1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符合 题 目 要 求 的 一 项 .)1.若 集 合 5 2x x ， 3 3x x ， 则 ( )A. 3 2x x B. 5 2x x C. 3 3x x D. 5 3x x 解 析 ： 在 数 轴 上 将 集 合 A， B 表 示 出 来 ， 如 图 所 示 ，由 交 集 的 定 义 可 得 ， 为 图 中 阴 影 部 分 ， 即 3 2x
2、 x .故 选 A2.圆 心 为 1,1 且 过 原 点 的 圆 的 方 程 是 ( ) A. 2 21 1 1x y B. 2 21 1 1x y C. 2 21 1 2x y D. 2 21 1 2x y 解 析 ： 由 题 意 可 得 圆 的 半 径 为 2r ， 则 圆 的 标 准 方 程 为 2 21 1 2x y .故 选 D 3.下 列 函 数 中 为 偶 函 数 的 是 ( )A. 2 siny x xB. 2 cosy x x C. lny xD. 2 xy 解 析 ： 根 据 偶 函 数 的 定 义 ( ) ( )f x f x ， A 选 项 为 奇 函 数 ， B 选
3、项 为 偶 函 数 ， C 选 项 定 义 域为 (0, ) 不 具 有 奇 偶 性 ， D选 项 既 不 是 奇 函 数 ， 也 不 是 偶 函 数 ， 故 选 B.4.某 校 老 年 、 中 年 和 青 年 教 师 的 人 数 见 下 表 ， 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 调 查 教 师 的 身 体 状 况 ， 在抽 取 的 样 本 中 ， 青 年 教 师 有 320人 ， 则 该 样 本 的 老 年 教 师 人 数 为 ( ) A.90B.100C.180D.300解 析 ： 由 题 意 ， 总 体 中 青 年 教 师 与 老 年 教 师 比 例 为 1600 16900 9 ；
4、设 样 本 中 老 年 教 师 的 人 数 为x， 由 分 层 抽 样 的 性 质 可 得 总 体 与 样 本 中 青 年 教 师 与 老 年 教 师 的 比 例 相 等 ， 即 320 169x ，解 得 180 x .故 选 C 5.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 k 的 值 为 ( ) A.3B.4C.5D.6解 析 ： 初 值 为 a=3， k=0， 进 入 循 环 体 后 ， a= 32 ， k=1 ； a= 34 ， k=2 ； a= 38 ， k=3 ； a= 316 ， k=4 ；此 时 a 14 ， 退 出 循 环 ， 故 k=4 .故 选 B 6
5、.设 a， b 是 非 零 向 量 ， “ a b a b ” 是 “ /a b ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： | | | |cos ,a b a b a b ， 由 已 知 得 cos , 1a b ， 即 , 0a b ， /a b .而 当/a b 时 ， ,a b 还 可 能 是 ， 此 时 | | |a b a b ， 故 “ a b a b ” 是 “ /a b ” 的充 分 而 不 必 要 条 件 .故 选 A 7.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如
6、 图 所 示 ， 该 四 棱 锥 最 长 棱 的 棱 长 为 ( ) A.1B. 2C. 3D.2解 析 ： 四 棱 锥 的 直 观 图 如 图 所 示 ： 由 三 视 图 可 知 ， SC 平 面 ABCD， SA 是 四 棱 锥 最 长 的 棱 ，2 2 2 2 2 3SA SC AC SC AB BC .故 选 C8.某 辆 汽 车 每 次 加 油 都 把 油 箱 加 满 ， 下 表 记 录 了 该 车 相 邻 两 次 加 油 时 的 情 况 . 注 ： “ 累 计 里 程 “ 指 汽 车 从 出 厂 开 始 累 计 行 驶 的 路 程 ， 在 这 段 时 间 内 ， 该 车 每 100
7、千 米 平 均耗 油 量 为 ( )A.6升B.8升C.10升D.12升解 析 ： 因 为 第 一 次 邮 箱 加 满 ， 所 以 第 二 次 的 加 油 量 即 为 该 段 时 间 内 的 耗 油 量 ， 故 耗 油 量48V 升 . 而 这 段 时 间 内 行 驶 的 里 程 数 35600 35000 600S 千 米 . 所 以 这 段 时 间 内 ， 该 车 每 100千 米 平 均 耗 油 量 为 48 100 8600 升 ， 故 选 B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 .)9.复 数 1i i 的 实 部 为 .解 析
8、： 复 数 (1 ) 1 1i i i i ， 其 实 部 为 -1.10. 32 ， 123 ， 2log 5三 个 数 中 最 大 数 的 是 . 解 析 ： 3 12 18 ， 123 3 1 ， 2 2log 5 log 4 2 3 ， 所 以 2log 5最 大 .答 案 ： 2log 511.在 C 中 ， 3a ， 6b ， 23 ， 则 .解 析 ： 由 正 弦 定 理 ， 得 sin sina bA B ， 即 3 6sin32 B ， 所 以 2sin 2B ， 所 以 4B . 答 案 ： 412.已 知 2,0 是 双 曲 线 22 2 1yx b ( 0b )的 一
9、个 焦 点 ， 则 b .解 析 ： 由 题 意 知 2, 1c a ， 2 2 2 3b c a ， 所 以 3b .答 案 ： 3 13.如 图 ， C 及 其 内 部 的 点 组 成 的 集 合 记 为 D ， ,x y 为 D 中 任 意 一 点 ， 则2 3z x y 的 最 大 值 为 .解 析 ： 由 题 图 可 知 ， 目 标 函 数 b= 3 = 23 3zx ， 因 此 当 x=2， y=1， 即 在 点 A 处 时 z取 得 最 大 值 为 7.14.高 三 年 级 267位 学 生 参 加 期 末 考 试 ， 某 班 37 位 学 生 的 语 文 成 绩 ， 数 学 成
10、 绩 与 总 成 绩 在全 年 级 中 的 排 名 情 况 如 下 图 所 示 ， 甲 、 乙 、 丙 为 该 班 三 位 学 生 . 从 这 次 考 试 成 绩 看 ， 在 甲 、 乙 两 人 中 ， 其 语 文 成 绩 名 次 比 其 总 成 绩 名 次 靠 前 的 学 生 是 ； 在 语 文 和 数 学 两 个 科 目 中 ， 丙 同 学 的 成 绩 名 次 更 靠 前 的 科 目 是 . 解 析 ： 由 图 可 知 ， 甲 的 语 文 成 绩 排 名 比 总 成 绩 排 名 靠 后 ； 而 乙 的 语 文 成 绩 排 名 比 总 成 绩 排名 靠 前 ， 故 填 乙 . 由 图 可 知
11、 ， 比 丙 的 数 学 成 绩 排 名 还 靠 后 的 人 比 较 多 ； 而 总 成 绩 的 排 名 中 比 丙 排 名 靠 后 的 人数 比 较 少 ， 所 以 丙 的 数 学 成 绩 的 排 名 更 靠 前 ， 故 填 数 学 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80分 .解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 和 演 算 步 骤 .)15.已 知 函 数 2sin 2 3sin 2xf x x .(1)求 f x 的 最 小 正 周 期 . (2)求 f x 在 区 间 20, 3 上 的 最 小 值 .解 析 ： (1)先 利 用 倍 角 公
12、 式 将 降 幂 ， 再 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 将 f(x)化 简 ， 使 之 化 简成 的 形 式 ， 最 后 利 用 计 算 函 数 的 最 小 正 周 期 .(2)将 x 的 取 值 范 围 代 入 ， 先 求 出 的 范 围 ， 再 数 形 结 合 得 到 三 角 函 数 的 最 小 值 .答 案 ： (1) f(x)的 最 小 正 周 期 为 2 (2)当 ， 即 时 ， f(x)取 得 最 小 值 f(x)在 区 间 上 的 最 小 值 为16.已 知 等 差 数 列 na 满 足 1 2 10a a ， 4 3 2a a .(1)求 na 的 通 项 公 式 .
13、(2)设 等 比 数 列 nb 满 足 2 3b a ， 3 7b a ， 问 ： 6b 与 数 列 na 的 第 几 项 相 等 ？ 解 析 ： (1) 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ， 将 1 2 3 4, , ,a a a a 转 化 成 1a 和 d， 解 方 程 得 到 1a 和 d的值 ， 直 接 写 出 等 差 数 列 的 通 项 公 式 即 可 .(2)先 利 用 第 一 问 的 结 论 得 到 2b 和 3b 的 值 ， 再 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 ， 将 2b 和 3b 转 化 为 1b 和 q， 解 出 1b 和 q 的 值 ， 得 到
14、6b 的 值 ， 再 代 入 到 上 一 问 等 差 数 列 的 通 项 公 式 中 ， 解 出 n 的 值 ，即 项 数 .答 案 ： (1)设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d.因 为 4 3 2a a ， 所 以 2d .又 因 为 1 2 10a a ， 所 以 12 10a d ， 故 1 4a .所 以 4 2( 1) 2 2na n n ( 1,2, )n .(2)设 等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q. 因 为 2 3 8b a ， 3 7 16b a ，所 以 2q ， 1 4b .所 以 6 16 4 2 128b .由 128 2 2n ， 得 63n .所
15、 以 6b 与 数 列 na 的 第 63 项 相 等 .17.某 超 市 随 机 选 取 1000位 顾 客 ， 记 录 了 他 们 购 买 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 种 商 品 的 情 况 ， 整 理 成如 下 统 计 表 ， 其 中 “ ” 表 示 购 买 ， “ ” 表 示 未 购 买 . (1)估 计 顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 概 率 .(2)估 计 顾 客 在 甲 、 乙 、 丙 、 丁 中 同 时 购 买 3 种 商 品 的 概 率 .(3)如 果 顾 客 购 买 了 甲 ， 则 该 顾 客 同 时 购 买 乙 、 丙 、 丁 中 那 种 商 品 的 可 能
16、性 最 大 ？ 解 析 ： (1) 由 统 计 表 读 出 顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 人 数 200， 计 算 出 概 率 .(2) 先 由 统 计 表 读 出 顾 客 在 甲 、 乙 、 丙 、 丁 中 同 时 购 买 3种 商 品 的 人 数 100+200， 再 计 算 概率 .(3)由 统 计 表 读 出 顾 客 同 时 购 买 甲 和 乙 的 人 数 为 200， 顾 客 同 时 购 买 甲 和 丙 的 人 数 为100+200+300， 顾 客 同 时 购 买 甲 和 丁 的 人 数 为 100， 分 别 计 算 出 概 率 ， 再 通 过 比 较 大 小 得 出结
17、论 .答 案 ： (1)从 统 计 表 可 以 看 出 ， 在 这 1000位 顾 客 中 ， 有 200位 顾 客 同 时 购 买 了 乙 和 丙 ， 所 以顾 客 同 时 购 买 乙 和 丙 的 概 率 可 以 估 计 为 200 0.21000 . (2)从 统 计 表 可 以 看 出 ， 在 在 这 1000位 顾 客 中 ， 有 100位 顾 客 同 时 购 买 了 甲 、 丙 、 丁 ， 另 有200位 顾 客 同 时 购 买 了 甲 、 乙 、 丙 ， 其 他 顾 客 最 多 购 买 了 2种 商 品 .所 以 顾 客 在 甲 、 乙 、 丙 、丁 中 同 时 购 买 3种 商
18、品 的 概 率 可 以 估 计 为 100 200 0.31000 .(3)与 (1)同 理 ， 可 得 ：顾 客 同 时 购 买 甲 和 乙 的 概 率 可 以 估 计 为 200 0.21000 ，顾 客 同 时 购 买 甲 和 丙 的 概 率 可 以 估 计 为 100 200 300 0.61000 ， 顾 客 同 时 购 买 甲 和 丁 的 概 率 可 以 估 计 为 100 0.11000 ，所 以 ， 如 果 顾 客 购 买 了 甲 ， 则 该 顾 客 同 时 购 买 丙 的 可 能 性 最 大 .18.如 图 ， 在 三 棱 锥 V C 中 ， 平 面 V 平 面 C ， V
19、为 等 边 三 角 形 ，C C 且 C C 2 ， ， 分 别 为 ， V的 中 点 . (1)求 证 ： V / 平 面 C .(2)求 证 ： 平 面 C 平 面 V.(3)求 三 棱 锥 V C 的 体 积 .解 析 ： (1) 在 三 角 形 ABV中 ， 利 用 中 位 线 的 性 质 得 / /OM VB， 最 后 直 接 利 用 线 面 平 行 的 判定 得 到 结 论 .(2) 先 在 三 角 形 ABC中 得 到 OC AB ， 再 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 得 OC 平 面 VAB， 最 后 利用 面 面 垂 直 的 判 定 得 出 结 论 .(3)将 三 棱
20、锥 进 行 等 体 积 转 化 ， 利 用 C VAB V ABCV V ， 先 求 出 三 角 形 VAB 的 面 积 ， 由 于 OC 平 面 VAB， 所 以 OC 为 锥 体 的 高 ， 利 用 锥 体 的 体 积 公 式 计 算 出 体 积 即 可 .答 案 ： (1)因 为 ,O M 分 别 为 AB， VA 的 中 点 ，所 以 / /OM VB.又 因 为 VB平 面 MOC，所 以 / /VB 平 面 MOC.(2)因 为 AC BC ， O为 AB 的 中 点 ，所 以 OC AB .又 因 为 平 面 VAB平 面 ABC， 且 OC 平 面 ABC， 所 以 OC 平
21、面 VAB.所 以 平 面 MOC平 面 VAB.(3)在 等 腰 直 角 三 角 形 ACB中 ， 2AC BC ，所 以 2, 1AB OC .所 以 等 边 三 角 形 VAB的 面 积 3VABS .又 因 为 OC 平 面 VAB，所 以 三 棱 锥 C-VAB 的 体 积 等 于 1 33 3VABOC S . 又 因 为 三 棱 锥 V-ABC的 体 积 与 三 棱 锥 C-VAB的 体 积 相 等 ，所 以 三 棱 锥 V-ABC 的 体 积 为 33 . 19.设 函 数 2 ln2xf x k x ， 0k .(1)求 f x 的 单 调 区 间 和 极 值 .(2)证 明
22、 ： 若 f x 存 在 零 点 ， 则 f x 在 区 间 1, e上 仅 有 一 个 零 点 .解 析 ： (1)先 对 f x 求 导 ， 令 0f x 解 出 x， 将 函 数 的 定 义 域 断 开 ， 列 表 ， 分 析 函 数 的单 调 性 ， 所 以 由 表 格 知 当 时 ， 函 数 取 得 极 小 值 ， 同 时 也 是 最 小 值 .(2)利 用 第 一 问 的 表 ， 知 为 函 数 的 最 小 值 ， 如 果 函 数 有 零 点 ， 只 需 最 小 值 ，从 而 解 出 ， 下 面 再 分 情 况 分 析 函 数 有 几 个 零 点 . 答 案 ： (1)由 2 ln
23、2xf x k x ， 0k 得 .由 0f x 解 得 . f x 与 f x 在 区 间 上 的 情 况 如 下 ： 所 以 ， ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 是 (0, )k ， 单 调 递 增 区 间 是 ( , )k ；( )f x 在 x k 处 取 得 极 小 值 (1 ln )( ) 2k kf k .(2)由 (1)知 ， ( )f x 在 区 间 (0, ) 上 的 最 小 值 为 (1 ln )( ) 2k kf k .因 为 ( )f x 存 在 零 点 ， 所 以 (1 ln ) 02k k ， 从 而 k e .当 k e 时 ， ( )f x 在 区
24、间 (1, )e 上 单 调 递 减 ， 且 ( ) 0f e ， 所 以 x e 是 ( )f x 在 区 间 (1, e 上 的 唯 一 零 点 . 当 k e 时 ， ( )f x 在 区 间 (0, )e 上 单 调 递 减 ， 且 1(1) 02f ， ( ) 02e kf e ，所 以 ( )f x 在 区 间 (1, e 上 仅 有 一 个 零 点 .综 上 可 知 ， 若 ( )f x 存 在 零 点 ， 则 ( )f x 在 区 间 (1, e 上 仅 有 一 个 零 点 .20.已 知 椭 圆 C: 2 23 3x y ， 过 点 D 1,0 且 不 过 点 2,1 的 直
25、 线 与 椭 圆 C交 于 ， 两点 ， 直 线 与 直 线 3x 交 于 点 .(1)求 椭 圆 C的 离 心 率 .(2)若 垂 直 于 x轴 ， 求 直 线 的 斜 率 . (3)试 判 断 直 线 与 直 线 D的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1) 先 将 椭 圆 方 程 化 为 标 准 方 程 ， 得 到 a， b， c 的 值 ， 再 利 用 ce a 计 算 离 心 率 .(2) 由 直 线 AB 的 特 殊 位 置 ， 设 出 A， B点 坐 标 ， 设 出 直 线 AE 的 方 程 ， 由 于 直 线 AE 与 x=3相 交 于 M 点 ， 所 以
26、 得 到 M点 坐 标 ， 利 用 点 B、 点 M 的 坐 标 ， 求 直 线 BM 的 斜 率 .(3)分 直 线 AB 的 斜 率 存 在 和 不 存 在 两 种 情 况 进 行 讨 论 ， 第 一 种 情 况 ， 直 接 分 析 即 可 得 出 结 论 ，第 二 种 情 况 ， 先 设 出 直 线 AB 和 直 线 AE的 方 程 ， 将 椭 圆 方 程 与 直 线 AB 的 方 程 联 立 ， 消 参 ，得 到 1 2x x 和 1 2x x ， 代 入 到 1BMk 中 ， 只 需 计 算 出 等 于 0 即 可 证 明 BM DEk k ， 即 两 直 线 平 行 .答 案 ：
27、(1)椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 2 2 13x y .所 以 3a ， 1b ， 2c .所 以 椭 圆 C的 离 心 率 63ce a .(2)因 为 AB过 点 (1,0)D 且 垂 直 于 x 轴 ， 所 以 可 设 1(1, )A y ， 1(1, )B y .直 线 AE的 方 程 为 11 (1 )( 2)y y x . 令 3x ， 得 1(3,2 )M y .所 以 直 线 BM的 斜 率 1 12 13 1BM y yk . (3)直 线 BM与 直 线 DE平 行 .证 明 如 下 ：当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 ， 由 (2)可 知 1BMk .又 因 为 直 线 DE 的 斜 率 1 0 12 1DEk ， 所 以 / /BM DE .当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 ， 设 其 方 程 为 ( 1)( 1)y k x k .设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 直 线 AE的 方 程 为 11 11 ( 2)2yy xx . 令 3x ， 得 点 1 11 3(3, )2y xM x .由 2 23 3( 1)x yy k x ， 得 2 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x k x k .所 以 21 2 261 3kx x k ， 21 2 23 31 3kx x k .
