1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 ， 共 40分 )1.复 数 i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i解 析 ： 原 式 =2i-i 2=2i-(-1)=1+2i；故 选 ： A.2.若 x， y 满 足 ， 则 z=x+2y 的 最 大 值 为 ( )A.0B.1C.D.2 解 析 ： 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ，得 到 如 图 的 三 角 形 及 其 内 部 阴 影 部 分 ， 由 ， 解 得 A( ， )， 目 标 函 数
2、z=x+2y， 将 直 线 z=x+2y 进 行 平 移 ，当 l 经 过 点 A 时 ， 目 标 函 数 z达 到 最 大 值 z 最 大 值 = =故 选 ： C. 3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 结 果 为 ( ) A.(-2， 2)B.(-4， 0)C.(-4， -4)D.(0， -8)解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得x=1， y=1， k=0s=0， i=2x=0， y=2， k=1不 满 足 条 件 k 3， s=-2， i=2， x=-2， y=2， k=2不 满 足 条 件 k 3， s=-4， i=0， x=-4， y=0
3、， k=3满 足 条 件 k 3， 退 出 循 环 ， 输 出 (-4， 0)，故 选 ： B. 4.设 ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， m是 直 线 且 m ， “ m “ 是 “ ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 不 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： m ， m 得 不 到 ， 因 为 ， 可 能 相 交 ， 只 要 m和 ， 的 交 线 平 行 即 可得 到 m ； ， m ， m和 没 有 公 共 点 ， m ， 即 能 得 到 m ； “ m ” 是 “ ” 的 必 要 不 充 分 条
4、件 .故 选 B. 5.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是 ( )A.2+B.4+ C.2+2D.5解 析 ： 根 据 三 视 图 可 判 断 直 观 图 为 ： OA 面 ABC， AC=AB， E 为 BC 中 点 ，EA=2， EA=EB=1， OA=1， 可 得 AE BC， BC OA，运 用 直 线 平 面 的 垂 直 得 出 ： BC 面 AEO， AC= ， OE= S ABC= 2 2=2， S OAC=S OAB= 1= .S BCO= 2 = .故 该 三 棱 锥 的 表 面 积 是 2 ，故 选 ： C.6.设 a
5、n是 等 差 数 列 ， 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( )A.若 a1+a2 0， 则 a2+a3 0B.若 a1+a3 0， 则 a1+a2 0，C.若 0 a 1 a2， 则 a2 D.若 a1 0， 则 (a2-a1)(a2-a3) 0解 析 ： 若 a1+a2 0， 则 2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2d， d 0时 ， 结 论 成 立 ， 即 A 不 正 确 ；若 a1+a2 0， 则 2a1+d 0， a2+a3=2a1+3d 2d， d 0 时 ， 结 论 成 立 ， 即 B不 正 确 ；an是 等 差 数 列 ， 0 a1 a2， 2a2=a1+a3 2
6、 ， a2 ， 即 C正 确 ；若 a1 0， 则 (a2-a1)(a2-a3)=-d2 0， 即 D 不 正 确 .故 选 ： C.7.如 图 ， 函 数 f(x)的 图 象 为 折 线 ACB， 则 不 等 式 f(x) log 2(x+1)的 解 集 是 ( )A.x|-1 x 0B.x|-1 x 1C.x|-1 x 1D.x|-1 x 2解 析 ： 由 已 知 f(x)的 图 象 ， 在 此 坐 标 系 内 作 出 y=log 2(x+1)的 图 象 ， 如 图 满 足 不 等 式 f(x) log2(x+1)的 x 范 围 是 -1 x 1； 所 以 不 等 式 f(x) log2(
7、x+1)的 解 集 是x|-1 x 1；故 选 C.8.汽 车 的 “ 燃 油 效 率 ” 是 指 汽 车 每 消 耗 1 升 汽 油 行 驶 的 里 程 ， 如 图 描 述 了 甲 、 乙 、 丙 三 辆 汽车 在 不 同 速 度 下 燃 油 效 率 情 况 ， 下 列 叙 述 中 正 确 的 是 ( ) A.消 耗 1 升 汽 油 ， 乙 车 最 多 可 行 驶 5 千 米B.以 相 同 速 度 行 驶 相 同 路 程 ， 三 辆 车 中 ， 甲 车 消 耗 汽 油 最 多C.甲 车 以 80 千 米 /小 时 的 速 度 行 驶 1 小 时 ， 消 耗 10升 汽 油D.某 城 市 机
8、动 车 最 高 限 速 80千 米 /小 时 ， 相 同 条 件 下 ， 在 该 市 用 丙 车 比 用 乙 车 更 省 油解 析 ： 对 于 选 项 A， 消 耗 1 升 汽 油 ， 乙 车 行 驶 的 距 离 比 5小 的 很 多 ， 故 A 错 误 ；对 于 选 项 B， 以 相 同 速 度 行 驶 相 同 路 程 ， 三 辆 车 中 ， 甲 车 消 耗 汽 油 最 小 ， 故 B 错 误 ，对 于 选 项 C， 甲 车 以 80 千 米 /小 时 的 速 度 行 驶 1小 时 ， 里 程 为 80 千 米 ， 燃 油 效 率 为 10， 故消 耗 8升 汽 油 ， 故 C错 误 ，对
9、于 选 项 D， 因 为 在 速 度 低 于 80千 米 /小 时 ， 丙 的 燃 油 效 率 高 于 乙 的 燃 油 效 率 ， 故 D 正 确 .二 、 填 空 题 (每 小 题 5 分 ， 共 30分 )9.在 (2+x) 5的 展 开 式 中 ， x3的 系 数 为 _(用 数 字 作 答 )解 析 ： (2+x)5的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ： Tr+1= 25-rxr，所 求 x3的 系 数 为 ： .故 答 案 为 ： 40.10.已 知 双 曲 线 -y 2=1(a 0)的 一 条 渐 近 线 为 x+y=0， 则 a=_.解 析 ： 运 用 双 曲 线 的 渐 近
10、 线 方 程 为 ， 结 合 条 件 可 得 ， 即 可 得 到 a的 值 .答 案 ： 双 曲 线 -y2=1的 渐 近 线 方 程 为 ，由 题 意 可 得 ，解 得 . 11.在 极 坐 标 系 中 ， 点 (2， )到 直 线 (cos + sin )=6的 距 离 为 _. 解 析 ： 点 P(2， )化 为 P .直 线 (cos + sin )=6化 为 . 点 P到 直 线 的 距 离 .故 答 案 为 ： 1.12.在 ABC中 ， a=4， b=5， c=6， 则 =_.解 析 ： ABC中 ， a=4， b=5， c=6， cosC= ， cosA= sinC= ， si
11、nA= ， .故 答 案 为 ： 1.13.在 ABC中 ， 点 M， N满 足 =2 ， = ， 若 =x +y ， 则 x=_， y=_.解 析 ： 首 先 利 用 向 量 的 三 角 形 法 则 ， 将 所 求 用 向 量 表 示 ， 然 后 利 用 平 面 向 量 基 本 定 理 得 到 x， y 值 .答 案 ： 由 已 知 得 到 ；由 平 面 向 量 基 本 定 理 ， 得 到 ， ；14.设 函 数 f(x)= ， 若 a=1， 则 f(x)的 最 小 值 为 _； 若 f(x)恰 有 2个 零 点 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 分 别 求 出 分
12、段 的 函 数 的 最 小 值 ， 即 可 得 到 函 数 的 最 小 值 ； 分 别 设 h(x)=2 x-a， g(x)=4(x-a)(x-2a)， 分 两 种 情 况 讨 论 ， 即 可 求 出 a的 范 围 .答 案 ： 当 a=1时 ， f(x)= ，当 x 1 时 ， f(x)=2x-1 为 增 函 数 ， f(x) -1， 当 x 1 时 ， f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x- )2-1，当 1 x 时 ， 函 数 单 调 递 减 ， 当 x 时 ， 函 数 单 调 递 增 ，故 当 x= 时 ， f(x)min=f( )=-1， 设 h(x)=2x
13、-a， g(x)=4(x-a)(x-2a)若 在 x 1 时 ， h(x)=与 x轴 有 一 个 交 点 ，所 以 a 0， 并 且 当 x=1时 ， h(1)=2-a 0， 所 以 0 a 2，而 函 数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有 一 个 交 点 ， 所 以 2a 1， 且 a 1，所 以 a 1，若 函 数 h(x)=2 x-a在 x 1时 ， 与 x轴 没 有 交 点 ，则 函 数 g(x)=4(x-a)(x-2a)有 两 个 交 点 ，当 a 0 时 ， h(x)与 x 轴 无 交 点 ， g(x)无 交 点 ， 所 以 不 满 足 题 意 (舍 去 )，当 h(1)=2-
14、a 时 ， 即 a 2 时 ， g(x)的 两 个 交 点 为 x1=a， x2=2a， 都 是 满 足 题 意 的 ，综 上 所 述 a 的 取 值 范 围 是 a 1， 或 a 2.三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 共 80分 )15.已 知 函 数 f(x)= sin cos - sin .(1)求 f(x)的 最 小 正 周 期 ；(2)求 f(x)在 区 间 - ， 0上 的 最 小 值 . 解 析 ： (1)运 用 二 倍 角 公 式 和 两 角 和 的 正 弦 公 式 ， 化 简 f(x)， 再 由 正 弦 喊 话 说 的 周 期 ， 即 可得 到 所 求 ；(2)由 x
15、 的 范 围 ， 可 得 x+ 的 范 围 ， 再 由 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 ， 即 可 求 得 最 小 值 .答 案 ： (1)f(x)= sin cos - sin= sinx- (1-cosx)=sinxcos +cosxsin -=sin(x+ )- ，则 f(x)的 最 小 正 周 期 为 2 ； (2)由 - x 0， 可 得- x+ ，即 有 ， 则 当 x=- 时 ， sin(x+ )取 得 最 小 值 -1，则 有 f(x)在 区 间 - ， 0上 的 最 小 值 为 -1- .16. A， B 两 组 各 有 7位 病 人 ， 他 们 服 用 某 种 药
16、物 后 的 康 复 时 间 (单 位 ： 天 )记 录 如 下 ：A组 ： 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16B组 ； 12， 13， 15， 16， 17， 14， a假 设 所 有 病 人 的 康 复 时 间 相 互 独 立 ， 从 A， B 两 组 随 机 各 选 1 人 ， A组 选 出 的 人 记 为 甲 ， B组 选 出 的 人 记 为 乙 .(1)求 甲 的 康 复 时 间 不 少 于 14天 的 概 率 ；(2)如 果 a=25， 求 甲 的 康 复 时 间 比 乙 的 康 复 时 间 长 的 概 率 ；(3)当 a 为 何 值 时 ， A， B两 组 病 人
17、 康 复 时 间 的 方 差 相 等 ？ (结 论 不 要 求 证 明 ) 解 析 ： 设 事 件 Ai为 “ 甲 是 A 组 的 第 i 个 人 ” ， 事 件 Bi为 “ 乙 是 B 组 的 第 i 个 人 ” ， 由 题 意可 知 P(Ai)=P(Bi)= ， i=1， 2， ， 7(1)事 件 等 价 于 “ 甲 是 A 组 的 第 5 或 第 6 或 第 7 个 人 ” ， 由 概 率 公 式 可 得 ；(2)设 事 件 “ 甲 的 康 复 时 间 比 乙 的 康 复 时 间长 ” C=A4B1 A5B1 A6B1 A7B1 A5B2 A6B2 A7B2 A7B3 A6B6 A7B6
18、， 易 得 P(C)=10P(A4B1)， 易 得答 案 ；(3)由 方 差 的 公 式 可 得 .答 案 ： 设 事 件 A i为 “ 甲 是 A 组 的 第 i 个 人 ” ， 事 件 Bi为 “ 乙 是 B 组 的 第 i 个 人 ” ，由 题 意 可 知 P(Ai)=P(Bi)= ， i=1， 2， ， 7(1)事 件 “ 甲 的 康 复 时 间 不 少 于 14天 ” 等 价 于 “ 甲 是 A 组 的 第 5 或 第 6或 第 7 个 人 ” 甲 的 康 复 时 间 不 少 于 14天 的 概 率 P(A5 A6 A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)= ；(2)设 事 件 C
19、 为 “ 甲 的 康 复 时 间 比 乙 的 康 复 时 间 长 ” ，则 C=A 4B1 A5B1 A6B1 A7B1 A5B2 A6B2 A7B2 A7B3 A6B6 A7B6， P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)P+(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=(3)当 a 为 11或 18时 ， A， B 两 组 病 人 康 复 时 间 的 方 差 相 等 .17.如 图 ， 在 四 棱 锥 A-EFCB中 ， AEF为 等 边 三 角 形 ， 平 面 A
20、EF 平 面 EFCB， EF BC， BC=4，EF=2a， EBC= FCB=60 ， O为 EF的 中 点 . (1)求 证 ： AO BE.(2)求 二 面 角 F-AE-B的 余 弦 值 ；(3)若 BE 平 面 AOC， 求 a 的 值 .解 析 ： (1)根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 即 可 证 明 AO BE.(2)建 立 空 间 坐 标 系 ， 利 用 向 量 法 即 可 求 二 面 角 F-AE-B 的 余 弦 值 ；(3)利 用 线 面 垂 直 的 性 质 ， 结 合 向 量 法 即 可 求 a 的 值答 案 ： (1) AEF为 等 边 三 角 形 ， O
21、 为 EF 的 中 点 ， AO EF， 平 面 AEF 平 面 EFCB， AO平 面 AEF， AO 平 面 EFCB AO BE.(2)取 BC 的 中 点 G， 连 接 OG， EFCB是 等 腰 梯 形 ， OG EF，由 (1)知 AO 平 面 EFCB， OG平 面 EFCB， OA OG，建 立 如 图 的 空 间 坐 标 系 ，则 E(a， 0， 0)， A(0， 0， a)， B(2， ， 0)，=(a-2， ， 0)， 设 平 面 AEB的 法 向 量 为 =(x， y， z)，则 ， 即 ，令 z=1， 则 x= ， y=-1，即 =( ， -1， 1)，平 面 AEF
22、的 法 向 量 为 ，则 即 二 面 角 F-AE-B的 余 弦 值 为 ；(3)若 BE 平 面 AOC，则 BE OC，即 ， ， ， =-2(a-2)-3(a-2) 2=0，解 得 a= .18.已 知 函 数 ，(1)求 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 ；(2)求 证 ， 当 x (0， 1)时 ， ； (3)设 实 数 k 使 得 对 x (0， 1)恒 成 立 ， 求 k的 最 大 值 .解 析 ： (1)利 用 函 数 的 导 数 求 在 曲 线 上 某 点 处 的 切 线 方 程 .(2)构 造 新 函 数 利 用 函 数 的 单 调 性 证
23、 明 命 题 成 立 .(3)对 k 进 行 讨 论 ， 利 用 新 函 数 的 单 调 性 求 参 数 k 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)因 为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)所 以又 因 为 f(0)=0， 所 以 曲 线 y=f(x)在 点 (0， f(0)处 的 切 线 方 程 为 y=2x. (2)证 明 ： 令 g(x)=f(x)-2(x+ )， 则g(x)=f(x)-2(1+x2)= ，因 为 g(x) 0(0 x 1)， 所 以 g(x)在 区 间 (0， 1)上 单 调 递 增 .所 以 g(x) g(0)=0， x (0， 1)，即 当 x (0， 1)
24、时 ， f(x) 2(x+ ).(3)由 (2)知 ， 当 k 2 时 ， 对 x (0， 1)恒 成 立 . 当 k 2 时 ， 令 h(x)=f(x)- ， 则h(x)=f(x)-k(1+x2)= ，所 以 当 时 ， h(x) 0， 因 此 h(x)在 区 间 (0， )上 单 调 递 减 .当 时 ， h(x) h(0)=0， 即 .所 以 当 k 2 时 ， 并 非 对 x (0， 1)恒 成 立 . 综 上 所 知 ， k的 最 大 值 为 2.19.已 知 椭 圆 C： (a b 0)的 离 心 率 为 ， 点 P(0， 1)和 点 A(m， n)(m 0)都 在椭 圆 C上 ，
25、 直 线 PA 交 x 轴 于 点 M.(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ， 并 求 点 M 的 坐 标 (用 m， n 表 示 )；(2)设 O 为 原 点 ， 点 B 与 点 A 关 于 x 轴 对 称 ， 直 线 PB交 x轴 于 点 N， 问 ： y 轴 上 是 否 存 在 点Q， 使 得 OQM= ONQ？ 若 存 在 ， 求 点 Q的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)根 据 椭 圆 的 几 何 性 质 得 出 求 解 即 可 . (2)求 解 得 出 ， ， 运 用 图 形 得 出 tan OQM=tan ONQ， ， 求解 即 可 得 出 即
26、 yQ2=xM xN， +n2， 根 据 m， m的 关 系 整 体 求 解 .答 案 ： (1)由 题 意 得 出解 得 ： a= ， b=1， c=1 +y 2=1， P(0， 1)和 点 A(m， n)， -1 n 1 PA 的 方 程 为 ： y-1= x， y=0 时 ， xM= M( ， 0)(2) 点 B 与 点 A 关 于 x 轴 对 称 ， 点 A(m， n)(m 0) 点 B(m， -n)(m 0) 直 线 PB 交 x 轴 于 点 N， N( ， 0)， 存 在 点 Q， 使 得 OQM= ONQ， Q(0， yQ)， tan OQM=tan ONQ， ， 即 yQ2=x
27、M xN， +n2=1y Q2= =2， yQ= ， 故 y轴 上 存 在 点 Q， 使 得 OQM= ONQ， Q(0， )或 Q(0， - )20.已 知 数 列 an满 足 ： a1 N*， a1 36， 且 an+1= (n=1， 2， )， 记集 合 M=an|n N*.(1)若 a1=6， 写 出 集 合 M 的 所 有 元 素 ；(2)如 集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 ， 证 明 ： M的 所 有 元 素 都 是 3的 倍 数 ；(3)求 集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值 .解 析 ： (1)a 1=6， 利 用 an+1= 可 求 得 集
28、 合 M的 所 有 元 素 为 6， 12， 24；(2)因 为 集 合 M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 ， 所 以 不 妨 设 ak是 3 的 倍 数 ， 由an+1= (n=1， 2， )， 可 归 纳 证 明 对 任 意 n k， an是 3的 倍 数 ；(3)分 a1是 3的 倍 数 与 a1不 是 3的 倍 数 讨 论 ， 即 可 求 得 集 合 M 的 元 素 个 数 的 最 大 值 .答 案 ： (1)若 a 1=6， 由 于 an+1= (n=1， 2， )， M=an|n N*.故 集 合 M 的 所 有 元 素 为 6， 12， 24；(2)因 为 集 合
29、M 存 在 一 个 元 素 是 3 的 倍 数 ， 所 以 不 妨 设 ak是 3 的 倍 数 ， 由an+1= (n=1， 2， )， 可 归 纳 证 明 对 任 意 n k， an是 3的 倍 数 .如 果 k=1， M 的 所 有 元 素 都 是 3 的 倍 数 ；如 果 k 1， 因 为 a k=2ak-1， 或 ak=2ak-1-36， 所 以 2ak-1是 3的 倍 数 ； 于 是 ak-1是 3 的 倍 数 ；类 似 可 得 ， ak-2， ， a1都 是 3 的 倍 数 ；从 而 对 任 意 n 1， an是 3 的 倍 数 ；综 上 ， 若 集 合 M存 在 一 个 元 素
30、是 3的 倍 数 ， 则 集 合 M的 所 有 元 素 都 是 3的 倍 数(3)对 a1 36， an= (n=1， 2， )， 可 归 纳 证 明 对 任 意 n k， an 36(n=2， 3， )因 为 a 1是 正 整 数 ， a2= ， 所 以 a2是 2 的 倍 数 .从 而 当 n 3 时 ， an是 2的 倍 数 .如 果 a1是 3 的 倍 数 ， 由 (2)知 ， 对 所 有 正 整 数 n， an是 3 的 倍 数 .因 此 当 n 3 时 ， an 12， 24， 36， 这 时 M的 元 素 个 数 不 超 过 5.如 果 a1不 是 3 的 倍 数 ， 由 (2)知 ， 对 所 有 正 整 数 n， an不 是 3 的 倍 数 .因 此 当 n 3 时 ， an 4， 8， 16， 20， 28， 32， 这 时 M 的 元 素 个 数 不 超 过 8.当 a1=1时 ， M=1， 2， 4， 8， 16， 20， 28， 32， 有 8个 元 素 .综 上 可 知 ， 集 合 M的 元 素 个 数 的 最 大 值 为 8.
