1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 北 京 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 (共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目要 求 的 一 项 )1.已 知 集 合 A=x|x2-2x=0， B=0， 1， 2， 则 A B=( )A. 0B. 0， 1C. 0， 2D. 0， 1， 2解 析 ： A=x|x 2-2x=0=0， 2， B=0， 1， 2， A B=0， 2答 案 ： C2.下 列 函 数 中 ， 在 区 间 (0， + )上 为 增 函 数 的 是
2、( )A. y=B. y=(x-1)2C. y=2-xD. y=log 0.5(x+1)解 析 ： 由 于 函 数 y= 在 (-1， + )上 是 增 函 数 ， 故 满 足 条 件 ，由 于 函 数 y=(x-1)2在 (0， 1)上 是 减 函 数 ， 故 不 满 足 条 件 ，由 于 函 数 y=2-x在 (0， + )上 是 减 函 数 ， 故 不 满 足 条 件 ，由 于 函 数 y=log0.5(x+1)在 (-1， + )上 是 减 函 数 ， 故 不 满 足 条 件 ，答 案 ： A.3.曲 线 ( 为 参 数 )的 对 称 中 心 ( )A. 在 直 线 y=2x上B. 在
3、 直 线 y=-2x 上C. 在 直 线 y=x-1 上 D. 在 直 线 y=x+1 上解 析 ： 曲 线 ( 为 参 数 )表 示 圆 ， 圆 心 为 (-1， 2)， 在 直 线 y=-2x 上 ，答 案 ： B.4.当 m=7， n=3 时 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S 的 值 为 ( ) A. 7B. 42C. 210D. 840解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 算 法 的 功 能 是 求 S=7 6 k 的 值 ，当 m=7， n=3时 ， m-n+1=7-3+1=5， 跳 出 循 环 的 k 值 为 4， 输 出 S=7 6 5=210
4、.答 案 ： C.5.设 a n是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ， 则 “ q 1” 是 “ an” 为 递 增 数 列 的 ( )A. 充 分 而 不 必 要 条 件B. 必 要 而 不 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 等 比 数 列 -1， -2， -4， ， 满 足 公 比 q=2 1， 但 “ an” 不 是 递 增 数 列 ， 充 分 性 不 成立 .若 a n=-1 为 递 增 数 列 ， 但 q= 1 不 成 立 ， 即 必 要 性 不 成 立 ，故 “ q 1” 是 “ an” 为 递 增 数 列 的 既
5、不 充 分 也 不 必 要 条 件 ，答 案 ： D.6.若 x， y 满 足 且 z=y-x 的 最 小 值 为 -4， 则 k 的 值 为 ( )A.2B.-2C. D.- 解 析 ： 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 如 图 ，由 kx-y+2=0， 得 x= ， B(- ). 由 z=y-x 得 y=x+z.由 图 可 知 ， 当 直 线 y=x+z过 B(- )时 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 小 ， 即 z 最 小 .此 时 ， 解 得 ： k=- .答 案 ： D.7.在 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz中 ， 已 知 A(2， 0， 0)， B(2， 2，
6、0)， C(0， 2， 0)， D(1， 1， )，若 S 1， S2， S3分 别 表 示 三 棱 锥 D-ABC 在 xOy， yOz， zOx坐 标 平 面 上 的 正 投 影 图 形 的 面 积 ， 则( )A. S1=S2=S3B. S2=S1且 S2 S3C. S3=S1且 S3 S2D. S3=S2且 S3 S1解 析 ： 设 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(0， 2， 0)， D(1， 1， )， 则 各 个 面 上 的 射 影 分 别为 A， B， C， D，在 xOy坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A(2， 0， 0)， B(2， 2， 0)， C(
7、0， 2， 0)， D(1， 1， 0)， S 1= .在 yOz坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A(0， 0， 0)， B(0， 2， 0)， C(0， 2， 0)， D(0， 1， )，S2=.在 zOx坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A(2， 0， 0)， B(2， 0， 0)， C(0， 0， 0)， D(1， 0， )，S3= ， 则 S3=S2且 S3 S1，答 案 ： D.8.学 生 的 语 文 、 数 学 成 绩 均 被 评 定 为 三 个 等 级 ， 依 次 为 “ 优 秀 ” “ 合 格 ” “ 不 合 格 ” .若 学生 甲 的 语 文 、 数 学 成 绩 都 不
8、 低 于 学 生 乙 ， 且 其 中 至 少 有 一 门 成 绩 高 于 乙 ， 则 称 “ 学 生 甲 比 学 生 乙 成 绩 好 ” .如 果 一 组 学 生 中 没 有 哪 位 学 生 比 另 一 位 学 生 成 绩 好 ， 并 且 不 存 在 语 文 成 绩 相同 、 数 学 成 绩 也 相 同 的 两 位 学 生 ， 则 这 一 组 学 生 最 多 有( )A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人解 析 ： 用 ABC分 别 表 示 优 秀 、 及 格 和 不 及 格 ， 显 然 语 文 成 绩 得 A 的 学 生 最 多 只 有 1 个 ，语 文 成 绩 得 B 得 也 最 多 只
9、 有 一 个 ， 得 C最 多 只 有 一 个 ，因 此 学 生 最 多 只 有 3人 ， 显 然 (AC)(BB)(CA)满 足 条 件 ， 故 学 生 最 多 有 3个 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 ) 9.复 数 ( )2= .解 析 ： ( )2= .答 案 ： -1.10.已 知 向 量 ， 满 足 | |=1， =(2， 1)， 且 + = ( R)， 则 | |= .解 析 ： 设 =(x， y). 向 量 ， 满 足 | |=1， =(2， 1)， 且 + = ( R)， = (x， y)+(2， 1)=( x+
10、2， y+1)， ， 化 为 2=5.解 得 .答 案 ： .11.设 双 曲 线 C 经 过 点 (2， 2)， 且 与 -x 2=1具 有 相 同 渐 近 线 ， 则 C的 方 程 为 ；渐 近 线 方 程 为 .解 析 ： 与 -x2=1具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 -x2=m， (m 0)， 双 曲 线 C经 过 点 (2， 2)， m= ，即 双 曲 线 方 程 为 -x 2=-3， 即 ， 对 应 的 渐 近 线 方 程 为 y= 2x，答 案 ： ， y= 2x.12.若 等 差 数 列 an满 足 a7+a8+a9 0， a7+a10 0， 则
11、 当 n= 时 ， an的 前 n 项 和 最 大 .解 析 ： 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 a7+a8+a9=3a8 0， a 8 0， 又 a7+a10=a8+a9 0， a9 0， 等 差 数 列 an的 前 8 项 为 正 数 ， 从 第 9 项 开 始 为 负 数 ， 等 差 数 列 an的 前 8 项 和 最 大 ，答 案 ： 8.13.把 5 件 不 同 产 品 摆 成 一 排 ， 若 产 品 A 与 产 品 B 相 邻 ， 且 产 品 A 与 产 品 C 不 相 邻 ， 则 不 同的 摆 法 有 种 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 3 步 进 行 分 析 ：
12、、 产 品 A与 产 品 B相 邻 ， 将 AB 看 成 一 个 整 体 ， 考 虑 AB之 间 的 顺 序 ， 有 A 22=2 种 情 况 ， 、 将 AB 与 剩 余 的 2 件 产 品 全 排 列 ， 有 A33=6 种 情 况 ， 、 产 品 A与 产 品 C不 相 邻 ， C 有 3 个 空 位 可 选 ， 即 有 3种 情 况 ，故 不 同 的 摆 法 有 12 3=36种 ，答 案 ： 36.14.设 函 数 f(x)=Asin( x+ )(A， ， 是 常 数 ， A 0， 0)若 f(x)在 区 间 ， 上 具 有 单 调 性 ， 且 f( )=f( )=-f( )， 则
13、f(x)的 最 小 正 周 期 为 .解 析 ： 由 f( )=f( )， 可 知 函 数 f(x)的 一 条 对 称 轴 为 x= ， 则 x= 离 最 近 对 称 轴 距 离 为 .又 f( )=-f( )， 且 f(x)在 区 间 ， 上 具 有 单 调 性 ， x= 离 最 近 对 称 轴 的 距 离 也 为 .函 数 图 象 的 大 致 形 状 如 图 ， .则 T= .答 案 ： .三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 共 80分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 )15.(13分 )如 图 ， 在 ABC中 ， B= ， AB=8
14、， 点 D 在 边 BC上 ， 且 CD=2， cos ADC= . (1)求 sin BAD；(2)求 BD， AC 的 长 .解 析 ： 根 据 三 角 形 边 角 之 间 的 关 系 ， 结 合 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)在 ABC中 ， cos ADC= ， sin ADC= ，则 sin BAD=sin( ADC- B)=sin ADCcosB-cos ADCsinB= - = .(2)在 ABD中 ， 由 正 弦 定 理 得 BD= = ，在 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 得 AC 2=AB2+CB2-2ABBCcosB=8
15、2+52-2 8 =49，即 AC=7.16.(13分 )李 明 在 10场 篮 球 比 赛 中 的 投 篮 情 况 统 计 如 下 (假 设 各 场 比 赛 相 互 独 立 )；(1)从 上 述 比 赛 中 随 机 选 择 一 场 ， 求 李 明 在 该 场 比 赛 中 投 篮 命 中 率 超 过 0.6 的 概 率 ； (2)从 上 述 比 赛 中 随 机 选 择 一 个 主 场 和 一 个 客 场 ， 求 李 明 的 投 篮 命 中 率 一 场 超 过 0.6， 一 场不 超 过 0.6的 概 率 ；(3)记 是 表 中 10个 命 中 次 数 的 平 均 数 ， 从 上 述 比 赛 中
16、 随 机 选 择 一 场 ， 记 X 为 李 明 在 这 场 比赛 中 的 命 中 次 数 ， 比 较 EX与 的 大 小 (只 需 写 出 结 论 ).解 析 ： (1)根 据 概 率 公 式 ， 找 到 李 明 在 该 场 比 赛 中 超 过 0.6的 场 次 ， 计 算 即 可 ， (2)根 据 互 斥 事 件 的 概 率 公 式 ， 计 算 即 可 .(3)求 出 平 均 数 和 EX， 比 较 即 可 .答 案 ： (1)设 李 明 在 该 场 比 赛 中 投 篮 命 中 率 超 过 0.6 的 概 率 为 事 件 A， 由 题 意 知 ， 李 明 在 该场 比 赛 中 超 过 0.
17、6的 场 次 有 ： 主 场 2， 主 场 3， 主 场 5， 客 场 2， 客 场 4， 共 计 5场所 以 李 明 在 该 场 比 赛 中 投 篮 命 中 率 超 过 0.6的 概 率 P(A)= ，(2)设 李 明 的 投 篮 命 中 率 一 场 超 过 0.6， 一 场 不 超 过 0.6 的 概 率 为 事 件 B， 同 理 可 知 ， 李 明 主场 命 中 率 超 过 0.6的 概 率 ， 客 场 命 中 率 超 过 0.6的 概 率 ，故 P(B)=P 1 (1-P2)+P2 (1-P1)= ；(3)EX= .17.(14分 )如 图 ， 正 方 形 AMDE的 边 长 为 2，
18、 B， C分 别 为 AM， MD的 中 点 ， 在 五 棱 锥 P-ABCDE中 ， F为 棱 PE 的 中 点 ， 平 面 ABF与 棱 PD， PC分 别 交 于 点 G， H. (1)求 证 ： AB FG；(2)若 PA 底 面 ABCDE， 且 PA=AE， 求 直 线 BC与 平 面 ABF所 成 角 的 大 小 ， 并 求 线 段 PH 的 长 .解 析 ： (1)运 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 即 可 证 得 ；(2)由 于 PA 底 面 ABCDE， 底 面 AMDE 为 正 方 形 ， 建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系 Axy
19、z， 分 别 求出 A， B， C， E， P， F， 及 向 量 BC的 坐 标 ， 设 平 面 ABF的 法 向 量 为 n=(x， y， z)， 求 出 一 个值 ， 设 直 线 BC与 平 面 ABF 所 成 的 角 为 ， 运 用 sin =|cos |， 求 出 角 ； 设H(u， v， w)， 再 设 ， 用 表 示 H 的 坐 标 ， 再 由 n =0， 求 出 和 H 的 坐 标 ， 再 运 用 空 间 两 点 的 距 离 公 式 求 出 PH 的 长 .答 案 ： (1)在 正 方 形 AMDE中 ， B是 AM的 中 点 ， AB DE， 又 AB平 面 PDE， AB
20、平 面 PDE， AB平 面 ABF， 且 平 面 ABF 平 面 PDE=FG， AB FG； (2) PA 底 面 ABCDE， PA AB， PA AE，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 Axyz， 则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(2， 1， 0)， P(0， 0， 2)，E(0， 2， 0)， F(0， 1， 1)， ，设 平 面 ABF的 法 向 量 为 n=(x， y， z)， 则 即 ，令 z=1， 则 y=-1， n=(0， -1， 1)，设 直 线 BC 与 平 面 ABF所 成 的 角 为 ， 则 sin =|cos |=| |= ， 直
21、线 BC 与 平 面 ABF所 成 的 角 为 ， 设 H(u， v， w)， H在 棱 PC 上 ， 可 设 ，即 (u， v， w-2)= (2， 1， -2)， u=2 ， v= ， w=2-2 ， n 是 平 面 ABF的 法 向 量 ， n =0， 即 (0， -1， 1)(2 ， ， 2-2 )=0， 解 得 = ， H( )， PH= =2.18.(13分 )已 知 函 数 f(x)=xcosx-sinx， x 0， (1)求 证 ： f(x) 0；(2)若 a b 对 x (0， )上 恒 成 立 ， 求 a 的 最 大 值 与 b 的 最 小 值 . 解 析 ： (1)求 出
22、 f (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx， 判 定 出 在 区 间 (0， )上 f (x)=-xsinx 0， 得 f(x)在 区 间 0， 上 单 调 递 减 ， 从 而 f(x) f(0)=0. (2)当 x 0 时 ， “ a” 等 价 于 “ sinx-ax 0” ， “ b” 等 价 于 “ sinx-bx 0”构 造 函 数 g(x)=sinx-cx， 通 过 求 函 数 的 导 数 讨 论 参 数 c求 出 函 数 的 最 值 ， 进 一 步 求 出 a， b的 最 值 .答 案 ： (1)由 f(x)=xcosx-sinx得 f (x)=cosx-xsinx
23、-cosx=-xsinx，此 在 区 间 (0， )上 f (x)=-xsinx 0，所 以 f(x)在 区 间 0， 上 单 调 递 减 ，从 而 f(x) f(0)=0.(2)当 x 0时 ， “ a” 等 价 于 “ sinx-ax 0” ， “ b” 等 价 于 “ sinx-bx 0”令 g(x)=sinx-cx， 则 g (x)=cosx-c， 当 c 0 时 ， g(x) 0对 x (0， )上 恒 成 立 ，当 c 1 时 ， 因 为 对 任 意 x (0， )， g (x)=cosx-c 0，所 以 g(x)在 区 间 0， 上 单 调 递 减 ，从 而 ， g(x) g(0
24、)=0对 任 意 x (0， )恒 成 立 ，当 0 c 1时 ， 存 在 唯 一 的 x 0 (0， )使 得 g (x0)=cosx0-c=0，g(x)与 g (x)在 区 间 (0， )上 的 情 况 如 下 ：因 为 g(x)在 区 间 (0， x 0)上 是 增 函 数 ，所 以 g(x0) g(0)=0进 一 步 g(x) 0 对 任 意 x (0， )恒 成 立 ，当 且 仅 当综 上 所 述 当 且 仅 当 时 ， g(x) 0对 任 意 x (0， )恒 成 立 ，当 且 仅 当 c 1 时 ， g(x) 0 对 任 意 x (0， )恒 成 立 ，所 以 若 a b 对 x
25、 (0， )上 恒 成 立 ， 则 a的 最 大 值 为 ， b 的 最 小 值 为 1.19.(14分 )已 知 椭 圆 C： x 2+2y2=4，(1)求 椭 圆 C 的 离 心 率 (2)设 O 为 原 点 ， 若 点 A 在 椭 圆 C 上 ， 点 B在 直 线 y=2上 ， 且 OA OB， 求 直 线 AB与 圆 x2+y2=2的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (1)化 椭 圆 方 程 为 标 准 式 ， 求 出 半 长 轴 和 短 半 轴 ， 结 合 隐 含 条 件 求 出 半 焦 距 ， 则 椭 圆的 离 心 率 可 求 ；(2)设 出 点 A，
26、 B 的 坐 标 分 别 为 (x0， y0)， (t， 2)， 其 中 x0 0， 由 OA OB 得 到 ，用 坐 标 表 示 后 把 t 用 含 有 A 点 的 坐 标 表 示 ， 然 后 分 A， B的 横 坐 标 相 等 和 不 相 等 写 出 直 线 AB的 方 程 ， 然 后 由 圆 x 2+y2=2的 圆 心 到 AB的 距 离 和 圆 的 半 径 相 等 说 明 直 线 AB与 圆 x2+y2=2相 切 .答 案 ： (1)由 x2+2y2=4， 得 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 . a2=4， b2=2， 从 而 c2=a2-b2=2.因 此 a=2， c= .故 椭
27、 圆 C 的 离 心 率 e= ；(2)直 线 AB与 圆 x 2+y2=2 相 切 .证 明 如 下 ：设 点 A， B 的 坐 标 分 别 为 (x0， y0)， (t， 2)， 其 中 x0 0. OA OB， ， 即 tx0+2y0=0， 解 得 .当 x0=t时 ， ， 代 入 椭 圆 C 的 方 程 ， 得 .故 直 线 AB 的 方 程 为 x= ， 圆 心 O 到 直 线 AB 的 距 离 d= .此 时 直 线 AB与 圆 x 2+y2=2相 切 .当 x0 t 时 ， 直 线 AB的 方 程 为 ，即 (y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆 心 O到 直 线
28、 AB的 距 离 d= .又 ， t= .故 = . 此 时 直 线 AB 与 圆 x2+y2=2 相 切 .20.(13分 )对 于 数 对 序 列 P： (a1， b1)， (a2， b2)， ， (an， bn)， 记 T1(P)=a1+b1， Tk(P)=bk+maxTk-1(P)，a1+a2+ +ak(2 k n)， 其 中 maxTk-1(P)， a1+a2+ +ak表 示 Tk-1(P)和 a1+a2+ +ak两 个 数 中最 大 的 数 ，( )对 于 数 对 序 列 P： (2， 5)， (4， 1)， 求 T1(P)， T2(P)的 值 ； ( )记 m 为 a， b， c
29、， d 四 个 数 中 最 小 的 数 ， 对 于 由 两 个 数 对 (a， b)， (c， d)组 成 的 数 对 序列 P： (a， b)， (c， d)和 P ： (c， d)， (a， b)， 试 分 别 对 m=a和 m=d 两 种 情 况 比 较 T2(P)和 T2(P )的 大 小 ；( )在 由 五 个 数 对 (11， 8)， (5， 2)， (16， 11)， (11， 11)， (4， 6)组 成 的 所 有 数 对 序 列 中 ，写 出 一 个 数 对 序 列 P使 T5(P)最 小 ， 并 写 出 T5(P)的 值 (只 需 写 出 结 论 ).解 析 ： ( )利
30、 用 T1(P)=a1+b1， Tk(P)=bk+maxTk-1(P)， a1+a2+ +ak(2 k n)， 可 求 T1(P)， T2(P)的 值 ；( )T 2(P)=maxa+b+d， a+c+d， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b， 分 类 讨 论 ， 利 用 新 定 义 ， 可比 较 T2(P)和 T2(P )的 大 小 ；( )根 据 新 定 义 ， 可 得 结 论 .答 案 ： ( )T1(P)=2+5=7， T2(P)=1+maxT1(P)， 2+4=1+max7， 6=8；( )T2(P)=maxa+b+d， a+c+d， T2(P )=maxc+d+b， c+
31、a+b.当 m=a时 ， T2(P )=maxc+d+b， c+a+b=c+d+b， a+b+d c+d+b， 且 a+c+d c+b+d， T2(P) T2(P )；当 m=d时 ， T 2(P )=maxc+d+b， c+a+b=c+a+b， a+b+d c+a+b， 且 a+c+d c+a+d， T2(P) T2(P )； 无 论 m=a和 m=d， T2(P) T2(P )；( )数 对 (4， 6)， (11， 11)， (16， 11)， (11， 8)， (5， 2)， T5(P)最 小 ；T1(P)=10， T2(P)=26； T3(P)42， T4(P)=50， T5(P)=52.
