1、2013年 四 川 省 成 都 市 中 考 真 题 数 学 (2)四 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20分 ， )21.(4分 )已 知 点 (3， 5)在 直 线 y=ax+b(a， b为 常 数 ， 且 a 0)上 ， 则 的 值 为 _.解 析 ： 将 点 (3， 5)代 入 直 线 解 析 式 ， 可 得 出 b-5的 值 ， 继 而 代 入 可 得 出 答 案 .答 案 ： 点 (3， 5)在 直 线 y=ax+b 上 ， 5=3a+b， b-5=-3a，则 = = .故 答 案 为 ： - . 22.(4分 )若 正 整 数 n使
2、 得 在 计 算 n+(n+1)+(n+2)的 过 程 中 ， 各 数 位 均 不 产 生 进 位 现 象 ， 则 称n为 “ 本 位 数 ” .例 如 2 和 30是 “ 本 位 数 ” ， 而 5 和 91 不 是 “ 本 位 数 ” .现 从 所 有 大 于 0 且小 于 100的 “ 本 位 数 ” 中 ， 随 机 抽 取 一 个 数 ， 抽 到 偶 数 的 概 率 为 _.解 析 ： 先 确 定 出 所 有 大 于 0 且 小 于 100的 “ 本 位 数 ” ， 再 根 据 概 率 公 式 计 算 即 可 得 解 .答 案 ： 所 有 大 于 0 且 小 于 100的 “ 本 位
3、数 ” 有 ： 1、 2、 10、 11、 12、 20、 21、 22、 30、 31、32，共 有 11个 ， 7 个 偶 数 ， 4个 奇 数 ，所 以 ， P(抽 到 偶 数 )= .故 答 案 为 ： . 23.(4分 )若 关 于 t 的 不 等 式 组 ， 恰 有 三 个 整 数 解 ， 则 关 于 x 的 一 次 函 数的 图 象 与 反 比 例 函 数 的 图 象 的 公 共 点 的 个 数 为 .解 析 ： 不 等 式 组 的 解 为 ： a t ， 不 等 式 组 恰 有 3 个 整 数 解 ， -2 a -1.联 立 方 程 组 ，得 ： x 2-ax-3a-2=0，
4、=a2+3a+2=(a+ )2- =(a+1)(a+2) 这 是 一 个 二 次 函 数 ， 开 口 向 上 ， 与 x 轴 交 点 为 (-2， 0)和 (-1， 0)， 对 称 轴 为 直 线 a=- ，其 图 象 如 下 图 所 示 ：由 图 象 可 见 ： 当 a=-1时 ， =0， 此 时 一 元 二 次 方 程 有 两 个 相 等 的 根 ， 即 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 有 一 个 交点 ；当 -2 a -1时 ， 0， 此 时 一 元 二 次 方 程 无 实 数 根 ， 即 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 没 有 交 点 . 交 点 的 个 数 为 ： 1
5、或 0.答 案 ： 1或 0.24.(4分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 y=kx(k为 常 数 )与 抛 物 线 y= x2-2交 于 A， B 两 点 ，且 A 点 在 y轴 左 侧 ， P 点 的 坐 标 为 (0， -4)， 连 接 PA， PB.有 以 下 说 法 ： PO 2=PA PB； 当 k 0 时 ， (PA+AO)(PB-BO)的 值 随 k 的 增 大 而 增 大 ； 当 k= 时 ， BP2=BO BA； PAB面 积 的 最 小 值 为 .其 中 正 确 的 是 .(写 出 所 有 正 确 说 法 的 序 号 )解 析 ： 设 A(m， k
6、m)， B(n， kn)， 其 中 m 0， n 0.联 立 y= x 2-2 与 y=kx得 ： x2-2=kx， 即 x2-3kx-6=0， m+n=3k， mn=-6.设 直 线 PA 的 解 析 式 为 y=ax+b， 将 P(0， -4)， A(m， km)代 入 得 ：， 解 得 a= ， b=-4， y=( )x-4.令 y=0， 得 x= ， 直 线 PA 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 ( ， 0). 同 理 可 得 ， 直 线 PB 的 解 析 式 为 y=( )x-4， 直 线 PB与 x轴 交 点 坐 标 为 ( ， 0). + = = =0， 直 线 PA、 PB
7、 与 x 轴 的 交 点 关 于 y 轴 对 称 ， 即 直 线 PA、 PB 关 于 y轴 对 称 .(1)说 法 错 误 .理 由 如 下 ：如 答 图 1 所 示 ， PA、 PB关 于 y 轴 对 称 ， 点 A关 于 y 轴 的 对 称 点 A 落 在 PB 上 .连 接 OA ， 则 OA=OA ， POA= POA . 假 设 结 论 ： PO2=PA PB 成 立 ， 即 PO2=PA PB， ，又 BPO= BPO， POA PBO， POA = PBO， AOP= PBO.而 AOP是 PBO的 外 角 ， AOP PBO， 矛 盾 ， 说 法 错 误 .(2)说 法 错
8、误 .理 由 如 下 ：易 知 ： =- ， OB=- OA.由 对 称 可 知 ， PO为 APB的 角 平 分 线 ， ， PB=- PA. (PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)- PA-(- OA)=- (PA+AO)(PA-OA)=- (PA 2-AO2).如 答 图 2 所 示 ， 过 点 A 作 AD y 轴 于 点 D， 则 OD=-km， PD=4+km. PA2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+16， m+n=3k， k= (m+n)， PA2-AO2=8 (m+n) m+16= m2+ mn+16
9、= m2+ (-6)+16= m2. (PA+AO)(PB-BO)=- (PA2-AO2)=- m2=- mn=- (-6)=16.即 ： (PA+AO)(PB-BO)为 定 值 ， 所 以 说 法 错 误 .(3)说 法 正 确 .理 由 如 下 ：当 k= 时 ， 联 立 方 程 组 ： ， 得 A( ， 2)， B( ， -1)， BP2=12， BO BA=2 6=12， BP2=BO BA， 故 说 法 正 确 .(4)说 法 正 确 .理 由 如 下 ：S PAB=S PAO+S PBO= OP (-m)+ OP n= OP (n-m)=2(n-m)=2 =2， 当 k=0时 ，
10、PAB面 积 有 最 小 值 ， 最 小 值 为 = .故 说 法 正 确 .综 上 所 述 ， 正 确 的 说 法 是 ： .答 案 ： . 25.(4分 )如 图 ， A， B， C为 O 上 相 邻 的 三 个 n等 分 点 ， = ， 点 E 在 上 ， EF为 O的 直 径 ， 将 O沿 EF折 叠 ， 使 点 A与 A 重 合 ， 点 B与 B 重 合 ， 连 接 EB ， EC， EA .设EB =b， EC=c， EA =p.现 探 究 b， c， p 三 者 的 数 量 关 系 ： 发 现 当 n=3 时 ， p=b+c.请 继 续 探究 b， c， p三 者 的 数 量 关
11、 系 ： 当 n=4时 ， p= ； 当 n=12时 ， p= .(参 考 数 据 ： sin15 =cos75 = ， cos15 =sin75 = ) 解 析 ： 如 解 答 图 所 示 ， 作 辅 助 线 ， 构 造 相 似 三 角 形 .首 先 ， 在 AE 上 取 一 点 D， 使 ED=EC， 连接 CD， 则 ABC与 CED为 顶 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 ， 所 以 ABC CED， 得 到 ；其 次 ， 证 明 ACD BCE， 得 到 ； 由 EA=ED+DA， 整 理 得 到 p 的 通 项 公 式 为 ：p=c+2cos b.将 n=4， n=12代
12、 入 ， 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： 如 解 答 图 所 示 ， 连 接 AB、 AC、 BC.由 题 意 ， 点 A、 B、 C为 圆 上 的 n 等 分 点 ， AB=BC， ACB= = (度 ).在 等 腰 ABC中 ， 过 顶 点 B 作 BN AC 于 点 N， 则 AC=2CN=2BC cos ACB=2cos BC， =2cos .连 接 AE、 BE， 在 AE上 取 一 点 D， 使 ED=EC， 连 接 CD. ABC= CED， ABC与 CED为 顶 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 ， ABC CED. ， ACB= DCE. ACB= ACD+
13、 BCD， DCE= BCE+ BCD， ACD= BCE.在 ACD与 BCE中 ， ， ACD= BCE， ACD BCE. ， DA= EB=2cos EB. EA=ED+DA=EC+2cos EB.由 折 叠 性 质 可 知 ， p=EA =EA， b=EB =EB， c=EC. p=c+2cos b.当 n=4时 ， p=c+2cos45 b=c+ b；当 n=12时 ， p=c+2cos15 b=c+ b.故 答 案 为 ： c+ b， c+ b. 五 、 解 答 题 (本 小 题 共 三 个 小 题 ， 共 30分 .答 案 写 在 答 题 卡 上 )26.(8分 )某 物 体
14、从 P点 运 动 到 Q 点 所 用 时 间 为 7秒 ， 其 运 动 速 度 v(米 每 秒 )关 于 时 间 t(秒 )的 函 数 关 系 如 图 所 示 .某 学 习 小 组 经 过 探 究 发 现 ： 该 物 体 前 进 3 秒 运 动 的 路 程 在 数 值 上 等 于矩 形 AODB 的 面 积 .由 物 理 学 知 识 还 可 知 ： 该 物 体 前 t(3 t 7)秒 运 动 的 路 程 在 数 值 上 等 于矩 形 AODB 的 面 积 与 梯 形 BDNM的 面 积 之 和 .根 据 以 上 信 息 ， 完 成 下 列 问 题 ：(1)当 3 t 7 时 ， 用 含 t 的
15、 式 子 表 示 v；(2)分 别 求 该 物 体 在 0 t 3和 3 t 7时 ， 运 动 的 路 程 s(米 )关 于 时 间 t(秒 )的 函 数 关 系 式 ；并 求 该 物 体 从 P点 运 动 到 Q 总 路 程 的 时 所 用 的 时 间 . 解 析 ： (1)设 直 线 BC的 解 析 式 为 v=kt+b， 运 用 待 定 系 数 法 就 可 以 求 出 t与 v的 关 系 式 ；(2)由 路 程 =速 度 时 间 ， 就 可 以 表 示 出 物 体 在 0 t 3 和 3 t 7时 ， 运 动 的 路 程 s(米 )关于 时 间 t(秒 )的 函 数 关 系 式 ， 根
16、据 物 体 前 t(3 t 7)秒 运 动 的 路 程 在 数 值 上 等 于 矩 形 AODB的 面 积 与 梯 形 BDNM的 面 积 之 和 求 出 总 路 程 ， 然 后 将 其 代 入 解 析 式 就 可 以 求 出 t 值 .答 案 ： (1)设 直 线 BC的 解 析 式 为 v=kt+b， 由 题 意 ， 得， 解 得 ：用 含 t的 式 子 表 示 v为 v=2t-4；(2)由 题 意 ， 得根 据 图 示 知 ， 当 0 t 3时 ， S=2t；当 3 t 7时 ， S=6+ (2+2t-4)(t-3)=t2-4t+9.综 上 所 述 ， S= ， P 点 运 动 到 Q点
17、 的 路 程 为 ： 7 2-4 7+9=49-28+9=30， 30 =21， t2-4t+9=21，整 理 得 ， t2-4t-12=0，解 得 ： t1=-2(舍 去 )， t2=6.故 该 物 体 从 P 点 运 动 到 Q点 总 路 程 的 时 所 用 的 时 间 为 6秒 .27.(10分 )如 图 ， O的 半 径 r=25， 四 边 形 ABCD内 接 圆 O， AC BD于 点 H， P 为 CA延 长 线上 的 一 点 ， 且 PDA= ABD.(1)试 判 断 PD 与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ； (2)若 tan ADB= ， PA= AH， 求
18、BD的 长 ；(3)在 (2)的 条 件 下 ， 求 四 边 形 ABCD的 面 积 .解 析 ： (1)首 先 连 接 DO 并 延 长 交 圆 于 点 E， 连 接 AE， 由 DE是 直 径 ， 可 得 DAE的 度 数 ， 又由 PDA= ABD= E， 可 证 得 PD DO， 即 可 得 PD与 圆 O 相 切 于 点 D； (2)首 先 由 tan ADB= ， 可 设 AH=3k， 则 DH=4k， 又 由 PA= AH， 易 求 得 P=30 ， PDH=60 ， 连 接 BE， 则 DBE=90 ， DE=2r=50， 可 得 BD=DE cos30 = ；(3)由 (2)
19、易 得 HC= ( -4k)， 又 由 PD2=PA PC， 可 得 方 程 ：(8k)2=(4 -3)k 4 k+ (25 -4k)， 解 此 方 程 即 可 求 得 AC的 长 ， 继 而 求 得 四 边 形 ABCD的 面 积 .答 案 ： (1)PD 与 圆 O相 切 . 理 由 ： 如 图 ， 连 接 DO并 延 长 交 圆 于 点 E， 连 接 AE， DE 是 直 径 ， DAE=90 ， AED+ ADE=90 ， PDA= ABD= AED， PDA+ ADE=90 ，即 PD DO， PD 与 圆 O相 切 于 点 D；(2) tan ADB= 可 设 AH=3k， 则 D
20、H=4k， PA= AH， PA=(4 -3)k， PH=4 k， 在 Rt PDH中 ， tan P= = ， P=30 ， PDH=60 ， PD DO， BDE=90 - PDH=30 ，连 接 BE， 则 DBE=90 ， DE=2r=50， BD=DE cos30 = ；(3)由 (2)知 ， BH= -4k， HC= ( -4k)， 又 PD2=PA PC， (8k)2=(4 -3)k 4 k+ (25 -4k)，解 得 ： k=4 -3， AC=3k+ (25 -4k)=24 +7， S 四 边 形 ABCD= BD AC= 25 (24 +7)=900+ . 28.(12分 )
21、在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 抛 物 线 y= x2+bx+c(b， c为 常 数 )的 顶 点 为 P， 等腰 直 角 三 角 形 ABC的 顶 点 A 的 坐 标 为 (0， -1)， C的 坐 标 为 (4， 3)， 直 角 顶 点 B 在 第 四 象 限 .(1)如 图 ， 若 该 抛 物 线 过 A， B两 点 ， 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；(2)平 移 (1)中 的 抛 物 线 ， 使 顶 点 P在 直 线 AC上 滑 动 ， 且 与 AC交 于 另 一 点 Q.(i)若 点 M 在 直 线 AC下 方 ， 且 为 平 移 前 (1)中 的 抛
22、 物 线 上 的 点 ， 当 以 M、 P、 Q 三 点 为 顶 点 的三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 ；(ii)取 BC 的 中 点 N， 连 接 NP， BQ.试 探 究 是 否 存 在 最 大 值 ？ 若 存 在 ， 求 出 该 最 大 值 ；若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)先 求 出 点 B 的 坐 标 ， 然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ；(2)(i)首 先 求 出 直 线 AC 的 解 析 式 和 线 段 PQ的 长 度 ， 作
23、为 后 续 计 算 的 基 础 .若 MPQ为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 可 分 为 以 下 两 种 情 况 ： 当 PQ为 直 角 边 时 ： 点 M 到 PQ 的 距 离 为 .此 时 ， 将 直 线 AC向 右 平 移 4 个 单 位 后 所 得直 线 (y=x-5)与 抛 物 线 的 交 点 ， 即 为 所 求 之 M 点 ； 当 PQ为 斜 边 时 ： 点 M 到 PQ的 距 离 为 .此 时 ， 将 直 线 AC向 右 平 移 2 个 单 位 后 所 得 直 线(y=x-3)与 抛 物 线 的 交 点 ， 即 为 所 求 之 M 点 .(ii)由 (i)可 知 ， PQ=
24、 为 定 值 ， 因 此 当 NP+BQ 取 最 小 值 时 ， 有 最 大 值 .如 答 图 2 所 示 ， 作 点 B 关 于 直 线 AC 的 对 称 点 B ， 由 分 析 可 知 ， 当 B 、 Q、 F(AB中 点 )三点 共 线 时 ， NP+BQ最 小 ， 最 小 值 为 线 段 B F 的 长 度 .答 案 ： (1) 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 的 顶 点 A 的 坐 标 为 (0， -1)， C 的 坐 标 为 (4， 3) 点 B的 坐 标 为 (4， -1). 抛 物 线 过 A(0， -1)， B(4， -1)两 点 ， ， 解 得 ： b=2， c=-1，
25、 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： y= x2+2x-1.(2)(i) A(0， -1)， C(4， 3)， 直 线 AC 的 解 析 式 为 ： y=x-1.设 平 移 前 抛 物 线 的 顶 点 为 P 0， 则 由 (1)可 得 P0的 坐 标 为 (2， 1)， 且 P0在 直 线 AC 上 . 点 P在 直 线 AC上 滑 动 ， 可 设 P 的 坐 标 为 (m， m-1)，则 平 移 后 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 为 ： y= (x-m)2+m-1.解 方 程 组 ： ，解 得 ， P(m， m-1)， Q(m-2， m-3).过 点 P作 PE x轴 ， 过
26、 点 Q 作 QF y 轴 ， 则PE=m-(m-2)=2， QF=(m-1)-(m-3)=2. PQ= =AP 0.若 以 M、 P、 Q 三 点 为 顶 点 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 可 分 为 以 下 两 种 情 况 ： 当 PQ为 直 角 边 时 ： 点 M 到 PQ 的 距 离 为 (即 为 PQ的 长 ).由 A(0， -1)， B(4， -1)， P0(2， 1)可 知 ， ABP0为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 BP0 AC， BP0= .如 答 图 1， 过 点 B 作 直 线 l1 AC， 交 抛 物 线 y= x2+2x-1 于 点 M， 则 M为
27、符 合 条 件 的 点 . 可 设 直 线 l 1的 解 析 式 为 ： y=x+b1， B(4， -1)， -1=4+b1， 解 得 b1=-5， 直 线 l1的 解 析 式 为 ： y=x-5.解 方 程 组 ， 得 ： ， M1(4， -1)， M2(-2， -7). 当 PQ为 斜 边 时 ： MP=MQ=2， 可 求 得 点 M 到 PQ 的 距 离 为 .如 答 图 2， 取 AB的 中 点 F， 则 点 F的 坐 标 为 (2， -1).由 A(0， -1)， F(2， -1)， P0(2， 1)可 知 ： AFP0为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 点 F到 直 线 AC的
28、 距 离 为 . 过 点 F作 直 线 l2 AC， 交 抛 物 线 y= x2+2x-1于 点 M， 则 M 为 符 合 条 件 的 点 . 可 设 直 线 l2的 解 析 式 为 ： y=x+b2， F(2， -1)， -1=2+b2， 解 得 b2=-3， 直 线 l2的 解 析 式 为 ： y=x-3.解 方 程 组 ， 得 ： ， M 3(1+ ， -2+ )， M4(1- ， -2- ).综 上 所 述 ， 所 有 符 合 条 件 的 点 M 的 坐 标 为 ：M1(4， -1)， M2(-2， -7)， M3(1+ ， -2+ )， M4(1- ， -2- ).ii) 存 在 最 大 值 .理 由 如 下 ：由 (i)知 PQ= 为 定 值 ， 则 当 NP+BQ取 最 小 值 时 ， 有 最 大 值 . 如 答 图 2， 取 点 B 关 于 AC的 对 称 点 B ， 易 得 点 B 的 坐 标 为 (0， 3)， BQ=B Q.连 接 QF， FN， QB ， 易 得 FN PQ， 且 FN=PQ， 四 边 形 PQFN 为 平 行 四 边 形 . NP=FQ. NP+BQ=FQ+B Q FB = = . 当 B 、 Q、 F三 点 共 线 时 ， NP+BQ 最 小 ， 最 小 值 为 . 的 最 大 值 为 = .
