1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 卷 )数 学 (理 科 )注 意 事 项 ：1. 本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 答 卷 前 考 生 将 自己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 本 试 卷 和 答 题 卡 相 应 位 置 。2. 回 答 第 卷 时 ， 选 出 每 小 题 答 案 后 ， 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号标 黑 ， 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。
2、写 在 本 试 卷 上 无 效 。3. 答 第 卷 时 ， 将 答 案 写 在 答 题 卡 上 ， 写 在 本 试 卷 上 无 效 。4. 考 试 结 束 ， 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。第 卷 （ 选 择 题 共 50分 ） 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 1 2 小 题 。 每 小 题 5 分 。 在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。（ 1） 已 知 集 合 M= x|(x-1)2 0)的 焦 点 为 F， 点 M在 C上 ， |MF|=5， 若 以 MF为 直 径 的 圆 过 点 （ 0，
3、2） ， 则 C的 方 程 为（ A） y2=4x或 y2=8x （ B） y2=2x或 y2=8x（ C） y2=4x或 y2=16x （ D） y2=2x或 y2=16x（ 12） 已 知 点 A（ -1， 0） ； B（ 1， 0） ； C（ 0， 1） ， 直 线 y=ax+b(a0)将 ABC分 割 为 面 积 相 等 的 两 部 分 ， 则 b的 取 值 范 围 是（ A） （ 0， 1） (B) 2 11 ,2 2 (C) 2 11 ,2 3 (D) 1 1,3 2 第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 修 作 答 。 第 22 题
4、 第 24 题 为选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 。（ 13） 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 2， E为 CD的 中 点 ， 则 =_.（ 14） 从 n个 正 整 数 1， 2， ， n中 任 意 取 出 两 个 不 同 的 数 ， 若 取 出 的 两 数 之 和 等 于 5的 概率 为 114， 则 n=_.（ 15） 设 为 第 二 象 限 角 ， 若 1tan 4 2 ， 则 sin cos =_.（ 16） 等 差 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn ， 已 知 S10=
5、0， S15 =25， 则 nSn 的 最 小 值 为 _.三 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。（ 17） （ 本 小 题 满 分 12分 ） ABC在 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 a=bcosC+csinB。（ ） 求 B； （ ） 若 b=2， 求 ABC面 积 的 最 大 值 。（ 18） 如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， D， E分 别 是 AB， BB1的 中 点 ，AA1=AC=CB= 22 AB。（ ） 证 明 ： BC1/平 面 A1CD1（ ） 求 二
6、面 角 D-A1C-E的 正 弦 值 （ 19） （ 本 小 题 满 分 12分 ） B CA A1 B1 C1D E 经 销 商 经 销 某 种 农 产 品 ， 在 一 个 销 售 季 度 内 ， 每 售 出 1t该 产 品 获 利 润 500元 ， 未 售出 的 产 品 ， 每 1t亏 损 300元 。 根 据 历 史 资 料 ， 得 到 销 售 季 度 内 市 场 需 求 量 的 频 率 分 布 直 方图 ， 如 右 图 所 示 。 经 销 商 为 下 一 个 销 售 季 度 购 进 了 130t该 农 产 品 。 以 x（ 单 位 ： t，100 x150） 表 示 市 场 需 求 量
7、 。 T（ 单 位 ： 元 ） 表 示 下 一 个 销 售 季 度 内 经 销 该 农 产 品 的 利 润 。 （ ） 将 T表 示 为 x的 函 数（ ） 根 据 直 方 图 估 计 利 润 T， 不 少 于 57000元 的 概 率 ；（ ） 在 直 方 图 的 需 求 量 分 组 中 ， 以 各 组 的 区 间 中 点 值 代 表 该 组 的 各 个 值 ，需 求 量 落 入 该 区 间 的 频 率 作 为 需 求 量 取 该 区 间 中 点 值 的 概 率 （ 例 如 ： 若 x 100,110 ） 则取 x=105， 且 x=105的 概 率 等 于 需 求 量 落 入 100,11
8、0 的 利 润 T的 数 学 期 望 。(20)(本 小 题 满 分 12分 )平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 过 椭 圆 M： 2 22 2 1x ya b (ab0)右 焦 点 的 直 线 x+y- =0交 M于A， B两 点 ， P为 AB的 中 点 ， 且 OP的 斜 率 为 12( )求 M的 方 程（ ） C,D为 M上 的 两 点 ， 若 四 边 形 ACBD的 对 角 线 CD AB， 求 四 边 形 ACBD面 积 的 最 大 值（ 21） （ 本 小 题 满 分 12分 ）已 知 函 数 f(x)=ex-ln(x+m)( )设 x=0是 f(x)的 极 值 点
9、， 求 m,并 讨 论 f(x)的 单 调 性 ；（ ） 当 m 2时 ， 证 明 f(x)0请 考 生 在 第 22、 23、 24 题 中 任 选 择 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 部 分 ， 做 答 时 请写 清 题 号 。（ 22） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4-1几 何 证 明 选 讲如 图 ， CD为 ABC外 接 圆 的 切 线 ， AB的 延 长 线 交 直 线 CD于 点 D， E、 F分 别 为 弦 AB与 弦 AC上 的 点 ，且 BCAE=DCAF， B、 E、 F、 C四 点 共 圆 。（ 1） 证 明 ： CA
10、是 ABC外 接 圆 的 直 径 ；（ 2） 若 DB=BE=EA,求 过 B、 E、 F、 C四 点 的 圆 的 面 积 与 ABC外 接 圆 面 积 的 比 值 。 ABCD E F （ 23） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4 4； 坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 动 点 P， Q都 在 曲 线 C： 2cos 2sinxy 为 参 数 上 ， 对 应 参 数 分 别 为 =与 =2 为 （ 0 2 ） M为 PQ的 中 点 。（ ） 求 M的 轨 迹 的 参 数 方 程（ ） 将 M到 坐 标 原 点 的 距 离 d表 示 为 a 的 函 数 ， 并 判 断 M 的
11、 轨 迹 是 否 过 坐 标 原 点 。（ 24） （ 本 小 题 满 分 10分 ） 选 修 4 5； 不 等 式 选 讲设 a， b， c均 为 正 数 ， 且 a+b+c=1， 证 明 ：（ ） 13ab bc ca （ ） 2 2 2 1a b cb c a 参 考 答 案一 选 择 题1 2 3 4 5 6A A C D D B7 8 9 10 11 12A D B C C B 二 填 空 题13. 214. 815. 10516. 49三 解 答 题17. 【 解 析 】 （ ） 因 为 a=bcosC+csinB， 所 以 由 正 弦 定 理 得 ： ， sinA=sinBcos
12、C+sinCsinB， 所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB， 即 cosBsinC=sinCsinB， 因 为 sinC 0， 所 以 tan 1B ， 解 得 B= 4 ；（ ） 由 余 弦 定 理 得 ： 2 2 2 2 cos 4b a c ac ， 即 2 24 2a c ac ， 由 不 等 式 得 ：2 2 2a c ac ， 当 且 仅 当 a c 时 ， 取 等 号 ， 所 以 4 (2 2)ac ， ， 解 得 4 2 2ac ， 所 以 ABC的 面 积 为1 sin2 4ac 2 (4 2 2)4 = 2 1 ， 所 以 ABC面 积 的 最 大
13、值 为 2 1 .18. 【 解 析 】 （ ） 连 结 1AC ， 交 1AC于 点 O， 连 结 DO， 则 O为 1AC 的 中 点 ， ， 因 为 D为AB的 中 点 ， 所 以 OD 1BC ， 又 因 为 OD 平 面 1ACD， 1BC 平 面 1ACD， 所 以 1BC /平 面 1ACD；（ ） 由 1AA =AC=CB= 22 AB可 设 ： AB= 2a， 则 1AA =AC=CB= 2a， 所 以 AC BC，又 因 为 直 棱 柱 ， ， 所 以 以 点 C为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 直 线 CA、 CB、 1CC 为 x轴 、 y轴 、 z轴 ，建 立 空
14、间 直 角 坐 标 系 如 图 ，则 (0,0,0)C 、 1( 2 ,0, 2 )A a a 、 2 2( , ,0)2 2a aD 、 2(0, 2 , )2aE a ，1 ( 2 ,0, 2 )CA a a ， 2 2( , ,0)2 2a aCD ， 2(0, 2 , )2aCE a ，1 2( 2 , 2 , )2aAE a a ， 设 平 面 1ACD 的 法 向 量 为 ( , , )n x y z ， 则 0n CD 且1 0n CA ， 可 解 得 y x z ， 令 1x ， 得 平 面 1ACD的 一 个 法 向 量 为 (1, 1, 1)n ，同 理 可 得 平 面 1
15、ACE 的 一 个 法 向 量 为 (2,1, 2)m ， 则 cos ,n m 33 ， 所 以6sin , 3n m ， 所 以 二 面 角 D- 1AC-E的 正 弦 值 为 63 . 19. 20 【 解 析 】 ( )设 1 1( , ),A x y 2 2( , ),B x y 则 2 21 12 2 1(1)x ya b ， 2 22 22 2 1(2)x ya b ， （ 1） （ 2）得 ：1 2 1 2 1 2 1 22 2( )( ) ( )( ) 0 x x x x y y y ya b ， 因 为 1 21 2 1y yx x ， 设 0 0( , )P x y ，
16、因 为 P 为AB的 中 点 ， 且 OP的 斜 率 为 12 ， 所 以 0 012y x ， 即 1 2 1 21( )2y y x x ， ， 所 以 可 以 解 得2 22a b ， 即 2 2 22( )a a c ， 即 2 22a c ， 又 因 为 3c ， 所 以 2 6a ， 所 以 M的 方程 为 2 2 16 3x y . （ ） 因 为 CD AB， 直 线 AB方 程 为 3 0 x y ， 所 以 设 直 线 CD方 程 为 y x m ，将 3 0 x y 代 入 2 2 16 3x y 得 ： 23 4 3 0 x x ， 即 (0, 3)A 、 4 3 3(
17、 , )3 3B ，所 以 可 得 4 6| | 3AB ； 将 y x m 代 入 2 2 16 3x y 得 ： 2 23 4 2 6 0 x mx m ， 设3 3( , ),C x y 4 4( , ),D x y 则 23 4 3 4| | 2 ( ) 4CD x x xx = 22 2 18 23 m ， 又 因 为 2 216 12(2 6) 0m m ， 即 3 3m ， 所 以 当 0m 时 ， |CD|取 得 最 大 值 4， 所 以 四 边 形 ACBD 面 积 的 最 大 值 为1| | | |2 AB CD 8 63 .21. 【 解 析 】 ( )因 为 1( )
18、xf x e x m ,x=0 是 f(x)的 极 值 点 ， 所 以 1(0) 1 0f m ,解得 1m ，所 以 函 数 f(x)= xe -ln(x+1)， 其 定 义 域 为 ( 1, ) ， 因 为 1( ) 1xf x e x = ( 1) 11xe xx ，设 ( ) ( 1) 1xg x e x ， 则 ( ) ( 1) 0 x xg x e x e ， 所 以 ( )g x 在 ( 1, ) 上 是 增 函 数 ， 又 因 为 (0) 0g ， 所 以 当 0 x 时 ， ( ) 0g x ， 即 ( ) 0f x ； 当 1 0 x 时 ， ( ) 0g x ，( ) 0f x ， 所 以( )f x 在 ( 1,0) 上 是 减 函 数 ； 在 (0, ) ， 上 是 增 函 数 。 22. （ ） 另 解 ： 设 DB=BE=EA=a， 则 由 切 割 线 定 理 可 得 ：2DC DB DA ， 解 得 3DC a ， 由 （ 1） 知 ： CA是 ABC外 接 圆 的 直 径 ， ， 所 以 CB DA ，AC CD， 解 得 AC= 6a， CE= 3a， 所 以 过 B、 E、 F、 C四 点 的 圆 的 面 积 与 ABC外 接圆 面 积 的 比 值 为 223( )26( )2 aa =12 .23. 【 解 析 】 24. 【 解 析 】
