1、2013年 四 川 省 达 州 市 中 考 真 题 数 学一 .选 择 题 ： (本 题 10个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 30 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.(3分 )-2013 的 绝 对 值 是 ( )A. 2013B. -2013C.D.解 析 ： -2013 的 绝 对 值 是 2013. 答 案 ： A.2.(3分 )某 中 学 在 芦 山 地 震 捐 款 活 动 中 ， 共 捐 款 二 十 一 万 三 千 元 .这 一 数 据 用 科 学 记 数 法 表示 为 ( )A. 213 103元
2、B. 2.13 104元C. 2.13 105元D. 0.213 10 6元解 析 ： 将 二 十 一 万 三 千 元 用 科 学 记 数 法 表 示 为 2.13 105.答 案 ： C.3.(3分 )下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D. 解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ，
3、故 本 选 项 错 误 ；D、 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 .答 案 ： D.4.(3分 )甲 、 乙 、 丙 三 家 超 市 为 了 促 销 一 种 定 价 相 同 的 商 品 ， 甲 超 市 先 降 价 20%， 后 又 降 价10%； 乙 超 市 连 续 两 次 降 价 15%； 丙 超 市 一 次 降 价 30%.那 么 顾 客 到 哪 家 超 市 购 买 这 种 商 品 更合 算 ( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 一 样 解 析 ： 设 商 品 原 价 为 x，甲 超 市 的 售 价 为 ： x(1-20%)(1-10%)
4、=0.72x；乙 超 市 售 价 为 ： x(1-15%)2=0.7225x；丙 超 市 售 价 为 ： x(1-30%)=70%x=0.7x；故 到 丙 超 市 合 算 .答 案 ： C.5.(3分 )下 面 是 一 天 中 四 个 不 同 时 刻 两 座 建 筑 物 的 影 子 ， 将 它 们 按 时 间 先 后 顺 序 正 确 的 是( ) A. (3)(1)(4)(2)B. (3)(2)(1)(4)C. (3)(4)(1)(2)D. (2)(4)(1)(3)解 析 ： 西 为 (3)， 西 北 为 (4)， 东 北 为 (1)， 东 为 (2)， 将 它 们 按 时 间 先 后 顺 序
5、 排 列 为 (3)(4)(1)(2).答 案 ： C.6.(3分 )若 方 程 3x 2-6x+m=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 取 值 范 围 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是( )A.B.C. D.解 析 ： 方 程 3x2-6x+m=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 0， (-6)2-4 3 m 0，解 得 ： m 3，在 数 轴 上 表 示 为 ：答 案 ： B.7.(3分 )下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A. 一 个 游 戏 中 奖 的 概 率 是 ， 则 做 100次 这 样 的 游 戏 一 定 会 中 奖 B. 为 了 了
6、解 全 国 中 学 生 的 心 理 健 康 状 况 ， 应 采 用 普 查 的 方 式C. 一 组 数 据 0， 1， 2， 1， 1的 众 数 和 中 位 数 都 是 1D. 若 甲 组 数 据 的 方 差 ， 乙 组 数 据 的 方 差 ， 则 乙 组 数 据 比 甲 组 数 据 稳 定解 析 ： A、 一 个 游 戏 中 奖 的 概 率 是 ， 则 做 100 次 这 样 的 游 戏 有 可 能 中 奖 一 次 ， 该 说 法 错误 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 为 了 了 解 全 国 中 学 生 的 心 理 健 康 状 况 ， 应 采 用 抽 样 调 查 的 方 式 ， 该 说
7、法 错 误 ， 故 本 选 项错 误 ；C、 这 组 数 据 的 众 数 是 1， 中 位 数 是 1， 故 本 选 项 正 确 ；D、 方 差 越 大 ， 则 平 均 值 的 离 散 程 度 越 大 ， 稳 定 性 也 越 小 ， 则 甲 组 数 据 比 乙 组 稳 定 ， 故 本 选项 错 误 ；答 案 ： C. 8.(3分 )如 图 ， 一 条 公 路 的 转 变 处 是 一 段 圆 弧 (即 图 中 弧 CD， 点 O是 弧 CD的 圆 心 )， 其 中 CD=600米 ， E为 弧 CD 上 一 点 ， 且 OE CD， 垂 足 为 F， OF= 米 ， 则 这 段 弯 路 的 长
8、度 为 ( )A. 200 米B. 100 米C. 400 米D. 300 米解 析 ： 设 这 段 弯 路 的 半 径 为 R米OF= 米 ， OE CD CF= CD= 600=300 根 据 勾 股 定 理 ， 得 OC2=CF2+OF2即 R2=3002+(300 )2解 之 ， 得 R=600， sin COF= = ， COF=30 ， 这 段 弯 路 的 长 度 为 ： =200 (m).答 案 ： A.9.(3分 )如 图 ， 在 Rt ABC中 ， B=90 ， AB=3， BC=4， 点 D 在 BC 上 ， 以 AC 为 对 角 线 的 所有 ADCE中 ， DE最 小
9、的 值 是 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 5解 析 ： 在 Rt ABC中 ， B=90 ， BC AB. 四 边 形 ADCE 是 平 行 四 边 形 ， OD=OE， OA=OC. 当 OD取 最 小 值 时 ， DE线 段 最 短 ， 此 时 OD BC. OD AB.又 点 O是 AC的 中 点 ， OD 是 ABC的 中 位 线 ， OD= AB=1.5， ED=2OD=3.答 案 ： B.10.(3分 )二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 ， 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 y=cx+a在 同 一平 面 直 角 坐 标 系 中 的 大
10、致 图 象 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 根 据 二 次 函 数 图 象 与 y轴 的 交 点 可 得 c 0， 根 据 抛 物 线 开 口 向 下 可 得 a 0， 由 对 称轴 在 y轴 右 边 可 得 a、 b 异 号 ， 故 b 0，则 反 比 例 函 数 的 图 象 在 第 一 、 三 象 限 ，一 次 函 数 y=cx+a在 第 一 、 三 、 四 象 限 ，答 案 ： B.二 .填 空 题 ： (本 题 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18 分 .把 最 后 答 案 直 接 填 在 题 中 的 横 线 上 )11.(3分 )分 解 因 式 ： x 3-
11、9x= .解 析 ： x3-9x，=x(x2-9)，=x(x+3)(x-3).答 案 ： x(x+3)(x-3)12.(3分 )某 校 在 今 年 “ 五 四 ” 开 展 了 “ 好 书 伴 我 成 长 ” 的 读 书 活 动 .为 了 解 八 年 级 450名学 生 的 读 书 情 况 ， 随 机 调 查 了 八 年 级 50名 学 生 本 学 期 读 书 册 数 ， 并 将 统 计 数 据 制 成 了 扇 形统 计 图 ， 则 该 校 八 年 级 学 生 读 书 册 数 等 于 3册 的 约 有 名 . 解 析 ： 由 扇 形 统 计 图 可 知 ， 样 本 中 读 书 册 数 等 于 3
12、册 所 占 的 百 分 比 为 ： 1-6%-24%-30%-6%=34%，即 m%=34%，所 以 该 校 八 年 级 学 生 读 书 册 数 等 于 3 册 的 约 有 ： 450 34%=153(名 ).答 案 ： 153.13.(3分 )已 知 (x1， y1)， (x2， y2)为 反 比 例 函 数 y= 图 象 上 的 点 ， 当 x1 x2 0 时 ， y1 y2，则 k 的 一 个 值 可 为 .(只 需 写 出 符 合 条 件 的 一 个 k的 值 )解 析 ： x 1 x2 0， A(x1， y1)， B(x2， y2)同 象 限 ， y1 y2， 点 A， B 都 在
13、第 二 象 限 ， k 0， 例 如 k=-1等 .答 案 ： -114.(3分 )如 果 实 数 x满 足 x2+2x-3=0， 那 么 代 数 式 的 值 为 .解 析 ： 原 式 = (x+1)=x 2+2x+2， 实 数 x 满 足 x2+2x-3=0， x2+2x=3， 原 式 =3+2=5.答 案 ： 5.15.(3分 )如 图 ， 折 叠 矩 形 纸 片 ABCD， 使 B 点 落 在 AD 上 一 点 E 处 ， 折 痕 的 两 端 点 分 别 在 AB、BC上 (含 端 点 )， 且 AB=6， BC=10.设 AE=x， 则 x的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： 设 折
14、 痕 为 PQ， 点 P在 AB边 上 ， 点 Q在 BC边 上 .如 图 1， 当 点 Q与 点 C 重 合 时 ， 根 据 翻 折 对 称 性 可 得EC=BC=10，在 Rt CDE中 ， CE 2=CD2+ED2，即 102=(10-AE)2+62， 解 得 ： AE=2， 即 x=2.如 图 2， 当 点 P与 点 A 重 合 时 ， 根 据 翻 折 对 称 性 可 得AE=AB=6， 即 x=6；所 以 ， x 的 取 值 范 围 是 2 x 6.答 案 ： 2 x 6.16.(3分 )如 图 ， 在 ABC中 ， A=m ， ABC和 ACD的 平 分 线 交 于 点 A1， 得
15、 A1； A1BC和 A 1CD 的 平 分 线 交 于 点 A2， 得 A2； A2012BC 和 A2012CD的 平 分 线 交 于 点 A2013， 则 A2013=度 .解 析 ： A 1B 平 分 ABC， A1C 平 分 ACD， A1BC= ABC， A1CA= ACD， A1CD= A1+ A1BC，即 ACD= A1+ ABC， A 1= ( ACD- ABC)， A+ ABC= ACD， A= ACD- ABC， A1= A， A1= m ， A 1= A， A2= A1= A，以 此 类 推 A2013= A= .答 案 ： .三 .解 答 题 (72 分 ， 解 答
16、时 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.(6分 )计 算 ： .解 析 ： 先 根 据 0 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 及 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 出 各 数 ， 再 根 据 实 数 混 合运 算 的 法 则 进 行 计 算 即 可 . 答 案 ： 原 式 =1+2 - +9 =10+ .18.(7分 )钓 鱼 岛 自 古 以 来 就 是 中 国 领 土 .中 国 有 关 部 门 已 对 钓 鱼 岛 及 其 附 属 岛 屿 开 展 常 态化 监 视 监 测 .如 图 ， E、 F 为 钓 鱼 岛 东 西 两 端
17、 .某 日 ， 中 国 一 艘 海 监 船 从 A 点 向 正 北 方 向 巡 航 ，其 航 线 距 离 钓 鱼 岛 最 近 距 离 CF= 海 里 ， 在 A点 测 得 钓 鱼 岛 最 西 端 F在 点 A的 北 偏 东 30方 向 ； 航 行 22海 里 后 到 达 B点 ， 测 得 最 东 端 E 在 点 B的 东 北 方 向 (C、 F、 E 在 同 一 直 线 上 ).求 钓 鱼 岛 东 西 两 端 的 距 离 .( ， ， 结 果 精 确 到 0.1) 解 析 ： 首 先 根 据 已 知 得 出 CAF=30 ， FC=20 海 里 ， AB=22海 里 ， CBE=45 ， 进
18、而 得 出AC， BC， 以 及 EF 长 度 即 可 .答 案 ： 由 题 意 可 得 出 ： CAF=30 ， FC=20 海 里 ， AB=22海 里 ， CBE=45 ， AC= =60(海 里 )， BC=EC=60-22=38(海 里 )， EF=38-20 3.4(海 里 ).答 ： 钓 鱼 岛 东 西 两 端 的 距 离 约 为 3.4 海 里 .19.(7分 )已 知 f(x)= ， 则 f(1)= f(2)= ， 已 知 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n)= ， 求 n的 值 .解 析 ： 把 f(x)裂 项 为 - ， 然 后 进 行 计 算 即 可 得 解 .答
19、 案 ： f(x)= = - ， f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n)=1- + - + - + + - =1- ， f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n)= ， 1- = ，解 得 n=14.经 检 验 ： n=14是 原 分 式 方 程 的 解故 ： 原 分 式 方 程 的 解 为 n=14.20.(7分 )某 中 学 举 行 “ 中 国 梦 我 的 梦 ” 演 讲 比 赛 .志 远 班 的 班 长 和 学 习 委 员 都 想 去 ， 于 是老 师 制 作 了 四 张 标 有 算 式 的 卡 片 ， 背 面 朝 上 洗 匀 后 ， 先 由 班 长 抽 一 张 ， 再 由 学 习
20、委 员 在 余 下三 张 中 抽 一 张 .如 果 两 张 卡 片 上 的 算 式 都 正 确 ， 班 长 去 ； 如 果 两 张 卡 片 上 的 算 式 都 错 误 ， 学习 委 员 去 ； 如 果 两 张 卡 片 上 的 算 式 一 个 正 确 一 处 错 误 ， 则 都 放 回 去 ， 背 面 朝 上 洗 匀 后 再 抽 .这 个 游 戏 公 平 吗 ？ 请 用 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ， 结 合 概 率 予 以 说 明 . 解 析 ： 首 先 判 断 运 算 正 确 的 卡 片 的 数 量 ， 再 利 用 树 状 图 表 示 出 所 有 可 能 ， 然 后 利 用 概 率
21、的 公式 求 解 即 可 .答 案 ： 由 题 意 可 画 树 状 图 得 ： 四 张 卡 片 中 B和 D正 确 ， 两 张 都 正 确 的 只 有 2种 情 况 ， 两 张 卡 片 上 的 算 式 都 错 误 的 只 有AC， CA两 种 情 况 ， 班 长 去 的 概 率 为 ： = ， 学 习 委 员 去 的 概 率 为 ： = .故 此 游 戏 公 平 . 21.(8分 )已 知 反 比 例 函 数 的 图 象 与 一 次 函 数 y=k2x+m 的 图 象 交 于 A(-1， a)、 B( ， -3)两 点 ， 连 结 AO.(1)求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表
22、 达 式 ；(2)设 点 C 在 y 轴 上 ， 且 与 点 A、 O构 成 等 腰 三 角 形 ， 请 直 接 写 出 点 C 的 坐 标 . 解 析 ： (1)将 点 A(-1， a)、 B( ， -3)代 入 反 比 例 函 数 中 得 ： -3 =(-1) a=k1， 可 求k1、 a； 再 将 点 A(-1， a)、 B( ， -3)代 入 y2=k2x+m中 ， 列 方 程 组 求 k2、 m 即 可 ；(2)分 三 种 情 况 ： OA=OC； AO=AC； CA=CO； 讨 论 可 得 点 C 的 坐 标 .答 案 ： (1) 反 比 例 函 数 的 图 象 经 过 B( ，
23、-3)， k 1=3 (-3)=-3， 反 比 例 函 数 的 图 象 经 过 点 A(-1， a)， a=1.由 直 线 y2=k2x+m过 点 A， B 得 ：，解 得 . 反 比 例 函 数 关 系 式 为 y=- ， 一 次 函 数 关 系 式 为 y=-3x-2；(2)点 C 在 y 轴 上 ， 且 与 点 A、 O 构 成 等 腰 三 角 形 ， 点 C 的 坐 标 为 ： (0， - )或 (0， )或 (0，2)或 (0， 1). 如 图 ， 线 段 OA 的 垂 直 平 分 线 与 y 轴 的 交 点 ， 有 1 个 ；以 点 A为 圆 心 、 AO 长 为 半 径 的 圆
24、与 y 轴 的 交 点 ， 有 1个 ；以 点 O为 圆 心 、 OA 长 为 半 径 的 圆 与 y 轴 的 交 点 ， 有 2个 .以 上 四 个 点 为 所 求 .22.(8分 )选 取 二 次 三 项 式 ax2+bx+c(a 0)中 的 两 项 ， 配 成 完 全 平 方 式 的 过 程 叫 配 方 .例 如 选 取 二 次 项 和 一 次 项 配 方 ： x2-4x+2=(x-2)2-2； 选 取 二 次 项 和 常 数 项 配 方 ： ， 或 选 取 一 次 项 和 常 数 项 配 方 ：根 据 上 述 材 料 ， 解 决 下 面 问 题 ：(1)写 出 x2-8x+4的 两 种
25、 不 同 形 式 的 配 方 ；(2)已 知 x2+y2+xy-3y+3=0， 求 xy的 值 .解 析 ： (1)根 据 配 方 法 的 步 骤 根 据 二 次 项 系 数 为 1， 常 数 项 是 一 次 项 系 数 的 一 半 的 平 方 进 行配 方 和 二 次 项 和 常 数 项 在 一 起 进 行 配 方 即 可 .(2)根 据 配 方 法 的 步 骤 把 x 2+y2+xy-3y+3=0变 形 为 (x+ y)2+ (y-2)2=0， 再 根 据 x+ y=0， y-2=0，求 出 x， y 的 值 ， 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)x2-8x+4=x2-8x+16
26、-16+4=(x-4)2-12；x2-8x+4=(x-2) 2+4x-8x=(x-2)2-4x；(2)x2+y2+xy-3y+3=0，(x+ y)2+ (y-2)2=0，x+ y=0， y-2=0，x=-1， y=2，则 x y=(-1)2=1；23.(8分 )今 年 ， 6 月 12 日 为 端 午 节 .在 端 午 节 前 夕 ， 三 位 同 学 到 某 超 市 调 研 一 种 进 价 为 2元 的 粽 子 的 销 售 情 况 .请 根 据 小 丽 提 供 的 信 息 ， 解 答 小 华 和 小 明 提 出 的 问 题 . (1)小 华 的 问 题 解 答 ： ；(2)小 明 的 问 题
27、解 答 ： .解 析 ： (1)设 定 价 为 x元 ， 利 润 为 y 元 ， 根 据 利 润 =(定 价 -进 价 ) 销 售 量 ， 列 出 函 数 关 系 式 ，结 合 x的 取 值 范 围 ， 求 出 当 y取 800时 ， 定 价 x的 值 即 可 ；(2)根 据 (1)中 求 出 的 函 数 解 析 式 ， 运 用 配 方 法 求 最 大 值 ， 并 求 此 时 x 的 值 即 可 . 答 案 ： (1)设 定 价 为 x 元 ， 利 润 为 y 元 ， 则 销 售 量 为 ： (500- 10)，由 题 意 得 ， y=(x-2)(500- 10)=-100 x2+1000 x
28、-1600=-100(x-5)2+900，当 y=800 时 ，-100(x-5) 2+900=800，解 得 ： x=4或 x=6， 售 价 不 能 超 过 进 价 的 240%， x 2 240%，即 x 4.8，故 x=4，即 小 华 问 题 的 解 答 为 ： 当 定 价 为 4元 时 ， 能 实 现 每 天 800元 的 销 售 利 润 ；(2)由 (1)得 y=-100(x-5) 2+900， -100 0， 函 数 图 象 开 口 向 下 ， 且 对 称 轴 为 直 线 x=5， x 4.8，故 当 x=4.8时 函 数 能 取 最 大 值 ，即 ymax=-100(4.8-5)
29、2+900=896.故 小 明 的 问 题 的 解 答 为 ： 800 元 的 销 售 利 润 不 是 最 多 ， 当 定 价 为 4.8元 时 ， 每 天 的 销 售 利 润最 大 .24.(9分 )通 过 类 比 联 想 、 引 申 拓 展 研 究 典 型 题 目 ， 可 达 到 解 一 题 知 一 类 的 目 的 .下 面 是 一 个案 例 ， 请 补 充 完 整 .原 题 ： 如 图 1， 点 E、 F分 别 在 正 方 形 ABCD的 边 BC、 CD 上 ， EAF=45 ， 连 接 EF， 则 EF=BE+DF， 试 说 明 理 由 .(1)思 路 梳 理 AB=AD， 把 AB
30、E绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADG， 可 使 AB与 AD重 合 . ADC= B=90 ， FDG=180 ， 点 F、 D、 G 共 线 . 根 据 ， 易 证 AFG ， 得 EF=BE+DF.(2)类 比 引 申如 图 2， 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD， BAD=90 点 E、 F分 别 在 边 BC、 CD上 ， EAF=45 .若 B、 D 都 不 是 直 角 ， 则 当 B 与 D满 足 等 量 关 系 时 ， 仍 有 EF=BE+DF.(3)联 想 拓 展 如 图 3， 在 ABC中 ， BAC=90 ， AB=AC， 点 D、 E 均 在 边 BC
31、上 ， 且 DAE=45 .猜 想 BD、DE、 EC应 满 足 的 等 量 关 系 ， 并 写 出 推 理 过 程 .解 析 ： (1)把 ABE 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADG， 可 使 AB与 AD 重 合 ， 再 证 明 AFG AFE进 而 得 到 EF=FG， 即 可 得 EF=BE+DF；(2) B+ D=180 时 ， EF=BE+DF， 与 (1)的 证 法 类 同 ；(3)根 据 AEC绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90 得 到 ABE ， 根 据 旋 转 的 性 质 ， 可 知 AEC ABE得 到 BE =EC， AE =AE， C= ABE ， E
32、AC= E AB， 根 据 Rt ABC中 的 ， AB=AC 得 到 E BD=90 ， 所 以 E B 2+BD2=E D2， 证 AE D AED， 利 用 DE=DE 得 到 DE2=BD2+EC2；答 案 ： (1) AB=AD， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADG， 可 使 AB与 AD重 合 . BAE= DAG， BAD=90 ， EAF=45 ， BAE+ DAF=45 ， EAF= FAG， ADC= B=90 ， FDG=180 ， 点 F、 D、 G 共 线 ，在 AFE和 AFG中 ， AFE AFG(SAS)， EF=FG，即 ： EF=BE
33、+DF.(2) B+ D=180 时 ， EF=BE+DF； AB=AD， 把 ABE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90 至 ADG， 可 使 AB与 AD重 合 ， BAE= DAG， BAD=90 ， EAF=45 ， BAE+ DAF=45 ， EAF= FAG， ADC+ B=180 ， FDG=180 ， 点 F、 D、 G 共 线 ，在 AFE和 AFG中 ， AFE AFG(SAS)， EF=FG，即 ： EF=BE+DF.(3)猜 想 ： DE 2=BD2+EC2，证 明 ： 根 据 AEC绕 点 A顺 时 针 旋 转 90 得 到 ABE ， AEC ABE ， BE =E
34、C， AE =AE， C= ABE ， EAC= E AB，在 Rt ABC中 ， AB=AC， ABC= ACB=45 ， ABC+ ABE =90 ，即 E BD=90 ， E B 2+BD2=E D2，又 DAE=45 ， BAD+ EAC=45 ， E AB+ BAD=45 ，即 E AD=45 ，在 AE D和 AED 中 ， AE D AED(SAS)， DE=DE ， DE 2=BD2+EC2.25.(12分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 AB交 x轴 于 点 A(5， 0)， 交 y轴 于 点 B， AO是 M的 直 径 ， 其 半 圆 交 AB
35、 于 点 C， 且 AC=3.取 BO 的 中 点 D， 连 接 CD、 MD 和 OC.(1)求 证 ： CD是 M 的 切 线 ； (2)二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 D、 M、 A， 其 对 称 轴 上 有 一 动 点 P， 连 接 PD、 PM， 求 PDM的 周 长最 小 时 点 P的 坐 标 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 当 PDM的 周 长 最 小 时 ， 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 Q， 使 S QAM= S PDM？ 若 存在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)连 接 CM， 可 以 得
36、 出 CM=OM， 就 有 MOC= MCO， 由 OA 为 直 径 ， 就 有 ACO=90 ， D为 OB 的 中 点 ， 就 有 CD=OD， DOC= DCO， 由 DOC+ MOC=90 就 可 以 得 出 DCO+ MCO=90而 得 出 结 论 ；(2)根 据 条 件 可 以 得 出 ACO AOB而 求 出 ， 从 而 求 出 AB， 在 Rt AOB中 由 勾 股 定理 就 可 以 求 出 OB的 值 ， 根 据 D 是 OB的 中 点 就 可 以 求 出 D 的 坐 标 ， 由 待 定 系 数 法 就 可 以 求 出抛 物 线 的 解 析 式 ， 求 出 对 称 轴 ， 根
37、 据 轴 对 称 的 性 质 连 接 AD 交 对 称 轴 于 P， 先 求 出 AD的 解 析式 就 可 以 求 出 P的 坐 标 ；(3)根 据 S PDM=S ADM-S APM而 求 出 其 值 就 可 以 表 示 出 S QAM的 大 小 ， 设 Q 的 纵 坐 标 为 m， 根 据 三 角形 的 面 积 公 式 就 可 以 求 出 横 坐 标 而 得 出 结 论 .答 案 ： (1)连 接 CM， AO 是 直 径 ， M是 圆 心 ， CM=OM， ACO=90 ， MOC= MCO. D 为 OB 的 中 点 ， CD=OD， DOC= DCO. DOC+ MOC=90 ， D
38、CO+ MCO=90 ，即 MCD=90 ， CD 是 M的 切 线 ； (2) ACO= AOB=90 ， OAB= OAB， ACO AOB， ， ， AB= .在 Rt AOB中 ， 由 勾 股 定 理 ， 得BO= ， D 为 OB 的 中 点 ， OD= OB= ， D(0， ). OM=AM= OA= ， M( ， 0).设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x- )(x-5)， 由 题 意 ， 得=a(0- )(0-5)，解 得 ： a= ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= (x- )(x-5)， = (x- )2- .连 接 AD交 对 称 轴 于 P， 设 直 线 AD的 解 析 式 为 y=kx+b， 由 题 意 ， 得，解 得 ： ， 直 线 AD 的 解 析 式 为 ： y=- x+ ，当 x= 时 ， y= ， P( ， )； (3)存 在 . S PDM=S ADM-S APM， S PDM= - ，= ， S QAM= = .设 Q 的 纵 坐 标 为 m， 由 题 意 ， 得， |m|= ， m= ，当 m= 时 ，= (x- ) 2- .x1= ， x2= ，当 m=- 时 ，- = (x- )2- .x= . Q( ， )， ( ， )， ( ， - ).
