1、2013年 四 川 省 绵 阳 市 中 考 真 题 数 学一 .选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 36 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.(3分 ) 的 相 反 数 是 ( )A.B.C.-D.-解 析 ： 的 相 反 数 为 ： - . 答 案 ： C.2.(3分 )下 列 “ 数 字 ” 图 形 中 ， 有 且 仅 有 一 条 对 称 轴 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 有 一 条 对 称 轴 ， 故 本 选 项 正 确 ；B、 没 有 对 称 轴
2、， 故 本 选 项 错 误 ；C、 有 两 条 对 称 轴 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 有 两 条 对 称 轴 ， 故 本 选 项 错 误 ；答 案 ： A. 3.(3分 )2013 年 ， 我 国 上 海 和 安 徽 首 先 发 现 “ H7N9” 禽 流 感 ， H7N9是 一 种 新 型 禽 流 感 ， 其病 毒 颗 粒 呈 多 形 性 ， 其 中 球 形 病 毒 的 最 大 直 径 为 0.00000012 米 ， 这 一 直 径 用 科 学 记 数 法 表示 为 ( )A.1.2 10-9米B.1.2 10-8米C.12 10-8米D.1.2 10-7米解 析 ： 0.000
3、00012=1.2 10 -7.答 案 ： D.4.(3分 )设 “ ” 、 “ ” 、 “ ” 分 别 表 示 三 种 不 同 的 物 体 ， 现 用 天 平 秤 两 次 ， 情 况 如 图所 示 ， 那 么 、 、 这 三 种 物 体 按 质 量 从 大 到 小 排 列 应 为 ( )A. 、 、 B. 、 、 C. 、 、 D. 、 、 解 析 ： 设 、 、 的 质 量 为 a、 b、 c，由 图 形 可 得 ： ，由 得 ： c a，由 得 ： a=2b，故 可 得 c a b.答 案 ： C.5.(3分 )把 如 图 中 的 三 棱 柱 展 开 ， 所 得 到 的 展 开 图 是
4、( ) A. B.C.D. 解 析 ： 根 据 两 个 全 等 的 三 角 形 ， 在 侧 面 三 个 长 方 形 的 两 侧 ， 这 样 的 图 形 围 成 的 是 三 棱 柱 .把 图 中 的 三 棱 柱 展 开 ， 所 得 到 的 展 开 图 是 B.答 案 ： B.6.(3分 )下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形B.对 角 线 互 相 垂 直 的 梯 形 是 等 腰 梯 形C.对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形D.对 角 线 相 等 且 互 相 平 分 的 四 边 形 是 矩 形解
5、 析 ： A、 对 角 线 互 相 垂 直 且 平 分 的 四 边 形 是 菱 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 对 角 线 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 对 角 线 相 等 且 互 相 平 分 的 四 边 形 是 矩 形 ， 故 本 选 项 正 确 ； 答 案 ： D.7.(3分 )如 图 ， 要 拧 开 一 个 边 长 为 a=6mm的 正 六 边 形 螺 帽 ， 扳 手 张 开 的 开 口 b 至 少 为 ( )A. mmB.12mm
6、C. mmD. mm解 析 ： 设 正 多 边 形 的 中 心 是 O， 其 一 边 是 AB， AOB= BOC=60 ， OA=OB=AB=OC=BC， 四 边 形 ABCO 是 菱 形 ， AB=6mm， AOB=60 ， cos BAC= ， AM=6 =3 ， OA=OC， 且 AOB= BOC， AM=MC= AC， AC=2AM=6 (mm). 答 案 ： C8.(3分 )朵 朵 幼 儿 园 的 阿 姨 给 小 朋 友 分 苹 果 ， 如 果 每 人 3个 还 少 3个 ， 如 果 每 人 2 个 又 多 2个 ， 请 问 共 有 多 少 个 小 朋 友 ？ ( )A.4 个B.
7、5 个C.10个D.12个解 析 ： 设 有 x 个 小 朋 友 ，由 题 意 得 ， 3x-3=2x+2，解 得 ： x=5.答 案 ： B. 9.(3分 )如 图 ， 在 两 建 筑 物 之 间 有 一 旗 杆 ， 高 15米 ， 从 A点 经 过 旗 杆 顶 点 恰 好 看 到 矮 建 筑物 的 墙 角 C点 ， 且 俯 角 为 60 ， 又 从 A点 测 得 D点 的 俯 角 为 30 ， 若 旗 杆 底 点 G 为 BC的 中 点 ， 则 矮 建 筑 物 的 高 CD 为 ( )A.20米B. 米C. 米 D. 米解 析 ： 点 G 是 BC 中 点 ， EG AB， EG 是 AB
8、C的 中 位 线 ， AB=2EG=30 米 ，在 Rt ABC中 ， CAB=30 ，则 BC=ABtan BAC=30 =10 米 .如 图 ， 过 点 D 作 DF AF 于 点 F.在 Rt AFD中 ， AF=BC=10 米 ，则 FD=AF tan =10 =10米 ，综 上 可 得 ： CD=AB-FD=30-10=20 米 . 答 案 ： A10.(3分 )如 图 ， 四 边 形 ABCD是 菱 形 ， 对 角 线 AC=8cm， BD=6cm， DH AB于 点 H， 且 DH与 AC交 于 G， 则 GH=( )A. cm B. cmC. cmD. cm解 析 ： 四 边
9、形 ABCD是 菱 形 ， 对 角 线 AC=8cm， BD=6cm， AO=4cm， BO=3cm，在 Rt AOB中 ， AB= =5cm， BD AC=AB DH， DH= cm， 在 Rt DHB中 ， BH= = cm， 则 AH=AB-BH= cm， tan HAG= = = ， GH= AH= cm.答 案 ： B.11.(3分 )“ 服 务 他 人 ， 提 升 自 我 ” ， 七 一 学 校 积 极 开 展 志 愿 者 服 务 活 动 ， 来 自 初 三 的 5 名同 学 (3男 两 女 )成 立 了 “ 交 通 秩 序 维 护 ” 小 分 队 ， 若 从 该 小 分 队 中
10、任 选 两 名 同 学 进 行 交 通 秩序 维 护 ， 则 恰 好 是 一 男 一 女 的 概 率 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 根 据 题 意 画 出 树 状 图 如 下 ： 一 共 有 20 种 情 况 ， 恰 好 是 一 男 一 女 的 有 12种 情 况 ，所 以 ， P(恰 好 是 一 男 一 女 )= = .答 案 ： D.12.(3分 )把 所 有 正 奇 数 从 小 到 大 排 列 ， 并 按 如 下 规 律 分 组 ： (1)， (3， 5， 7)， (9， 11， 13，15， 17)， (19， 21， 23， 25， 27， 29， 31)， ， 现 用 等
11、 式 AM=(i， j)表 示 正 奇 数 M 是 第 i组 第 j个 数 (从 左 往 右 数 )， 如 A 7=(2， 3)， 则 A2013=( )A.(45， 77)B.(45， 39)C.(32， 46)D.(32， 23)解 析 ： 2013是 第 =1007个 数 ，设 2013在 第 n 组 ， 则 1+3+5+7+ +(2n-1) 1007，即 1007，解 得 ： n 31.7， 当 n=31时 ， 1+3+5+7+ +61=961；当 n=32时 ， 1+3+5+7+ +63=1024；故 第 1007 个 数 在 第 32 组 ，第 1024个 数 为 ： 2 1024
12、-1=2047，第 32 组 的 第 一 个 数 为 ： 2 962-1=1923，则 2013是 ( +1)=46个 数 .故 A 2013=(32， 46).答 案 ： C.二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24分 .将 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 横 线 上 .13.(4分 )因 式 分 解 ： x2y4-x4y2= .解 析 ： 首 先 提 取 公 因 式 x2y2， 再 利 用 平 方 差 进 行 二 次 分 解 即 可 .答 案 ： 原 式 =x2y2(y2-x2)=x 2y2(y-x)(y+x).故 答 案 为
13、： x2y2(y-x)(y+x).14.(4分 )如 图 ， AC、 BD相 交 于 O， AB DC， AB=BC， D=40 ， ACB=35 ， 则 AOD= .解 析 ： AB=BC， BAC= ACB=35 ， AB CD， D= ABD=40 ， AOD= ABD+ BAC=75 .答 案 ： 75 .15.(4分 )如 图 ， 把 “ QQ” 笑 脸 放 在 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 左 眼 A的 坐 标 是 (-2， 3)， 嘴 唇 C 点的 坐 标 为 (-1， 1)， 则 将 此 “ QQ” 笑 脸 向 右 平 移 3 个 单 位 后 ， 右 眼 B 的 坐 标
14、是 .解 析 ： 左 眼 A的 坐 标 是 (-2， 3)， 嘴 唇 C 点 的 坐 标 为 (-1， 1)， 右 眼 的 坐 标 为 (0， 3)， 向 右 平 移 3个 单 位 后 右 眼 B 的 坐 标 为 (3， 3).答 案 ： (3， 3). 16.(4分 )对 正 方 形 ABCD进 行 分 割 ， 如 图 1， 其 中 E、 F 分 别 是 BC、 CD 的 中 点 ， M、 N、 G 分别 是 OB、 OD、 EF的 中 点 ， 沿 分 化 线 可 以 剪 出 一 副 “ 七 巧 板 ” ， 用 这 些 部 件 可 以 拼 出 很 多 图案 ， 图 2 就 是 用 其 中 6
15、 块 拼 出 的 “ 飞 机 ” .若 GOM的 面 积 为 1， 则 “ 飞 机 ” 的 面 积 为 .解 析 ： 由 “ 飞 机 ” 的 图 形 可 知 ， “ 飞 机 ” 由 2 个 面 积 为 1 的 三 角 形 ， 2 个 面 积 为 4 的 三 角 形 ，1个 面 积 为 2 的 平 行 四 边 形 ， 1 个 面 积 为 2 的 正 方 形 组 成 ， 故 “ 飞 机 ” 的 面 积 为 ： 1 2+4 2+2+2=14.答 案 ： 14.17.(4分 )已 知 整 数 k 5， 若 ABC的 边 长 均 满 足 关 于 x的 方 程 x2-3 x+8=0， 则 ABC 的 周长
16、 是 .解 析 ： 根 据 题 意 得 k 0 且 (3 )2-4 8 0，解 得 k ， 整 数 k 5， k=4， 方 程 变 形 为 x 2-6x+8=0， 解 得 x1=2， x2=4， ABC的 边 长 均 满 足 关 于 x的 方 程 x2-6x+8=0， ABC的 边 长 为 2、 2、 2 或 4、 4、 4或 4、 4、 2. ABC的 周 长 为 6或 12或 10.答 案 ： 6或 12或 10.18.(4分 )二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 ， 给 出 下 列 结 论 ： 2a+b 0； b a c； 若 -1 m n 1， 则 m+n
17、 - ； 3|a|+|c| 2|b|.其 中 正 确 的 结 论 是 (写 出 你 认 为 正 确 的 所 有 结 论 序 号 ). 解 析 ： 抛 物 线 开 口 向 下 ， a 0， 2a 0，对 称 轴 x=- 1， -b 2a， 2a+b 0， 故 选 项 正 确 ； -b 2a， b -2a 0 a，令 抛 物 线 解 析 式 为 y=- x2+bx- ，此 时 a=c， 欲 使 抛 物 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 和 2，则 =- ， 解 得 ： b= ， 抛 物 线 y=- x2+ x- ， 符 合 “ 开 口 向 下 ， 与 x 轴 的 一 个 交 点
18、的 横 坐 标 在 0 与 1 之 间 ，对 称 轴 在 直 线 x=1右 侧 ” 的 特 点 ， 而 此 时 a=c， (其 实 a c， a c， a=c都 有 可 能 )，故 选 项 错 误 ； -1 m n 1， -2 m+n 2， 抛 物 线 对 称 轴 为 ： x=- 1， 2， m+n ， 故 选 项 正 确 ；当 x=1时 ， a+b+c 0， 2a+b 0， 3a+2b+c 0， 3a+c -2b， -3a-c 2b， a 0， b 0， c 0(图 象 与 y 轴 交 于 负 半 轴 )， 3|a|+|c|=-3a-c 2b=2|b|， 故 选 项 正 确 . 答 案 ：
19、.三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 7 个 小 题 ， 共 90分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 .证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .19.(16分 )(1)计 算 ： ；(2)解 方 程 ： .解 析 ： (1)原 式 第 一 项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 及 绝 对 值 的代 数 意 义 化 简 计 算 即 可 得 到 结 果 ；(2)分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分 式方 程 的 解 .
20、 答 案 ： (1)原 式 =- +2( -1) ( +1)=- +2 =1 ；(2)去 分 母 得 ： x(x+2)-(x-1)(x+2)=3，去 括 号 得 ： x2+2x-x2-x+2=3，解 得 ： x=1，经 检 验 x=1是 增 根 ， 原 分 式 方 程 无 解 .20.(12分 )为 了 从 甲 、 乙 两 名 选 手 中 选 拔 一 个 参 加 射 击 比 赛 ， 现 对 他 们 进 行 一 次 测 验 ， 两 个人 在 相 同 条 件 下 各 射 靶 10次 ， 为 了 比 较 两 人 的 成 绩 ， 制 作 了 如 下 统 计 图 表 ：甲 、 乙 射 击 成 绩 统 计
21、 表 甲 、 乙 射 击 成 绩 折 线 图 (1)请 补 全 上 述 图 表 (请 直 接 在 表 中 填 空 和 补 全 折 线 图 )；(2)如 果 规 定 成 绩 较 稳 定 者 胜 出 ， 你 认 为 谁 应 胜 出 ？ 说 明 你 的 理 由 ；(3)如 果 希 望 (2)中 的 另 一 名 选 手 胜 出 ， 根 据 图 表 中 的 信 息 ， 应 该 制 定 怎 样 的 评 判 规 则 ？ 为 什么 ？解 析 ： (1)根 据 折 线 统 计 图 列 举 出 乙 的 成 绩 ， 计 算 出 甲 的 中 位 数 ， 方 差 ， 以 及 乙 平 均 数 ， 中位 数 及 方 差 ，
22、 补 全 即 可 ；(2)计 算 出 甲 乙 两 人 的 方 差 ， 比 较 大 小 即 可 做 出 判 断 ；(3)希 望 甲 胜 出 ， 规 则 改 为 9 环 与 10环 的 总 数 大 的 胜 出 ， 因 为 甲 9 环 与 10 环 的 总 数 为 4 环 .答 案 ： (1)根 据 折 线 统 计 图 得 ：乙 的 射 击 成 绩 为 ： 2， 4， 6， 8， 7， 7， 8， 9， 9， 10，则 平 均 数 为 =7(环 )， 中 位 数 为 7.5(环 )，方 差 为 (2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7
23、)2+(9-7)2+(10-7)2=5.4；甲 的 射 击 成 绩 为 9， 6， 7， 6， 2， 7， 7， ？ ， 8， 9， 平 均 数 为 7(环 )，则 甲 第 八 环 成 绩 为 70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环 )， 所 以 甲 的 10次 成 绩 为 ： 9， 6， 7， 6， 2， 7， 7， 9， 8， 9.中 位 数 为 7(环 )，方 差 为 (9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(2-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2=4.补 全 表 格 如 下 ：甲 、 乙 射 击 成 绩 统 计 表
24、甲 、 乙 射 击 成 绩 折 线 图 (2)由 甲 的 方 差 小 于 乙 的 方 差 ， 甲 比 较 稳 定 ， 故 甲 胜 出 ；(3)如 果 希 望 乙 胜 出 ， 应 该 制 定 的 评 判 规 则 为 ： 平 均 成 绩 高 的 胜 出 ； 如 果 平 均 成 绩 相 同 ， 则随 着 比 赛 的 进 行 ， 发 挥 越 来 越 好 者 或 命 中 满 环 (10 环 )次 数 多 者 胜 出 .因 为 甲 乙 的 平 均 成 绩 相同 ， 乙 只 有 第 5 次 射 击 比 第 四 次 射 击 少 命 中 1 环 ， 且 命 中 1 次 10环 ， 而 甲 第 2 次 比 第 1
25、 次 、第 4 次 比 第 3 次 ， 第 5 次 比 第 4 次 命 中 环 数 都 低 ， 且 命 中 10环 的 次 数 为 0 次 ， 即 随 着 比 赛的 进 行 ， 有 可 能 乙 的 射 击 成 绩 越 来 越 好 .21.(12分 )如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， C是 半 圆 O上 的 一 点 ， AC 平 分 DAB， AD CD， 垂 足 为 D，AD交 O 于 E， 连 接 CE.(1)判 断 CD与 O 的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 ；(2)若 E 是 的 中 点 ， O的 半 径 为 1， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 . 解
26、 析 ： (1)CD与 圆 O相 切 ， 理 由 为 ： 由 AC为 角 平 分 线 得 到 一 对 角 相 等 ， 再 由 OA=OC， 利 用 等边 对 等 角 得 到 一 对 角 相 等 ， 等 量 代 换 得 到 一 对 内 错 角 相 等 ， 利 用 内 错 角 相 等 两 直 线 平 行 得 到OC与 AD平 行 ， 根 据 AD 垂 直 于 CD， 得 到 OC垂 直 于 CD， 即 可 得 证 ；(2)根 据 E 为 弧 AC 的 中 点 ， 得 到 弧 AE=弧 EC， 利 用 等 弧 对 等 弦 得 到 AE=EC， 可 得 出 弓 形 AE与 弓 形 EC面 积 相 等
27、， 阴 影 部 分 面 积 拼 接 为 直 角 三 角 形 DEC 的 面 积 ， 求 出 即 可 .答 案 ： (1)CD 与 圆 O相 切 .理 由 如 下 ： AC 为 DAB的 平 分 线 ， DAC= BAC， OA=OC， OAC= OCA， DAC= OCA， OC AD， AD CD， OC CD，则 CD 与 圆 O 相 切 ；(2)连 接 EB， 交 OC 于 F， AB 为 直 径 ， 得 到 AEB=90 ， EB CD， CD 与 O相 切 ， C为 切 点 ， OC CD， OC AD， 点 O为 AB的 中 点 ， OF 为 ABE的 中 位 线 ， OF= AE
28、= ， 即 CF=DE= ， 在 Rt OBF中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： EF=FB=DC= ，则 S 阴 影 =S DEC= = . 22.(12分 )如 图 ， 已 知 矩 形 OABC中 ， OA=2， AB=4， 双 曲 线 (k 0)与 矩 形 两 边 AB、 BC分别 交 于 E、 F.(1)若 E 是 AB 的 中 点 ， 求 F 点 的 坐 标 ；(2)若 将 BEF沿 直 线 EF对 折 ， B 点 落 在 x 轴 上 的 D 点 ， 作 EG OC， 垂 足 为 G， 证 明 EGD DCF， 并 求 k 的 值 . 解 析 ： (1)根 据 点 E是 AB中
29、点 ， 可 求 出 点 E 的 坐 标 ， 将 点 E 的 坐 标 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 可求 出 k的 值 ， 再 由 点 F 的 横 坐 标 为 4， 可 求 出 点 F 的 纵 坐 标 ， 继 而 得 出 答 案 ；(2)证 明 GED= CDF， 然 后 利 用 两 角 法 可 判 断 EGD DCF， 设 点 E 坐 标 为 ( ， 2)， 点 F坐 标 为 (4， )， 即 可 得 CF= ， BF=DF=2- ， 在 Rt CDF中 表 示 出 CD， 利 用 对 应 边 成 比 例 可求 出 k 的 值 .答 案 ： (1) 点 E 是 AB 的 中 点 ，
30、OA=2， AB=4， 点 E的 坐 标 为 (2， 2)，将 点 E的 坐 标 代 入 y= ， 可 得 k=4，即 反 比 例 函 数 解 析 式 为 ： y= ， 点 F的 横 坐 标 为 4， 点 F的 纵 坐 标 = =1，故 点 F的 坐 标 为 (4， 1)；(2)由 折 叠 的 性 质 可 得 ： BE=DE， BF=DF， B= EDF=90 ， CDF+ EDG=90 ， GED+ EDG=90 ， CDF= GED，又 EGD= DCF=90 ， EGD DCF，结 合 图 形 可 设 点 E 坐 标 为 ( ， 2)， 点 F 坐 标 为 (4， )，则 CF= ， B
31、F=DF=2- ， ED=BE=AB-AE=4- ， 在 Rt CDF中 ， CD= = = ， = ， 即 = ， =1， 解 得 ： k=3.23.(12分 )“ 低 碳 生 活 ， 绿 色 出 行 ” ， 自 行 车 正 逐 渐 成 为 人 们 喜 爱 的 交 通 工 具 .某 运 动 商 城的 自 行 车 销 售 量 自 2013 年 起 逐 月 增 加 ， 据 统 计 ， 该 商 城 1 月 份 销 售 自 行 车 64辆 ， 3 月 份 销售 了 100辆 .(1)若 该 商 城 前 4 个 月 的 自 行 车 销 量 的 月 平 均 增 长 率 相 同 ， 问 该 商 城 4 月
32、 份 卖 出 多 少 辆 自 行车 ？(2)考 虑 到 自 行 车 需 求 不 断 增 加 ， 该 商 城 准 备 投 入 3 万 元 再 购 进 一 批 两 种 规 格 的 自 行 车 ， 已知 A 型 车 的 进 价 为 500元 /辆 ， 售 价 为 700 元 /辆 ， B型 车 进 价 为 1000元 /辆 ， 售 价 为 1300元 /辆 .根 据 销 售 经 验 ， A型 车 不 少 于 B型 车 的 2倍 ， 但 不 超 过 B 型 车 的 2.8倍 .假 设 所 进 车辆 全 部 售 完 ， 为 使 利 润 最 大 ， 该 商 城 应 如 何 进 货 ？解 析 ： (1)首
33、先 根 据 1 月 份 和 3 月 份 的 销 售 量 求 得 月 平 均 增 长 率 ， 然 后 求 得 4 月 份 的 销 量 即可 ； (2)设 A 型 车 x 辆 ， 根 据 “ A型 车 不 少 于 B型 车 的 2倍 ， 但 不 超 过 B 型 车 的 2.8倍 ” 列 出 不等 式 组 ， 求 出 x 的 取 值 范 围 ； 然 后 求 出 利 润 W 的 表 达 式 ， 根 据 一 次 函 数 的 性 质 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 平 均 增 长 率 为 a， 根 据 题 意 得 ：64(1+a)2=100解 得 ： a=0.25=25%或 a=-2.25四 月
34、份 的 销 量 为 ： 100(1+25%)=125(辆 ).答 ： 四 月 份 的 销 量 为 125辆 .(2)设 购 进 A 型 车 x 辆 ， 则 购 进 B 型 车 辆 ，根 据 题 意 得 ： 2 x 2.8解 得 ： 30 x 35 利 润 W=(700-500)x+ (1300-1000)=9000+50 x. 50 0， W 随 着 x的 增 大 而 增 大 .当 x=35时 ， 不 是 整 数 ， 故 不 符 合 题 意 ， x=34， 此 时 =13(辆 ).答 ： 为 使 利 润 最 大 ， 该 商 城 应 购 进 34辆 A 型 车 和 13 辆 B 型 车 .24.
35、(12分 )如 图 ， 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c的 图 象 的 顶 点 C 的 坐 标 为 (0， -2)， 交 x 轴 于 A、 B两 点 ， 其 中 A(-1， 0)， 直 线 l： x=m(m 1)与 x 轴 交 于 D.(1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 和 B 的 坐 标 ；(2)在 直 线 l 上 找 点 P(P 在 第 一 象 限 )， 使 得 以 P、 D、 B为 顶 点 的 三 角 形 与 以 B、 C、 O 为 顶 点的 三 角 形 相 似 ， 求 点 P 的 坐 标 (用 含 m 的 代 数 式 表 示 )；(3)在 (2)成 立 的 条 件 下 ，
36、在 抛 物 线 上 是 否 存 在 第 一 象 限 内 的 点 Q， 使 BPQ 是 以 P 为 直 角 顶点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ？ 如 果 存 在 ， 请 求 出 点 Q 的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)由 于 抛 物 线 的 顶 点 C的 坐 标 为 (0， -2)， 所 以 抛 物 线 的 对 称 轴 为 y 轴 ， 且 与 y 轴 交点 的 纵 坐 标 为 -2， 即 b=0， c=-2， 再 将 A(-1， 0)代 入 y=ax2+bx+c， 求 出 a的 值 ， 由 此 确 定 该抛 物 线 的 解 析 式 ， 然 后
37、 令 y=0， 解 一 元 二 次 方 程 求 出 x 的 值 即 可 得 到 点 B 的 坐 标 ；(2)设 P 点 坐 标 为 (m， n).由 于 PDB= BOC=90 ， 则 D 与 O 对 应 ， 所 以 当 以 P、 D、 B 为 顶 点的 三 角 形 与 以 B、 C、 O 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 时 ， 分 两 种 情 况 讨 论 ： OCB DBP； OCB DPB.根 据 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 ， 得 出 n 与 m 的 关 系 式 ， 进 而 可 得 到 点 P 的坐 标 ；(3)假 设 在 抛 物 线 上 存 在 第 一 象 限 内
38、的 点 Q(x， 2x 2-2)， 使 BPQ 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直角 三 角 形 .过 点 Q 作 QE l 于 点 E.利 用 AAS易 证 DBP EPQ， 得 出 BD=PE， DP=EQ.再 分 两种 情 况 讨 论 ： P(m， )； P(m， 2(m-1).都 根 据 BD=PE， DP=EQ 列 出 方 程 组 ， 求 出 x与 m 的 值 ， 再 结 合 条 件 x 0 且 m 1 即 可 判 断 不 存 在 第 一 象 限 内 的 点 Q， 使 BPQ 是 以 P 为直 角 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 .答 案 ： (1) 抛 物 线
39、y=ax2+bx+c 的 顶 点 坐 标 为 C(0， -2)， b=0， c=-2； y=ax 2+bx+c 过 点 A(-1， 0)， 0=a+0-2， a=2， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=2x2-2.当 y=0时 ， 2x2-2=0，解 得 x= 1， 点 B的 坐 标 为 (1， 0)；(2)设 P(m， n). PDB= BOC=90 ， 当 以 P、 D、 B为 顶 点 的 三 角 形 与 以 B、 C、 O 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 时 ， 分 两 种 情 况 ： 若 OCB DBP， 则 = ，即 = ， 解 得 n= .由 对 称 性 可 知 ， 在 x轴
40、 上 方 和 下 方 均 有 一 点 满 足 条 件 ， 此 时 点 P坐 标 为 (m， )或 (m， )(舍 )； 若 OCB DPB， 则 = ，即 = ，解 得 n=2m-2.由 对 称 性 可 知 ， 在 x轴 上 方 和 下 方 均 有 一 点 满 足 条 件 ， 此 时 点 P坐 标 为 (m， 2m-2)或 (m， 2-2m)， P 在 第 一 象 限 ， m 1， (m， 2m-2)或 (m， 2-2m)舍综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 ： (m， )， (m， 2m-2). (3)假 设 在 抛 物 线 上 存 在 第 一 象 限 内 的 点
41、 Q(x， 2x2-2)， 使 BPQ 是 以 P 为 直 角 顶 点 的 等 腰 直角 三 角 形 .如 图 ， 过 点 Q 作 QE l 于 点 E. DBP+ BPD=90 ， QPE+ BPD=90 ， DBP= QPE.在 DBP与 EPQ中 ， ， DBP EPQ， BD=PE， DP=EQ.分 两 种 情 况 ： 当 P(m， )时 ， B(1， 0)， D(m， 0)， E(m， 2x2-2)， ，解 得 ， (均 不 合 题 意 舍 去 )； 当 P(m， 2(m-1)时 ， B(1， 0)， D(m， 0)， E(m， 2x 2-2)， ， 解 得 ， (均 不 合 题 意
42、 舍 去 )；综 上 所 述 ， 不 存 在 满 足 条 件 的 点 Q. 25.(14分 )我 们 知 道 ， 三 角 形 的 三 条 中 线 一 定 会 交 于 一 点 ， 这 一 点 就 叫 做 三 角 形 的 重 心 .重心 有 很 多 美 妙 的 性 质 ， 如 关 于 线 段 比 .面 积 比 就 有 一 些 “ 漂 亮 ” 结 论 ， 利 用 这 些 性 质 可 以 解决 三 角 形 中 的 若 干 问 题 .请 你 利 用 重 心 的 概 念 完 成 如 下 问 题 ：(1)若 O 是 ABC的 重 心 (如 图 1)， 连 结 AO 并 延 长 交 BC 于 D， 证 明 ：
43、 ；(2)若 AD 是 ABC的 一 条 中 线 (如 图 2)， O 是 AD上 一 点 ， 且 满 足 ， 试 判 断 O 是 ABC的 重 心 吗 ？ 如 果 是 ， 请 证 明 ； 如 果 不 是 ， 请 说 明 理 由 ；(3)若 O 是 ABC的 重 心 ， 过 O的 一 条 直 线 分 别 与 AB、 AC相 交 于 G、 H(均 不 与 ABC的 顶 点重 合 )(如 图 3)， S 四 边 形 BCHG， S AGH分 别 表 示 四 边 形 BCHG 和 AGH的 面 积 ， 试 探 究 的最 大 值 .解 析 ： (1)如 答 图 1， 作 出 中 位 线 DE， 证 明
44、 AOC DOE， 可 以 证 明 结 论 ； (2)如 答 图 2， 作 ABC的 中 线 CE， 与 AD 交 于 点 Q， 则 点 Q 为 ABC的 重 心 .由 (1)可 知 ， = ，而 已 知 ， 故 点 O 与 点 Q重 合 ， 即 点 O为 ABC的 重 心 ；(3)如 答 图 3， 利 用 图 形 的 面 积 关 系 ， 以 及 相 似 线 段 间 的 比 例 关 系 ， 求 出 的 表 达式 ， 这 是 一 个 二 次 函 数 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 其 最 大 值 .答 案 ： (1)如 答 图 1 所 示 ， 连 接 CO并 延 长 ， 交 AB
45、于 点 E. 点 O是 ABC的 重 心 ， CE是 中 线 ， 点 E是 AB的 中 点 . DE 是 中 位 线 ， DE AC， 且 DE= AC. DE AC， AOC DOE， =2， AD=AO+OD， .(2)点 O 是 ABC的 重 心 .证 明 ： 如 答 图 2， 作 ABC的 中 线 CE， 与 AD交 于 点 Q， 则 点 Q为 ABC的 重 心 . 由 (1)可 知 ， = ，而 ， 点 Q与 点 O 重 合 (是 同 一 个 点 )， 点 O是 ABC的 重 心 .(3)解 ： 如 答 图 3 所 示 ， 连 接 DG. 设 S GOD=S， 由 (1)知 ， 即
46、OA=2OD， S AOG=2S， S AGD=S GOD+S AGO=3S.为 简 便 起 见 ， 不 妨 设 AG=1， BG=x， 则 S BGD=3xS. S ABD=S AGD+S BGD=3S+3xS=(3x+3)S， S ABC=2S ABD=(6x+6)S.设 OH=k OG， 由 S AGO=2S， 得 S AOH=2kS， S AGH=S AGO+S AOH=(2k+2)S. S 四 边 形 BCHG=S ABC-S AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S. = = 如 答 图 3， 过 点 O 作 OF BC 交 AC于 点 F， 过 点 G 作 GE BC 交 AC 于 点 E， 则 OF GE. OF BC， ， OF= CD= BC； GE BC， ， GE= ； = ， . OF GE， ， = ， k= ， 代 入 式 得 ：= = =-x2+x+1=-(x- )2+ ， 当 x= 时 ， 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 .
