1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (江 西 卷 )数 学 (理 科 )本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 。 第 卷 1至 2 页 ， 第 卷 3至 4页 。 全 卷 满 分 150分 。 考 试 时 间 120分 钟 。考 生 注 意 ：1. 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 准 考 证 号 、 姓 名 填 写 在 答 题 卡 上 。 考 生 要 认 真 核 对 答 题 卡上 粘 帖 的 条 形 码 的 “ 准 考 证 号 、 姓 名 、 考 试 科 目 ” 与 考 生
2、 本 人 准 考 证 号 、 姓 名 是 否 一 致 。2. 第 卷 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 如 需 改 动 ，用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 。 第 卷 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书写 作 答 ， 若 在 试 题 卷 上 答 题 ， 答 案 无 效 。4. 考 试 结 束 ， 监 考 员 将 试 题 卷 、 答 题 卡 一 并 收 回 。 第 卷 （ 选 择 题 共 50分 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小
3、 题 。 每 小 题 5分 ， 共 50分 。 在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1.设 集 合 M=1， 2， zi,i为 虚 数 单 位 ， N= 3， 4 ， M N= 4 ， 则 复 数 z=（）A. -2i B. 2i C. -4i D.4i2.函 数 y= x ln（ 1-x） 的 定 义 域 为（ ）A.(0,1) B.0,1) C.(0,1 D.0,13.等 比 数 列 x， 3x+3， 6x+6， 的 的 第 四 项 等 于（ ）A.-24 B.0 C.12 D.244.总 体 由 编 号 为 01， 02
4、， ， 19， 20的 20个 个 体 组 成 .利 用 下 面 的 随 机 数 表 选 取 5个 个体 ， 选 取 方 法 从 随 机 数 表 第 1行 的 第 5列 和 第 6列 数 字 开 始 由 左 到 右 一 次 选 取 两 个 数 字 ， 则 选 出 来 的 第 5个 个 体 的 编 号 为（ ）7816 6572 0802 6314 0702 4369 972801983204 9234 4934 8200 3623 4869 69387481A.08 B.07 C.02D.015.（ x 2-2x3） 5展 开 式 中 的 常 数 项 为 （）A 80 B.-80 C.40D.
5、-406.若 ， 则 s1,s2,s3的 大 小 关 系 为A. s1 s2 s3 B. s2 s1 s3 C. s2 s3 s1 D. s3 s2 s17.阅 读 如 下 程 序 框 图 ， 如 果 输 出 i=5， 那 么 在 空 白 矩 形 框 中 应 填 入 的 语 句 为A.S=2*i-2 B.S=2*i-1C.S=2*I D.S=2*i+48.如 果 ， 正 方 体 的 底 面 与 正 四 面 体 的 底 面 在 同 一 平 面 上 ， 且 AB/CD， 正 方 体 的 六 个 面所 在 的 平 面 与 直 线 CE,EF相 交 的 平 面 个 数 分 别 记 为 m， n， 那
6、么 m+n= A.8 B.9 C.10 D.119.过 点 （ 2， 0） 引 直 线 的 曲 线 ， O为 坐 标 原 点 ， 当 AOB的 面 积 取 最 大 值 时 ， 直 线 的 斜 率 等 于A. 33 B.- 33 C. 33 D- 310.如 图 ， 半 径 为 1的 半 圆 O与 等 边 三角 形 ABC夹 在 两 平 行 线 1， 2之 间 ， / 1， 与 半 圆 相 交 于 F,G两 点 ，与 三 角 形 ABC两 边 相 交 于 E,D两 点 。设 弧 FG 的 长 为 x(0 x ),y=EB+BC+CD， 若 从 1平 行 移 动到 2， 则 函 数 y=f(x)的
7、 图 像大 致 是 第 卷注 意 事 项 ：第 卷 共 2 页 ， 须 用 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 书 写 作 答 。 若 在 试 题 卷 上 作 答 ， 答 案 无 效 。二 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分11 函 数 y=sin2x+2 3sin2x的 最 小 正 周 期 T为 _.12 设 e1， e2为 单 位 向 量 。 且 e1、 e2的 夹 角 为 3 ， 若 a=e1+3e2， b=2e1， 则 向 量 a在 b方 向 上 的 射 影 为 _.13 设 函 数 f(x)在 （ 0， + ） 内 可 导
8、 ， 且 f(ex)=x+ex， 则 f（ 1） =_.14 抛 物 线 x2=2py（ p 0） 的 焦 点 为 F， 其 准 线 与 双 曲 线 23 - 23 =1相 交 于 A， B两 点 ，若 ABF为 等 边 三 角 形 ， 则 p=_.三 选 做 题 ： 请 在 下 列 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 若 两 题 都 做 按 其 中 一 题 评 阅 计 分 。 本 题 共 5分 。15（ 1） （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 设 曲 线 C的 参 数 方 程 为 ： x=t， y=t 2 （ t为 参 数 ） ，若 以 直 角 坐 标 系 的 原 点
9、为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 简 历 极 坐 标 系 ， 则 曲 线 C的 极 坐 标 方程 为 _.（ 2） （ 不 等 式 选 做 题 ） 在 实 数 范 围 内 ， 不 等 式 |x-2|-1|的 解 集 为 _.四 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。16 （ 本 小 题 满 分 12分 ）在 ABC中 ， 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 cosC+（ conA- 3sinA） cosB=0.（ 1 ） 求 角 B 的
10、大 小 ；（ 2 ） 若 a+c=1 ， 求 b 的 取 值 范 围17 （ 本 小 题 满 分 12分 ）正 项 数 列 a n的 前 n项 和 Sn满 足 ：（ 1 ） 求 数 列 an的 通 项 公 式 an；（ 2 ） 令 bn= 2 2nn+1n+ a（ 2） ， 数 列 bn的 前 n 项 和 为 Tn 证 明 ： 对 于 任 意 n N*， 都 有 Tn 564。18.（ 本 小 题 满 分 12分 ）小 波 以 游 戏 方 式 决 定 是 参 加 学 校 合 唱 团 还 是 参 加 学 校 排 球 队 ， 游 戏 规 则 为 ： 以 0为 起 点 ，再 从 A1， A2， A3
11、， A4， A5， A6， A7， A8（ 如 图 ） 这 8个 点 中 任 取 两 点 分 别 分 终 点 得到 两 个 向 量 ， 记 这 两 个 向 量 的 数 量 积 为 X。 若 X=0就 参 加 学 校 合 唱 团 ， 否 则 就 参 加 学 校排 球 队 。 （ 1） 求 小 波 参 加 学 校 合 唱 团 的 概 率 ；（ 2） 求 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 。 19（ 本 小 题 满 分 12分 ）如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 平 面 ABCD， E为 BD的 中 点 ， G为 PD的 中 点 ， DAB DCB， EA=EB=AB=1， PA
12、=32， 连 接 CE并 延 长 交 AD于 F （ 1） 求 证 ： AD 平 面 CFG；（ 2） 求 平 面 BCP与 平 面 DCP的 夹 角 的 余 弦 值20 （ 本 小 题 满 分 13分 ）如 图 ， 椭 圆 经 过 点 P（ 1. 32） ， 离 心 率 e=12， 直 线 l的 方 程 为x=4. （ 1） 求 椭 圆 C的 方 程 ；（ 2） AB是 经 过 右 焦 点 F的 任 一 弦 （ 不 经 过 点 P） ， 设 直 线 AB与 直 线 l相 交 于 点 M， 记PA， PB， PM的 斜 率 分 别 为 k1， k2， k3。 问 ： 是 否 存 在 常 数 ，
13、 使 得 k1+k2= k3？若 存 在 ， 求 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由21.（ 本 小 题 满 分 14分 ）已 知 函 数 f（ x） =a（ 1-2丨 x-12丨 ） ， a为 常 数 且 a 0.（ 1） 证 明 ： 函 数 f（ x） 的 图 像 关 于 直 线 x=12对 称 ；（ 2） 若 x0满 足 f（ f（ x0） ） =x0 ， 但 f（ x0） x0， 则 称 x0为 函 数 f（ x） 的 二 阶 周 期 点 ，如 果 f（ x） 有 两 个 二 阶 周 期 点 x1， x2， 试 确 定 a的 取 值 范 围 ；（ 3） 对 于 （ 2） 中
14、 的 x1， x2， 和 a， 设 x3为 函 数 f（ f（ x） ） 的 最 大 值 点 ， A（ x1， f（ f（ x1） ） ） ，B（ x2， f（ f（ x2） ） ） ， C（ x3， 0） ， 记 ABC的 面 积 为 S（ a） ， 讨 论 S（ a） 的 单 调性 。 参 考 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 。1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9.B 10.D二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 。11. 12.52
15、13.2 14.6三 、 选 做 题 ： 本 大 题 5 分 。15. （ 1） 2cos sin 0 （ 2） 0,4四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 。16. （ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： （ 1） 由 已 知 得 cos( ) cos cos 3sin cos 0A B A B A B 即 有 sin sin 3sin cos 0A B A B 因 为 sin 0A ， 所 以 sin 3cos 0B B ， 又 cos 0B ， 所 以 tan 3B ， 又 0 B ， 所 以 3B 。（ 2） 由 余 弦 定 理 ， 有 2 2 2 2
16、 cosb a c ac B 。因 为 11,cos 2a c B ， 有 2 21 13( )2 4b a 。又 0 1a ， 于 是 有 21 14 b ， 即 有 1 12 b 。17.（ 本 小 题 满 分 12分 ）（ 1） 解 ： 由 2 2 2( 1) ( ) 0n nS n n S n n ， 得 2( ) ( 1) 0n nS n n S 。 由 于 na 是 正 项 数 列 ， 所 以 20,n nS S n n 。于 是 1 1 2, 2a S n 时 ， 2 21 ( 1) ( 1) 2n n na S S n n n n n 。综 上 ， 数 列 na 的 通 项 2
17、na n 。（ 2） 证 明 ： 由 于 2 212 , ( 2)n n nna n b n a 。则 2 2 2 21 1 1 14 ( 2) 16 ( 2)n nb n n n n 。2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1116 3 2 4 3 5 ( 1) ( 1) ( 2)nT n n n n 2 2 2 21 1 1 1 1 1 51 (1 )16 2 ( 1) ( 2) 16 2 64n n 。18.（ 本 小 题 满 分 12分 ）解 ： （ 1） 从 8 个 点 中 任 意 取 两 点 为 向 量 终 点 的 不 同 取 法 共 有 28 28
18、C 种 ， 0 时 ， 两 向 量 夹 角 为 直 角 共 有 8种 情 形 ； 所 以 小波 参 加 学 校 合 唱 团 的 概 率 为 8 2( 0) 28 7P 。（ 2） 两 向 量 数 量 积 的 所 有 可 能 取 值 为 2, 1,0,1, 2 时 ，有 两 种 情 形 ； 1 时 ， 有 8种 情 形 ； 1 时 ， 有 10种 情 形 。所 以 的 分 布 列 为 ： 2 1 0 1P 114 514 27 271 5 2 2 3( 2) +( 1) 0 114 14 7 7 14E 。19.（ 本 大 题 满 分 12分 ）解 ： （ 1） 在 ABD 中 ， 因 为 E是
19、 BD的 中 点 ， 所 以 1EA EB ED AB , 故 ,2 3BAD ABE AEB ，因 为 DAB DCB ,所 以 EAB ECB ,从 而 有 FED FEA ， 故 ,EF AD AF FD ,又 因 为 ,PG GD 所 以 FG PA。 又 PA平 面 ABCD，所 以 ,GF AD 故 AD平 面 CFG 。（ 2） 以 点 A为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系 ， 则 3 3(0,0,0), (1,0,0), ( , ,0), (0, 3,0)2 2A B C D ,3(0,0, )2P ， 故 1 3 3 3 3 3 3( 0), ( ,
20、), ( , ,0)2 2 2 2 2 2 2BC CP CD ， ， ，设 平 面 BCP的 法 向 量 1 1 1(1, , )n y z ， 则 1 1 11 3 02 23 3 3 02 2 2yy z ，解 得 1 1 3323yz ， 即 1 3 2(1, , )3 3n 。设 平 面 DCP的 法 向 量 2 2 2(1, , )n y z ， 则 22 23 3 02 23 3 3 02 2 2yy z ， 解 得 22 32yz ，即 2 (1, 3,2)n 。 从 而 平 面 BCP与 平 面 DCP的 夹 角 的 余 弦 值 为 1 21 2 4 23cos 416 89
21、n nn n 。20.（ 本 大 题 满 分 13分 ）解 ： （ 1） 由 3(1, )2P 在 椭 圆 上 得 ， 2 21 9 14a b 依 题 设 知 2a c ， 则 2 23b c 代 入 解 得 2 2 21, 4, 3c a b 。故 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 14 3x y 。（ 2） 方 法 一 ： 由 题 意 可 设 AB的 斜 率 为 k ，则 直 线 AB的 方 程 为 ( 1)y k x 代 入 椭 圆 方 程 2 23 4 12x y 并 整 理 ， 得2 2 2 2(4 3) 8 4( 3) 0k x k x k ，设 1 1 2 2( , ), (
22、 , )A x y B x y ， 则 有2 21 2 1 22 28 4( 3),4 3 4 3k kx x x xk k 在 方 程 中 令 4x 得 ， M 的 坐 标 为 (4,3 )k 。 从 而 1 21 2 31 23 3 33 12 2 2, ,1 1 4 1 2y y kk k k kx x 。 注 意 到 , ,A F B共 线 ， 则 有 AF BFk k k ， 即 有 1 21 21 1y y kx x 。所 以 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 23 3 3 1 12 2 ( )1 1 1 1 2 1 2y y y yk k x x x x x x 1 21
23、 2 1 2232 2 ( ) 1x xk x x x x 代 入 得 221 2 2 22 28 23 4 32 2 14( 3) 82 14 3 4 3kkk k k kk kk k ，又 3 12k k ， 所 以 1 2 32k k k 。 故 存 在 常 数 2 符 合 题 意 。方 法 二 ： 设 0 0 0( , )( 1)B x y x ， 则 直 线 FB的 方 程 为 ： 00 ( 1)1yy xx ，令 4x ， 求 得 003(4, )1yM x ，从 而 直 线 PM 的 斜 率 为 0 03 02 12( 1)y xk x ，联 立 002 2 ( 1)114 3y
24、y xxx y ， 得 0 00 05 8 3( , )2 5 2 5x yA x x ，则 直 线 PA的 斜 率 为 ： 0 01 02 2 52( 1)y xk x ， 直 线 PB的 斜 率 为 ： 02 02 32( 1)yk x ，所 以 0 0 0 0 0 1 2 30 0 02 2 5 2 3 2 1 22( 1) 2( 1) 1y x y y xk k kx x x ，故 存 在 常 数 2 符 合 题 意 。21.（ 本 大 题 满 分 14分 ）（ 1） 证 明 ： 因 为 1 1( ) (1 2 ), ( ) (1 2 )2 2f x a x f x a x ， 有 1
25、 1( ) ( )2 2f x f x ，所 以 函 数 ( )f x 的 图 像 关 于 直 线 12x 对 称 。（ 2） 解 ： 当 10 2a 时 ， 有 224 ,( ( ) 4 (1 ),a xf f x a x 1,21.2xx所 以 ( ( )f f x x 只 有 一 个 解 0 x ， 又 (0) 0f ， 故 0不 是 二 阶 周 期 点 。 当 12a 时 ， 有 ,( ( ) 1 ,xf f x x 1,21.2xx 所 以 ( ( )f f x x 有 解 集 1| 2x x ， 又 当 12x 时 ， ( )f x x ， 故 1| 2x x 中 的 所 有 点
26、都 不 是二 阶 周 期 点 。当 12a 时 ， 有 2 2 22 2 1 ,44 , 1 1,2 4 , 4 2( ( ) 1 4 12 (1 2 ) 4 , ,2 44 4 , 4 1.4x aa x xa a x af f x aa a a x x aa a x ax a 所 以 ( ( )f f x x 有 四 个 解 22 22 2 40, , ,1 4 1 2 1 4a a aa a a ， 又 2 2(0) 0, ( )1 2 1 2a af f a a ， 2 2 2 22 2 4 4( ) , ( )1 4 1 4 1 4 1 4a a a af fa a a a ， 故
27、只 有 22 22 4,1 4 1 4a aa a 是 ( )f x 的 二 阶 周 期 点 。 综 上 所述 ， 所 求 a 的 取 值 范 围 为 12a 。（ 3） 由 （ 2） 得 21 22 22 4,1 4 1 4a ax xa a ，因 为 3x 为 函 数 ( ( )f f x 的 最 大 值 点 ， 所 以 3 14x a 或 3 4 14ax a 。当 3 14x a 时 ， 22 1( ) 4(1 4 )aS a a 。 求 导 得 ： 2 21 2 1 22( )( )2 2( ) (1 4 )a aS a a ，所 以 当 1 1 2( , )2 2a 时 ， ( )S a 单 调 递 增 ， 当 1 2( , )2a 时 ( )S a 单 调 递 减 ；当 3 4 14ax a 时 ， 2 28 6 1( ) 4(1 4 )a aS a a ， 求 导 得 ： 2 2 212 4 3( ) 2(1 4 )a aS a a ，因 12a ， 从 而 有 2 2 212 4 3( ) 02(1 4 )a aS a a ，所 以 当 1( , )2a 时 ( )S a 单 调 递 增 。
