1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 文一 、 填 空 题 (本 大 题 共 14 题 ， 满 分 56分 )考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填 写 结 果 ，每 个 空 格 填 对 得 4分 ， 否 则 一 律 得 零 分 。1.函 数 y=1-2cos2(2x)的 最 小 正 周 期 是 .解 析 ： y=1-2cos 2(2x)=-2cos2(2x)-1=-cos4x， 函 数 的 最 小 正 周 期 为 T= =答 案 ：2.若 复 数 z=1+2i， 其 中 i是 虚 数 单 位 ， 则 (
2、z+ ) = .解 析 ： 复 数 z=1+2i， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ，则 (z+ ) = =(1+2i)(1-2i)+1=1-4i 2+1=2+4=6.答 案 ： 63.设 常 数 a R， 函 数 f(x)=|x-1|+|x2-a|， 若 f(2)=1， 则 f(1)= .解 析 ： 常 数 a R， 函 数 f(x)=|x-1|+|x2-a|， 若 f(2)=1， 1=|2-1|+|22-a|， a=4，函 数 f(x)=|x-1|+|x2-4|， f(1)=|1-1|+|12-4|=3，答 案 ： 3.4.若 抛 物 线 y 2=2px的 焦 点 与 椭 圆 + =1 的
3、 右 焦 点 重 合 ， 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程为 .解 析 ： 由 题 意 椭 圆 + =1， 故 它 的 右 焦 点 坐 标 是 (2， 0)，又 y 2=2px(p 0)的 焦 点 与 椭 圆 + =1的 右 焦 点 重 合 ， 故 p=4， 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-2.答 案 ： x=-25.某 校 高 一 、 高 二 、 高 三 分 别 有 学 生 1600名 ， 1200名 ， 800 名 .为 了 解 该 校 高 中 学 生 的 牙 齿健 康 状 况 ， 按 各 年 级 的 学 生 数 进 行 分 层 抽 样 ， 若 高 三 抽 取 20 名 学
4、 生 ， 则 高 一 、 高 二 共 需 抽取 的 学 生 数 为 .解 析 ： 高 一 、 高 二 、 高 三 分 别 有 学 生 1600名 ， 1200名 ， 800名 ， 若 高 三 抽 取 20名 学 生 ， 设 共 需 抽 取 的 学 生 数 为 x，则 ， 解 得 x=90， 则 高 一 、 高 二 共 需 抽 取 的 学 生 数 为 90-20=70， 答 案 ： 706.若 实 数 x， y 满 足 xy=1， 则 x2+2y2的 最 小 值 为 .解 析 ： xy=1， y= ， x2+2y2=x2+ 2 =2 ，当 且 仅 当 x2= ， 即 x= 时 取 等 号 ，答
5、案 ： 27.若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍 ， 则 其 母 线 与 轴 所 成 角 的 大 小 为 (结 果 用 反 三 角 函数 值 表 示 )解 析 ： 设 圆 锥 母 线 与 轴 所 成 角 为 ， 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3倍 ， = =3，即 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3倍 ， 故 圆 锥 的 轴 截 面 如 下 图 所 示 ：则 sin = = ， =arcsin ， 答 案 ： arcsin8.在 长 方 体 中 割 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 切
6、割 掉 的 两 个 小 长 方 体 的体 积 之 和 等 于 . 解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 ， 可 知 ： 大 长 方 体 的 长 ， 宽 ， 高 分 别 为 ： 3， 4， 5，故 大 长 方 体 的 体 积 为 ： 60， 切 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 是 一 个 以 主 视 图 为 底 面 ， 高 为 3的 柱 体 ， 其 底 面 面 积 为 4 5-2 2 2 2=12，故 切 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 的 体 积 为 ： 12 3=36，故 切 割 掉 的 两 个 小 长 方 体 的 体 积 之 和 为 ： 60-36=2
7、4，答 案 ： 24 9.设 f(x)= ， 若 f(0)是 f(x)的 最 小 值 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 当 x=0时 ， f(0)=a，由 题 意 得 ： a x+ ， 又 x+ 2 =2， a 2，答 案 ： (- ， 2.10.设 无 穷 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 若 a1= (a3+a4+ an)， 则 q= .解 析 ： 无 穷 等 比 数 列 an的 公 比 为 q，a1= (a3+a4+ an)= ( -a1-a1q)= ， q2+q-1=0， 解 得 q= 或 q= (舍 ).答 案 ： .11.若 f(x)= - ， 则 满 足
8、 f(x) 0的 x的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： f(x)= - ， 若 满 足 f(x) 0， 即 ， ， y= 是 增 函 数 ， 的 解 集 为 ： (0， 1).故 答 案 为 ： (0， 1).12.方 程 sinx+ cosx=1 在 闭 区 间 0， 2 上 的 所 有 解 的 和 等 于 .解 析 ： sinx+ cosx=1， sinx+ cosx= ， 即 sin(x+ )= ，可 知 x+ =2k + ， 或 x+ =2k + ， k Z，又 x 0， 2 ， x= ， 或 x= ， + = . 答 案 ：13.为 强 化 安 全 意 识 ， 某 商 场 拟 在
9、 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3天 进 行 紧 急 疏 散 演 练 ， 则 选择 的 3天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是 (结 果 用 最 简 分 数 表 示 ).解 析 ： 在 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3 天 共 有 种 情 况 ，其 中 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3天 的 情 况 有 8种 ， 选 择 的 3天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是 ，答 案 ： .14.已 知 曲 线 C： x=- ， 直 线 l： x=6， 若 对 于 点 A(m， 0)， 存 在 C 上 的 点 P 和 l 上 的Q使
10、得 + = ， 则 m的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 曲 线 C： x=- ， 是 以 原 点 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 ， 并 且 x P -2， 0，对 于 点 A(m， 0)， 存 在 C上 的 点 P和 l上 的 Q 使 得 + = ，说 明 A是 PQ的 中 点 ， Q 的 横 坐 标 x=6， m= 2， 3.答 案 ： 2， 3.二 、 选 择 题 (共 4 题 ， 满 分 20分 )每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零分15.设 a， b R， 则 “ a+b 4” 是 “ a 2 且 b 2”
11、的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件 B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件解 析 ： 当 a=5， b=0 时 ， 满 足 a+b 4， 但 a 2 且 b 2 不 成 立 ， 即 充 分 性 不 成 立 ，若 a 2 且 b 2， 则 必 有 a+b 4， 即 必 要 性 成 立 ，故 “ a+b 4” 是 “ a 2 且 b 2” 的 必 要 不 充 分 条 件 ，答 案 ： B.16.已 知 互 异 的 复 数 a， b满 足 ab 0， 集 合 a， b=a 2， b2， 则 a+b=( )A.2B.1C.0D.-1解 析 ：
12、根 据 集 合 相 等 的 条 件 可 知 ， 若 a， b=a2， b2， 则 或 ，由 得 ， ab 0， a 0 且 b 0， 即 a=1， b=1， 此 时 集 合 1， 1不 满 足 条 件 . 若 b=a2， a=b2， 则 两 式 相 减 得 a2-b2=b-a， 互 异 的 复 数 a， b， b-a 0， 即 a+b=-1， 答 案 ： D.17.如 图 ， 四 个 边 长 为 1 的 小 正 方 形 排 成 一 个 大 正 方 形 ， AB 是 大 正 方 形 的 一 条 边 ， Pi(i=1， 2， ，7)是 小 正 方 形 的 其 余 顶 点 ， 则 (i=1， 2，
13、， 7)的 不 同 值 的 个 数 为 ( ) A.7B.5C.3D.1解 析 ： 如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则 A(0， 0)， B(0， 2)， P1(0， 1)， P2(1， 0)， P3(1， 1)， P4(1， 2)， P5(2， 0)， P6(2， 1)， P7(2，2)， ， =(0， 1)， =(1， 0)， =(1， 1)， =(1， 2)， =(2，0)， =(2， 1)， =(2， 2)， =2， =0， =2， =4， =0， =2，=4， (i=1， 2， ， 7)的 不 同 值 的 个 数 为 3，答 案 ： C. 18.已 知 P1(a1，
14、b1)与 P2(a2， b2)是 直 线 y=kx+1(k为 常 数 )上 两 个 不 同 的 点 ， 则 关 于 x 和 y 的方 程 组 的 解 的 情 况 是 ( ) A.无 论 k， P1， P2如 何 ， 总 是 无 解B.无 论 k， P1， P2如 何 ， 总 有 唯 一 解C.存 在 k， P1， P2， 使 之 恰 有 两 解D.存 在 k， P1， P2， 使 之 有 无 穷 多 解解 析 ： P1(a1， b1)与 P2(a2， b2)是 直 线 y=kx+1(k为 常 数 )上 两 个 不 同 的 点 ， 直 线 y=kx+1的 斜率 存 在 ， k= ， 即 a 1
15、a2， 并 且 b1=ka1+1， b2=ka2+1， a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1， b2- b1得 ： (a2b1-a1b2)x=b2-b1，即 (a2-a1)x=b2-b1. 方 程 组 有 唯 一 解 .答 案 ： B.三 、 解 答 题 (共 5 小 题 ， 满 分 74分 )19.(12分 )底 面 边 长 为 2的 正 三 棱 锥 P-ABC， 其 表 面 展 开 图 是 三 角 形 P 1P2P3， 如 图 ， 求 P1P2P3的 各 边 长 及 此 三 棱 锥 的 体 积 V.解 析 ： 利 用 侧 面 展 开 图 三 点 共 线 ， 判
16、 断 P 1P2P3是 等 边 三 角 形 ， 然 后 求 出 边 长 ， 利 用 正 四 面体 的 体 积 求 出 几 何 体 的 体 积答 案 ： 根 据 题 意 可 得 ： P1， B， P2共 线 ， ABP1= BAP1= CBP2， ABC=60 ， ABP1= BAP1= CBP2=60 ， P1=60 ， 同 理 P2= P3=60 ， P1P2P3是 等 边 三 角 形 ， P-ABC 是 正 四 面 体 ， P 1P2P3的 边 长 为 4， VP-ABC= =20.(14分 )设 常 数 a 0， 函 数 f(x)= .(1)若 a=4， 求 函 数 y=f(x)的 反
17、函 数 y=f-1(x)；(2)根 据 a 的 不 同 取 值 ， 讨 论 函 数 y=f(x)的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 反 函 数 的 定 义 ， 即 可 求 出 ，(2)利 用 分 类 讨 论 的 思 想 ， 若 为 偶 函 数 求 出 a 的 值 ， 若 为 奇 函 数 ， 求 出 a 的 值 ， 问 题 得 以 解决 答 案 ： (1) a=4， ， ， 调 换 x， y 的 位 置 可 得 ， x (- ， -1) (1， + ).(2)若 f(x)为 偶 函 数 ， 则 f(x)=f(-x)对 任 意 x 均 成 立 ， = ， 整 理 可
18、 得 a(2x-2-x)=0. 2 x-2-x不 恒 为 0， a=0， 此 时 f(x)=1， x R， 满 足 条 件 ；若 f(x)为 奇 函 数 ， 则 f(x)=-f(-x)对 任 意 x均 成 立 ， =- ， 整 理 可 得 a2-1=0， a= 1， a 0， a=1， 此 时 f(x)= ， 满 足 条 件 ；综 上 所 述 ， a=0时 ， f(x)是 偶 函 数 ， a=1 时 ， f(x)是 奇 函 数 .21.(14分 )如 图 ， 某 公 司 要 在 A、 B两 地 连 线 上 的 定 点 C 处 建 造 广 告 牌 CD， 其 中 D 为 顶 端 ，AC长 35米
19、 ， CB长 80米 ， 设 点 A、 B 在 同 一 水 平 面 上 ， 从 A 和 B 看 D 的 仰 角 分 别 为 和 . (1)设 计 中 CD 是 铅 垂 方 向 ， 若 要 求 2 ， 问 CD 的 长 至 多 为 多 少 (结 果 精 确 到 0.01米 )？(2)施 工 完 成 后 ， CD与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 实 测 得 =38.12 ， =18.45 ， 求 CD 的 长 (结果 精 确 到 0.01 米 ).解 析 ： (1)设 CD的 长 为 x， 利 用 三 角 函 数 的 关 系 式 建 立 不 等 式 关 系 即 可 得 到 结 论 .(2
20、)利 用 正 弦 定 理 ， 建 立 方 程 关 系 ， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)设 CD的 长 为 x米 ， 则 tan = ， tan = ， 0 ， tan tan2 ， tan ，即 = ， 解 得 0 28.28， 即 CD 的 长 至 多 为 28.28 米 .(2)设 DB=a， DA=b， CD=m， 则 ADB=180 - - =123.43 ，由 正 弦 定 理 得 ， 即 a= ， m= 26.93，答 ： CD的 长 为 26.93 米 .22.(16分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 对 于 直 线 l： ax+by+c=0和 点
21、P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，记 =(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)， 若 0， 则 称 点 P1， P2被 直 线 l分 隔 ， 若 曲 线 C 与 直 线 l 没有 公 共 点 ， 且 曲 线 C上 存 在 点 P1、 P2被 直 线 l 分 隔 ， 则 称 直 线 l 为 曲 线 C 的 一 条 分 隔 线 .(1)求 证 ： 点 A(1， 2)， B(-1， 0)被 直 线 x+y-1=0分 隔 ；(2)若 直 线 y=kx是 曲 线 x 2-4y2=1 的 分 隔 线 ， 求 实 数 k的 取 值 范 围 ；(3)动 点 M 到 点 Q(0， 2)的 距
22、离 与 到 y 轴 的 距 离 之 积 为 1， 设 点 M 的 轨 迹 为 E， 求 E 的 方 程 ，并 证 明 y 轴 为 曲 线 E的 分 隔 线 .解 析 ： (1)把 A、 B 两 点 的 坐 标 代 入 =(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)， 再 根 据 0， 得 出 结 论 .(2)联 立 可 得 (1-4k2)x2=1， 根 据 此 方 程 无 解 ， 可 得 1-4k2 0， 从 而 求 得 k的 范 围 .(3)设 点 M(x， y)， 与 条 件 求 得 曲 线 E的 方 程 为 x 2+(y-2)2x2=1 .由 于 y轴 为 x=0， 显 然 与方 程 联
23、 立 无 解 .把 P1、 P2的 坐 标 代 入 x=0， 由 =1 (-1)=-1 0， 可 得 x=0是 一 条 分 隔 线 .答 案 ： (1)把 点 (1， 2)、 (-1， 0)分 别 代 入 x+y-1 可 得 (1+2-1)(-1-1)=-4 0， 点 (1， 2)、 (-1， 0)被 直 线 x+y-1=0分 隔 .(2)联 立 可 得 (1-4k2)x2=1， 根 据 题 意 ， 此 方 程 无 解 ， 故 有 1-4k2 0， k - ， 或 k .(3)设 点 M(x， y)， 则 |x|=1， 故 曲 线 E的 方 程 为 x 2+(y-2)2x2=1 .y轴 为 x
24、=0， 显 然 与 方 程 联 立 无 解 .又 P1(1， 2)、 P2(-1， 2)为 E 上 的 两 个 点 ， 且 代 入 x=0， 有 =1 (-1)=-1 0，故 x=0是 一 条 分 隔 线 .23.(18分 )已 知 数 列 a n满 足 an an+1 3an， n N*， a1=1.(1)若 a2=2， a3=x， a4=9， 求 x的 取 值 范 围 ；(2)若 an是 等 比 数 列 ， 且 an= ， 求 正 整 数 m的 最 小 值 ， 以 及 m取 最 小 值 时 相 成 an的公 比 ；(3)若 a1， a2， a100成 等 差 数 列 ， 求 数 列 a1，
25、 a2， a100的 公 差 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)由 题 意 可 得 ： ， ， 代 入 解 出 即 可 ；(2)设 公 比 为 q， 由 已 知 可 得 ， ， 由 于 ， 可 得 .而， 可 得 ， 再 利 用 对 数 的 运 算 法 则 和 性 质 即 可 得 出 . (3)设 公 差 为 d， 由 已 知 可 得 31+(n-2)d， 其 中 2 n 100，即 ， 解 出 即 可 .答 案 ； (1)由 题 意 可 得 ： ， ；又 ， 3 x 27.综 上 可 得 ： 3 x 6.(2)设 公 比 为 q， 由 已 知 可 得 ， ， 又 ， .因 此 ， ， m=1-logq1000= =1- = 7.28. m 的 最 小 值 是 8， 因 此 q7= ， = .(3)设 公 差 为 d， 由 已 知 可 得 31+(n-2)d， 其 中 2 n 100，即 ， 令 n=2， 得 .当 3 n 100时 ， 不 等 式 即 ， . .综 上 可 得 ： 公 差 d 的 取 值 范 围 是 .
