1、2015年 四 川 省 成 都 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 30 分 ， 每 小 题 均 有 四 个 选 项 ， 其 中 只 有 一项 符 合 题 目 要 求 )1.(3分 )-3的 倒 数 是 ( )A.-13B. 13C.-3D.3解 析 ： -3 (-13 )=1， -3 的 倒 数 是 -13 .故 选 ： A.2.(3分 )如 图 所 示 的 三 视 图 是 主 视 图 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： A、 是 左 视 图 ， 错 误 ；B、 是 主 视 图 ， 正 确 ；C、 是 俯 视 图
2、， 错 误 ；D、 不 是 主 视 图 ， 错 误 ；故 选 B 3.(3分 )今 年 5月 ， 在 成 都 举 行 的 世 界 机 场 城 市 大 会 上 ， 成 都 新 机 场 规 划 蓝 图 首 次 亮 相 ， 新机 场 建 成 后 ， 成 都 将 成 为 继 北 京 、 上 海 之 后 ， 国 内 第 三 个 拥 有 双 机 场 的 城 市 ， 按 照 远 期 规 划 ，新 机 场 将 建 的 4个 航 站 楼 的 总 面 积 约 为 126万 平 方 米 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.126 104B.1.26 105C.1.26 106D.1.26 107解 析
3、 ： 将 126万 用 科 学 记 数 法 表 示 为 1.26 10 6.故 选 C.4.(3分 )下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a2+a2=a4B.a2 a3=a6C.(-a2)2=a4D.(a+1) 2=a2+1解 析 ： A、 a2+a2=2a2， 错 误 ；B、 a2 a3=a5， 错 误 ；C、 (-a2)2=a4， 正 确 ；D、 (a+1)2=a2+2a+1， 错 误 ；故 选 C.5.(3分 )如 图 ， 在 ABC 中 ， DE BC， AD=6， DB=3， AE=4， 则 EC 的 长 为 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 ： DE BC， AD AE
4、DB EC ，即 6 43 EC ，解 得 ： EC=2，故 选 ： B.6.(3分 )一 次 函 数 y=2x+1的 图 象 不 经 过 ( ) A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限 解 析 ： 一 次 函 数 y=2x+1中 的 2 0， 该 直 线 经 过 第 一 、 三 象 限 .又 一 次 函 数 y=2x+1中 的 1 0， 该 直 线 与 y 轴 交 于 正 半 轴 ， 该 直 线 经 过 第 一 、 二 、 三 象 限 ， 即 不 经 过 第 四 象 限 .故 选 ： D.7.(3分 )实 数 a， b 在 数 轴 上 对 应 的 点 的 位
5、 置 如 图 所 示 ， 计 算 |a-b|的 结 果 为 ( )A.a+bB.a-bC.b-a D.-a-b解 析 ： 由 数 轴 可 得 ： a 0 b， |a| |b|， a-b 0， |a-b|=-(a-b)=b-a，故 选 ： C.8.(3分 )关 于 x的 一 元 二 次 方 程 kx2+2x+1=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是( )A.k -1B.k -1C.k 0D.k 1 且 k 0解 析 ： 依 题 意 列 方 程 组 2 02 40k k ，解 得 k 1 且 k 0.故 选 D.9.(3分 )将 抛 物 线 y=x2向 左
6、平 移 2个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 3个 单 位 长 度 ， 得 到 的 抛 物 线 的函 数 表 达 式 为 ( )A.y=(x+2) 2-3B.y=(x+2)2+3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3解 析 ： 抛 物 线 y=x2的 顶 点 坐 标 为 (0， 0)， 把 点 (0， 0)向 左 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 2 个单 位 长 度 所 得 对 应 点 的 坐 标 为 (-2， -3)， 所 以 平 移 后 的 抛 物 线 解 析 式 为 y=(x+2)2-3.故 选 ： A.10.(3分 )如 图 ， 正 六 边 形 ABC
7、DEF 内 接 于 O， 半 径 为 4， 则 这 个 正 六 边 形 的 边 心 距 OM和的 长 分 别 为 ( ) A.2， 3B.2 3 ， C. 3 ， 23D.2 3 ， 43解 析 ： 连 接 OB， OB=4， BM=2， OM=2 3 ， 60 4 4180 3 ，故 选 D.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16分 )11.(4分 )分 解 因 式 ： x 2-9=_.解 析 ： x2-9=(x+3)(x-3).故 答 案 为 ： (x+3)(x-3).12.(4分 )如 图 ， 直 线 m n， ABC为 等 腰 三 角 形
8、 ， BAC=90 ， 则 1=_度 .解 析 ： ABC为 等 腰 三 角 形 ， BAC=90 ， ABC= ACB=45 ， 直 线 m n， 1= ABC=45 ，故 答 案 为 ： 45.13.(4分 )为 响 应 “ 书 香 成 都 ” 建 设 号 召 ， 在 全 校 形 成 良 好 的 人 文 阅 读 风 尚 ， 成 都 市 某 中 学随 机 调 查 了 部 分 学 生 平 均 每 天 的 阅 读 时 间 ， 统 计 结 果 如 图 所 示 ， 则 在 本 次 调 查 中 ， 阅 读 时 间的 中 位 数 是 _小 时 . 解 析 ： 由 统 计 图 可 知 共 有 ： 8+19
9、+10+3=40人 ， 中 位 数 应 为 第 20与 第 21个 的 平 均 数 ，而 第 20个 数 和 第 21个 数 都 是 1(小 时 )， 则 中 位 数 是 1 小 时 .故 答 案 为 1.14.(4分 )如 图 ， 在 ABCD中 ， AB= 13 ， AD=4， 将 ABCD 沿 AE翻 折 后 ， 点 B 恰 好 与 点 C 重 合 ，则 折 痕 AE 的 长 为 _.解 析 ： 翻 折 后 点 B恰 好 与 点 C 重 合 ， AE BC， BE=CE， BC=AD=4， BE=2， 22 2 213 2 3AE AB BE .故 答 案 为 ： 3.三 、 解 答 题
10、 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 54分 )15.(12分 )(1)计 算 ： 8 -(2015- ) 0-4cos45 +(-3)2.(2)解 方 程 组 ： 2 53 2 1x yx y .解 析 ： (1)原 式 第 一 项 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 第 二 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 三 项 利 用 特 殊角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 乘 方 的 意 义 化 简 ， 计 算 即 可 得 到 结 果 ； (2)方 程 组 利 用 加 减 消 元 法 求 出 解 即 可 .答 案 ： (1)原 式 =2 2 -1-4
11、 22 +9=8；(2) + 得 ： 4x=4， 即 x=1，把 x=1代 入 得 ： y=2，则 方 程 组 的 解 为 12xy .16.(6分 )化 简 ： 21 12 4 2a aa a a . 解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = 22 1 12 2 12 2 1 2 2 1 2a a aa a aa a a a a a a .17.(8分 )如 图 ， 登 山 缆 车 从 点 A 出 发 ， 途 经 点 B 后
12、 到 达 终 点 C， 其 中 AB 段 与 BC段 的 运 行 路程 均 为 200m， 且 AB段 的 运 行 路 线 与 水 平 面 的 夹 角 为 30 ， BC段 的 运 行 路 线 与 水 平 面 的 夹角 为 42 ， 求 缆 车 从 点 A运 行 到 点 C 的 垂 直 上 升 的 距 离 .(参 考 数 据 ： sin42 0.67，cos42 0.74， tan42 0.90) 解 析 ： 要 求 缆 车 从 点 A 运 行 到 点 C 的 垂 直 上 升 的 距 离 ， 就 是 求 BD+CE 的 值 .解 直 角 ADB， 利用 30 角 所 对 的 直 角 边 等 于
13、 斜 边 的 一 半 得 出 BD= 12 AB=100m， 解 直 角 CEB， 根 据 正 弦 函 数的 定 义 可 得 CE=BC sin42 .答 案 ： 在 直 角 ADB中 ， ADB=90 ， BAD=30 ， AB=200m， BD= 12 AB=100m，在 直 角 CEB中 ， CEB=90 ， CBE=42 ， CB=200m， CE=BC sin42 200 0.67=134m， BD+CE 100+134=234m.答 ： 缆 车 从 点 A 运 行 到 点 C的 垂 直 上 升 的 距 离 约 为 234m.18.(8分 )国 务 院 办 公 厅 在 2015年 3
14、 月 16 日 发 布 了 中 国 足 球 发 展 改 革 总 体 方 案 ， 这 是 中 国 足 球 史 上 的 重 大 改 革 ， 为 进 一 步 普 及 足 球 知 识 ， 传 播 足 球 文 化 ， 我 市 某 区 在 中 小 学 举 行 了 “ 足 球 在 身 边 ” 知 识 竞 赛 ， 各 类 获 奖 学 生 人 数 的 比 例 情 况 如 图 所 示 ， 其 中 获 得 三 等 奖 的 学 生共 50 名 ， 请 结 合 图 中 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)获 得 一 等 奖 的 学 生 人 数 ；(2)在 本 次 知 识 竞 赛 活 动 中 ， A， B， C，
15、 D 四 所 学 校 表 现 突 出 ， 现 决 定 从 这 四 所 学 校 中 随 机 选取 两 所 学 校 举 行 一 场 足 球 友 谊 赛 ， 请 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法 求 恰 好 选 到 A， B 两 所 学 校 的概 率 .解 析 ： (1)根 据 三 等 奖 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 求 得 总 人 数 ， 然 后 乘 以 一 等 奖 所 占 的 百 分 比即 可 求 得 一 等 奖 的 学 生 数 ； (2)列 表 将 所 有 等 可 能 的 结 果 列 举 出 来 ， 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1) 三 等
16、 奖 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 90 ， 三 等 奖 所 占 的 百 分 比 为 25%， 三 等 奖 为 50 人 ， 总 人 数 为 50 25%=200人 ， 一 等 奖 的 学 生 人 数 为 200 (1-20%-25%-40%)=30 人 ；(2)列 表 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 恰 好 选 中 A、 B的 有 2 种 ， P(选 中 A、 B)= 212 = 16 .19.(10分 )如 图 ， 一 次 函 数 y=-x+4的 图 象 与 反 比 例 函 数 y=kx (k 为 常 数 ， 且 k 0)的 图 象 交于 A(1， a)， B 两
17、点 . (1)求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 及 点 B 的 坐 标 ；(2)在 x 轴 上 找 一 点 P， 使 PA+PB 的 值 最 小 ， 求 满 足 条 件 的 点 P的 坐 标 及 PAB的 面 积 . 解 析 ： (1)把 点 A(1， a)代 入 一 次 函 数 y=-x+4， 即 可 得 出 a， 再 把 点 A 坐 标 代 入 反 比 例 函 数y= kx ， 即 可 得 出 k， 两 个 函 数 解 析 式 联 立 求 得 点 B坐 标 ；(2)作 点 B 作 关 于 x 轴 的 对 称 点 D， 交 x 轴 于 点 C， 连 接 AD， 交 x轴 于 点 P，
18、此 时 PA+PB 的 值最 小 ， 求 出 直 线 AD的 解 析 式 ， 令 y=0， 即 可 得 出 点 P 坐 标 .答 案 ： (1)把 点 A(1， a)代 入 一 次 函 数 y=-x+4，得 a=-1+4，解 得 a=3， A(1， 3)，点 A(1， 3)代 入 反 比 例 函 数 y= kx ，得 k=3， 反 比 例 函 数 的 表 达 式 y= 3x ，两 个 函 数 解 析 式 联 立 列 方 程 组 得 43y xy x ，解 得 x1=1， x2=3， 点 B坐 标 (3， 1)；(2)作 点 B 作 关 于 x 轴 的 对 称 点 D， 交 x 轴 于 点 C，
19、 连 接 AD， 交 x轴 于 点 P， 此 时 PA+PB 的 值最 小 ， D(3， -1)，设 直 线 AD 的 解 析 式 为 y=mx+n，把 A， D 两 点 代 入 得 ， 33 1m nm n ，解 得 m=-2， n=5， 直 线 AD 的 解 析 式 为 y=-2x+5，令 y=0， 得 x= 52 ， 点 P坐 标 ( 52 ， 0)， S PAB=S ABD-S PBD= 12 2 2- 12 2 12 =2- 12 = 32 .20.(10分 )如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ABC=90 ， AC的 垂 直 平 分 线 分 别 与 AC， BC 及 AB的 延
20、 长线 相 较 于 点 D， E， F， 且 BF=BC， O 是 BEF的 外 接 圆 ， EBF的 平 分 线 交 EF 于 点 G， 交 O 于 点 H， 连 接 BD， FH. (1)求 证 ： ABC EBF；(2)试 判 断 BD 与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(3)若 AB=1， 求 HG HB 的 值 .解 析 ： (1)由 垂 直 的 定 义 可 得 EBF= ADF=90 ， 于 是 得 到 C= BFE， 从 而 证 得 ABC EBF；(2)BD与 O 相 切 ， 如 图 1， 连 接 OB证 得 DBO=90 ， 即 可 得 到 BD与 O 相
21、切 ；(3)如 图 2， 连 接 CF， HE， 有 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 CF= 2 BF， 由 于 DF 垂 直 平 分 AC，得 到 AF=CF=AB+BF=1+BF= 2 BF， 求 得 BF= 2 1 ， 有 勾 股 定 理 解 出2 2 4 2 2EF BF BE ， 推 出 EHF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 得2 2 22HF EF ， 通 过 BHF FHG， 列 比 例 式 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)证 明 ： ABC=90 ， EBF=90 ， DF AC， ADF=90 ， C+ A= A+ AFD=90 ， C=
22、BFE，在 ABC与 EBF中 ， C AFEBC BFABC EBF ， ABC EBF； (2)BD与 O 相 切 ， 如 图 1， 连 接 OB 证 明 如 下 ： OB=OF， OBF= OFB， ABC=90 ， AD=CD， BD=CD， C= DBC， C= BFE， DBC= OBF， CBO+ OBF=90 ， DBC+ CBO=90 ， DBO=90 ， BD 与 O相 切 ；(3)解 ： 如 图 2， 连 接 CF， HE， CBF=90 ， BC=BF， CF= 2 BF， DF 垂 直 平 分 AC， AF=CF=AB+BF=1+BF= 2 BF， BF= 2 1 ，
23、 ABC EBF， BE=AB=1， 2 2 4 2 2EF BF BE ， BH 平 分 CBF， ， EH=FH， EHF是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 2 2 22HF EF ， EFH= HBF=45 ， BHF= BHF， BHF FHG， HF BHHG HF ， HG HB=HF 2=2+ 2 .四 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 )21.(4分 )比 较 大 小 ： 5 12 _ 58 .(填 “ ” ， “ ” 或 “ =” )解 析 ： 5 1 52 8 = 4 5 4 58 8 = 4 5 98 2 24 5 9
24、80 1 1 08 ， 4 5 9 ， 4 5 09 ， 5 1 5 02 8 ， 5 1 52 8 . 故 答 案 为 ： .22.(4分 )有 9 张 卡 片 ， 分 别 写 有 1 9这 九 个 数 字 ， 将 它 们 背 面 朝 上 洗 匀 后 ， 任 意 抽 取 一 张 ，记 卡 片 上 的 数 字 为 a， 则 使 关 于 x的 不 等 式 组 4 3 112 2x xxx a 有 解 的 概 率 为 _. 解 析 ： 由 关 于 x 的 不 等 式 组 4 3 112 2x xxx a 有 解 ， 可 求 得 a 5， 然 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即可 求 得 答 案
25、 .答 案 ： 4 3 112 2x xxx a ，由 得 ： x 3，由 得 ： x 2 13a ， 关 于 x 的 不 等 式 组 4 3 112 2x xxx a 有 解 ， 2 13a 3，解 得 ： a 5， 使 关 于 x的 不 等 式 组 4 3 112 2x xxx a 有 解 的 概 率 为 ： 49 .故 答 案 为 ： 49 .23.(4分 )已 知 菱 形 A 1B1C1D1的 边 长 为 2， A1B1C1=60 ， 对 角 线 A1C1， B1D1相 较 于 点 O， 以 点 O为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 OA1， OB1所 在 直 线 为 x轴 、 y 轴
26、 ， 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 以 B1D1为 对 角 线 作 菱 形 B1C2D1A2 菱 形 A1B1C1D1， 再 以 A2C2为 对 角 线 作 菱 形 A2B2C2D2 菱 形 B1C2D1A2， 再以 B2D2为 对 角 线 作 菱 形 B2C3D2A3 菱 形 A2B2C2D2， ， 按 此 规 律 继 续 作 下 去 ， 在 x轴 的 正 半 轴上 得 到 点 A1， A2， A3， ， An， 则 点 An的 坐 标 为 _. 解 析 ： 先 根 据 菱 形 的 性 质 求 出 A1的 坐 标 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出 OB1的 长 ， 再
27、 由 锐 角 三 角 函 数 的定 义 求 出 OA2的 长 ， 故 可 得 出 A2的 坐 标 ， 同 理 可 得 出 A3的 坐 标 ， 找 出 规 律 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： 菱 形 A1B1C1D1的 边 长 为 2， A1B1C1=60 ， OA1=A1B1 sin30 =2 12 =1， OB1=A1B1 cos30 =2 32 = 3 ， A1(1， 0). B1C2D1A2 菱 形 A1B1C1D1， OA2= 1tan30OB = 333 =3， A 2(3， 0).同 理 可 得 A3(9， 0) An(3n-1， 0).故 答 案 为 ： (3n-1， 0)
28、.24.(4分 )如 图 ， 在 半 径 为 5 的 O中 ， 弦 AB=8， P 是 弦 AB所 对 的 优 弧 上 的 动 点 ， 连 接 AP，过 点 A作 AP的 垂 线 交 射 线 PB于 点 C， 当 PAB 是 等 腰 三 角 形 时 ， 线 段 BC 的 长 为 _. 解 析 ： 当 BA=BP 时 ， 利 用 直 角 三 角 形 斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ； 当 AB=AP时 ， 如 图 1， 延 长 AO交 PB 于 点 D， 过 点 O作 OE AB于 点 E， 易 得 AOE ABD，利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 得 BD， PB，
29、然 后 利 用 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 ABD CPA， 代 入数 据 得 出 结 果 ； 当 PA=PB 时 ， 如 图 2， 连 接 PO并 延 长 ， 交 AB于 点 F， 过 点 C 作 CG AB， 交 AB 的 延 长 线于 点 G， 连 接 OB， 则 PF AB， 易 得 AF=FB=4， 利 用 勾 股 定 理 得 OF=3， FP=8， 易 得 PFB CGB，利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 21CGBG ， 设 BG=t， 则 CG=2t， 利 用 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 得 APF CAG， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质
30、 得 比 例 关 系 解 得 t， 在 Rt BCG中 ， 得 BC.答 案 ： 当 BA=BP 时 ，易 得 AB=BP=BC=8， 即 线 段 BC的 长 为 8. 当 AB=AP时 ， 如 图 1， 延 长 AO交 PB于 点 D， 过 点 O作 OE AB于 点 E， 则 AD PB， AE= 12 AB=4， BD=DP，在 Rt AEO中 ， AE=4， AO=5， OE=3，易 得 AOE ABD， OE BDAO AB ， 245BD ， 245BD PD ， 即 485PB ， AB=AP=8， ABD= P， PAC= ADB=90 ， ABD CPA， BD PAAB C
31、P ， CP= 403 ， BC=CP-BP= 40 48 563 5 15 ； 当 PA=PB时如 图 2， 连 接 PO 并 延 长 ， 交 AB于 点 F， 过 点 C 作 CG AB， 交 AB 的 延 长 线 于 点 G， 连 接 OB，则 PF AB， AF=FB=4，在 Rt OFB中 ， OB=5， FB=4， OF=3， FP=8， 易 得 PFB CGB， 21PF CGPB BG ，设 BG=t， 则 CG=2t，易 得 PAF= ACG， AFP= AGC=90 ， APF CAG， AF CGPF AG ， 2 18 2tt ， 解 得 t=83 ， 在 Rt BCG
32、中 ， BC= 5 t= 8 53 ，综 上 所 述 ， 当 PAB是 等 腰 三 角 形 时 ， 线 段 BC 的 长 为 8， 5615 ， 8 53 ，故 答 案 为 ： 8， 5615 ， 8 53 .25.(4分 )如 果 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0有 两 个 实 数 根 ， 且 其 中 一 个 根 为 另 一 个 根的 2 倍 ， 则 称 这 样 的 方 程 为 “ 倍 根 方 程 ” ， 以 下 关 于 倍 根 方 程 的 说 法 ， 正 确 的 是 _(写 出所 有 正 确 说 法 的 序 号 ) 方 程 x2-x-2=0是 倍 根 方 程 .
33、 若 (x-2)(mx+n)=0是 倍 根 方 程 ， 则 4m2+5mn+n2=0； 若 点 (p， q)在 反 比 例 函 数 y= 2x 的 图 象 上 ， 则 关 于 x 的 方 程 px2+3x+q=0 是 倍 根 方 程 ； 若 方 程 ax 2+bx+c=0是 倍 根 方 程 ， 且 相 异 两 点 M(1+t， s)， N(4-t， s)都 在 抛 物 线 y=ax2+bx+c上 ， 则 方 程 ax2+bx+c=0的 一 个 根 为 54 .解 析 ： 解 方 程 x2-x-2=0得 ： x1=2， x2=-1， 方 程 x2-x-2=0不 是 倍 根 方 程 ， 故 错 误
34、 ； (x-2)(mx+n)=0是 倍 根 方 程 ， 且 x1=2， x2=- n ， n =-1， 或 n =-4， m+n=0， 4m+n=0， 4m 2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0， 故 正 确 ； 点 (p， q)在 反 比 例 函 数 y= 2x 的 图 象 上 ， pq=2，解 方 程 px2+3x+q=0得 ： x1=- 1p， x2=- 2p， x2=2x1， 故 正 确 ； 方 程 ax2+bx+c=0是 倍 根 方 程 ， 设 x1=2x2， 相 异 两 点 M(1+t， s)， N(4-t， s)都 在 抛 物 线 y=ax2+bx+c 上 ， 抛 物 线
35、 的 对 称 轴 1 2 1 4 52 2 2x x t tx ， x1+x2=5， x 1+2x1=5， x1= 53 ， 故 错 误 .故 答 案 为 ： .五 、 解 答 题 (本 大 题 共 3 小 题 ， 共 30分 )26.(8分 )某 商 家 预 测 一 种 应 季 衬 衫 能 畅 销 市 场 ， 就 用 13200 元 购 进 了 一 批 这 种 衬 衫 ， 面 市后 果 然 供 不 应 求 ， 商 家 又 用 28800 元 购 进 了 第 二 批 这 种 衬 衫 ， 所 购 数 量 是 第 一 批 购 进 量 的 2倍 ， 但 单 价 贵 了 10 元 .(1)该 商 家
36、购 进 的 第 一 批 衬 衫 是 多 少 件 ？(2)若 两 批 衬 衫 按 相 同 的 标 价 销 售 ， 最 后 剩 下 50 件 按 八 折 优 惠 卖 出 ， 如 果 两 批 衬 衫 全 部 售 完后 利 润 不 低 于 25%(不 考 虑 其 他 因 素 )， 那 么 每 件 衬 衫 的 标 价 至 少 是 多 少 元 ？解 析 ： (1)可 设 该 商 家 购 进 的 第 一 批 衬 衫 是 x 件 ， 则 购 进 第 二 批 这 种 衬 衫 是 2x 件 ， 根 据 第 二 批 这 种 衬 衫 单 价 贵 了 10 元 ， 列 出 方 程 求 解 即 可 ；(2)设 每 件 衬
37、 衫 的 标 价 y 元 ， 求 出 利 润 表 达 式 ， 然 后 列 不 等 式 解 答 .答 案 ： (1)设 该 商 家 购 进 的 第 一 批 衬 衫 是 x 件 ， 则 购 进 第 二 批 这 种 衬 衫 是 2x件 ， 依 题 意 有13200 2880010 2x x ，解 得 x=120，经 检 验 ， x=120是 原 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 .答 ： 该 商 家 购 进 的 第 一 批 衬 衫 是 120件 .(2)3x=3 120=360，设 每 件 衬 衫 的 标 价 y元 ， 依 题 意 有(360-50)y+50 0.8y (13200+28800
38、) (1+25%)，解 得 y 150.答 ： 每 件 衬 衫 的 标 价 至 少 是 150元 . 27.(10分 )已 知 AC， EC 分 别 是 四 边 形 ABCD和 EFDG的 对 角 线 ， 点 E在 ABC内 ， CAE+ CBE=90 . (1)如 图 ， 当 四 边 形 ABCD和 EFCG均 为 正 方 形 时 ， 连 接 BF.(i)求 证 ： CAE CBF；(ii)若 BE=1， AE=2， 求 CE的 长 ；(2)如 图 ， 当 四 边 形 ABCD和 EFCG均 为 矩 形 ， 且 AB EF kBC FC 时 ， 若 BE=1， AE=2， CE=3，求 k
39、的 值 ；(3)如 图 ， 当 四 边 形 ABCD和 EFCG均 为 菱 形 ， 且 DAB= GEF=45 时 ， 设 BE=m， AE=n， CE=p，试 探 究 m， n， p三 者 之 间 满 足 的 等 量 关 系 .(直 接 写 出 结 果 ， 不 必 写 出 解 答 过 程 )解 析 ： (1)(i)首 先 根 据 四 边 形 ABCD和 EFCG均 为 正 方 形 ， 可 得 2AC CEBC CF ， ACE= BCF；然 后 根 据 相 似 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 推 得 CAE CBF即 可 .(ii)首 先 根 据 CAE CBF， 判 断 出 CAE=
40、CBF， 再 根 据 CAE+ CBE=90 ， 判 断 出 EBF=90 ； 然 后 在 Rt BEF中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 求 出 EF的 长 度 ， 再 根 据 CE、 EF 的 关 系 ， 求 出 CE的 长 是 多 少 即 可 .(2)首 先 根 据 相 似 三 角 形 判 定 的 方 法 ， 判 断 出 ACE BCF， 即 可 判 断 出2 1AE AC kBF BC ， 据 此 求 出 BF 的 长 度 是 多 少 ； 然 后 判 断 出 EBF=90 ， 在 Rt BEF中 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 求 出 EF 的 值 是 多 少 ， 进 而 求 出 k
41、的 值 是 多 少 即 可 .(3)首 先 根 据 DAB=45 ， 可 得 ABC=180 -45 =135 ， 在 ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 可 求得 AB2、 BC2， AC2之 间 的 关 系 ， EF2、 FC2， EC2之 间 的 关 系 ； 然 后 根 据 相 似 三 角 形 判 定 的 方 法 ，判 断 出 ACE BCF， 即 可 用 n 表 示 出 BF 的 值 ； 最 后 判 断 出 EBF=90 ， 在 Rt BEF中 ，根 据 勾 股 定 理 ， 判 断 出 m， n， p三 者 之 间 满 足 的 等 量 关 系 即 可 .答 案 ： (1)(i)证 明
42、 ： 四 边 形 ABCD和 EFCG均 为 正 方 形 ， 2AC CEBC CF ， ACB= ECF=45 ， ACE= BCF，在 CAE和 CBF中 ，2AC CEBC CFACE BCF ， CAE CBF.(ii)解 ： CAE CBF， CAE= CBF， AE ACBF BC ，又 CAE+ CBE=90 ， CBF+ CBE=90 ， EBF=90 ， 又 2AE ACBF BC ， AE=2 2 2BF ， 2BF ， EF2=BE2+BF2= 221 2 3 ， EF= 3 ， CE2=2EF2=6， CE= 6 .(2)如 图 ， 连 接 BF， AB EF kBC
43、FC ， BC=a， AB=ka， FC=b， EF=kb， 2 2 2 2 2 2 1AC AB BC k a a a k ，2 2 2 2 2 2 1CE EF FC k b b b k ， 2 1AC EC kBC FC ， ACE= BCF，在 ACE和 BCF 中 ，2 1AC EC kBC FCACE BCF ， ACE BCF， 2 1AE AC kBF BC ， CAE= CBF，又 AE=2， 22 1kBF ， 22 1BF k ， CAE= CBF， CAE+ CBE=90 ， CBE+ CBF=90 ， EBF=90 ， EF2=BE2+BF2=1+ 24 1k ， 2
44、 1EC kFC ， 2 1CE kEF k ， CE=3， 23 1kEF k ， 2 22 224 3 91 1 11k kk kk ， 2 58k ， 解 得 104k ， 0AB EF kBC FC ， 104k .(3)如 图 ， 连 结 BF， 同 理 可 得 EBF=90 ， 过 C 点 作 CH AB延 长 线 于 H， 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， AB=BC， 设 AB=BC=x， CBH= DAB=45 ， BH=CH= 22 x， AC2=AH2+CH2=(x+ 22 x)2+( 22 x)2， =(2+ 2 )x2， AB 2： BC2： AC2=1： 1：
45、(2+ 2 )，同 理 可 得 EF2： FC2： EC2=1： 1： (2+ 2 )， EF2= 2 22 2 2 2EC p ， 在 ACE和 BCF 中 ，2 2AC ECBC FCACE BCF ， ACE BCF， 2 22 2 2 2AE ACBF BC ， CAE= CBF，又 AE=n， 2 22 2 2 2 2AE nBF ， CAE= CBF， CAE+ CBE=90 ， CBE+ CBF=90 ， EBF=90 ， EF2=BE2+BF2， 2 222 2 2 2p nm ， (2+ 2 )m 2+n2=p2，即 m， n， p 三 者 之 间 满 足 的 等 量 关 系
46、 是 ： (2+ 2 )m2+n2=p2.28.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛 物 线 y=ax2-2ax-3a(a 0)与 x 轴 交 于 A， B两 点 (点 A 在 点 B 的 左 侧 )， 经 过 点 A 的 直 线 l： y=kx+b与 y 轴 交 于 点 C， 与 抛 物 线 的 另 一 个交 点 为 D， 且 CD=4AC. (1)直 接 写 出 点 A 的 坐 标 ， 并 求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 (其 中 k， b 用 含 a 的 式 子 表 示 )；(2)点 E 是 直 线 l 上 方 的 抛 物 线 上 的 一 点
47、， 若 ACE的 面 积 的 最 大 值 为 54 ， 求 a的 值 ；(3)设 P 是 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 点 ， 点 Q 在 抛 物 线 上 ， 以 点 A， D， P， Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 否成 为 矩 形 ？ 若 能 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)由 抛 物 线 y=ax2-2ax-3a(a 0)与 x 轴 交 于 两 点 A、 B， 求 得 A点 的 坐 标 ， 作 DF x轴 于 F， 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 求 得 D的 坐 标 ， 然 后 利 用 待 定
48、系 数 法 法 即 可 求 得 直 线l的 函 数 表 达 式 .(2)设 点 E(m， a(m+1)(m-3)， yAE=k1x+b1， 利 用 待 定 系 数 法 确 定 yAE=a(m-3)x+a(m-3)， 从 而 确定 S ACE= 12 (m+1)a(m-3)-a= 2a (m- 32 )2- 258 a， 根 据 最 值 确 定 a的 值 即 可 ；(3)分 以 AD 为 对 角 线 、 以 AC为 边 ， AP为 对 角 线 、 以 AC为 边 ， AQ为 对 角 线 三 种 情 况 利 用 矩形 的 性 质 确 定 点 P的 坐 标 即 可 .答 案 ： (1)令 y=0， 则 ax 2-2ax-3a=0，解 得 x1=-1， x2=3 点 A在 点 B 的 左 侧 ， A(-1， 0)，如 图 1， 作 DF x 轴 于 F， DF OC， OF CDOA AC ， CD=4AC， 4OF CDOA AC ， OA=1， OF=4， D 点 的 横 坐 标 为 4，代 入 y=ax 2-2ax-3a得
