1、2013年 湖 北 省 荆 州 市 中 考 真 题 数 学一 .选 择 题 ：1.(3分 )下 列 等 式 成 立 的 是 ( )A.|-2|=2B.( -1)0=0C.(- )-1=2D.-(-2)=-2解 析 ： A、 |-2|=2， 计 算 正 确 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 ( -1) 0=1， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 (- )-1=-2， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 -(-2)=2， 原 式 计 算 错 误 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： A.2.(3分 )如 图 ， AB CD， ABE=60 ，
2、 D=50 ， 则 E 的 度 数 为 ( ) A.30B.20C.10D.40解 析 ： AB CD， CFE= ABE=60 ， D=50 ， E= CFE- D=10 .答 案 ： C.3.(3分 )解 分 式 方 程 时 ， 去 分 母 后 可 得 到 ( )A.x(2+x)-2(3+x)=1B.x(2+x)-2=2+xC.x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x)D.x-2(3+x)=3+x 解 析 ： 方 程 两 边 都 乘 以 (3+x)(2+x)， 则 x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x).答 案 ： C.4.(3分 )计 算 的 结 果 是 ( )A. +B
3、. C.D. -解 析 ： 原 式 =4 +3 -2 = .答 案 ： B.5.(3分 )四 川 雅 安 发 生 地 震 灾 害 后 ， 某 中 学 九 (1)班 学 生 积 极 捐 款 献 爱 心 ， 如 图 是 该 班 50名学 生 的 捐 款 情 况 统 计 ， 则 他 们 捐 款 金 额 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( ) A.20， 10B.10， 20C.16， 15D.15， 16解 析 ： 10出 现 了 16次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 他 们 捐 款 金 额 的 众 数 是 10； 共 有 50 个 数 ， 中 位 数 是 第 25、 26个 数 的
4、平 均 数 ， 中 位 数 是 (20+20) 2=20；答 案 ： B.6.(3分 )如 图 ， 在 ABC 中 ， BC AC， 点 D 在 BC上 ， 且 DC=AC， ACB 的 平 分 线 CE 交 AD 于E， 点 F 是 AB 的 中 点 ， 则 S AEF： S 四 边 形 BDEF为 ( )A.3： 4B.1： 2C.2： 3D.1： 3解 析 ： DC=AC， ADC是 等 腰 三 角 形 ， ACB的 平 分 线 CE交 AD于 E， E 为 AD的 中 点 (三 线 合 一 )， 又 点 F 是 AB 的 中 点 ， EF为 ABD 的 中 位 线 ， EF= BD，
5、AFE ABD， S AFE： S ABD=1： 4， S AFE： S 四 边 形 BDEF=1： 3，答 案 ： D. 7.(3分 )体 育 课 上 ， 20 人 一 组 进 行 足 球 比 赛 ， 每 人 射 点 球 5 次 ， 已 知 某 一 组 的 进 球 总 数 为49个 ， 进 球 情 况 记 录 如 下 表 ， 其 中 进 2个 球 的 有 x 人 ， 进 3 个 球 的 有 y人 ， 若 (x， y)恰 好是 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 ， 则 这 两 条 直 线 的 解 析 式 是 ( )A.y=x+9 与 y= x+B.y=-x+9与 y= x+C.y=-x+9与
6、 y=- x+ D.y=x+9 与 y=- x+解 析 ： 根 据 进 球 总 数 为 49个 得 ： 2x+3y=49-5-3 4-2 5=22， 整 理 得 ： y=- x+ ， 20 人 一 组 进 行 足 球 比 赛 ， 1+5+x+y+3+2=20， 整 理 得 ： y=-x+9.答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 将 含 60 角 的 直 角 三 角 板 ABC绕 顶 点 A顺 时 针 旋 转 45 度 后 得 到 AB C ，点 B 经 过 的 路 径 为 弧 BB ， 若 BAC=60 ， AC=1， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 ( ) A.B.C.D.解
7、 析 ： 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， BAC=60 ， AC=1， BC=ACtan60 =1 = ， AB=2 S ABC= AC BC= .根 据 旋 转 的 性 质 知 ABC AB C ， 则 S ABC=S AB C ， AB=AB . S 阴 影 =S 扇 形 ABB +S AB C -S ABC= = .答 案 ： A.9.(3分 )将 一 边 长 为 2 的 正 方 形 纸 片 折 成 四 部 分 ， 再 沿 折 痕 折 起 来 ， 恰 好 能 不 重 叠 地 搭 建 成一 个 三 棱 锥 ， 则 三 棱 锥 四 个 面 中 最 小 的 面 积 是 (
8、 ) A.1B.C.D.解 析 ： 最 小 的 一 个 面 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 它 的 两 条 直 角 边 都 是 2 2=1， 1 1 2= .故 三 棱 锥 四 个 面 中 最 小 的 面 积 是 .答 案 ： C. 10.(3分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y=-3x+3与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于 A、 B 两 点 ， 以AB为 边 在 第 一 象 限 作 正 方 形 ABCD， 点 D 在 双 曲 线 (k 0)上 .将 正 方 形 沿 x轴 负 方 向 平移 a 个 单 位 长 度 后 ， 点 C恰 好 落 在 该 双 曲
9、线 上 ， 则 a的 值 是 ( )A.1B.2 C.3D.4解 析 ： 作 CE y轴 于 点 E， 交 双 曲 线 于 点 G.作 DF x轴 于 点 F.在 y=-3x+3中 ， 令 x=0， 解 得 ： y=3， 即 B 的 坐 标 是 (0， 3).令 y=0， 解 得 ： x=1， 即 A的 坐 标 是 (1， 0).则 OB=3， OA=1. BAD=90 ， BAO+ DAF=90 ， 又 直 角 ABO中 ， BAO+ OBA=90 ， DAF= OBA， 在 OAB和 FDA 中 ， ， OAB FDA(AAS)，同 理 ， OAB FDA BEC， AF=OB=EC=3，
10、 DF=OA=BE=1， 故 D 的 坐 标 是 (4， 1)， C的 坐 标 是 (3， 4).代 入 y= 得 ： k=4， 则 函 数 的 解 析 式 是 ： y= . OE=4，则 C 的 纵 坐 标 是 4， 把 y=4代 入 y= 得 ： x=1.即 G的 坐 标 是 (1， 4)， CG=2.答 案 ： B.二 .填 空 题11.(3分 )分 解 因 式 ： a 3-ab2= .解 析 ： a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b).答 案 ： a(a+b)(a-b)12.(3分 )如 图 ， 在 高 度 是 21米 的 小 山 A 处 测 得 建 筑 物 CD顶 部
11、 C 处 的 仰 角 为 30 ， 底 部 D处 的 俯 角 为 45 ， 则 这 个 建 筑 物 的 高 度 CD= 米 (结 果 可 保 留 根 号 ) 解 析 ： 作 AE CD于 点 E.在 直 角 ABD中 ， ADB=45 ， DE=AE=BD=AB=21(米 )，在 直 角 AEC中 ， CE=AE tan CAE=21 =7 (米 ).则 CD=(21+7 )米 .答 案 ： 21+7 . 13.(3分 )如 图 ， 是 一 个 4 4 的 正 方 形 网 格 ， 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 1.请 你 在 网 格 中 以 左 上角 的 三 角 形 为 基 本 图
12、形 ， 通 过 平 移 、 对 称 或 旋 转 变 换 ， 设 计 一 个 精 美 图 案 ， 使 其 满 足 ： 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 以 点 O 为 对 称 中 心 的 中 心 对 称 图 形 ； 所 作 图 案 用 阴 影 标 识 ， 且 阴 影 部 分 面 积 为 4. 答 案 ： 如 图 所 示 ： 答 案 不 唯 一 . 14.(3分 )如 图 ， ABC是 斜 边 AB 的 长 为 3 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 在 ABC内 作 第 1个 内 接 正方 形 A1B1D1E1(D1、 E1在 AB上 ， A1、 B1分 别 在 AC、 BC 上 )， 再
13、 在 A1B1C 内 接 同 样 的 方 法 作 第 2个 内 接 正 方 形 A2B2D2E2， 如 此 下 去 ， 操 作 n次 ， 则 第 n 个 小 正 方 形 AnBnDnEn 的 边 长 是 .解 析 ： A= B=45 ， AE 1=A1E=A1B1=B1D1=D1B， 第 一 个 内 接 正 方 形 的 边 长 = AB=1；同 理 可 得 ： 第 二 个 内 接 正 方 形 的 边 长 = A1B1= AB= ；第 三 个 内 接 正 方 形 的 边 长 = A2B2= AB= ；故 可 推 出 第 n 个 小 正 方 形 AnBnDnEn 的 边 长 = AB= .答 案
14、： .15.(3分 )若 根 式 有 意 义 ， 则 双 曲 线 y= 与 抛 物 线 y=x 2+2x+2-2k的 交 点 在 第象 限 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ， 2-2k 0， 2k-2 0，反 比 例 函 数 y= 的 图 象 位 于 第 二 、 四 象 限 ， 抛 物 线 y=x2+2x+2-2k的 对 称 轴 为 直 线 x=- =-1， 与 y 轴 的 交 点 为 (0， 2-2k)， 在 y 轴 正 半 轴 ， 抛 物 线 y=x2+2x+2-2k的 图 象 不 经 过 第 四 象 限 ， 双 曲 线 y= 与 抛 物 线 y=x2+2x+2-2k的 交 点 在 第
15、二 象 限 .答 案 ： 二 .16.(3分 )如 图 ， 在 实 数 范 围 内 规 定 新 运 算 “ ” ， 其 规 则 是 ： a b=2a-b.已 知 不 等 式 x k 1的 解 集 在 数 轴 上 ， 则 k 的 值 是 .解 析 ： 根 据 图 示 知 ， 已 知 不 等 式 的 解 集 是 x -1.则 2x-1 -3， x k=2x-k 1， k 2x-1 -3， k=-3. 答 案 ： k=-3.17.(3分 )如 图 ， ACE是 以 ABCD的 对 角 线 AC 为 边 的 等 边 三 角 形 ， 点 C 与 点 E 关 于 x 轴 对称 .若 E 点 的 坐 标 是
16、 (7， -3 )， 则 D 点 的 坐 标 是 .解 析 ： 点 C 与 点 E关 于 x 轴 对 称 ， E点 的 坐 标 是 (7， -3 )， C 的 坐 标 为 (7， 3 )， CH=3 ， CE=6 ， ACE是 以 ABCD的 对 角 线 AC 为 边 的 等 边 三 角 形 ， AC=6 ， AH=9， OH=7， AO=DH=2， OD=5， D点 的 坐 标 是 (5， 0)，答 案 ： (5， 0).18.(3分 )如 图 ， 将 矩 形 ABCD沿 对 角 线 AC剪 开 ， 再 把 ACD沿 CA 方 向 平 移 得 到 A1C1D1， 连结 AD1、 BC1.若
17、ACB=30 ， AB=1， CC1=x， ACD与 A 1C1D1重 叠 部 分 的 面 积 为 s， 则 下 列 结 论 ： A1AD1 CC1B； 当 x=1时 ， 四 边 形 ABC1D1是 菱 形 ； 当 x=2时 ， BDD1为 等 边 三 角 形 ； s= (x-2)2 (0 x 2)；其 中 正 确 的 是 (填 序 号 ). 解 析 ： 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， BC=AD， BC AD， DAC= ACB， 把 ACD沿 CA方 向 平 移 得 到 A1C1D1， A1= DAC， A1D1=AD， AA1=CC1，在 A1AD1与 CC1B 中 ， ， A1A
18、D1 CC1B(SAS)， 故 正 确 ； ACB=30 ， CAB=60 ， AB=1， AC=2， x=1， AC 1=1， AC1B 是 等 边 三 角 形 ， AB=D1C1，又 AB BC1， 四 边 形 ABC1D1是 菱 形 ， 故 正 确 ； 如 图 所 示 ：则 可 得 BD=DD 1=BD1=2， BDD1为 等 边 三 角 形 ， 故 正 确 . 易 得 AC1F ACD， =( )2， 解 得 ： S AC1F= (x-2)2 (0 x 2)； 故 正确 ；综 上 可 得 正 确 的 是 .答 案 ： .三 .解 答 题19.用 代 入 消 元 法 解 方 程 组 .
19、解 析 ： 把 第 一 个 方 程 整 理 为 y=x-2， 然 后 利 用 代 入 消 元 法 求 解 即 可 .答 案 ： ， 由 得 ， y=x-2 ， 代 入 得 ， 3x+5(x-2)=14， 解 得 x=3，把 x=3代 入 得 ， y=3-2=1，所 以 ， 方 程 组 的 解 是 .20.如 图 ， ABC与 CDE均 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB= DCE=90 ， D在 AB上 ， 连 结 BE.请 找 出 一 对 全 等 三 角 形 ， 并 说 明 理 由 . 解 析 ： 分 析 根 据 等 角 的 余 角 相 等 可 得 出 ACD= BCE， 结 合 C
20、A=CB， CD=CE， 可 证 明 ACD BCE.答 案 ： ACD BCE.证 明 如 下 ACB= DCE=90 ， ACB- DCB= DCE- DCB， 即 ACD= BCE. ABC与 CDE均 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB= DCE=90 ， CA=CB， CD=CE，在 ACD和 BCE中 ， ， ACD BCE.21.(100分 )我 市 某 中 学 为 备 战 省 运 会 ， 在 校 运 动 队 的 学 生 中 进 行 了 全 能 选 手 的 选 拔 ， 并 将参 加 选 拔 学 生 的 综 合 成 绩 分 成 四 组 ， 绘 成 了 如 下 尚 不 完 整
21、 的 统 计 图 表 . 根 据 图 表 信 息 ， 回 答 下 列 问 题 ：(1)参 加 活 动 选 拔 的 学 生 共 有 人 ； 表 中 m= ， n= ；(2)若 将 各 组 的 组 中 值 视 为 该 组 的 平 均 值 ， 请 你 估 算 参 加 选 拔 学 生 的 平 均 成 绩 ；(3)将 第 一 组 中 的 4 名 学 生 记 为 A、 B、 C、 D， 由 于 这 4 名 学 生 的 体 育 综 合 水 平 相 差 不 大 ， 现决 定 随 机 挑 选 其 中 两 名 学 生 代 表 学 校 参 赛 ， 试 通 过 画 树 形 图 或 列 表 的 方 法 求 恰 好 选
22、中 A和 B的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 频 数 分 布 表 可 知 第 一 组 有 4 人 ， 根 据 扇 形 统 计 图 可 知 第 一 组 所 占 百 分 比 为 8%，由 此 得 出 参 加 活 动 选 拔 的 学 生 总 数 ， 再 用 学 生 总 数 乘 以 第 三 组 所 占 百 分 比 求 出 n， 用 学 生 总数 减 去 第 一 、 三 、 四 组 的 频 数 之 和 所 得 的 差 即 为 m 的 值 ； (2)利 用 组 中 值 求 出 总 数 即 可 得 出 平 均 数 ；(3)根 据 列 表 法 求 出 所 有 可 能 即 可 得 出 恰 好 选 中 A
23、和 B 的 概 率 .答 案 ： (1) 第 一 组 有 4 人 ， 所 占 百 分 比 为 8%， 学 生 总 数 为 ： 4 8%=50； n=50 30%=15， m=50-4-15-21=10.故 答 案 为 50， 10， 15；(2) = =74.4；(3)将 第 一 组 中 的 4 名 学 生 记 为 A、 B、 C、 D， 现 随 机 挑 选 其 中 两 名 学 生 代 表 学 校 参 赛 ， 所 有可 能 的 结 果 如 下 表 ： 由 上 表 可 知 ， 总 共 有 12 种 结 果 ， 且 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 同 .恰 好 选 中 A和 B的 结
24、果 有 2种 ， 其 概 率 为 = = .22.已 知 ： 关 于 x 的 方 程 kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0(1)求 证 ： 无 论 k 为 任 何 实 数 ， 方 程 总 有 实 数 根 ；(2)若 此 方 程 有 两 个 实 数 根 x1， x2， 且 |x1-x2|=2， 求 k的 值 .解 析 ： (1)确 定 判 别 式 的 范 围 即 可 得 出 结 论 ；(2)根 据 根 与 系 数 的 关 系 表 示 出 x 1+x2， x1x2， 继 而 根 据 题 意 得 出 方 程 ， 解 出 即 可 .答 案 ： (1) 当 k=0 时 ， 方 程 是 一 元 一 次
25、 方 程 ， 有 实 数 根 ； 当 k 0 时 ， 方 程 是 一 元 二 次 方 程 ， =(3k-1)2-4k 2(k-1)=(k+1)2 0， 无 论 k 为 任 何 实 数 ， 方 程 总 有 实 数 根 .(2) 此 方 程 有 两 个 实 数 根 x 1， x2， x1+x2= ， x1x2= ， |x1-x2|=2， (x1-x2)2=4， (x1+x2)2-4x1x2=4， 即 -4 =4， 解 得 ： = 2， 即 k=1或 k=- .23.如 图 ， AB为 O 的 直 径 ， 弦 CD与 AB相 交 于 E， DE=EC， 过 点 B的 切 线 与 AD 的 延 长 线
26、 交于 F， 过 E作 EG BC于 G， 延 长 GE交 AD 于 H. (1)求 证 ： AH=HD；(2)若 cos C= ， DF=9， 求 O的 半 径 .解 析 ： (1)由 AB为 O 的 直 径 ， DE=EC， 根 据 垂 径 定 理 的 推 论 ， 可 证 得 AB CD， 又 由 EG BC，易 证 得 CDA= DEH， 即 可 得 HD=EH， 继 而 可 证 得 AH=EH， 则 可 证 得 结 论 ；(2)由 AB 为 O的 直 径 ， 可 得 BDF=90 ， 由 BF是 切 线 ， 可 得 DBF= C， 然 后 由 三 角 函 数的 性 质 ， 求 得 BD
27、 的 长 ， 继 而 求 得 答 案 .答 案 ： (1) AB为 O 的 直 径 ， DE=EC， AB CD， C+ CBE=90 ， EG BC， C+ CEG=90 ， CBE= CEG， CBE= CDA， CEG= DEH， CDA= DEH， HD=EH， A+ ADC=90 ， AEH+ DEH=90 ， AH=EH， AH=HD；(2) AB为 O 的 直 径 ， ADB=90 ， BDF=90 ， BF 是 O的 切 线 ， DBF= C， cos C= ， DF=9， tan DBF= ， BD= =12， A= C， sin A= ， AB= =20， O的 半 径 为
28、 10.24.如 图 ， 某 个 体 户 购 进 一 批 时 令 水 果 ， 20天 销 售 完 毕 .他 将 本 次 销 售 情 况 进 行 了 跟 踪 记 录 ，根 据 所 记 录 的 数 据 可 绘 制 的 函 数 图 象 ， 其 中 日 销 售 量 y(千 克 )与 销 售 时 间 x(天 )之 间 的 函 数关 系 如 图 甲 所 示 ， 销 售 单 价 p(元 /千 克 )与 销 售 时 间 x(天 )之 间 的 函 数 关 系 如 图 乙 所 示 . (1)直 接 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)分 别 求 出 第 10 天 和 第 15 天 的 销
29、售 金 额 ；(3)若 日 销 售 量 不 低 于 24千 克 的 时 间 段 为 “ 最 佳 销 售 期 ” ， 则 此 次 销 售 过 程 中 “ 最 佳 销 售 期 ”共 有 多 少 天 ？ 在 此 期 间 销 售 单 价 最 高 为 多 少 元 ？解 析 ： (1)分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： 0 x 15； 15 x 20， 针 对 每 一 种 情 况 ， 都 可 以 先 设出 函 数 的 解 析 式 ， 再 将 已 知 点 的 坐 标 代 入 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 解 ； (2)日 销 售 金 额 =日 销 售 单 价 日 销 售 量 .由 于 第 10 天
30、 和 第 15 天 在 第 10天 和 第 20天 之 间 ，当 10 x 20 时 ， 设 销 售 单 价 p(元 /千 克 )与 销 售 时 间 x(天 )之 间 的 函 数 关 系 式 为 p=mx+n，由 点 (10， 10)， (20， 8)在 p=mx+n的 图 象 上 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 得 p与 x的 函 数 解 析 式 ， 继而 求 得 10 天 与 第 15天 的 销 售 金 额 ；(3)日 销 售 量 不 低 于 24 千 克 ， 即 y 24.先 解 不 等 式 2x 24， 得 x 12， 再 解 不 等 式-6x+120 24， 得 x 16， 则
31、求 出 “ 最 佳 销 售 期 ” 共 有 5天 ； 然 后 根 据 p=- x+12(10 x 20)，利 用 一 次 函 数 的 性 质 ， 即 可 求 出 在 此 期 间 销 售 时 单 价 的 最 高 值 .答 案 ： (1)分 两 种 情 况 ： 当 0 x 15 时 ， 设 日 销 售 量 y 与 销 售 时 间 x 的 函 数 解 析 式 为 y=k 1x， 直 线 y=k1x 过 点 (15， 30)， 15k1=30， 解 得 k1=2， y=2x(0 x 15)； 当 15 x 20时 ， 设 日 销 售 量 y与 销 售 时 间 x的 函 数 解 析 式 为 y=k2x+
32、b， 点 (15， 30)， (20， 0)在 y=k2x+b的 图 象 上 ， ， 解 得 ： ， y=-6x+120(15 x 20)；综 上 ， 可 知 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： y= ；(2) 第 10天 和 第 15天 在 第 10 天 和 第 20 天 之 间 ， 当 10 x 20时 ， 设 销 售 单 价 p(元 /千 克 )与 销 售 时 间 x(天 )之 间 的 函 数 解 析 式 为 p=mx+n， 点 (10， 10)， (20， 8)在 p=mx+n的 图 象 上 ， ， 解 得 ： ， p=- x+12(10 x 20)，当 x=10时 ，
33、 p=10， y=2 10=20， 销 售 金 额 为 ： 10 20=200(元 )，当 x=15时 ， p=- 15+12=9， y=30， 销 售 金 额 为 ： 9 30=270(元 ).故 第 10天 和 第 15 天 的 销 售 金 额 分 别 为 200元 ， 270元 ；(3)若 日 销 售 量 不 低 于 24千 克 ， 则 y 24.当 0 x 15时 ， y=2x， 解 不 等 式 ： 2x 24， 得 x 12；当 15 x 20 时 ， y=-6x+120， 解 不 等 式 ： -6x+120 24， 得 x 16， 12 x 16， “ 最 佳 销 售 期 ” 共
34、有 ： 16-12+1=5(天 )； p=- x+12(10 x 20)， - 0， p 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 当 12 x 16时 ， x 取 12 时 ， p有 最 大 值 ， 此 时 p=- 12+12=9.6(元 /千 克 ).答 ： 此 次 销 售 过 程 中 “ 最 佳 销 售 期 ” 共 有 5 天 ， 在 此 期 间 销 售 单 价 最 高 为 9.6 元 .25.(2013 荆 州 )如 图 ， 已 知 ： 如 图 ， 直 线 y=- x+ 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 A、 B 两 点 ，两 动 点 D、 E 分 别 从 A、 B 两 点 同 时 出
35、 发 向 O 点 运 动 (运 动 到 O点 停 止 )； 对 称 轴 过 点 A 且 顶 点为 M 的 抛 物 线 y=a(x-k)2+h(a 0)始 终 经 过 点 E， 过 E 作 EG OA交 抛 物 线 于 点 G， 交 AB 于 点F， 连 结 DE、 DF、 AG、 BG.设 D、 E 的 运 动 速 度 分 别 是 1 个 单 位 长 度 /秒 和 个 单 位 长 度 /秒 ，运 动 时 间 为 t 秒 . (1)用 含 t 代 数 式 分 别 表 示 BF、 EF、 AF的 长 ；(2)当 t 为 何 值 时 ， 四 边 形 ADEF是 菱 形 ？ 判 断 此 时 AFG与
36、AGB 是 否 相 似 ， 并 说 明 理 由 ；(3)当 ADF是 直 角 三 角 形 ， 且 抛 物 线 的 顶 点 M 恰 好 在 BG上 时 ， 求 抛 物 线 的 解 析 式 .解 析 ： (1)首 先 求 出 一 次 函 数 y=- x+ 与 坐 标 轴 交 点 A、 B 的 坐 标 ， 然 后 解 直 角 三 角 形 求出 BF、 EF、 AF 的 长 ；(2)由 EF AD， 且 EF=AD=t， 则 四 边 形 ADEF为 平 行 四 边 形 ， 若 ADEF是 菱 形 ， 则 DE=AD=t.由 DE=2OD， 列 方 程 求 出 t的 值 ；如 答 图 1 所 示 ， 推
37、 出 BAG= GAF， ABG= AGF=30 ， 证 明 AFG与 AGB相 似 .(3)当 ADF是 直 角 三 角 形 时 ， 有 两 种 情 形 ， 需 要 分 类 讨 论 ： 若 ADF=90 ， 如 答 图 2 所 示 .首 先 求 出 此 时 t 的 值 ； 其 次 求 出 点 G 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系数 法 求 出 直 线 BG的 解 析 式 ， 得 到 点 M 的 坐 标 ； 最 后 利 用 顶 点 式 和 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的解 析 式 ； 若 AFD=90 ， 如 答 图 3 所 示 .解 题 思 路 与 相 同 . 答 案 ： (1
38、)在 直 线 解 析 式 y=- x+ 中 ， 令 x=0， 得 y= ； 令 y=0， 得 x=1. A(1， 0)， B(0， )， OA=1， OB= . tan OAB= ， OAB=60 ， AB=2OA=2. EG OA， EFB= OAB=60 . EF= = =t， BF=2EF=2t， AF=AB-BF=2-2t.(2) EF AD， 且 EF=AD=t， 四 边 形 ADEF为 平 行 四 边 形 .若 ADEF是 菱 形 ， 则 DE=AD=t.由 DE=2OD， 即 ： t=2(1-t)， 解 得 t= . t= 时 ， 四 边 形 ADEF是 菱 形 . 此 时 AF
39、G与 AGB相 似 .理 由 如 下 ：如 答 图 1 所 示 ， 连 接 AE， 四 边 形 ADEF 是 菱 形 ， DEF= DAF=60 ， AEF=30 .由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 ， AG=AE， AGF= AEF=30 .在 Rt BEG中 ， BE= ， EG=2， tan EBG= = ， EBG=60 ， ABG= EBG- EBF=30 .在 AFG与 AGB中 ， BAG= GAF， ABG= AGF=30 ， AFG AGB.(3)当 ADF是 直 角 三 角 形 时 ， 若 ADF=90 ， 如 答 图 2 所 示 ： 此 时 AF=2DA， 即 2-
40、2t=2t， 解 得 t= . BE= t= ， OE=OB-BE= ， E(0， )， G(2， ).设 直 线 BG 的 解 析 式 为 y=kx+b， 将 B(0， )， G(2， )代 入 得 ： ， 解 得 k= ，b= ， y= x+ .令 x=1， 得 y= ， M(1， ).设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x-1) 2+ ， 点 E(0， )在 抛 物 线 上 ， =a+ ， 解 得 a= . y= (x-1)2+ = x2+ x+ . 若 AFD=90 ， 如 答 图 3 所 示 ： 此 时 AD=2AF， 即 ： t=2(2-2t)， 解 得 ： t= . BE= t= ， OE=OB-BE= ， E(0， )， G(2， ).设 直 线 BG的 解 析 式 为 y=kx+b， 将 B(0， )， G(2， )代 入 得 ： ， 解 得 k= ，b= ， y= x+ .令 x=1， 得 y= ， M(1， ).设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x-1) 2+ ， 点 E(0， )在 抛 物 线 上 ， =a+ ， 解 得 a= . y= (x-1)2+ = x2+ x+ .综 上 所 述 ， 符 合 条 件 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= x2+ x+ 或 y= x2+ x+ .
