1、2 0 1 7年重庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共1 2个小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知复数z满足(z+i)(1 -2 i)=2，则复数z在复平面内的对应点所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由(z+i)(1 -2 i)=2，得 2 1 22 2 41 2 1 2 1 2 5 5iz i ii i i ， 2 15 5z i .复数z在复平面内的对应点的坐标为2 1,5 5 ，所在象限是第四象限.答案：D.2 .已知集合A=x|x2 -3 x+20 ，B=x|12 x4 ，则AB=( )A.x
2、|1x2 B.x|1x2 C.x|1x2 D.x|0 x2 解析：集合A=x|x 2 -3 x+20 =x|1x2 ，B=x|12 x4 =x|0 x2 ，AB=x|1x2 .答案：C.3 .若过点M(1，1 )的直线l与圆(x-2 )2 +y2 =4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为( )A.2 2B.4C. 2D.2解析：圆(x-2 ) 2 +y2 =4的圆心为C(2，0 )，半径为2，则|CM|= 2，CMAB，2 4 2 2 2AB .答案：A.4 .(2 +x)(1 -2 x)5展开式中，x2项的系数为( )A.3 0B.7 0C.9 0 D.-1 5 0解析：(1
3、-2 x)5展开式的通项公式为 1 5 2 rrrT C x ，(2 +x)(1 -2 x)5展开式中，x2项的系数为 22 15 52 2 2 70C C .答案：B.5 .已知函数f(x)sin(2 x+)(|2 )的图象向左平移6个单位后关于y轴对称，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A. 56 12 ， B. 63 ，C. 36 ，D.6 3 2 ，解析：函数f(x)的图象向左平移6个单位后的函数解析式为：sin 2 3 s 2 in6y x x ，由函数图象关于y轴对称，可得：3 2k ，即6k ，kz， 由于|2，可得：= 6，可得：f(x)=sin(2 x+ 6 )，由2
4、2 22 6 2k x k ，kZ，解答：3 6k x k ，kZ，可得，当k=1时，函数f(x)的一个单调递增区间是： 63 ， .答案：B.6 .设等差数列a n的前n项和为Sn，已知a1 +a2 +a3 =a4 +a5，S5 =6 0，则a1 0 =( )A.1 6B.2 0C.2 4D.2 6解析：等差数列an的前n项和为Sn，a1 +a2 +a3 =a4 +a5，S5 =6 0，1 113 3 2 75 5 42 60a d a da d ， 解得a1 =8，d=2，a1 0 =8 +92 =2 6 .答案：D.7 .设双曲线2 22 2 1x ya b (a0，b0 )的渐近线与抛
5、物线21 22y x 相切，则该双曲线的离心率为( )A. 52B. 5 C. 3D. 6解析：双曲线2 22 2 1x ya b (a0，b0 )的渐近线方程为by xa ，渐近线与抛物线21 22y x 相切，可得21 2 02 bx xa ，由2 14 2 02ba ， 可得b=2 a，2 2 5c a b a ，即离心率5ce a .答案：B.8 .将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A.1 8种B.3 6种C.4 8种D.6 0种 解析：利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有1 22 4 12C C 种，第二类
6、，当甲和另一个一起时有1 1 2 22 4 3 2 48C C C A 种， 所以共有1 2 +4 8 =6 0种.答案：D.9 .执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A.1 4B.1 5C.1 6D.1 7解析：第一次循环：2 2log 3S，n=2；第二次循环：2 22 3log log3 4S ，n=3；第三次循环：2 2 22 3 4log log log3 4 5S ，n=4；第n次循环：2 2 2 2 22 3 4 2log log log log log3 4 5 1 1nS n n ，n=n+1 令2 2log 31n 解得n1 5输出的结果是n+1 =1 6答案：C
7、.1 0 .设实数x，y满足约束条件421 0 x yx yx ，则目标函数1yz x的取值范围是( )A.( 1 302 2 ， ，B.14 32， C. 12 41 ， D. 12 23 ，解析：由约束条件421 0 x yx yx 作出可行域如图， 联立1 2xx y ，得A(1，-1 )，联立1 4xx y ，得B(1，3 ).由 01 1y yz x x ，而12PAk ，32PBk .目标函数1yz x的取值范围是 12 23 ， .答案：D.1 1 .已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立 的是( )A.f(ln2 )2 f(
8、0 )，f(2 )e2 f(0 )B.f(ln2 )2 f(0 )，f(2 )e2 f(0 )C.f(ln2 )2 f(0 )，f(2 )e2 f(0 )D.f(ln2 )2 f(0 )，f(2 )e2 f(0 )解析：令 xf xg x e，则 0 xf x f xg x e ，故g(x)在R递减，而ln20，20， 故g(ln2 )g(0 )，g(2 )g(0 )，即 2ln2 0 2 02 1 1f f f fe ， ， 即f(ln2 )2 f(0 )，f(2 )e2 f(0 )，答案：A.1 2 .已知函数 2 0ln 0 x xf x x x ， ， 若关于x的方程f2 (x)+f(
9、x)+m=0有三个不同实数根，则m的取值范围是( )A. 14mB.m-2C. 12 4m D.m2 解析：函数 2 0ln 0 x xf x x x ， ， 的图象如图，若关于x的方程f 2 (x)+f(x)+m=0有三个不同实数根，令f(x)=t，则方程t2 +t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1 .再令g(t)=t2 +t+m，则g(1 )0，即2 +m0，得m-2 .答案：B.二、填空题(每题5分，满分2 0分，将答案填在答题纸上)1 3 .设向量a，b的夹角为，已知向量 3a x ， 3b x ，若 2a b b ，则=_.解析： 2 3 3a b x ， 3b x ，；又
10、2a b b ； 22 3 3 0a b b x ；x=1；a b 1 -3-2，2a b ； 2 1cos 2 2 2a ba b ；23 .答案：23 .1 4 .如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为a，b，且a=2 b，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为_. 解析：由题意，大正方形面积为a2 +b2 =5 b2，三角形的面积为212 ab b，小正方形面积为b2，在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为15答案：15 .1 5 .已知( 2，)，且 2 3cos sin 2 10 ，则tan=_.解析：( 2，)，
11、tan0， 2 2 2 3cos sin 2 cos sin2 cos 2sin cos 10 ，2 2 2cos2 2sin cos 1 2tan 3cos sin 1 tan 10 ，1tan 3 (舍去)，或tan=-7，答案：-7 .1 6 .设抛物线y2 =4 x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足 12OM OA OB ，过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为_.解析：由题意可知：抛物线y 2 =4 x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，设A(x1，y2 )，B(x2，y2 )，直线AB的方程为y=k(x-1 )，将直
12、线方程代入抛物线方程消去y得：k2 x2 -(2 k2 +4 )+k2 =0，由根与系数的关系：1 2 242x x k ，1 2 1x x ， 又设P(x0，y0 )， 0 1 2 1 21 1 21 12 2y y y k x k x k ，0 21x k，21 2P k k ，0 211 1 2PF x k ，k 2 =1，M点的横坐标为3 .答案：3 .三、解答题(本大题共5小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1 7 .已知数列an的前n项和为Sn，2 Sn=3 an-2 n(nN+).()证明数列an+1 是等比数列，并求数列an的通项公式；()设b n=an
13、+2 n+1，求证：3 11 21 1 1 1 12 2nnbb b b .解析：()再写一式，两式相减，即可证明数列an+1 是等比数列，并求数列an的通项公式；() 2 1 3 2n n nn nb a ，可得11 13 2 2n n n ，即可证明结论.答案：()由2 Sn=3 an-2 n得：2 Sn-1 =3 an-1 -2 (n-1 )，2 Sn-2 Sn-1 =3 an-3 an-1 -2，即：an=3 an-1 +2an+1 =3 (an-1 +1 )，所以an+1 是以a1 +1为首项，公比为3的等比数列，由2 S 1 =3 a1 -2知a1 =2，an+1 =3 n，即an
14、=3 n-1；()证明：bn=an+2 n+1 =3 n+2 n，3 n+2 n2 n+2 n=2 n+1，11 13 2 2n n n ，2 2 2 3 1 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2n n n nnb b b .1 8 .为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对1 0 0名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在5 5名男性驾驶员中，平均车速超过1 0 0 km/h的有4 0人，不超过1 0 0 km/h的有1 5人.在4 5名女性驾驶员中，平均车速超过 1 0 0 km/h的有2 0人
15、，不超过1 0 0 km/h的有2 5人.()完成下面的列联表，并判断是否有9 9 .5 %的把握认为平均车速超过1 0 0 km/h的人与性别有关.平均车速超过1 0 0 km/h人数平均车速不超过1 0 0 km/h人数合计男性驾驶员人数 女性驾驶员人数合计()以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过1 0 0 km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据： 22 n ad bcX a b c d a c b d ，其中n=a+b+c+dP(X2k 0 ) 0 .1 5 0 0
16、 .1 0 0 0 .0 5 0 0 .0 2 5 0 .0 1 0 0 .0 0 5 0 .0 0 1k0 2 .0 7 2 2 .7 0 6 3 .8 4 1 5 .0 2 4 6 .6 3 5 7 .8 7 9 1 0 .8 2 8解析：()完成下面的列联表，并判断是否有9 9 .5 %的把握认为平均车速超过1 0 0 km/h的人与性别有关.求出X2，即可判断是否有9 9 .5 %的把握认为平均车速超过1 0 0 km/h的人与性别有关.()根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过1 0 0 km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2
17、，3，XB(3，25 )，求出概率得到分布列，然后求解期望即可.答案：()平均车速超过1 0 0 km/h人数平均车速不超过1 0 0 km/h人数合计平均车速超过1 0 0 km/h人数平均车速不超过1 0 0 km/h人数合计 男性驾驶员人数4 0 1 5 5 5女性驾驶员人数2 0 2 5 4 5合计6 0 4 0 1 0 0因为 22 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45X ，所以有9 9 .5 %的把握认为平均车速超过1 0 0 km/h与性别有关.()根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过
18、1 0 0 km/h的车辆的概率为40 2100 5 .X可取值是0，1，2，3，XB(3，25 )，有： 0 303 2 3 270 5 5 125P X C ，1 213 2 3 541 5 5 12( ) 5P X C ， 2 123 2 3 362 5 5 12( ) 5P X C ，3 033 2 3 83 5 2( ) 3 1 5P X C ，分布列为X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125 27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5E X .1 9 .已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c. ()若C=2 B，
19、求证：cosA=3 cosB-4 cos3 B；()若bsinB-csinC=a，且ABC的面积2 2 24b c aS ，求角B.解析：()利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，利用分析法即可证明.()利用余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式，结合二倍角公式，即可求出B.答案：()cosA=3 cosB-4 cos3 B，cosA=cosB(3 -4 cos2 B)，1 cos2cos cos 3 4 2 BA B ，cosA=cosB-2 cosBcos2 B，cosA+2 cosBcos2 B=cosB， C=2 B，可得：A=-B-C=-3 B，原式-cos3 B+2 cosB
20、cosC=cosB，2 cosBcosC-cosB=cos3 B，2 cosBcosC-cosB=cos(B+C)=cosBcoC-sinBsinC，cosBcosC-cosB=-sinBsinC，cosBcosC+sinBsinC=cosB，cos(C-B)=cosB，cos(2 B-B)=cosB，显然成立，故得证cosA=3 cosB-4 cos3 B.()在ABC中，2 2 24b c aS ， 2 2 21 sin2 4b c abc A ，1 1sin cos2 2bc A bc A，tanA=1，A=4 5bsinB-csinC=a，2 2 2sin sin 2B C ，2cos
21、2 cos2 2C B ， 2cos 270 2 cos2 2B B （ ），2sin2 cos2 2B B ， sin(2 B+4 5)=-1，2 B+4 5=2 7 0，B=1 1 2 .5.故B=1 1 2 .5.2 0 .已知F1，F2分别为椭圆C：2 2 13 2x y 的左、右焦点，点P(x0，y0 )在椭圆C上.()求1 2PF PF 的最小值；()若y 00且1 1 2 0PF FF ，已知直线l：y=k(x+1 )与椭圆C交于两点A，B，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由.解析：()
22、求出2 2 21 2 0 0 011 13PF PF x y x ，即可求1 2PF PF 的最小值；()由题意设直线方程，代入椭圆方程，与韦达定理及弦长公式分别求得|AB|和|PQ|，由平行四边形的性质可知：|AB|=|PQ|，即可求得k的值.答案：()由题意可知，F1 (-1，0 )，F2 (1，0 )， 1 0 01PF x y ， 2 0 01PF x y ，2 2 21 2 0 0 011 13PF PF x y x 03 3x ，1 2PF PF 最小值1 .()1 1 2 0PF FF ，x0 =-1，y00，P(-1，2 33 )，设A(x 1，y1 )，B(x2，y2 ).由
23、直线与椭圆联立得，(2 +3 k2 )x2 +6 k2 x+3 k2 -6 =0，由韦达定理可知：21 2 262 3kx x k ，21 2 23 62 3kx x k .由弦长公式可知 22 1 2 24 3 11 2 3 kAB k x x k ，P(-1，2 33 )，PQAB， 直线PQ的方程为y- 2 33 =k(x+1 ).将PQ的方程代入椭圆方程可知： 22 2 2 3 2 32 3 6 3 6 03 3k x k k k ，xP=-1，2 22 3 4 32 3Q k kx k ，2 2 24 4 31 1 2 3P Q kPQ k x x k k ，若四边形PABQ成为平行
24、四边形，则|AB|=|PQ|， 24 3 1 4 4 3k k ，解得33k .故符合条件的直线l的方程为 3 13y x ，即3 1 0 x y .2 1 .已知函数f(x)=ln(x+1 )， 212g x x x .()求过点(-1，0 )且与曲线y=f(x)相切的直线方程；()设h(x)=af(x)+g(x)，其中a为非零实数，若y=h(x)有两个极值点x 1，x2，且x1x2，求证：2 h(x2 )-x10 .解析：()求出f(x)的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；()求出h(x)的解析式和导数，讨论a0，0a1，a1，求
25、出极值点和单调区间，由2 h(x2 )-x10等价为2 h(x2 )+x20，由2 1x a ，可得a=1 -x2 2，即证明2 (1 -x2 2 )ln(x2 +1 )+ x2 2 -x20，由0 x21，可得1 -x20，即证明2 (1 +x 2 )ln(x2 +1 )-x20，构造函数t(x)=2 (1 +x)ln(1 +x)-x，0 x1，求出导数判断单调性，即可得证.答案：()函数f(x)=ln(x+1 )的导数为 11f x x ，设切点为(x0，y0 )，则切线的斜率为011k x ，点(x0，y0 )在f(x)=ln(x+1 )上，则y0 =ln(1 +x0 )，可得 00 0
26、ln 1 11 1xx x ，解得x 0 =e-1， 可得切线的斜率为1e，则切线方程为y-0 = 1e (x+1 )，即为x-ey+1 =0；()证明：h(x)=af(x)+g(x)=aln(x+1 )+ 12 x2 -x，导数 2 111 1x aah x xx x ，x-1，当a-10时，即a1时，h(x)0，h(x)在(-1，+)上单调递增；当0a1时，由h(x)=0得，1 21 1x a x a ，故h(x)在(-1，1 a )上单调递增，在 1 1a a ，上单调递减， 在( 1 a，+)上单调递增；当a0时，由h(x)=0得，x0 = 1 a，h(x)在 1 1a a ，上单调递
27、减，在( 1 a，+)上单调递增.当0a1时，h(x)有两个极值点，即1 21 1x a x a ，可得x1 +x2 =0，x1 x2 =a-1，由0a1得，-1x10，0 x21，由2 h(x 2 )-x10等价为2 h(x2 )+x20，即为2 aln(x2 +1 )+x2 2 -x20，由x2 = 1 a，可得a=1 -x2 2，即证明2 (1 -x2 2 )ln(x2 +1 )+x2 2 -x20，由0 x21，可得1 -x20，即证明2 (1 +x2 )ln(x2 +1 )-x20，构造函数t(x)=2 (1 +x)ln(1 +x)-x，0 x1， 12 1 2ln 1 1 1 2l
28、n 1 01t x x x xx ，t(x)在(0，1 )上单调递增，又t(0 )=0，所以t(x)0在(0，1 )时恒成立，即2 (1 +x 2 )ln(x2 +1 )-x20成立则2 h(x2 )-x10 .四、请考生在2 2、2 3两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2 2 .在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossin 1x ty t (为参数，t0 )，曲线C2：2 122 12x sy s (s为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 3：cos-sin=2，记曲线C2与C3的交点为P.()求点P的直角坐标；()当曲线C1与C3有且只有一个公共点
29、时，C1与C2相交于A、B两点，求|PA|2 +|PB|2的值. 解析：(I)曲线C2：2 122 12x sy s (s为参数)，消去参数s可得普通方程.曲线C3：cos-sin=2，利用x=cos，y=sin可得直角坐标方程.(II)曲线C1：cossin 1x ty t (为参数，t0 )，消去参数可得普通方程，由曲线C1与C3有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径解得3 22t .设A(x 1，-x1 )，B(x2，-x2 ).曲线C1与直线C2联立化为4 x2 +4 x-7 =0，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出.答案：(I)曲线C2：2 122 12x sy
30、 s (s为参数)，消去参数s可得普通方程：x+y=0 .曲线C 3：cos-sin=2，可得直角坐标方程：x-y-2 =0 .联立02 0 x yx y ，解得交点P(1，-1 ).(II)曲线C1：cossin 1x ty t (为参数，t0 )，消去参数可得普通方程：x2 +(y-1 )2 =t2，可得圆心C1 (0，1 )，半径r=t.曲线C 1与C3有且只有一个公共点，0 1 22 t ，解得3 22t .设A(x1，-x1 )，B(x2，-x2 ).联立 22 0 91 2x yx y ，化为4 x2 +4 x-7 =0，x1 +x2 =-1，1 2 74x x .|PA| 2 +
31、|PB|2 =(x1 -1 )22 +(x2 -1 )22 =2 (x1 2 +x2 2 )-4 (x1 +x2 )+4 =2 (x1 +x2 )2 -4 x1 x2 -4 (x1 +x2 )+4 =2(-1 )2 -4(-1 )-4( 74 )+4 =1 7 .2 3 .设f(x)=|x-1 |+2 |x+1 |的最小值为m.()求m的值； ()设a，bR，a2 +b2 =m，求2 21 41 1a b 的最小值.解析：()通过讨论x的范围求出函数f(x)的最小值，从而求出m的值即可；()根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可.答案：()当x-1时，f(x)=-3 x-12，当-1x1时，f(x)=x+32，当x1时，f(x)=3 x+14，当x=-1时，f(x)取得最小值m=2；()由题意知a2 +b2 =2，a2 +1 +b2 +1 =4， 222 22 2 2 2 2 24 11 4 1 1 4 1 1 91 1 51 1 4 1 1 4 1 1 4aba ba b a b a b ， 当且仅当 222 24 11=1 1aba b 时，即2 13a ，2 53b 等号成立，2 21 4=1 1a b 的最小值为94 .
