1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 江 西 卷 ）文 科 数 学本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 第 卷 1至 2页 ， 第 卷 3至 4页 。 全 卷满 分 150分 。 考 试 时 间 120分 钟 。考 生 注 意 ：1. 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 准 考 证 号 、 姓 名 填 写 在 答 题 卡 上 。 考 生 要 认 真 核 对 答 题 卡 上 粘 帖 的 条 形码 的 “ 准 考 证 号 、 姓 名 、 考 试 科 目 ” 与 考 生 本 人
2、 准 考 证 号 、 姓 名 是 否 一 致 。2. 第 卷 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 如 需 改 动 ， 用 橡 皮 擦干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 第 卷 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写 作 答 ， 若 在 试 题 卷 上 答 题 ， 答 案 无 效 。4. 考 试 结 束 ， 监 考 员 将 试 题 卷 、 答 题 卡 一 并 收 回 。第 卷一 .选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 50分
3、 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1 . 复 数 z=i（ -2 -i） （ i 为 虚 数 单 位 ） 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 在A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限2.若 集 合 A= x R|ax 2+ax+1 其 中 只 有 一 个 元 素 ， 则 a=A.4 B.2 C.0 D.0或 43.若 sina= 33 ， 则 cosa=A.-3 B.-13 C. 13 D. 34.集 合 A=2,3,B=1,2,3,从 A,B中 各 取 任 意 一 个 数 ， 则
4、 这 两 数 之 和 等 于 4 的 概 率 是A3 B. 1 C. 13 D. 165.总 体 编 号 为 01， 02， 19， 20的 20 个 个 体 组 成 。 利 用 下 面 的 随 机 数 表 选 取 5 个 个 体 ， 选 取 方法 是 从 随 机 数 表 第 1行 的 第 5列 和 第 6列 数 字 开 始 由 左 到 右 依 次 选 取 两 个 数 字 ， 则 选 出 来 的 第 5 个 个体 的 编 号 为 A.08 B.07 C.02 D.016.下 列 选 项 中 ， 使 不 等 式 x 1 x2成 立 的 x的 取 值 范 围 是A.（ ， -1） B. （ -1，
5、 0） C.0， 1） D.（ 1， +）7.阅 读 如 下 程 序 框 图 ， 如 果 输 出 i=4， 那 么 空 白 的 判 断 框 中 应 填 入 的 条 件 是A.S 8 B.S 9 C.S 10 D.S 118.一 几 何 体 的 三 视 图 如 右 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为A.200+9B.200+18C.140+9D.140+18 9.已 知 点 A（ 2， 0） ， 抛 物 线 C： x2=4y的 焦 点 为 F， 射 线 FA与 抛 物 线 C相 交 于 点 M， 与 其 准 线 相 交于 点 N， 则 |FM|： |MN|=A.2: 5 B.1:2
6、C.1: 5 D.1:310.如 图 。 已 知 l1 l2， 圆 心 在 l1上 、 半 径 为 1m的 圆 O在 t=0时 与 l2相 切 于 点 A， 圆 O沿 l1以 1m/s的 速 度 匀速 向 上 移 动 ， 圆 被 直 线 l2所 截 上 方 圆 弧 长 记 为 x，令 y=cosx， 则 y与 时 间 t（ 0 x 1， 单 位 ： s）的 函 数 y=f（ t） 的 图 像 大 致 为 第 卷注 意 事 项 ：第 卷 共 2 页 ， 须 用 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写 作 答 ， 在 试 卷 上 作 答 ， 答 案 无 效 。二 填 空 题 ： 本
7、 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 。11.若 曲 线 y=x +1（ R） 在 点 （ 1， 2） 处 的 切 线 经 过 坐 标 原 点 ， 则 = 。12.某 住 宅 小 区 计 划 植 树 不 少 于 100棵 ， 若 第 一 天 植 2 棵 ， 以 后 每 天 植 树 的 棵 树 是 前 一 天 的 2倍 ，则 需 要 的 最 少 天 数 n（ n N*） 等 于 。 13.设 f（ x） = 3sin3x+cos3x， 若 对 任 意 实 数 x 都 有 |f（ x） | a， 则 实 数 a 的 取 值 范 围是 。14.若 圆 C经 过 坐 标
8、原 点 和 点 （ 4， 0） ， 且 与 直 线 y=1相 切 ， 则 圆 C 的 方 程 是 。15.如 图 ， 正 方 体 的 底 面 与 正 四 面 体 的 底 面 在 同 一 平 面 上 ， 且 AB/CD,则 直 线 EF与 正 方 体 的 六个 面 所 在 的 平 面 相 交 的 平 面 个 数 为 。 三 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。16.（ 本 小 题 满 分 12分 ）正 项 数 列 an 满 足 an-（ 2n-1） an-2n=0.（ 1 ） 求 数 列
9、an 的 通 项 公 式 an；（ 2 ） 令 bn= 1（ n+1） an， 求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Tn。17.（ 本 小 题 满 分 12分 ）在 ABC中 ， 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 sinAsinB+sinBsinC+cos2=1.（ 1 ） 求 证 ： a， b， c 成 等 差 数 列 ；（ 2 ） 若 C=3 ， 求 ab的 值 。 18 （ 本 小 题 满 分 12分 ）小 波 已 游 戏 方 式 决 定 是 去 打 球 、 唱 歌 还 是 去 下 棋 。 游 戏规 则 为 以 O为 起 点 ， 再 从 A1,A2,A
10、3,A4,A5,A6（ 如 图 ） 这 6个 点 中 任 取 两 点 分 别 为 终 点 得 到 两 个 向 量 ， 记 住 这 两 个向 量 的 数 量 积 为 X， 若 X0就 去 打 球 ， 若 X=0就 去 唱 歌 ，若 Xb0)的 离 心 率 = 3 ， a+b=3. (1 ) 球 椭 圆 C 的 方 程 ；(2 ) 如 图 ， A,B,D 是 椭 圆 C 的 顶 点 ， P 是 椭 圆 C 上 除 顶 点 外 的 任 意 点 ， 直 线 DP 交 x 轴 于 点 N 直 线 AD 交BP 于 点 M， 设 BP 的 斜 率 为 k， MN 的 斜 率 为 m， 证 明 2 m-k
11、为 定 值 。2 1 （ 本 小 题 满 分 1 4 分 ）设 函 数 f x = 1x, 0 x a11a 1 x , 1 常 数 且 a （ 0， 1） .（ 1） 当 a=1时 ， 求 f（ f（ 13） ） ；（ 2） 若 x 0满 足 f（ f（ x0） ） = x0,但 f（ x0） x0， 则 称 x0为 f（ x） 的 二 阶 有 且 仅 有 两 个 二 阶 周 期 点 ，并 求 二 阶 周 期 点 x1， x2；（ 3） 对 于 （ 2） 中 x1， x2， 设 A（ x1,f（ f（ x1） ） ） ， B（ x2,f（ f（ x2） ） ） ,C(a2,0)， 记 ABC
12、的 面积 为 s（ a） ， 求 s（ a） 在 区 间 13 , 1上 的 最 大 值 和 最 小 值 。参 考 答 案一 选 择 题1 .D 2 .A 3 .C 4 .C 5 .D 6 .A 7 .B 8 .A 9 .C 1 0 .B二 填 空 题11.212.6 13. 2a 14. 2 23 25( 2) ( ) .2 4x y 15.4三 解 答 题（ 1） 2 (2 1) 2 0, ( 2 )( 1) 0, 0, 2 .n n n n n na n a n a n a a a n （ 2） 由 2na n ，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ), (1 ) .1) 2 2
13、1 2 2 2 3 1 2( 1)n n nb Tn n n n n n n （17. （ 1） 由 已 知 得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B因 为 sinB不 为 0， 所 以 sinA+sinC=2sinB再 由 正 弦 定 理 得 a+c=2b,所 以 a， b， c成 等 差 数 列（ 2） 由 余 弦 定 理 知 2 2 2 2 cosc a b ac C 得 2 2 2 2(2 ) 2 cos 3b a a b ac 化 简 得 35ab 18. 解 ： （ 1 ） x 的 所 有 可 能 取 值 为
14、 -2 ， -1 ， 0 ， 1 。（ 2 ） 数 量 积 为 -2 的 只 有 2 5OA OA 一 种数 量 积 为 -1 的 有 1 5OA OA ，1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA 六 种数 量 积 为 0 的 有 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA 四 种数 量 积 为 1 的 有 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA 四 种故 所 有 可 能 的 情 况 共 有 1 5 种 。 所 以 小 波 去 下 棋
15、 的 概 率 为 1 715p 因 为 去 唱 歌 的 概 率 为 2 415p ， 所 以 小 波 不 去 唱 歌 的 概 率 2 4 111 1 15 15p p 19. 解 ： （ 1 ） x 的 所 有 可 能 取 值 为 -2 ， -1 ， 0 ， 1 。（ 2 ） 数 量 积 为 -2 的 只 有 2 5OA OA 一 种 数 量 积 为 -1 的 有 1 5OA OA ， 1 6 2 4 2 6 3 4 3 5, , , ,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA 六 种数 量 积 为 0 的 有 1 3 1 4 3 6 4 6, , ,OA OA OA OA
16、OA OA OA OA 四 种数 量 积 为 1 的 有 1 2 2 3 4 5 5 6, , ,OA OA OA OA OA OA OA OA 四 种故 所 有 可 能 的 情 况 共 有 1 5 种 。所 以 小 波 去 下 棋 的 概 率 为 1 715p 因 为 去 唱 歌 的 概 率 为 2 415p ， 所 以 小 波 不 去 唱 歌 的 概 率 2 4 111 1 15 15p p 2 2 2 22 2 23 312 4c c a b ba a a a 20.解 ： （ 1） 因 为 e= 故 所 以 2a b 再 由 a+b=3 得 a=2 ,b=1 ,2 2 14xC y 椭
17、 圆 的 方 程 为 ： 1)2 （ 2） 因 为 B（ 2， 0） ， P不 为 椭 圆 顶 点 ， 则 BP方 程 为 y=k(x-2)(k 0且 k 将 代 入 2 2 14x y ， 解 得 22 28 2 4( , )4 1 4 1k kP k k 又 直 线 AD 的 方 程 为 1 12y x 与 联 立 解 得 4 2 4( , )2 1 2 1k kM k k 由 22 28 2 4(0,1), ( , ), ( ,0)4 1 4 1k kD P N xk k 三 点 共 线 可 角 得 4 2( ,0)2 1kN k所 以 MN 的 分 斜 率 为 m= 2 14k ， 则
18、 2 1 12 2 2km k k （ 定 值 ） 21.解 ： （ 1） 当 12a= 时 ， 1 2 1 2 2 2( ) , ( ( ) ( ) 2(1 )3 3 3 3 3 3f f f f （ 22 2 22 21 ,01 ( ),(1 )2) ( ( ) 1 ( ), 1(1 )1 (1 ), 1 1(1 )x x aa a x a x aa af f x x a a x a aa x a a xa a 当 20 x a 时 ， 由 21 x xa 解 得 x=0 ,由 于 f（ 0 ） =0 ,故 x=0 不 是 f（ x） 的 二 阶 周 期 点 ；当 2a x a 时 由 1
19、 ( )(1 ) a x xa a 解 得 2 1ax a a 2( , ),a a因 2 2 2 21 1( )1 1 1 1a a af a a a a a a a a a 故 2 1ax a a 是 f（ x） 的 二 阶 周 期 点 ； 当 2 1a x a a 时 ， 由 21 ( )(1 ) x a xa 解 得 12x a 2( , 1)a a a 因 1 1 1 1( ) (1 )2 1 2 2f a a a a 故 12x a 不 是 f（ x） 的 二 阶 周 期 点 ；当 2 1 1a a x 时 ， 1 (1 )(1 ) x xa a 解 得 2 1 1x a a 2(
20、 1,1)a a 因 2 2 2 21 1 1 1( ) (1 )1 1 1 1 1af a a a a a a a a a 故 2 1 1x a a 是 f（ x） 的 二 阶 周 期 点 。因 此 ， 函 数 ( )f x 有 且 仅 有 两 个 二 阶 周 期 点 ， 1 2 1ax a a ， 2 2 1 1x a a 。 （ 3 ） 由 （ 2 ） 得 2 2 2 21 1( , ), ( , )1 1 1 1a aA Ba a a a a a a a 则 2 3 22 2 21 (1 ) 1 ( 2 2 2)( ) , ( )2 1 2 ( 1)a a a a a as a s aa a a a 因 为 a 在 13 13 ,12 1内 ， 故 ( ) 0s a ， 则 1 1( ) 3 2s a 在 区 间 ， 上 单 调 递 增 ，故 1 1 1 1 1 1( ) 3 2 3 33 2 20s a 在 区 间 ， 上 最 小 值 为 s( )= ， 最 大 值 为 s( )=
