1、2013年 四 川 省 自 贡 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10个 小 题 ， 每 小 题 4分 ， 共 40 分 )1.(4分 )与 -3 的 差 为 0 的 数 是 ( )A.3B.-3C.D.解 析 ： -3+0=-3.答 案 ： B. 2.(4分 )在 我 国 南 海 某 海 域 探 明 可 燃 冰 储 量 约 有 194亿 立 方 米 .194亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为( )A.1.94 1010B.0.194 1010C.19.4 109D.1.94 109解 析 ： 194亿 =19400000000， 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ：
2、1.94 1010.答 案 ： A.3.(4分 )某 班 七 个 合 作 学 习 小 组 人 数 如 下 ： 4、 5、 5、 x、 6、 7、 8， 已 知 这 组 数 据 的 平 均 数是 6， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ( )A.5B.5.5 C.6D.7解 析 ： 4、 5、 5、 x、 6、 7、 8 的 平 均 数 是 6， (4+5+5+x+6+7+8) 7=6，解 得 ： x=7，将 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 4、 5、 5、 6、 7、 7、 8，最 中 间 的 数 是 6；则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 6；答 案 ： C.4.(4分
3、 )在 四 张 背 面 完 全 相 同 的 卡 片 上 分 别 印 有 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 菱 形 、 圆 的 图 案 ，现 将 印 有 图 案 的 一 面 朝 下 ， 混 合 后 从 中 随 机 抽 取 两 张 ， 则 抽 到 卡 片 上 印 有 的 图 案 都 是 轴 对 称图 形 的 概 率 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 分 别 用 A、 B、 C、 D 表 示 等 腰 三 角 形 、 平 行 四 边 形 、 菱 形 、 圆 ，画 树 状 图 得 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 抽 到 卡 片 上 印 有 的 图 案 都 是 轴
4、对 称 图 形 的 有 6 种 情 况 ， 抽 到 卡 片 上 印 有 的 图 案 都 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为 ： = . 答 案 ： D.5.(4分 )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A 经 过 原 点 O， 并 且 分 别 与 x 轴 、 y轴 交 于 B、 C 两点 ， 已 知 B(8， 0)， C(0， 6)， 则 A 的 半 径 为 ( )A.3 B.4C.5D.8解 析 ： 连 接 BC， BOC=90 ， BC 为 圆 A的 直 径 ， 即 BC过 圆 心 A，在 Rt BOC中 ， OB=8， OC=6，根 据 勾 股 定 理 得 ： BC=
5、10，则 圆 A的 半 径 为 5. 答 案 ： C6.(4分 )如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB=6， AD=9， BAD的 平 分 线 交 BC 于 E， 交 DC 的 延长 线 于 F， BG AE 于 G， BG= ， 则 EFC的 周 长 为 ( )A.11B.10C.9D.8 解 析 ： 在 ABCD中 ， AB=CD=6， AD=BC=9， BAD的 平 分 线 交 BC 于 点 E， BAF= DAF， AB DF， AD BC， BAF= F= DAF， BAE= AEB， AB=BE=6， AD=DF=9， ADF是 等 腰 三 角 形 ， ABE
6、是 等 腰 三 角 形 ， AD BC， EFC是 等 腰 三 角 形 ， 且 CF=CE， EC=FC=DF-DC=9-6=3， = ，在 ABG中 ， BG AE， AB=6， BG=4 ， AG= =2， AE=2AG=4， ABE的 周 长 等 于 16，又 CEF BEA， 相 似 比 为 1： 2， CEF的 周 长 为 8.答 案 ： D.7.(4分 )某 超 市 货 架 上 摆 放 着 某 品 牌 红 烧 牛 肉 方 便 面 ， 如 图 是 它 们 的 三 视 图 ， 则 货 架 上 的 红烧 牛 肉 方 便 面 至 少 有 ( ) A.8B.9C.10D.11 解 析 ： 易
7、 得 第 一 层 有 4 碗 ， 第 二 层 最 少 有 3碗 ， 第 三 层 最 少 有 2 碗 ， 所 以 至 少 共 有 9个 碗 .答 案 ： B.8.(4分 )如 图 ， 将 一 张 边 长 为 3的 正 方 形 纸 片 按 虚 线 裁 剪 后 ， 恰 好 围 成 一 个 底 面 是 正 三 角 形的 棱 柱 ， 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 为 ( )A.B.9 C.D.解 析 ： 将 一 张 边 长 为 3 的 正 方 形 纸 片 按 虚 线 裁 剪 后 ， 恰 好 围 成 一 个 底 面 是 正 三 角 形 的 棱 柱 ， 这 个 正 三 角 形 的 底 面 边 长 为 1，
8、 高 为 = ， 侧 面 积 为 长 为 3， 宽 为 3- 的 长 方 形 ， 面 积 为 9-3 .答 案 ： A.9.(4分 )如 图 ， 点 O是 正 六 边 形 的 对 称 中 心 ， 如 果 用 一 副 三 角 板 的 角 ， 借 助 点 O(使 该 角 的 顶点 落 在 点 O处 )， 把 这 个 正 六 边 形 的 面 积 n 等 分 ， 那 么 n 的 所 有 可 能 取 值 的 个 数 是 ( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 360 30=12；360 60=6；360 90=4；360 120=3；360 180=2.因 此 n的 所 有 可 能 的 值 共 五
9、种 情 况 ，答 案 ： B. 10.(4分 )如 图 ， 已 知 A、 B 是 反 比 例 函 数 上 的 两 点 ， BC x 轴 ， 交 y轴 于 C， 动 点 P 从 坐 标 原 点 O 出 发 ， 沿 O A B C匀 速 运 动 ， 终 点 为 C， 过 运 动 路 线 上 任 意一 点 P作 PM x轴 于 M， PN y轴 于 N， 设 四 边 形 OMPN的 面 积 为 S， P点 运 动 的 时 间 为 t， 则S关 于 t 的 函 数 图 象 大 致 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 点 P 在 AB 上 运 动 时 ， 此 时 四 边 形 OMPN的 面 积 S=
10、K， 保 持 不 变 ， 故 排 除 B、 D； 点 P在 BC上 运 动 时 ， 设 路 线 O A B C的 总 路 程 为 l， 点 P 的 速 度 为 a， 则S=OC CP=OC (l-at)， 因 为 l， OC， a均 是 常 数 ， 所 以 S与 t成 一 次 函 数 关 系 .故 排 除 C.答 案 ： A.二 、 填 空 题 (共 5 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 )11.(4分 )多 项 式 ax2-a 与 多 项 式 x2-2x+1 的 公 因 式 是 .解 析 ： 多 项 式 ax2-a=a(x+1)(x-1)， 多 项 式 x2-2x+1=(x
11、-1)2，则 两 多 项 式 的 公 因 式 为 x-1.答 案 ： x-1.12.(4分 )计 算 ： = .解 析 ： 原 式 =1+ -2 -(2- ) =1+2- -2+=1， 答 案 ： 1.13.(4分 )如 图 ， 边 长 为 1的 小 正 方 形 网 格 中 ， O的 圆 心 在 格 点 上 ， 则 AED的 余 弦 值 是 _ .解 析 ： 根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 得 到 ABC= AED， 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 利 用 锐 角 三 角函 数 定 义 求 出 cos ABC的 值 ， 即 为 cos AED 的 值 .答 案 ： AE
12、D与 ABC 都 对 ， AED= ABC，在 Rt ABC中 ， AB=2， AC=1，根 据 勾 股 定 理 得 ： BC= ，则 cos AED=cos ABC= = .故 答 案 为 ：14.(4分 )已 知 关 于 x的 方 程 x 2-(a+b)x+ab-1=0， x1、 x2是 此 方 程 的 两 个 实 数 根 ， 现 给 出 三 个结 论 ： x1 x2； x1x2 ab； .则 正 确 结 论 的 序 号 是 .(填 上 你 认为 正 确 结 论 的 所 有 序 号 )解 析 ： 方 程 x2-(a+b)x+ab-1=0中 ， =(a+b)2-4(ab-1)=(a-b)2+
13、4 0， x 1 x2故 正 确 ； x1x2=ab-1 ab， 故 正 确 ； x1+x2=a+b，即 (x1+x2)2=(a+b)2， x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2ab+2=a2+b2+2 a2+b2，即 x12+x22 a2+b2.故 错 误 ；综 上 所 述 ， 正 确 的 结 论 序 号 是 ： .答 案 ： .15.(4分 )如 图 ， 在 函 数 的 图 象 上 有 点 P 1、 P2、 P3 、 Pn、 Pn+1， 点 P1的 横 坐 标为 2， 且 后 面 每 个 点 的 横 坐 标 与 它 前 面 相 邻 点 的 横 坐 标 的 差 都 是
14、 2， 过 点 P1、 P2、 P3 、 Pn、Pn+1分 别 作 x轴 、 y 轴 的 垂 线 段 ， 构 成 若 干 个 矩 形 ， 如 图 所 示 ， 将 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 从 左至 右 依 次 记 为 S1、 S2、 S3 、 Sn， 则 S1= ， Sn=_ .(用 含 n的 代 数 式 表 示 ) 解 析 ： 求 出 P1、 P2、 P3、 P4 的 纵 坐 标 ， 从 而 可 计 算 出 S1、 S2、 S3、 S4 的 高 ， 进 而 求 出 S1、S2、 S3、 S4 ， 从 而 得 出 Sn的 值 .答 案 ： 当 x=2时 ， P1的 纵 坐 标 为 4
15、，当 x=4时 ， P2的 纵 坐 标 为 2，当 x=6时 ， P3的 纵 坐 标 为 ，当 x=8时 ， P4的 纵 坐 标 为 1，当 x=10时 ， P 5的 纵 坐 标 为 ： ，则 S1=2 (4-2)=4=2 - ；S2=2 (2- )=2 =2 - ；S 3=2 ( -1)=2 =2 - ；Sn=2 - = ；故 答 案 为 ： 4； . 三 、 解 答 题 (共 2 个 题 ， 每 题 8 分 ， 共 16分 )16.(8分 )解 不 等 式 组 ： 并 写 出 它 的 所 有 的 整 数 解 .解 析 ： 先 求 出 两 个 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 其 公 共
16、解 ， 然 后 写 出 整 数 解 即 可 .答 案 ： ， 解 不 等 式 得 ， x 1，解 不 等 式 得 ， x 4，所 以 ， 不 等 式 组 的 解 集 是 1 x 4，所 以 ， 不 等 式 组 的 所 有 整 数 解 是 1、 2、 3.17.(8分 )先 化 简 ， 然 后 从 1、 、 -1中 选 取 一 个 你 认 为 合 适的 数 作 为 a的 值 代 入 求 值 .解 析 ： 先 把 除 法 转 化 成 乘 法 ， 再 根 据 乘 法 的 分 配 律 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 把 所 得 的 结 果 化 简 ，最 后 选 取 一 个 合 适 的 数 代 入
17、即 可 .答 案 ： = = -= ，由 于 a 1， 所 以 当 a= 时 ， 原 式 = = .四 、 解 答 题 (共 2 个 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 16分 )18.(8分 )用 配 方 法 解 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0.解 析 ： 此 题 考 查 了 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 ， 解 题 时 要 注 意 解 题 步 骤 的 准 确 应 用 ， 把 左 边 配 成完 全 平 方 式 ， 右 边 化 为 常 数 .答 案 ： 关 于 x的 方 程 ax2+bx+c=0是 一 元 二 次 方 程 ， a 0. 由 原 方 程
18、， 得x 2+ x=- ，等 式 的 两 边 都 加 上 ， 得x2+ x+ =- + ，配 方 ， 得(x+ ) 2=- ，当 b2-4ac 0 时 ， 开 方 ， 得 ： x+ = ，解 得 x1= ， x2= ，当 b2-4ac=0时 ， 解 得 ： x1=x2=- ；当 b 2-4ac 0时 ， 原 方 程 无 实 数 根 .19.(8分 )某 校 住 校 生 宿 舍 有 大 小 两 种 寝 室 若 干 间 ， 据 统 计 该 校 高 一 年 级 男 生 740人 ， 使 用了 55 间 大 寝 室 和 50间 小 寝 室 ， 正 好 住 满 ； 女 生 730人 ， 使 用 了 大
19、寝 室 50 间 和 小 寝 室 55间 ， 也 正 好 住 满 .(1)求 该 校 的 大 小 寝 室 每 间 各 住 多 少 人 ？(2)预 测 该 校 今 年 招 收 的 高 一 新 生 中 有 不 少 于 630名 女 生 将 入 住 寝 室 80间 ， 问 该 校 有 多 少 种安 排 住 宿 的 方 案 ？解 析 ： (1)首 先 设 该 校 的 大 寝 室 每 间 住 x 人 ， 小 寝 室 每 间 住 y 人 ， 根 据 关 键 语 句 “ 高 一 年 级男 生 740人 ， 使 用 了 55 间 大 寝 室 和 50间 小 寝 室 ， 正 好 住 满 ； 女 生 730人 ，
20、 使 用 了 大 寝 室50间 和 小 寝 室 55间 ， 也 正 好 住 满 ” 列 出 方 程 组 即 可 ；(2)设 大 寝 室 a 间 ， 则 小 寝 室 (80-a)间 ， 由 题 意 可 得 a 80， 再 根 据 关 键 语 句 “ 高 一 新 生 中 有 不 少 于 630 名 女 生 将 入 住 寝 室 80 间 ” 可 得 不 等 式 8a+6(80-a) 630， 解 不 等 式 组 即 可 .答 案 ： (1)设 该 校 的 大 寝 室 每 间 住 x 人 ， 小 寝 室 每 间 住 y 人 ， 由 题 意 得 ：，解 得 ： ，答 ： 该 校 的 大 寝 室 每 间
21、住 8 人 ， 小 寝 室 每 间 住 6人 ；(2)设 大 寝 室 a 间 ， 则 小 寝 室 (80-a)间 ， 由 题 意 得 ：，解 得 ： 80 a 75， a=75时 ， 80-75=5， a=76时 ， 80-a=4， a=77时 ， 80-a=3， a=78时 ， 80-a=2， a=79时 ， 80-a=1， a=80时 ， 80-a=0.答 ： 共 有 6 种 安 排 住 宿 的 方 案 .五 、 解 答 题 (共 2 个 题 ， 每 题 10分 ， 共 20分 )20.(10分 )为 配 合 我 市 创 建 省 级 文 明 城 市 ， 某 校 对 八 年 级 各 班 文
22、明 行 为 劝 导 志 愿 者 人 数 进 行了 统 计 ， 各 班 统 计 人 数 有 6名 、 5名 、 4 名 、 3 名 、 2 名 、 1 名 共 计 六 种 情 况 ， 并 制 作 如 下 两幅 不 完 整 的 统 计 图 . (1)求 该 年 级 平 均 每 班 有 多 少 文 明 行 为 劝 导 志 愿 者 ？ 并 将 条 形 图 补 充 完 整 ；(2)该 校 决 定 本 周 开 展 主 题 实 践 活 动 ， 从 八 年 级 只 有 2 名 文 明 行 为 劝 导 志 愿 者 的 班 级 中 任 选两 名 ， 请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 ， 求 出 所
23、选 文 明 行 为 劝 导 志 愿 者 有 两 名 来 自 同 一 班 级 的 概率 .解 析 ： (1)根 据 志 愿 者 有 6名 的 班 级 占 20%， 可 求 得 班 级 总 数 ， 再 求 得 志 愿 者 是 2 名 的 班 数 ，进 而 可 求 出 每 个 班 级 平 均 的 志 愿 者 人 数 ；(2)由 (1)得 只 有 2 名 志 愿 者 的 班 级 有 2 个 ， 共 4名 学 生 .设 A1， A2来 自 一 个 班 ， B1， B2来 自 一个 班 ， 列 出 树 状 图 可 得 出 来 自 一 个 班 的 共 有 4种 情 况 ， 则 所 选 两 名 志 愿 者 来
24、 自 同 一 个 班 级 的概 率 .答 案 ： (1) 有 6 名 志 愿 者 的 班 级 有 4 个 ， 班 级 总 数 为 ： 4 20%=20(个 )，有 两 名 志 愿 者 的 班 级 有 ：20-4-5-4-3-2=2(个 )， 如 图 所 示 ： 该 年 级 平 均 每 班 有 ；(4 6+5 5+4 4+3 3+2 2+2 1)=4(名 )，(2)由 (1)得 只 有 2 名 文 明 行 为 劝 导 志 愿 者 的 班 级 有 2个 ， 共 4 名 学 生 .设 A1， A2来 自 一 个 班 ，B1， B2来 自 一 个 班 ，由 树 状 图 可 知 ， 共 有 12 种 可
25、 能 的 情 况 ， 并 且 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 等 ， 其 中 来 自 一 个 班的 共 有 4 种 情 况 ， 则 所 选 两 名 文 明 行 为 劝 导 志 愿 者 来 自 同 一 个 班 级 的 概 率 为 ： = . 21.(10分 )如 图 ， 点 B、 C、 D都 在 O 上 ， 过 点 C 作 AC BD 交 OB 延 长 线 于 点 A， 连 接 CD，且 CDB= OBD=30 ， DB= cm.(1)求 证 ： AC是 O 的 切 线 ；(2)求 由 弦 CD、 BD 与 弧 BC所 围 成 的 阴 影 部 分 的 面 积 .(结 果 保 留 )解
26、 析 ： (1)求 出 COB的 度 数 ， 求 出 A 的 度 数 ， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 求 出 OCA 的 度 数 ，根 据 切 线 的 判 定 推 出 即 可 ； (2)如 解 答 图 所 示 ， 解 题 关 键 是 证 明 CDM OBM， 从 而 得 到 S 阴 影 =S 扇 形 BOC.答 案 ： 如 图 ， 连 接 BC， OD， OC， 设 OC与 BD交 于 点 M.(1)根 据 圆 周 角 定 理 得 ： COB=2 CDB=2 30 =60 ， AC BD， A= OBD=30 ， OCA=180 -30 -60 =90 ，即 OC AC， OC
27、 为 半 径 ， AC 是 O的 切 线 ；(2)由 (1)知 ， AC为 O 的 切 线 ， OC AC. AC BD， OC BD. 由 垂 径 定 理 可 知 ， MD=MB= BD= .在 Rt OBM中 ， COB=60 ， OB= = =6.在 CDM与 OBM中 ， CDM OBM(ASA)， S CDM=S OBM 阴 影 部 分 的 面 积 S 阴 影 =S 扇 形 BOC= =6 (cm2).六 、 解 答 题 (本 题 满 分 12分 ) 22.(12分 )在 东 西 方 向 的 海 岸 线 l上 有 一 长 为 1km的 码 头 MN(如 图 )， 在 码 头 西 端
28、M 的 正 西19.5km处 有 一 观 察 站 A.某 时 刻 测 得 一 艘 匀 速 直 线 航 行 的 轮 船 位 于 A 的 北 偏 西 30 ， 且 与 A相 距 40km的 B处 ； 经 过 1小 时 20分 钟 ， 又 测 得 该 轮 船 位 于 A的 北 偏 东 60 ， 且 与 A相 距 km的 C 处 .(1)求 该 轮 船 航 行 的 速 度 (保 留 精 确 结 果 )；(2)如 果 该 轮 船 不 改 变 航 向 继 续 航 行 ， 那 么 轮 船 能 否 正 好 行 至 码 头 MN 靠 岸 ？ 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)根 据 1=30 ， 2=6
29、0 ， 可 知 ABC为 直 角 三 角 形 .根 据 勾 股 定 理 解 答 .(2)延 长 BC 交 l 于 T， 比 较 AT与 AM、 AN的 大 小 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 1=30 ， 2=60 ， ABC为 直 角 三 角 形 . AB=40km， AC= km， BC= = =16 (km). 1 小 时 20分 钟 =80分 钟 ， 1小 时 =60 分 钟 ， 60=12 (千 米 /小 时 ).(2)能 .理 由 ： 作 线 段 BR x轴 于 R， 作 线 段 CS x轴 于 S， 延 长 BC 交 l 于 T. 2=60 ， 4=90 -60 =
30、30 . AC=8 (km)， CS=8 sin30 =4 (km). AS=8 cos30 =8 =12(km).又 1=30 ， 3=90 -30 =60 . AB=40km， BR=40 sin60 =20 (km). AR=40 cos60 =40 =20(km).易 得 ， STC RTB，所 以 = ， ，解 得 ： ST=8(km).所 以 AT=12+8=20(km).又 因 为 AM=19.5km， MN 长 为 1km， AN=20.5km， 19.5 AT 20.5故 轮 船 能 够 正 好 行 至 码 头 MN 靠 岸 . 七 、 解 答 题 (本 题 满 分 12分
31、)23.(12分 )将 两 块 全 等 的 三 角 板 如 图 摆 放 ， 其 中 A1CB1= ACB=90 ， A1= A=30 .(1)将 图 中 的 A1B1C 顺 时 针 旋 转 45 得 图 ， 点 P1是 A1C 与 AB的 交 点 ， 点 Q是 A1B1与 BC的 交 点 ， 求 证 ： CP1=CQ；(2)在 图 中 ， 若 AP1=2， 则 CQ等 于 多 少 ？(3)如 图 ， 在 B1C 上 取 一 点 E， 连 接 BE、 P1E， 设 BC=1， 当 BE P1B 时 ， 求 P1BE面 积 的 最大 值 . 解 析 ： (1)先 判 断 B1CQ= BCP1=45
32、 ， 利 用 ASA即 可 证 明 B1CQ BCP1， 从 而 得 出 结 论 .(2)作 P1D CA 于 D， 在 RtADP1中 ， 求 出 P1D， 在 Rt CDP1中 求 出 CP1， 继 而 可 得 出 CQ 的 长 度 . (3)证 明 AP1C BEC， 则 有 AP1： BE=AC： BC= ： 1， 设 AP1=x， 则 BE= x， 得 出 S P1BE关于 x 的 表 达 式 ， 利 用 配 方 法 求 最 值 即 可 .答 案 ： (1) B1CB=45 ， B1CA1=90 ， B1CQ= BCP1=45 ， 在 B1CQ和 BCP1中 ， B 1CQ BCP1
33、(ASA)， CQ=CP1；(2)作 P1D CA 于 D， A=30 ， P 1D= AP1=1， P1CD=45 ， =sin45 = ， CP1= P1D= ，又 CP 1=CQ， CQ= ；(3) P1BE=90 ， ABC=60 ， A= CBE=30 ， AC= BC，由 旋 转 的 性 质 可 得 ： ACP1= BCE， AP1C BEC， AP 1： BE=AC： BC= ： 1，设 AP1=x， 则 BE= x，在 Rt ABC中 ， A=30 ， AB=2BC=2， S P1BE= x(2-x)=- x2+ x=- (x-1) 2+ ， 故 当 x=1 时 ， S P1B
34、E(max)= .八 、 解 答 题 (本 题 满 分 14分 )24.(14分 )如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx-2(a 0)与 x轴 交 于 A、 B 两 点 ， 与 y轴 交 于 C点 ，直 线 BD交 抛 物 线 于 点 D， 并 且 D(2， 3)， tan DBA= .(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)已 知 点 M 为 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 在 第 三 象 限 ， 顺 次 连 接 点 B、 M、 C、 A， 求 四 边 形 BMCA面 积 的 最 大 值 ；(3)在 (2)中 四 边 形 BMCA 面 积 最 大 的 条 件 下 ， 过
35、 点 M 作 直 线 平 行 于 y 轴 ， 在 这 条 直 线 上 是 否存 在 一 个 以 Q 点 为 圆 心 ， OQ为 半 径 且 与 直 线 AC 相 切 的 圆 ？ 若 存 在 ， 求 出 圆 心 Q 的 坐 标 ； 若不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)如 答 图 1 所 示 ， 利 用 已 知 条 件 求 出 点 B 的 坐 标 ， 然 后 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的解 析 式 ；(2)如 答 图 1 所 示 ， 首 先 求 出 四 边 形 BMCA面 积 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 其 最大
36、 值 ；(3)本 题 利 用 切 线 的 性 质 、 相 似 三 角 形 与 勾 股 定 理 求 解 .如 答 图 2 所 示 ， 首 先 求 出 直 线 AC与直 线 x=-2的 交 点 F 的 坐 标 ， 从 而 确 定 了 Rt AGF的 各 个 边 长 ； 然 后 证 明 Rt AGF Rt QEF，利 用 相 似 线 段 比 例 关 系 列 出 方 程 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 .答 案 ： (1)如 答 图 1 所 示 ， 过 点 D 作 DE x 轴 于 点 E， 则 DE=3， OE=2. tan DBA= = ， BE=6， OB=BE-OE=4， B(-4， 0).
37、点 B(-4， 0)、 D(2， 3)在 抛 物 线 y=ax2+bx-2(a 0)上 ， ， 解 得 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= x2+ x-2.(2)抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y= x2+ x-2，令 x=0， 得 y=-2， C(0， -2)，令 y=0， 得 x=-4或 1， A(1， 0).设 点 M坐 标 为 (m， n)(m 0， n 0)，如 答 图 1 所 示 ， 过 点 M 作 MF x 轴 于 点 F， 则 MF=-n， OF=-m， BF=4+m. S 四 边 形 BMCA=S BMF+S 梯 形 MFOC+S AOC= BF MF+ (MF
38、+OC) OF+ OA OC= (4+m) (-n)+ (-n+2) (-m)+ 1 2=-2n-m+1 点 M(m， n)在 抛 物 线 y= x2+ x-2上 ， n= m 2+ m-2， 代 入 上 式 得 ：S 四 边 形 BMCA=-m2-4m+5=-(m+2)2+9， 当 m=-2 时 ， 四 边 形 BMCA面 积 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 9.(3)假 设 存 在 这 样 的 Q.如 答 图 2 所 示 ， 设 直 线 x=-2 与 x 轴 交 于 点 G， 与 直 线 AC交 于 点 F. 设 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 将 A(1， 0)、
39、C(0， -2)代 入 得 ：，解 得 ： k=2， b=-2， 直 线 AC 解 析 式 为 ： y=2x-2，令 x=-2， 得 y=-6， F(-2， -6)， GF=6.在 Rt AGF中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： AF= = =3 .设 Q(-2， n)， 则 在 Rt QGO中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： OQ= = .设 Q与 直 线 AC相 切 于 点 E， 则 QE=OQ= .在 Rt AGF与 Rt QEF中 ， AGF= QEF=90 ， AFG= QFE， Rt AGF Rt QEF， ， 即 ，化 简 得 ： n2-3n-4=0， 解 得 n=4或 n=-1. 存 在 一 个 以 Q点 为 圆 心 ， OQ为 半 径 且 与 直 线 AC相 切 的 圆 ， 点 Q的 坐 标 为 (-2， 4)或 (-2，-1).
