1、2016 年 内 蒙 古 包 头 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 有 1 2 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 3 6 分 .1 .若 2 (a+3 )的 值 与 4 互 为 相 反 数 ， 则 a 的 值 为 ( )A.-1B. 72C.-5D. 12解 析 ： 2 (a+3 )的 值 与 4 互 为 相 反 数 ， 2 (a+3 )+4 =0 ， a=-5 .答 案 ： C2 .下 列 计 算 结 果 正 确 的 是 ( )A.2 3 2 3 B. 8 2 2 C.(-2 a2 )3 =-6 a6D.(a+1 ) 2 =a2 +1解 析 ： A、 2
2、 3 不 是 同 类 二 次 根 式 ， 所 以 不 能 合 并 ， 所 以 A 错 误 ；B、 8 2 2 ， 所 以 B 正 确 ；C、 (-2 a2 )3 =-8 a6 -6 a6 ， 所 以 C 错 误 ；D、 (a+1 )2 =a2 +2 a+1 a2 +1 ， 所 以 D 错 误 .答 案 ： B3 .不 等 式 1 12 3x x 的 解 集 是 ( )A.x 4 B.x 4C.x -1D.x -1解 析 ： 去 分 母 ， 得 ： 3 x-2 (x-1 ) 6 ，去 括 号 ， 得 ： 3 x-2 x+2 6 ，移 项 、 合 并 ， 得 ： x 4 ，答 案 ： A.4 .一
3、 组 数 据 2 ， 3 ， 5 ， 4 ， 4 ， 6 的 中 位 数 和 平 均 数 分 别 是 ( )A.4 .5 和 4 B.4 和 4C.4 和 4 .8D.5 和 4解 析 ： 这 组 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 2 ， 3 ， 4 ， 4 ， 5 ， 6 ，故 中 位 数 为 ： (4 +4 ) 2 =4 ；平 均 数 为 ： (2 +3 +4 +4 +5 +6 ) 6 =4 .答 案 ： B.5 .1 2 0 的 圆 心 角 对 的 弧 长 是 6 ， 则 此 弧 所 在 圆 的 半 径 是 ( )A.3B.4C.9D.1 8 解 析 ： 根 据 弧
4、 长 的 公 式 180n rl ，得 到 ： 1206 180r ，解 得 r=9 .答 案 ： C.6 .同 时 抛 掷 三 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 至 少 有 两 枚 硬 币 正 面 向 上 的 概 率 是 ( )A. 38B. 58C. 23 D. 12解 析 ： 由 题 意 可 得 ， 所 有 的 可 能 性 为 ： 至 少 有 两 枚 硬 币 正 面 向 上 的 概 率 是 ： 4 18 2 ， 答 案 ： D. 7 .若 关 于 x 的 方 程 2 11 02x m x （ ） 的 一 个 实 数 根 的 倒 数 恰 是 它 本 身 ， 则 m 的 值 是( )A.
5、52B. 12C. 52 或 12D.1解 析 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ：x 1 +x2 =-(m+1 )， x1 x2 = 12 ，又 知 个 实 数 根 的 倒 数 恰 是 它 本 身 ，则 该 实 根 为 1 或 -1 ，若 是 1 时 ， 即 1 +x2 =-(m+1 )， 而 x2 = 12 ， 解 得 m= 52 ；若 是 -1 时 ， 则 m= 12 .答 案 ： C.8 .化 简 2 21 1 1 1 aba b a b （ ） ， 其 结 果 是 ( ) A. 2 2a ba bB. 2 2a bb aC. 1a bD. 1b a解 析 ： 原 式 = 2
6、 2 2 2a b a b a babab a b a b b a ，答 案 ： B 9 .如 图 ， 点 O 在 ABC 内 ， 且 到 三 边 的 距 离 相 等 .若 BOC=1 2 0 ， 则 tanA 的 值 为 ( ) A. 3B. 33C. 32D. 22解 析 ： 点 O 到 ABC 三 边 的 距 离 相 等 ， BO 平 分 ABC， CO 平 分 ACB， A=1 8 0 -( ABC+ ACB)=1 8 0 -2 ( OBC+ OCB)=1 8 0 -2 (1 8 0 - BOC)=1 8 0 -2 (1 8 0 -1 2 0 )=6 0 ， tanA=tan6 0 =
7、 3 ，答 案 ： A.1 0 .已 知 下 列 命 题 ： 若 a b， 则 a2 b2 ； 若 a 1 ， 则 (a-1 )0 =1 ； 两 个 全 等 的 三 角 形 的 面积 相 等 ； 四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 .其 中 原 命 题 与 逆 命 题 均 为 真 命 题 的 个 数 是 ( )A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个解 析 ： 当 a=0 ， b=-1 时 ， a 2 b2 ， 所 以 命 题 “ 若 a b， 则 a2 b2 ” 为 假 命 题 ， 其 逆 命 题 为 若a2 b2 ； ， 则 a b“ ， 此 逆 命 题 也 是 假 命 题 ，
8、 如 a=-2 ， b=-1 ；若 a 1 ， 则 (a-1 )0 =1 ， 此 命 题 为 真 命 题 ， 它 的 逆 命 题 为 ： 若 (a-1 )0 =1 ， 则 a 1 ， 此 逆 命 题 为 假命 题 ， 因 为 (a-1 )0 =1 ， 则 a 1 ；两 个 全 等 的 三 角 形 的 面 积 相 等 ， 此 命 题 为 真 命 题 ， 它 的 逆 命 题 为 面 积 相 等 的 三 角 形 全 等 ， 此逆 命 题 为 假 命 题 ；四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 ， 这 个 命 题 为 真 命 题 ， 它 的 逆 命 题 为 菱 形 的 四 条 边 相 等 ，
9、 此 逆 命题 为 真 命 题 .答 案 ： D. 1 1 .如 图 ， 直 线 2 43y x 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 A 和 点 B， 点 C、 D 分 别 为 线 段 AB、 OB的 中 点 ， 点 P 为 OA 上 一 动 点 ， PC+PD 值 最 小 时 点 P 的 坐 标 为 ( )A.(-3 ， 0 )B.(-6 ， 0 ) C.( 32 ， 0 )D.( 52 ， 0 )解 析 ： 作 点 D 关 于 x 轴 的 对 称 点 D ， 连 接 CD 交 x 轴 于 点 P， 此 时 PC+PD 值 最 小 ， 如 图所 示 . 令 2 43y x 中 x=0
10、 ， 则 y=4 ， 点 B 的 坐 标 为 (0 ， 4 )；令 2 43y x 中 y=0 ， 则 23 x+4 =0 ， 解 得 ： x=-6 ， 点 A 的 坐 标 为 (-6 ， 0 ). 点 C、 D 分 别 为 线 段 AB、 OB 的 中 点 ， 点 C(-3 ， 2 )， 点 D(0 ， 2 ). 点 D 和 点 D 关 于 x 轴 对 称 ， 点 D 的 坐 标 为 (0 ， -2 ).设 直 线 CD 的 解 析 式 为 y=kx+b， 直 线 CD 过 点 C(-3 ， 2 )， D (0 ， -2 )， 有 2 32 k bb - ， 解 得 ： 432kb ， 直
11、线 CD 的 解 析 式 为 y=- 43 x-2 .令 y=- 43 x-2 中 y=0 ， 则 0 =- 43 x-2 ， 解 得 ： x=- 32 ， 点 P 的 坐 标 为 (- 32 ， 0 ).答 案 ： C.1 2 .如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AD BC， ABC=9 0 ， E 是 AB 上 一 点 ， 且 DE CE.若 AD=1 ，BC=2 ， CD=3 ， 则 CE 与 DE 的 数 量 关 系 正 确 的 是 ( ) A.CE= 3 DEB.CE= 2 DEC.CE=3 DED.CE=2 DE解 析 ： 过 点 D 作 DH BC， AD=1 ， B
12、C=2 ， CH=1 ，DH=AB= 2 2 2 23 1 2 2CD CH ， AD BC， ABC=9 0 ， A=9 0 ， DE CE， AED+ BEC=9 0 ， AED+ ADE=9 0 ， ADE= BEC， ADE BEC， AD AE DEBE BC CE ，设 BE=x， 则 AE=2 2 x ，即 1 2 22 xx ，解 得 x= 2 ， 12AD DEBE CE ， CE= 2 DE，答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 有 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 2 4 分1 3 .据 统 计 ， 2 0 1 5 年 ， 我 国 发 明 专
13、利 申 请 受 理 量 达 1 1 0 2 0 0 0 件 ， 连 续 5 年 居 世 界 首 位 ， 将1 1 0 2 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 为 .解 析 ： 将 1 1 0 2 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 为 1 .1 0 2 1 0 6 ，答 案 ： 1 .1 0 2 1 0 6 .1 4 .若 2 x-3 y-1 =0 ， 则 5 -4 x+6 y 的 值 为 .解 析 ： 2 x-3 y-1 =0 ， 2 x-3 y=1 ， 5 -4 x+6 y=5 -2 (2 x-3 y)=5 -2 1=3 .答 案 ： 3 .1 5 .计 算 ： 216 3
14、 13 （ ） = .解 析 ： 原 式 = 36 3 2 3 13 （ ）=2 3 4 2 3 =-4 .答 案 ： -4 .1 6 .已 知 一 组 数 据 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 则 这 组 数 据 的 方 差 为 .解 析 ： 平 均 数 为 =(1 +2 +3 +4 +5 ) 5 =3 ， 2 2 2 2 2 21 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 25 S （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） .答 案 ： 2 .1 7 .如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O， 过 点 A 作 AE BD， 垂 足 为
15、 点 E，若 EAC=2 CAD， 则 BAE= 度 .解 析 ： 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AC=BD， OA=OC， OB=OD， OA=OB OC， OAD= ODA， OAB= OBA， AOE= OAC+ OCA=2 OAC， EAC=2 CAD， EAO= AOE， AE BD， AEO=9 0 ， AOE=4 5 ， OAB= OBA=180 452 =6 7 .5 ， BAE= OAB- OAE=2 2 .5 .答 案 ： 2 2 .5 . 1 8 .如 图 ， 已 知 AB 是 O 的 直 径 ， 点 C 在 O 上 ， 过 点 C 的 切 线 与 AB 的 延
16、长 线 交 于 点 P，连 接 AC， 若 A=3 0 ， PC=3 ， 则 BP 的 长 为 .解 析 ： OA=OC， A=3 0 ， OCA= A=3 0 ， COB= A+ ACO=6 0 ， PC 是 O 切 线 ， PCO=9 0 ， P=3 0 ， PC=3 ， OC=PC tan3 0 = 3 ， PO=2 OC=2 3 ， PB=PO-OB= 3 ，答 案 ： 3 .1 9 .如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 A 在 第 二 象 限 内 ， 点 B 在 x 轴 上 ， AOB=3 0 ， AB=BO，反 比 例 函 数 ky x (x 0 )的 图 象
17、经 过 点 A， 若 S ABO= 3 ， 则 k 的 值 为 .解 析 ： 过 点 A 作 AD x 轴 于 点 D， 如 图 所 示 . AOB=3 0 ， AD OD， ODAD =cot AOB= 3 ， AOB=3 0 ， AB=BO， AOB= BAO=3 0 ， ABD=6 0 ， BDAD =cot ABD= 33 ， OB=OD-BD， 33 3 233 ADOB OD BDOD OD AD ， 23ABOADOSS ， S ABO= 3 ， 1 3 32 2ADOS k ， 反 比 例 函 数 图 象 在 第 二 象 限 ， k=-3 3答 案 ： -3 3 . 2 0 .
18、如 图 ， 已 知 ABC 是 等 边 三 角 形 ， 点 D、 E 分 别 在 边 BC、 AC 上 ， 且 CD=CE， 连 接 DE 并 延长 至 点 F， 使 EF=AE， 连 接 AF， CF， 连 接 BE 并 延 长 交 CF 于 点 G.下 列 结 论 ： ABE ACF； BC=DF； S ABC=S ACF+S DCF； 若 BD=2 DC， 则 GF=2 EG.其 中 正 确 的 结论 是 .(填 写 所 有 正 确 结 论 的 序 号 )解 析 ： 正 确 . ABC 是 等 边 三 角 形 ， AB=AC=BC， BAC= ACB=6 0 ， DE=DC， DEC 是
19、 等 边 三 角 形 ， ED=EC=DC， DEC= AEF=6 0 ， EF=AE， AEF 是 等 边 三 角 形 ， AF=AE， EAF=6 0 ，在 ABE 和 ACF 中 ，AB ACBAE CAFAE AF ， ABE ACF， 故 正 确 . 正 确 . ABC= FDC， AB DF， EAF= ACB=6 0 ， AB AF， 四 边 形 ABDF 是 平 行 四 边 形 ， DF=AB=BC， 故 正 确 . 正 确 . ABE ACF， BE=CF， S ABE=S AFC，在 BCE 和 FDC 中 ，BC DFCE CDBE CF ， BCE FDC， S BCE
20、=S FDC， S ABC=S ABE+S BCE=S ACF+S BCE=S ABC=S ACF+S DCF， 故 正 确 . 正 确 . BCE FDC， DBE= EFG， BED= FEG， BDE FGE， BD DEFG EG ， FG BDEG DE ， BD=2 DC， DC=DE， FGEG =2 ， FG=2 EG.故 正 确 . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 有 6 小 题 ， 共 6 0 分 .2 1 .一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 有 红 、 白 两 种 颜 色 的 小 球 ， 这 些 球 除 颜 色 外 都 相 同 ， 其 中 红 球 有 1个
21、， 若 从 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 这 个 球 是 白 球 的 概 率 为 23 .(1 )求 袋 子 中 白 球 的 个 数 ； (请 通 过 列 式 或 列 方 程 解 答 )(2 )随 机 摸 出 一 个 球 后 ， 放 回 并 搅 匀 ， 再 随 机 摸 出 一 个 球 ， 求 两 次 都 摸 到 相 同 颜 色 的 小 球 的概 率 .(请 结 合 树 状 图 或 列 表 解 答 )解 析 ： (1 )首 先 设 袋 子 中 白 球 有 x 个 ， 利 用 概 率 公 式 求 即 可 得 方 程 ： 1 23xx ， 解 此 方 程 即可 求 得 答 案 ；(2 )首 先
22、 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 两 次 都 摸 到 相 同 颜 色的 小 球 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： (1 )设 袋 子 中 白 球 有 x 个 ， 根 据 题 意 得 ： 1 23xx ，解 得 ： x=2 ，经 检 验 ， x=2 是 原 分 式 方 程 的 解 ， 袋 子 中 白 球 有 2 个 ；(2 )画 树 状 图 得 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ， 两 次 都 摸 到 相 同 颜 色 的 小 球 的 有 5 种 情 况 ， 两 次
23、 都 摸 到 相 同 颜 色 的 小 球 的 概 率 为 ： 59 .2 2 .如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD 中 ， ABC=9 0 ， ADC=9 0 ， AB=6 ， CD=4 ， BC 的 延 长 线 与AD 的 延 长 线 交 于 点 E.(1 )若 A=6 0 ， 求 BC 的 长 ；(2 )若 sinA= 45 ， 求 AD 的 长 .(注 意 ： 本 题 中 的 计 算 过 程 和 结 果 均 保 留 根 号 ) 解 析 ： (1 )要 求 BC 的 长 ， 只 要 求 出 BE 和 CE 的 长 即 可 ， 由 题 意 可 以 得 到 BE 和 CE 的 长 ， 本
24、 题得 以 解 决 ；(2 )要 求 AD 的 长 ， 只 要 求 出 AE 和 DE 的 长 即 可 ， 根 据 题 意 可 以 得 到 AE、 DE 的 长 ， 本 题 得 以解 决 .答 案 ： (1 ) A=6 0 ， ABE=9 0 ， AB=6 ， tanA= BEAB ， E=3 0 ， BE=tan6 0 6 =6 3 ，又 CDE=9 0 ， CD=4 ， sinE=CDCE ， E=3 0 ， 4 812CE ， BC=BE-CE=6 3 -8 ；(2 ) ABE=9 0 ， AB=6 ， sinA= 45 BEAE ， 设 BE=4 x， 则 AE=5 x， 得 AB=3
25、 x， 3 x=6 ， 得 x=2 ， BE=8 ， AE=1 0 ， tanE= 6 48 CDABBE DE DE ， 解 得 ， 163DE ， AD=AE-DE= 16 1410 3 3 ，即 AD 的 长 是 143 .2 3 .一 幅 长 2 0 cm、 宽 1 2 cm 的 图 案 ， 如 图 ， 其 中 有 一 横 两 竖 的 彩 条 ， 横 、 竖 彩 条 的 宽 度 比 为3 ： 2 .设 竖 彩 条 的 宽 度 为 xcm， 图 案 中 三 条 彩 条 所 占 面 积 为 ycm2 .(1 )求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2 )若 图 案 中 三 条
26、 彩 条 所 占 面 积 是 图 案 面 积 的 25 ， 求 横 、 竖 彩 条 的 宽 度 . 解 析 ： (1 )由 横 、 竖 彩 条 的 宽 度 比 为 3 ： 2 知 横 彩 条 的 宽 度 为 32 xcm， 根 据 ： 三 条 彩 条 面 积 =横 彩 条 面 积 +2 条 竖 彩 条 面 积 -横 竖 彩 条 重 叠 矩 形 的 面 积 ， 可 列 函 数 关 系 式 ；(2 )根 据 ： 三 条 彩 条 所 占 面 积 是 图 案 面 积 的 25 ， 可 列 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 整 理 后 求 解可 得 .答 案 ： (1 )根 据 题 意 可
27、 知 ， 横 彩 条 的 宽 度 为 32 xcm， y=2 0 32 x+2 1 2 x-2 32 x x=-3 x2 +5 4 x，即 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=-3 x 2 +5 4 x；(2 )根 据 题 意 ， 得 ： -3 x2 +5 4 x= 25 2 0 1 2 ，整 理 ， 得 ： x2 -1 8 x+3 2 =0 ，解 得 ： x1 =2 ， x2 =1 6 (舍 )， 32 x=3 ，答 ： 横 彩 条 的 宽 度 为 3 cm， 竖 彩 条 的 宽 度 为 2 cm.2 4 .如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ABC=9 0 ， AB=CB
28、， 以 AB 为 直 径 的 O 交 AC 于 点 D， 点 E 是AB 边 上 一 点 (点 E 不 与 点 A、 B 重 合 )， DE 的 延 长 线 交 O 于 点 G， DF DG， 且 交 BC 于 点 F. (1 )求 证 ： AE=BF；(2 )连 接 GB， EF， 求 证 ： GB EF；(3 )若 AE=1 ， EB=2 ， 求 DG 的 长 . 解 析 ： (1 )连 接 BD， 由 三 角 形 ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 出 A 与 C 的 度 数 ， 根 据 AB 为 圆的 直 径 ， 利 用 圆 周 角 定 理 得 到 ADB 为 直 角 ，
29、即 BD 垂 直 于 AC， 利 用 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中线 等 于 斜 边 的 一 半 ， 得 到 AD=DC=BD= 12 AC， 进 而 确 定 出 A= FBD， 再 利 用 同 角 的 余 角 相等 得 到 一 对 角 相 等 ， 利 用 ASA 得 到 三 角 形 AED 与 三 角 形 BFD 全 等 ， 利 用 全 等 三 角 形 对 应 边相 等 即 可 得 证 ；(2 )连 接 EF， BG， 由 三 角 形 AED 与 三 角 形 BFD 全 等 ， 得 到 ED=FD， 进 而 得 到 三 角 形 DEF 为 等腰 直 角 三 角 形 ， 利 用 圆
30、周 角 定 理 及 等 腰 直 角 三 角 形 性 质 得 到 一 对 同 位 角 相 等 ， 利 用 同 位 角 相等 两 直 线 平 行 即 可 得 证 ；(3 )由 全 等 三 角 形 对 应 边 相 等 得 到 AE=BF=1 ， 在 直 角 三 角 形 BEF 中 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 EF 的长 ， 利 用 锐 角 三 角 形 函 数 定 义 求 出 DE 的 长 ， 利 用 两 对 角 相 等 的 三 角 形 相 似 得 到 三 角 形 AED与 三 角 形 GEB 相 似 ， 由 相 似 得 比 例 ， 求 出 GE 的 长 ， 由 GE+ED 求 出 GD 的
31、长 即 可 .答 案 ： (1 )证 明 ： 连 接 BD， 在 Rt ABC 中 ， ABC=9 0 ， AB=BC， A= C=4 5 ， AB 为 圆 O 的 直 径 ， ADB=9 0 ， 即 BD AC， AD=DC=BD= 12 AC， CBD= C=4 5 ， A= FBD， DF DG， FDG=9 0 ， FDB+ BDG=9 0 ， EDA+ BDG=9 0 ， EDA= FDB，在 AED 和 BFD 中 ， A FBDAD BDEDA FDB ， AED BFD(ASA)， AE=BF；(2 )证 明 ： 连 接 EF， BG， AED BFD， DE=DF， EDF=
32、9 0 ， EDF 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， DEF=4 5 ， G= A=4 5 ， G= DEF， GB EF；(3 ) AE=BF， AE=1 ， BF=1 ，在 Rt EBF 中 ， EBF=9 0 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： EF2 =EB2 +BF2 ， EB=2 ， BF=1 ， EF= 2 22 1 5 ， DEF 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， EDF=9 0 ， cos DEF= DEEF ， EF= 5 ， DE= 1025 2 2 ， G= A， GEB= AED， GEB AED， GE EBAE ED ， 即 GE ED=AE EB， 102
33、GE=2 ， 即 GE= 2 105 ，则 GD=GE+ED= 9 1010 . 2 5 .如 图 ， 已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 ACB， 其 中 ACB=9 0 ， AC=4 ， BC=3 ， E、 F 分 别 是 AC、AB 边 上 点 ， 连 接 EF.(1 )图 ， 若 将 纸 片 ACB的 一 角 沿 EF折 叠 ， 折 叠 后 点 A落 在 AB边 上 的 点 D处 ， 且 使 S 四 边 形 ECBF=3 S EDF， 求 AE 的 长 ；(2 )如 图 ， 若 将 纸 片 ACB 的 一 角 沿 EF 折 叠 ， 折 叠 后 点 A 落 在 BC 边 上 的
34、点 M 处 ， 且 使 MF CA. 试 判 断 四 边 形 AEMF 的 形 状 ， 并 证 明 你 的 结 论 ； 求 EF 的 长 ；(3 )如 图 ， 若 FE 的 延 长 线 与 BC 的 延 长 线 交 于 点 N， CN=1 ， CE= 47 ， 求 AFBF 的 值 . 解 析 ： (1 )先 利 用 折 叠 的 性 质 得 到 EF AB， AEF DEF， 则 S AEF S DEF， 则 易 得 S ABC=4 S AEF， 再 证 明 Rt AEF Rt ABC， 然 后 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 2AEFABCS AFS BF （ ） ， 再 利
35、用 勾 股 定 理 求 出 AB 即 可 得 到 AE 的 长 ；(2 ) 通 过 证 明 四 条 边 相 等 判 断 四 边 形 AEMF 为 菱 形 ； 连 结 AM 交 EF 于 点 O， 如 图 ， 设 AE=x， 则 EM=x， CE=4 -x， 先 证 明 CME CBA 得 到43 4 5CM x x ， 解 出 x 后 计 算 出 CM= 43 ， 再 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AM， 然 后 根 据 菱 形 的面 积 公 式 计 算 EF；(3 )如 图 ， 作 FH BC 于 H， 先 证 明 NCE NFH， 利 用 相 似 比 得 到 FH： NH=4 ： 7
36、 ， 设 FH=4 x，NH=7 x， 则 CH=7 x-1 ， BH=3 -(7 x-1 )=4 -7 x， 再 证 明 BFH BAC， 利 用 相 似 比 可 计 算 出 x= 25 ， 则 可 计 算 出 FH 和 BH， 接 着 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 BF， 从 而 得 到 AF 的 长 ， 于 是 可 计 算 出 AFBF的 值 .答 案 ： (1 )如 图 ， ACB 的 一 角 沿 EF 折 叠 ， 折 叠 后 点 A 落 在 AB 边 上 的 点 D 处 ， EF AB， AEF DEF， S AEF S DEF， S 四 边 形 ECBF=3 S EDF， S
37、 ABC=4 S AEF， 在 Rt ABC 中 ， ACB=9 0 ， AC=4 ， BC=3 ， AB= 2 23 4 5 ， EAF= BAC， Rt AEF Rt ABC， 2AEFABCS AFS BF （ ） ， 即 2 15 4AE （ ） ， AE= 52 ；(2 ) 四 边 形 AEMF 为 菱 形 .理 由 如 下 ：如 图 ， ACB 的 一 角 沿 EF 折 叠 ， 折 叠 后 点 A 落 在 AB 边 上 的 点 D 处 ， AE=EM， AF=MF， AFE= MFE， MF AC， AEF= MFE， AEF= AFE， AE=AF， AE=EM=MF=AF， 四
38、 边 形 AEMF 为 菱 形 ； 连 结 AM 交 EF 于 点 O， 如 图 ，设 AE=x， 则 EM=x， CE=4 -x， 四 边 形 AEMF 为 菱 形 ， EM AB， CME CBA， CM CE EMCB CA AB ， 即 43 4 5CM x x ， 解 得 x= 209 ， CM= 43 ，在 Rt ACM 中 ， AM= 22 2 2 4 1044 3 3AC CM ， S 菱 形 AEMF= 12 EF AM=AE CM， EF= 2042 4 103 9 94 103 ； (3 )如 图 ， 作 FH BC 于 H， EC FH， NCE NFH， CN： NH
39、=CE： FH， 即 1 ： NH= 47 ： FH， FH： NH=4 ： 7 ，设 FH=4 x， NH=7 x， 则 CH=7 x-1 ， BH=3 -(7 x-1 )=4 -7 x， FH AC， BFH BAC， BH： BC=FH： AC， 即 (4 -7 x)： 3 =4 x： 4 ， 解 得 x= 25 ， FH=4 x= 85 ， BH=4 -7 x= 65 ，在 Rt BFH 中 ， BF= 2 26 85 5 =2 ， AF=AB-BF=5 -2 =3 ， 32AFBF .2 6 .如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2 +bx
40、-2 (a 0 )与 x 轴 交 于 A(1 ， 0 )、 B(3 ， 0 )两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C， 其 顶 点 为 点 D， 点 E 的 坐 标 为 (0 ， -1 )， 该 抛 物 线 与 BE 交 于 另 一 点 F，连 接 BC.(1 )求 该 抛 物 线 的 解 析 式 ， 并 用 配 方 法 把 解 析 式 化 为 y=a(x-h)2 +k 的 形 式 ；(2 )若 点 H(1 ， y)在 BC 上 ， 连 接 FH， 求 FHB 的 面 积 ；(3 )一 动 点 M 从 点 D 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 平 沿 行 与 y 轴 方 向
41、向 上 运 动 ， 连 接 OM，BM， 设 运 动 时 间 为 t 秒 (t 0 )， 在 点 M 的 运 动 过 程 中 ， 当 t 为 何 值 时 ， OMB=9 0 ？(4 )在 x 轴 上 方 的 抛 物 线 上 ， 是 否 存 在 点 P， 使 得 PBF 被 BA 平 分 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点 P的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1 )用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 解 析 式 ；(2 )先 求 出 GH， 点 F 的 坐 标 ， 用 三 角 形 的 面 积 公 式 计 算 即 可 ；(3 )设 出 点 M
42、， 用 勾 股 定 理 求 出 点 M 的 坐 标 ， 从 而 求 出 MD， 最 后 求 出 时 间 t；(4 )由 PBF 被 BA 平 分 ， 确 定 出 过 点 B 的 直 线 BN 的 解 析 式 ， 求 出 此 直 线 和 抛 物 线 的 交 点 即可 .答 案 ： (1 ) 抛 物 线 y=ax2 +bx-2 (a 0 )与 x 轴 交 于 A(1 ， 0 )、 B(3 ， 0 )两 点 ， 2 09 3 2 0a ba b 8 33 2ab ， 抛 物 线 解 析 式 为 2 22 2 23 3 38 2 23y x x x （ ） ；(2 )如 图 1 ，过 点 A 作 AH
43、 y 轴 交 BC 于 H， BE 于 G， 由 (1 )有 ， C(0 ， -2 )， B(0 ， 3 )， 直 线 BC 解 析 式 为 y= 23 x-2 ， H(1 ， y)在 直 线 BC 上 ， y=- 43 ， H(1 ， - 43 )， B(3 ， 0 )， E(0 ， -1 )， 直 线 BE 解 析 式 为 y=- 13 x-1 ， G(1 ， - 23 )， GH= 23 ， 直 线 BE： y=- 13 x-1 与 抛 物 线 2 2323 8y x x 相 较 于 F， B， F( 512 6， )， 1 12 2FHB G F B GS GH x x GH x x
44、= 12 GH|xB-xF|= 132 231 2 （ ）= 56 .(3 )如 图 2 ， 由 (1 )有 2 2323 8y x x ， D 为 抛 物 线 的 顶 点 ， D(2 ， 43 )， 一 动 点 M 从 点 D 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 平 沿 行 与 y 轴 方 向 向 上 运 动 ， 设 M(2 ， m)， (m 43 )， OM2 =m2 +4 ， BM2 =m2 +1 ， OB2 =9 ， OMB=9 0 ， OM 2 +BM2 =OB2 ， m2 +4 +m2 +1 =9 ， m= 2 或 m=- 2 (舍 )， M(0 ， 2 )， MD
45、= 42 3 ， 一 动 点 M 从 点 D 出 发 ， 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 平 沿 行 与 y 轴 方 向 向 上 运 动 ， t= 42 3 ；(4 )存 在 点 P， 使 PBF 被 BA 平 分 ，如 图 3 ， PBO= EBO， E(0 ， -1 )， 在 y 轴 上 取 一 点 N(0 ， 1 )， B(3 ， 0 )， 直 线 BN 的 解 析 式 为 y=- 13 x+1 ， 点 P 在 抛 物 线 2 2323 8y x x 上 ，联 立 得 ， 3212xy 或 30 xy (舍 )， P( 3 12 2， )，即 ： 在 x 轴 上 方 的 抛 物 线 上 ， 存 在 点 P， 使 得 PBF 被 BA 平 分 ， P( 3 12 2， ).
