 板 上 ， 不 同 长 度 值 的 线 段 种 数 之 间 的 关 系 ； (用式 子 或 语 言 表 述 均 可
36、)(3)对 n n的 钉 子 板 ， 写 出 用 n 表 示 S的 代 数 式 .钉 子 数 (n) S值 2 2 23 3 2+34 4 2+3+( )5 5 ( )解 析 ： (1)钉 子 数 为 2 2时 ， 共 有 不 同 的 线 段 2条 ；钉 子 数 为 3 3 时 ， 共 有 不 同 的 线 段 2+3 条 ；钉 子 数 为 4 4 时 ， 共 有 不 同 的 线 段 2+3+4 条 ；那 么 钉 子 数 为 5 5 时 ， 共 有 不 同 的 线 段 2+3+4+5 条 .(2)钉 子 数 为 (n 1) (n 1)时 ， 共 有 不 同 的 线 段 2+3+4+5+ +(n
37、1)条 ； 钉 子 数 为 n n时 ，共 有 不 同 的 线 段 2+3+4+5+ +(n 1)+n条 相 减 后 发 现 不 同 长 度 的 线 段 种 数 增 加 了 n 种 .(3)钉 子 数 为 n n 时 ， 共 有 不 同 的 线 段 应 从 2 开 始 加 ， 加 到 n.答 案 ： (1)4， 2+3+4+5(或 14)；(2)类 似 以 下 答 案 均 给 满 分 ：(i)n n 的 钉 子 板 比 (n 1) (n 1)的 钉 子 板 中 不 同 长 度 的 线 段 种 数 增 加 了 n 种 ； (ii)分 别 用 a， b 表 示 n n 与 (n 1) (n 1)的
38、 钉 子 板 中 不 同 长 度 的 线 段 种 数 ， 则 a=b+n；(3) 22 22 3 4 12 2n n nS n n .24.在 直 角 坐 标 系 中 ， 过 原 点 O 及 点 A(8， 0)， C(0， 6)作 矩 形 OABC、 连 结 OB， 点 D为 OB的中 点 ， 点 E 是 线 段 AB 上 的 动 点 ， 连 结 DE， 作 DF DE， 交 OA于 点 F， 连 结 EF.已 知 点 E 从 A点 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 长 度 的 速 度 在 线 段 AB 上 移 动 ， 设 移 动 时 间 为 t 秒 . (1)如 图 1， 当 t=3时
39、 ， 求 DF的 长 .(2)如 图 2， 当 点 E 在 线 段 AB上 移 动 的 过 程 中 ， DEF 的 大 小 是 否 发 生 变 化 ？ 如 果 变 化 ， 请说 明 理 由 ； 如 果 不 变 ， 请 求 出 tan DEF的 值 .(3)连 结 AD， 当 AD 将 DEF分 成 的 两 部 分 的 面 积 之 比 为 1： 2 时 ， 求 相 应 的 t 的 值 .解 析 ： (1)当 t=3 时 ， 点 E 为 AB 的 中 点 ， 由 三 角 形 中 位 线 定 理 得 出 DE OA， DE= 12 OA=4，再 由 矩 形 的 性 质 证 出 DE AB， 得 出
40、OAB= DEA=90 ， 证 出 四 边 形 DFAE是 矩 形 ， 得 出 DF=AE=3即 可 ；(2)作 DM OA 于 M， DN AB 于 N， 证 明 四 边 形 DMAN 是 矩 形 ， 得 出 MDN=90 ， DM AB， DN OA， 由 平 行 线 得 出 比 例 式 BD BN DO OMDO NA BD MA ， ， 由 三 角 形 中 位 线 定 理 得 出 DM=12 AB=3，DN=12 OA=4， 证 明 DMF DNE， 得 出 34DF DMDE DN ， 再 由 三 角 函 数 定 义 即 可 得 出 答 案 ；(3)作 作 DM OA 于 M， DN
41、 AB 于 N， 若 AD 将 DEF 的 面 积 分 成 1： 2 的 两 部 分 ， 设 AD 交 EF 于 点 G， 则 点 G为 EF的 三 等 分 点 ； 当 点 E 到 达 中 点 之 前 时 ， NE=3 t， 由 DMF DNE 得 ： MF= 34 (3 t)， 求 出 AF=4+MF= 3 254 4t ， 得 出 G(3 71 212 3t t ， )， 求 出 直 线 AD的 解 析 式 为 y= 34 x+6， 把 G(3 71 212 3t t ， )代 入 即 可 求 出 t的 值 ； 当 点 E 越 过 中 点 之 后 ， NE=t 3， 由 DMF DNE 得
42、 ： MF= 34 (t 3)， 求 出 AF=4 MF=3 254 4t ， 得 出 G(3 23 16 3t t ， )， 代 入 直 线 AD的 解 析 式 y= 34 x+6求 出 t 的 值 即 可 .答 案 ： (1)当 t=3时 ， 点 E 为 AB 的 中 点 ， A(8， 0)， C(0， 6)， OA=8， OC=6， 点 D为 OB的 中 点 ， DE OA， DE= 12 OA=4， 四 边 形 OABC 是 矩 形 ， OA AB， DE AB， OAB= DEA=90 ，又 DF DE， EDF=90 ， 四 边 形 DFAE 是 矩 形 ， DF=AE=3；(2)
43、 DEF的 大 小 不 变 ； 理 由 如 下 ：作 DM OA 于 M， DN AB 于 N， 如 图 2 所 示 ： 四 边 形 OABC 是 矩 形 ， OA AB， 四 边 形 DMAN 是 矩 形 ， MDN=90 ， DM AB， DN OA， BD BN DO OMDO NA BD MA ， ， 点 D为 OB的 中 点 ， M、 N分 别 是 OA、 AB的 中 点 ， DM= 12 AB=3， DN= 12 OA=4， EDF=90 ， FDM= EDN，又 DMF= DNE=90 ， DMF DNE， 34DF DMDE DN ， EDF=90 ， tan DEF= 34D
44、FDE ；(3)作 DM OA 于 M， DN AB 于 N，若 AD 将 DEF的 面 积 分 成 1： 2 的 两 部 分 ，设 AD 交 EF于 点 G， 则 点 G 为 EF 的 三 等 分 点 ； 当 点 E 到 达 中 点 之 前 时 ， 如 图 3所 示 ， NE=3 t， 由 DMF DNE得 ： MF= 34 (3 t)， AF=4+MF= 3 254 4t ， 点 G为 EF的 三 等 分 点 ， G(3 71 212 3t t ， )，设 直 线 AD 的 解 析 式 为 y=kx+b，把 A(8， 0)， D(4， 3)代 入 得 ： 8 04 3k bk b ，解 得
45、 ： 346kb ， 直 线 AD 的 解 析 式 为 y= 34 x+6，把 G(3 71 212 3t t ， )代 入 得 ： t=7541； 当 点 E 越 过 中 点 之 后 ， 如 图 4 所 示 ， NE=t 3， 由 DMF DNE得 ： MF= 34 (t 3)， AF=4 MF= 3 254 4t ， 点 G为 EF的 三 等 分 点 ， G(3 23 16 3t t ， )，代 入 直 线 AD的 解 析 式 y= 34 x+6 得 ： t=7517；综 上 所 述 ， 当 AD将 DEF分 成 的 两 部 分 的 面 积 之 比 为 1： 2 时 ， t 的 值 为 7541或 7517.
