1、2017年 青 海 省 西 宁 市 高 考 二 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.复 数 51 2i i =( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i 解 析 ： 5 1 25 21 2 1 2 1 2i ii ii i i .答 案 ： C2.设 集 合 M=-1， 0， 1， N=a， a2则 使 M N=N成 立 的 a的 值 是 ( )A.1B.0C.-1D.1或 -1解 析 ： M=
2、-1， 0， 1， N=a， a 2， M N=N， 2 11aa ， 解 得 a=-1.答 案 ： C3.已 知 平 面 向 量 a =(1， 2)， b =(-2， m)， 且 a b ， 则 |b |为 ( )A.2 5B.5C.3 5D.1 解 析 ： a b ， 平 面 向 量 a =(1， 2)， b =(-2， m)， -2 2-m=0， 解 得 m=-4. b =(-2， -4)， 2 22 4 2 5b .答 案 ： A4.已 知 cos 4)4 5( ， 则 sin2 =( ) A. 2425B. 725C. 2425D. 725解 析 ： 由 cos 4)4 5( ，可
3、得 ： cos 4 cos +sin 4 sin = 45 ， 则 cos +sin = 4 25 ， 两 边 平 方 ， 得 1+sin2 = 3225 ， 则 sin2 = 725 .答 案 ： B5.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 中 正 (主 )视 图 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 侧 (左 )视 图 是 等 腰 三 角形 ， 俯 视 图 是 正 方 形 ， 则 该 四 棱 锥 的 体 积 是 ( ) A.8B. 83C.4D. 43解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 几 何 体 是 一 个 底 面 是 正 方 形 的 四 棱 锥 ， 且 一 条 侧
4、棱 垂 直 于 底 面 .底 面 对 角 线 的 长 为 2， 底 面 面 积 是 S= 12 2 2=2，四 棱 锥 高 为 h=2， 所 以 它 的 体 积 是 1 42 23 3 .答 案 ： D 6.抛 物 线 y2=16x 的 焦 点 为 F， 点 A 在 y 轴 上 ， 且 满 足 OA OF ， 抛 物 线 的 准 线 与 x 轴 的交 点 是 B， 则 FA AB =( )A.-4B.4C.0D.-4或 4解 析 ： 抛 物 线 y 2=16x的 焦 点 为 F(4， 0)， OA OF ， 可 得 A(0， 4)，又 B(-4， 0)， 即 有 FA =(-4， 4)， AB
5、 =(-4， -4)， 或 FA =(-4， -4)， AB =(-4， 4)，则 有 FA AB =16-16=0.答 案 ： C7.在 ABC中 ， A， B， C 成 等 差 数 列 是 (b+a-c)(b-a+c)=ac的 ( )A.充 分 但 不 必 要 条 件B.必 要 但 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： (1)如 图 ， 若 A， B， C 成 等 差 数 列 ： 2B=A+C， 所 以 3B=180 ， B=60 ； 由 余 弦 定 理 得 ， b 2=a2+c2-ac； a2+c2-b2=ac； (b+a-c)(b-
6、a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac； 即 (b+a-c)(b-a+c)=ac； A， B， C成 等 差 数 列 是 (b+a-c)(b-a+c)=ac 的 充 分 条 件 ；(2)若 (b+a-c)(b-a+c)=ac， 则 ： b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac； a2+c2-b2=ac；由 余 弦 定 理 ： a2+c2-b2=2ac cosB； cosB= 12 ； B=60 ； 60 -A=180 -(A+60 )-60 ； 即 B-A=C-B； A， B， C成 等 差 数 列 ； A， B， C 成 等 差 数 列 是 (
7、b+a-c)(b-a+c)=ac 的 必 要 条 件 ； 综 上 得 ， A， B， C成 等 差 数 列 是 (b+a-c)(b-a+c)=ac 的 充 要 条 件 .答 案 ： C8.现 有 四 个 函 数 ： y=x sinx； y=x cosx； y=x |cosx|； y=x 2 x的 图 象 (部 分 )如 图 ： 则 按 照 从 左 到 右 图 象 对 应 的 函 数 序 号 安 排 正 确 的 一 组 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 根 据 y=x sinx为 偶 函 数 ， 它 的 图 象 关 于 y轴 对 称 ， 故 第 一 个 图 象 即 是 ；根 据 y=
8、x cosx为 奇 函 数 ， 它 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 它 在 (0， 2 )上 的 值 为 正 数 ，在 ( 2 ， )上 的 值 为 负 数 ， 故 第 三 个 图 象 满 足 ；根 据 y=x |cosx|为 奇 函 数 ， 当 x 0时 ， f(x) 0， 故 第 四 个 图 象 满 足 ； y=x 2 x， 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 故 它 的 图 象 没 有 对 称 性 ， 故 第 2个 图 象 满 足 .答 案 ： D9.若 偶 函 数 f(x)在 (- ， 0上 单 调 递 减 ， a=f(log23)， b=f(log45)， c=f( 322 )，
9、 则 a， b， c满 足 ( )A.a b cB.b a cC.c a bD.c b a解 析 ： 偶 函 数 f(x)在 (- ， 0上 单 调 递 减 ， f(x)在 0， + )上 单 调 递 增 ， 2 log23=log49 log45， 322 2， f(log45) f(log23) f( 322 )， b a c.答 案 ： B.10.函 数 y=cos( x+ )( 0， 0 )为 奇 函 数 ， 该 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， A、 B分 别 为 最 高 点 与 最 低 点 ， 且 |AB|=2 2 ， 则 该 函 数 图 象 的 一 条 对 称 轴
10、为 ( )A.x= 2 B.x= 3C.x=2 D.x=1解 析 ： 由 函 数 y=cos( x+ )( 0， 0 )为 奇 函 数 ， 可 得 =k + 2 ， k z.再 结 合 0 ， 可 得 = 2 .再 根 据 AB2=8=4+( )2， 求 得 = 2 ， 函 数 y=cos( 2 2x )=-sin 2 x， 故 它 的 一 条 对 称轴 方 程 为 x=1.答 案 ： D11.椭 圆 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 中 心 在 原 点 ， F 1， F2分 别 为 左 、 右 焦 点 ， A， B 分 别 是 椭 圆 的上 顶 点 和 右 顶 点 ， P是 椭
11、 圆 上 一 点 ， 且 PF1 x 轴 ， PF2 AB， 则 此 椭 圆 的 离 心 率 等 于 ( )A. 13B. 12C. 22D. 55 解 析 ： 如 图 所 示 ， 把 x=-c 代 入 椭 圆 方 程 2 22 2x ya b =1(a b 0)， 可 得 P(-c， 2ba )，又 A(0， b)， B(a， 0)， F 2(c， 0)， kAB= ba ， kPF2= 22bac ， PF2 AB， 22b ba ac ， 化 为 ： b=2c. 4c2=b2=a2-c2， 即 a2=5c2， e= 22 55ca .答 案 ： D12.已 知 定 义 在 R上 的 函
12、数 f(x)满 足 ： f(x)=f(4-x)， f(x+2)=f(x)， 在 0， 1上 表 达式 为 f(x)=2 x-1， 则 函 数 g(x)=f(x)-log3|x|的 零 点 个 数 为 ( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 函 数 f(x)满 足 ： f(x)=f(4-x)， f(x+2)=f(2-x)， 函 数 的 对 称 轴 为 x=2， f(x+2)=f(x)， 函 数 的 周 期 为 2， 在 0， 1上 表 达 式 为 f(x)=2x-1，做 出 函 数 的 图 象 和 y=log3|x|的 图 象 ，通 过 图 象 得 出 交 点 的 个 数 为 4.答 案 ：
13、 A二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.2016年 夏 季 大 美 青 海 又 迎 来 了 旅 游 热 ， 甲 、 乙 、 丙 三 位 游 客 被 询 问 是 否 去 过 陆 心 之 海 青海 湖 ， 海 北 百 里 油 菜 花 海 ， 茶 卡 天 空 之 境 三 个 地 方 时 ，甲 说 ： 我 去 过 的 地 方 比 乙 多 ， 但 没 去 过 海 北 百 里 油 菜 花 海 ；乙 说 ： 我 没 去 过 茶 卡 天 空 之 境 ； 丙 说 ： 我 们 三 人 去 过 同 一 个 地 方 .由 此 可 判 断 乙 去
14、过 的 地 方 为 .解 析 ： 由 乙 说 ： 我 没 去 过 茶 卡 天 空 之 境 ， 则 乙 可 能 去 过 陆 心 之 海 青 海 湖 或 茶 卡 天 空 之 境 ，但 甲 说 ： 我 去 过 的 城 市 比 乙 多 ， 但 没 去 过 海 北 百 里 油 菜 花 海 ， 则 乙 只 能 是 去 过 陆 心 之 海 青 海湖 ， 茶 卡 天 空 之 境 中 的 任 一 个 ，再 由 丙 说 ： 我 们 三 人 去 过 同 一 个 地 方 ，则 由 此 可 判 断 乙 去 过 的 地 方 为 陆 心 之 海 青 海 湖 .答 案 ： 陆 心 之 海 青 海 湖14.公 元 263 年
15、左 右 ， 我 国 数 学 家 刘 徽 发 现 当 圆 内 接 正 多 边 形 的 边 数 无 限 增 加 时 ， 多 边 形 面积 可 无 限 逼 近 圆 的 面 积 ， 并 创 立 了 “ 割 圆 术 ” .利 用 “ 割 圆 术 ” 刘 徽 得 到 了 圆 周 率 精 确 到 小数 点 后 两 位 的 近 似 值 3.14， 这 就 是 著 名 的 “ 徽 率 ” .如 图 是 利 用 刘 徽 的 “ 割 圆 术 ” 思 想 设 计的 一 个 程 序 框 图 ， 则 输 出 n 的 值 为 .(参 考 数 据 ： sin15 =0.2588， sin7.5 =0.1305) 解 析 ：
16、模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 n=6， S=3sin60 = 3 32 ，不 满 足 条 件 S 3.10， n=12， S=6 sin30 =3，不 满 足 条 件 S 3.10， n=24， S=12 sin15 =12 0.2588=3.1056，满 足 条 件 S 3.10， 退 出 循 环 ， 输 出 n的 值 为 24.答 案 ： 2415.在 区 间 -1， 1上 随 机 取 一 个 数 k， 使 直 线 y=k(x+2)与 圆 x 2+y2=1 有 公 共 点 的 概 率为 .解 析 ： 圆 x2+y2=1的 圆 心 为 (0， 0)，圆 心 到 直 线 y=k(x+2)
17、的 距 离 为 22 1kk ，要 使 直 线 y=k(x+2)与 圆 x 2+y2=1有 公 共 点 ， 则 22 1kk 1 解 得 3 33 3k ， 在 区 间 -1， 1上 随 机 取 一 个 数 k， 使 直 线 y=k(x+2)与 圆 x2+y2=1 有 公 共 点 的 概 率 为 3 33 3 31 1 3 .答 案 ： 3316.已 知 正 四 棱 锥 S-ABCD中 ， SA=2 3 ， 那 么 当 该 棱 锥 的 体 积 最 大 时 ， 它 的 高 为 . 解 析 ： 设 底 面 边 长 为 a ， 则 高 h= 2 22 2 122 2a aSA ， 所 以 体 积V=
18、 62 41 1 123 3 2aa h a ，设 y=12a4- 12 a6， 则 y =48a3-3a5， 当 y 取 最 值 时 ， y =48a3-3a5=0， 解 得 a=0或 a=4时 ， 当a=4时 ， 体 积 最 大 ， 此 时 h= 212 2a 2.答 案 ： 2三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .) 17.已 知 an是 等 差 数 列 ， bn是 等 比 数 列 ， 且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4.(1)求 an的 通 项 公 式 ；(
19、2)设 cn=an+bn， 求 数 列 cn的 前 n项 和 .解 析 ： (1)设 an是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， 运 用 通 项 公 式 可 得q=3， d=2， 进 而 得 到 所 求 通 项 公 式 ；(2)求 得 cn=an+bn=2n-1+3n-1， 再 由 数 列 的 求 和 方 法 ： 分 组 求 和 ， 运 用 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的求 和 公 式 ， 计 算 即 可 得 到 所 求 和 .答 案 ： (1)设 a n是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， bn是 公 比 为 q的 等 比 数
20、 列 ，由 b2=3， b3=9， 可 得 q= 32bb =3， bn=b2qn-2=3 3n-2=3n-1；即 有 a1=b1=1， a14=b4=27， 则 d= 14 113a a =2， 则 an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1；(2)cn=an+bn=2n-1+3n-1，则 数 列 cn的 前 n项 和 为 (1+3+ +(2n-1)+(1+3+9+ +3 n-1)= 21 1 3 3 122 1 3 2n nn n n .18.为 选 拔 选 手 参 加 “ 中 国 谜 语 大 会 ” ， 某 中 学 举 行 了 一 次 “ 谜 语 大 赛 ” 活 动 .为 了
21、了 解 本 次竞 赛 学 生 的 成 绩 情 况 ， 从 中 抽 取 了 部 分 学 生 的 分 数 (得 分 取 正 整 数 ， 满 分 为 100分 )作 为 样 本(样 本 容 量 为 n)进 行 统 计 .按 照 50， 60)， 60， 70)， 70， 80)， 80， 90)， 90， 100的 分组 作 出 频 率 分 布 直 方 图 ， 并 作 出 样 本 分 数 的 茎 叶 图 (图 中 仅 列 出 了 得 分 在 50， 60)， 90， 100的 数 据 ). ( )求 样 本 容 量 n 和 频 率 分 布 直 方 图 中 的 x、 y 的 值 ；( )在 选 取 的
22、 样 本 中 ， 从 竞 赛 成 绩 在 80分 以 上 (含 80分 )的 学 生 中 随 机 抽 取 2名 学 生 参 加 “ 中国 谜 语 大 会 ” ， 求 所 抽 取 的 2 名 学 生 中 至 少 有 一 人 得 分 在 90， 100内 的 概 率 .解 析 ： ( )由 样 本 容 量 和 频 数 频 率 的 关 系 易 得 答 案 ；( )由 题 意 可 知 ， 分 数 在 80， 90)内 的 学 生 有 5 人 ， 记 这 5 人 分 别 为 a1， a2， a3， a4， a5，分 数 在 90， 100内 的 学 生 有 2 人 ， 记 这 2 人 分 别 为 b1，
23、 b2， 列 举 法 易 得 .答 案 ： ( ) 由 题 意 可 知 ， 样 本 容 量 n 80.016 10 =50 ， y 250 10 =0.004 ，x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030；( )由 题 意 可 知 ， 分 数 在 80， 90)内 的 学 生 有 5人 ， 记 这 5 人 分 别 为 a 1， a2， a3， a4， a5，分 数 在 90， 100内 的 学 生 有 2 人 ， 记 这 2 人 分 别 为 b1， b2.抽 取 的 2 名 学 生 的 所 有 情 况 有 21种 ， 分 别 为 ： (a1， a2)， (a1，
24、 a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2，a4)， (a2， a5)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a4， a5)， (a4，b1)， (a4， b2)， (a5， b1)， (a5， b2)， (b1， b2).其 中 2名 同 学 的 分 数 都 不 在 90， 100内 的 情 况 有 10种 ， 分 别 为 ：(a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a2， a3)， (a2，
25、 a4)， (a2， a5)， (a3， a4)， (a3， a5)，(a 4， a5). 所 抽 取 的 2 名 学 生 中 至 少 有 一 人 得 分 在 90， 100内 的 概 率 P= 10 111 21 21 .19.如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， 点 E 为 边 AD 上 的 点 ， 点 F 为 边 CD 的 中 点 ， AB=AE= 23 AD=4， 现将 ABE沿 BE 边 折 至 PBE位 置 ， 且 平 面 PBE 平 面 BCDE. (1)求 证 ： 平 面 PBE 平 面 PEF；(2)求 四 棱 锥 P-BCEF的 体 积 . 解 析 ： (1)在 Rt
26、DEF中 ， 由 已 知 可 得 DEF=45 ， 在 Rt ABE中 ， 得 到 AEB=45 ， 则 可得 到 EF BE， 结 合 平 面 PBE 平 面 BCDE， 可 得 EF 平 面 PBE， 从 而 得 到 平 面 PBE 平 面 PEF；(2)过 P 做 PO BE， 由 面 面 垂 直 的 性 质 及 线 面 垂 直 的 判 定 得 到 PO 平 面 BCDE， 即 PO 为 四 棱锥 P-BCFE 的 高 .把 S 四 边 形 BCFE转 化 为 S 矩 形 ABCD-S ABE-S DEF， 求 值 后 代 入 棱 锥 的 体 积 公 式 得 答 案 .答 案 ： (1)
27、在 Rt DEF中 ， ED=DF， DEF=45 .在 Rt ABE中 ， AE=AB， AEB=45 ， BEF=90 ， 则 EF BE. 平 面 PBE 平 面 BCDE， 且 平 面 PBE 平 面 BCDE=BE， EF 平 面 PBE， EF平 面 PEF， 平 面 PBE 平 面 PEF；(2)过 P 做 PO BE， PO平 面 PBE， 平 面 PBE 平 面 BCDE且 平 面 PBE 平 面 BCDE=BE， PO 平 面 BCDE，四 棱 锥 P-BCFE 的 高 h=PO=2 2 .S 四 边 形 BCFE=S 矩 形 ABCD-S ABE-S DEF=6 4- 1
28、2 4 4- 12 2 2=14，则 VP-BCFE= 13 S 四 边 形 BCFE h=1 28 214 2 23 3 .20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 右 焦 点 为 F(1， 0)， 且 点 P(1， 32 )在 椭 圆 C 上 ， O为 坐 标 原 点 .( )求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；( )设 过 定 点 T(0， 2)的 直 线 l与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 A、 B， 且 AOB为 锐 角 ， 求 直 线 l的 斜 率 k 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )利 用 已 知 条 件 求 出 c=1，
29、得 到 a2=b2+1.通 过 点 P(1， 32 )在 椭 圆 C上 ， 得 到 2 21 94a b =1，可 解 椭 圆 C的 标 准 方 程 .( )设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+2， 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 通 过 联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 ， 利 用韦 达 定 理 以 及 x1x2+y1y2 0.判 别 式 的 符 号 ， 求 解 k 的 范 围 即 可 .答 案 ： ( )由 题 意 ， 得 c=1， 所 以 a2=b2+1.因 为 点 P(1， 32 )在 椭 圆 C 上 ， 所 以 2 21 94a b =1， 可 解 得 a2=
30、4， b2=3.则 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 2 24 3x y =1.( )设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+2， 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 2 2 14 3 2x yy kx ， 得 (4k2+3)x2+16kx+4=0.因 为 =48(4k2-1) 0， 所 以 k2 14 ，由 根 与 系 数 的 关 系 ， 得 x1+x2= 2164 3kk ， x1x2= 244 3k .因 为 AOB为 锐 角 ， 所 以 OA OB 0， 即 x 1x2+y1y2 0. 所 以 x1x2+(kx1+2)(kx2+2) 0，即 (1+k2)x1x2+2
31、k(x1+x2)+4 0， 22 2 2 24 16 12 161 2 4 0 04 3 4 3 4 3k kk kk k k ， 所以 k2 43 .综 上 14 k 2 43 ， 解 得 2 3 13 2k 或 1 2 32 3k .21.已 知 函 数 f(x)=aln(x+1)-ax-x2.(1)若 x=1 为 函 数 f(x)的 极 值 点 ， 求 a的 值 ；(2)讨 论 f(x)在 定 义 域 上 的 单 调 性 .解 析 ： (1)求 函 数 的 导 数 ， 根 据 x=1为 函 数 f(x)的 极 值 点 ， 建 立 方 程 f (1)=0， 进 行 求 解 即可 .(2)求
32、 函 数 的 导 数 ， 讨 论 a 的 取 值 范 围 ， 结 合 函 数 单 调 性 和 导 数 之 间 的 关 系 进 行 讨 论 即 可 .答 案 ： (1)因 为 f (x)= 1ax -a-2x，令 f (1)=0， 即 2a -a-2=0， 解 得 a=-4， 经 检 验 ： 此 时 ， x (0， 1)， f (x) 0， f(x)递 增 ；x (1， + )， f (x) 0， f(x)递 减 ， f(x)在 x=1处 取 极 大 值 .满 足 题 意 .(2)f (x)= 22 221 1ax xa a xx x ，令 f (x)=0， 得 x=0， 或 x=- 22a ，
33、 又 f(x)的 定 义 域 为 (-1， + ). 当 - 22a -1， 即 a 0 时 ， 若 x (-1， 0)， 则 f (x) 0， f(x)递 增 ；若 x (0， + )， 则 f (x) 0， f(x)递 减 ； 当 -1 - 22a 0， 即 -2 a 0时 ， 若 x (-1， - 22a )， 则 f (x) 0， f(x)递 减 ；若 x (- 22a ， 0)， 则 f (x) 0， f(x)递 增 ； 若 x (0， + )， 则 f (x) 0， f(x)递 减 ； 当 - 22a =0， 即 a=-2 时 ， f (x) 0， f(x)在 (-1， + )内 递 减 ， 当 - 22a 0， 即 a -2时 ， 若 x (-1， 0)， 则 f (x) 0， f(x)递 减 ；若 x (0， - 22a )， 则 f (x) 0， f(x)递 增 ；若 x (- 22a ， + )， 则 f (x) 0， f(x)递 减 .
