1、2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ）理 科 数 学一 、 填 空 题1 计 算 ： 20lim _3 13n nn 2 设 m R ， 2 22 ( 1)im m m 是 纯 虚 数 ， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则 _m 3 若 2 21 1 x xx y y y ， 则 _x y 4 已 知 ABC 的 内 角 A、 B、 C 所 对 应 边 分 别 为 a、 b、 c， 若 2 2 23 2 3 3 0a ab b c ，则 角 C 的 大 小 是 _（ 结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 ） 5 设 常 数 a R
2、， 若 52 ax x 的 二 项 展 开 式 中 7x 项 的 系 数 为 10 ， 则 _a 6 方 程 13 1 33 1 3 xx 的 实 数 解 为 _7 在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 cos 1 与 cos 1 的 公 共 点 到 极 点 的 距 离 为 _8 盒 子 中 装 有 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 的 九 个 球 ， 从 中 任 意 取 出 两 个 ， 则 这 两个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是 _（ 结 果 用 最 简 分 数 表 示 ）9 设 AB 是 椭 圆 的 长 轴 ， 点 C 在 上 ， 且 4C
3、BA ， 若 AB=4， 2BC ， 则 的两 个 焦 点 之 间 的 距 离 为 _10 设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列 1 2 3 19, , , ,x x x x 的 公 差 ， 随 机 变 量 等 可 能 地 取 值1 2 3 19, , , ,x x x x ， 则 方 差 _D 11 若 1 2cos cos sin sin ,sin2 sin22 3x y x y x y ， 则 sin( ) _x y 12 设 a 为 实 常 数 ， ( )y f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 0 x 时 ， 2( ) 9 7af x x x ，若 ( ) 1
4、f x a 对 一 切 0 x 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _13 在 xOy 平 面 上 ， 将 两 个 半 圆 弧 2 2( 1) 1( 1)x y x 和2 2( 3) 1( 3)x y x 、 两 条 直 线 1y 和 1y 围 成 的封 闭 图 形 记 为 D， 如 图 中 阴 影 部 分 记 D 绕 y 轴 旋 转 一 周 而成 的 几 何 体 为 ， 过 (0, )(| | 1)y y 作 的 水 平 截 面 ， 所 得截 面 面 积 为 24 1 8y ， 试 利 用 祖 暅 原 理 、 一 个 平 放的 圆 柱 和 一 个 长 方 体 ， 得 出 的 体 积
5、值 为 _ 14 对 区 间 I 上 有 定 义 的 函 数 ( )g x ， 记( ) | ( ), g I y y g x x I ， 已 知 定 义 域 为 0,3的 函 数 ( )y f x 有 反 函 数 1( )y f x ，且 1 1(0,1) 1,2), (2,4) 0,1)f f ， 若 方 程 ( ) 0f x x 有 解 0 x ， 则 0 _x 二 、 选 择 题 15 设 常 数 a R ， 集 合 |( 1)( ) 0, | 1A x x x a B x x a ， 若 A B R ， 则a 的 取 值 范 围 为 （ ）(A) ( ,2) (B) ( ,2 (C)
6、 (2, ) (D)2, )16 钱 大 姐 常 说 “ 便 宜 没 好 货 ” ， 她 这 句 话 的 意 思 是 ： “ 不 便 宜 ” 是 “ 好 货 ” 的 （ ）(A)充 分 条 件 (B)必 要 条 件 (C)充 分 必 要 条 件 (D)既 非 充 分 也 非 必 要 条 件17 在 数 列 na 中 ， 2 1nna ， 若 一 个 7 行 12 列 的 矩 阵 的 第 i 行 第 j 列 的 元 素,i j i j i ja a a a a ， （ 1,2, ,7; 1,2, ,12i j ） 则 该 矩 阵 元 素 能 取 到 的 不 同 数 值 的个 数 为 （ ）(A)
7、18 (B)28 (C)48 (D)6318 在 边 长 为 1 的 正 六 边 形 ABCDEF 中 ， 记 以 A 为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ； 以 D 为 起 点 ， 其 余 顶 点 为 终 点 的 向 量 分 别 为 1 2 3 4 5, , , ,d d d d d .若 ,m M 分别 为 ( ) ( )i j k r s ta a a d d d 的 最 小 值 、 最 大 值 ， 其 中, , 1,2,3,4,5i j k , , , 1,2,3,4,5r s t ,则 ,m M 满 足
8、 （ ） .(A) 0, 0m M (B) 0, 0m M (C) 0, 0m M (D) 0, 0m M 三 、 解 答 题19.（ 本 题 满 分 12 分 ） 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， AB=2,AD=1,A1A=1， 证 明 直 线BC1平 行 于 平 面 DA1C， 并 求 直 线 BC1到 平 面 D1AC 的 距 离 . 20 （ 6 分 +8 分 ） 甲 厂 以 x 千 克 /小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品 （ 生 产 条件 要 求 1 10 x ） ， 每 小 时 可 获 得 利 润 是 3100(5 1 )x x 元
9、.(1)要 使 生 产 该 产 品 2 小 时 获 得 的 利 润 不 低 于 3000 元 ， 求 x 的 取 值 范 围 ；(2)要 使 生 产 900 千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 最 大 ， 问 ： 甲 厂 应 该 选 取 何 种 生 产 速 度 ？ 并 求 最 大利 润 .21 （ 6 分 +8 分 ） 已 知 函 数 ( ) 2sin( )f x x ， 其 中 常 数 0 ； （ 1） 若 ( )y f x 在 2 , 4 3 上 单 调 递 增 ， 求 的 取 值 范 围 ；（ 2） 令 2 ， 将 函 数 ( )y f x 的 图 像 向 左 平 移 6 个 单 位
10、 ， 再 向 上 平 移 1 个 单 位 ， 得 到函 数 ( )y g x 的 图 像 ， 区 间 , a b （ ,a b R 且 a b ） 满 足 ： ( )y g x 在 , a b 上 至 少 含有 30 个 零 点 ， 在 所 有 满 足 上 述 条 件 的 , a b 中 ， 求 b a 的 最 小 值 22 （ 3 分 +5 分 +8 分 ） 如 图 ， 已 知 曲 线 2 21: 12xC y ， 曲 线2 :| | | | 1C y x ， P 是 平 面 上 一 点 ， 若 存 在 过 点 P 的 直 线 与 1 2,C C 都 有公 共 点 ， 则 称 P 为 “ C
11、1 C2型 点 ” (1)在 正 确 证 明 1C 的 左 焦 点 是 “ C1 C2型 点 ” 时 ， 要 使 用 一 条 过 该 焦 点 的直 线 ， 试 写 出 一 条 这 样 的 直 线 的 方 程 （ 不 要 求 验 证 ） ；(2)设 直 线 y kx 与 2C 有 公 共 点 ， 求 证 | | 1k ， 进 而 证 明 原 点 不 是 “ C1 C2型 点 ” ；(3)求 证 ： 圆 2 2 12x y 内 的 点 都 不 是 “ C 1 C2型 点 ” 23 （ 3 分 +6 分 +9 分 ） 给 定 常 数 0c ， 定 义 函 数 ( ) 2| 4| | |f x x c
12、 x c ， 数 列1 2 3, , ,a a a 满 足 *1 ( ),n na f a n N .（ 1） 若 1 2a c ， 求 2a 及 3a ； （ 2） 求 证 ： 对 任 意 * 1, n nn N a a c ， ；（ 3） 是 否 存 在 1a ， 使 得 1 2, , ,na a a 成 等 差 数 列 ？ 若 存 在 ， 求 出 所 有 这 样 的 1a ， 若 不 存在 ， 说 明 理 由 . 参 考 答 案 一 填 空 题1.13 2. 2 3.0 4. 1arccos3 5. 2 6. 3log 4 7. 1 52 8.13189. 4 63 10.30d 11.
13、23 12. 87a 13. 22 16 14.2二 选 择 题 题 号 15 16 17 18代 号 B B A D 三 解 答 题19. 【 解 答 】 因 为 ABCD-A1B1C1D1为 长 方 体 ， 故 1 1 1 1/ ,AB C D AB C D ，故 ABC1D1为 平 行 四 边 形 ， 故 1 1/BC AD ， 显 然 B 不 在 平 面 D1AC 上 ， 于 是 直线 BC1平 行 于 平 面 DA1C；直 线 BC1到 平 面 D1AC 的 距 离 即 为 点 B 到 平 面 D1AC 的 距 离 设 为 h考 虑 三 棱 锥 ABCD1的 体 积 ， 以 ABC
14、为 底 面 ， 可 得 1 1 1( 1 2) 13 2 3V 而 1ADC 中 ， 1 15, 2AC DC AD ， 故 1 32AD CS 所 以 ， 1 3 1 23 2 3 3V h h ， 即 直 线 BC1到 平 面 D1AC 的 距 离 为 23 20 【 解 答 】 (1)根 据 题 意 ， 3 3200(5 1 ) 3000 5 14 0 x xx x 又 1 10 x ， 可 解 得 3 10 x (2)设 利 润 为 y 元 ， 则 4 2900 3 1 1 61100(5 1 ) 9 10 3( ) 6 12y xx x x 故 6x 时 ， max 457500y
15、元 21 【 解 答 】 (1)因 为 0 ， 根 据 题 意 有 34 2 02 43 2 (2) ( ) 2sin(2 )f x x ， ( ) 2sin(2( ) 1 2sin(2 ) 16 3g x x x 1( ) 0 sin(2 )3 2 3g x x x k 或 7 ,12x k k Z ，即 ( )g x 的 零 点 相 离 间 隔 依 次 为 3 和 23 ，故 若 ( )y g x 在 , a b 上 至 少 含 有 30 个 零 点 ， 则 b a 的 最 小 值 为2 4314 153 3 3 23. 【 解 答 】 ： （ 1） C 1的 左 焦 点 为 ( 3,0)
16、F ， 过 F 的 直 线 3x 与 C1交 于 2( 3, )2 ，与 C2交 于 ( 3, ( 3 1) ， 故 C1的 左 焦 点 为 “ C1-C2型 点 ” ， 且 直 线 可 以为 3x ；（ 2） 直 线 y kx 与 C2有 交 点 ， 则(| | 1)| | 1| | | | 1y kx k xy x ， 若 方 程 组 有 解 ， 则 必 须 | | 1k ；直 线 y kx 与 C2有 交 点 ， 则2 22 2 (1 2 ) 22 2y kx k xx y ， 若 方 程 组 有 解 ， 则 必 须 2 12k 故 直 线 y kx 至 多 与 曲 线 C 1和 C2中
17、 的 一 条 有 交 点 ， 即 原 点 不 是 “ C1-C2型 点 ” 。（ 3） 显 然 过 圆 2 2 12x y 内 一 点 的 直 线 l 若 与 曲 线 C1有 交 点 ， 则 斜 率 必 存 在 ；根 据 对 称 性 ， 不 妨 设 直 线 l 斜 率 存 在 且 与 曲 线 C2交 于 点 ( , 1)( 0)t t t ， 则: ( 1) ( ) (1 ) 0l y t k x t kx y t kt 直 线 l 与 圆 2 2 12x y 内 部 有 交 点 ， 故 2|1 | 221t ktk 化 简 得 ， 2 21(1 ) ( 1)2t tk k 。 。 。 。 。
18、 。 。 。 。 。 。 。 若 直 线 l 与 曲 线 C1有 交 点 ， 则2 2 22 2 1 1( ) 2 (1 ) (1 ) 1 0212y kx kt t k x k t kt x t ktx y 2 2 2 2 2 214 (1 ) 4( )(1 ) 1 0 (1 ) 2( 1)2k t kt k t kt t kt k 化 简 得 ， 2 2(1 ) 2( 1)t kt k 。 。 。 。 。 由 得 ， 2 2 2 212( 1) (1 ) ( 1) 12k t tk k k 但 此 时 ， 因 为 2 210,1 (1 ) 1, ( 1) 12t t k k ， 即 式 不
19、 成 立 ； 当 2 12k 时 ， 式 也 不 成 立综 上 ， 直 线 l 若 与 圆 2 2 12x y 内 有 交 点 ， 则 不 可 能 同 时 与 曲 线 C1和 C2有 交 点 ，即 圆 2 2 12x y 内 的 点 都 不 是 “ C1-C2型 点 ” 23. 【 解 答 】 ： （ 1） 因 为 0c ， 1 ( 2)a c ， 故 2 1 1 1( ) 2| 4| | | 2a f a a c a c ，3 1 2 2( ) 2| 4| | | 10a f a a c a c c （ 2） 要 证 明 原 命 题 ， 只 需 证 明 ( )f x x c 对 任 意 x
20、R 都 成 立 ，( ) 2| 4| | |f x x c x c x c x c 即 只 需 证 明 2| 4| | |+x c x c x c 若 0 x c ， 显 然 有 2| 4| | |+ =0 x c x c x c 成 立 ； 若 0 x c ， 则 2| 4| | |+ 4x c x c x c x c x c 显 然 成 立综 上 ， ( )f x x c 恒 成 立 ， 即 对 任 意 的 *n N ， 1n na a c （ 3） 由 （ 2） 知 ， 若 na 为 等 差 数 列 ， 则 公 差 0d c ， 故 n 无 限 增 大 时 ，总 有 0na 此 时 ，
21、1 ( ) 2( 4) ( ) 8n n n n na f a a c a c a c 即 8d c 故 2 1 1 1 1( ) 2| 4| | | 8a f a a c a c a c ，即 1 1 12| 4| | | 8a c a c a c ，当 1 0a c 时 ， 等 式 成 立 ， 且 2n 时 ， 0na ， 此 时 na 为 等 差 数 列 ，满 足 题 意 ； 若 1 0a c ， 则 1 1| 4| 4 8a c a c ， 此 时 ， 2 30, 8, , ( 2)( 8)na a c a n c 也 满 足 题 意 ；综 上 ， 满 足 题 意 的 1a 的 取 值 范 围 是 , ) 8c c
