1、2013 年 北 京 市 高 级 中 等 学 校 招 生 考 试数 学 试 卷满 分 120 分 ， 考 试 时 间 120 分 钟一 、 选 择 题 （ 本 题 共 32 分 ， 每 小 题 4 分 ）下 面 各 题 均 有 四 个 选 项 ， 其 中 只 有 一 个 是 符 合 题 意 的 。1. 在 关 于 促 进 城 市 南 部 地 区 加 快 发 展 第 二 阶 段 行 动 计 划 （ 2013-2015） 中 ， 北 京 市 提出 了 总 计 约 3960 亿 元 的 投 资 计 划 。 将 3960 用 科 学 计 数 法 表 示 应 为A.39.6 10 2 B.3.96 10
2、3 C.3.96 104 D.3.96 1042. 43 的 倒 数 是A. B. C. 43 D. 343. 在 一 个 不 透 明 的 口 袋 中 装 有 5 个 完 全 相 同 的 小 球 ， 把 它 们 分 别 标 号 为 1， 2， 3， 4， 5，从 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 其 标 号 大 于 2 的 概 率 为A. B. C. D.4. 如 图 ， 直 线 ， 被 直 线 所 截 ， ， 1= 2， 若 3=40 ， 则 4 等 于A.40 B.50 C.70 D.805. 如 图 ， 为 估 算 某 河 的 宽 度 ， 在 河 对 岸 边 选 定 一 个 目 标
3、 点 A， 在 近 岸取 点 B， C， D， 使 得 AB BC， CD BC， 点 E 在 BC 上 ， 并 且 点A， E， D 在 同 一 条 直 线 上 。 若 测 得 BE=20m， EC=10m， CD=20m，则 河 的 宽 度 AB 等 于A.60m B.40mC.30m D.20m6. 下 列 图 形 中 ， 是 中 心 对 称 图 形 但 不 是 轴 对 称 图 形 的 是 7. 某 中 学 随 机 地 调 查 了 50 名 学 生 ， 了 解 他 们 一 周 在 校 的 体 育 锻 炼 时 间 ， 结 果 如 下 表 所 示 ：时 间 （ 小 时 ） 5 6 7 8人
4、数 10 15 20 5则 这 50 名 学 生 这 一 周 在 校 的 平 均 体 育 锻 炼 时 间 是A.6.2 小 时 B.6.4 小 时 C.6.5 小 时 D.7 小 时8. 如 图 ， 点 P 是 以 O 为 圆 心 ， AB 为 直 径 的 半 圆 上 的 动 点 ， AB=2， 设弦 AP 的 长 为 ， APO 的 面 积 为 ， 则 下 列 图 象 中 ， 能 表 示 与 的 函 数关 系 的 图 象 大 致 是 二 、 填 空 题 （ 本 题 共 16 分 ， 每 小 题 4 分 ）9. 分 解 因 式 ： aabab 442 =_10. 请 写 出 一 个 开 口 向
5、 上 ， 并 且 与 y 轴 交 于 点 （ 0， 1） 的 抛 物 线 的 解 析 式 _1011. 如 图 ， O 是 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC 的 中 点 ， M 是 AD 的 中 点 ，若 AB=5， AD=12， 则 四 边 形 ABOM 的 周 长 为 _12. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中 ， 已 知 直 线 ： 1 xt ， 双 曲 线xy 1 。 在 上 取 点 A 1， 过 点 A1作 轴 的 垂 线 交 双 曲 线 于 点 B1，过 点 B1作 轴 的 垂 线 交 于 点 A2， 请 继 续 操 作 并 探 究 ： 过 点 A2作轴 的
6、 垂 线 交 双 曲 线 于 点 B2， 过 点 B2作 轴 的 垂 线 交 于 点 A3， ，这 样 依 次 得 到 上 的 点 A1， A2， A3， ， An， 。 记 点 An的 横坐 标 为 na ， 若 21 a ， 则 2a =_， 2013a =_；若 要 将 上 述 操 作 无 限 次 地 进 行 下 去 ， 则 1a 不 能 取 的 值 是 _三 、 解 答 题 （ 本 题 共 30 分 ， 每 小 题 5 分 ） 13. 如 图 ， 已 知 D 是 AC 上 一 点 ， AB=DA， DE AB， B=DAE。求 证 ： BC=AE。 14. 计 算 ： 10 )41(4
7、5cos22)31( 。15. 解 不 等 式 组 ： xx xx 231 2316. 已 知 0142 xx ， 求 代 数 式 22 )()32( yyxyxx 的 值 。17. 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题 ： 某 园 林 队 计 划 由 6 名 工 人 对 180 平 方 米 的 区 域 进 行 绿 化 ， 由 于 施 工 时 增 加 了 2 名 工人 ， 结 果 比 计 划 提 前 3 小 时 完 成 任 务 。 若 每 人 每 小 时 绿 化 面 积 相 同 ， 求 每 人 每 小 时 的 绿化 面 积 。18 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 04222
8、kxx 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根（ 1） 求 的 取 值 范 围 ；（ 2） 若 为 正 整 数 ， 且 该 方 程 的 根 都 是 整 数 ， 求 的 值 。 四 、 解 答 题 （ 本 题 共 20 分 ， 每 小 题 5 分 ）19 如 图 ， 在 ABCD 中 ， F 是 AD 的 中 点 ， 延 长 BC 到 点 E，使 CE=BC， 连 结 DE， CF。（ 1） 求 证 ： 四 边 形 CEDF 是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 若 AB=4， AD=6， B=60 ， 求 DE 的 长 。20 如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， PA， PC 分 别 与
9、O 相 切 于 点A， C， PC 交 AB 的 延 长 线 于 点 D， DE PO 交 PO 的 延长 线 于 点 E。 （ 1） 求 证 ： EPD= EDO（ 2） 若 PC=6， tan PDA=， 求 OE 的 长 。 21 第 九 届 中 国 国 际 园 林 博 览 会 （ 园 博 会 ） 已 于 2013 年 5 月 18 日 在 北 京 开 幕 ， 以 下 是 根 据近 几 届 园 博 会 的 相 关 数 据 绘 制 的 统 计 图 的 一 部 分 ： （ 1） 第 九 届 园 博 会 的 植 物 花 园 区 由 五 个 花 园 组 成 ， 其 中 月 季 园 面 积 为 0
10、.04 平 方 千 米 ，牡 丹 园 面 积 为 _平 方 千 米 ；（ 2） 第 九 届 园 博 会 园 区 陆 地 面 积 是 植 物 花 园 区 总 面 积 的 18 倍 ， 水 面 面 积 是 第 七 、 八 两届 园 博 会 的 水 面 面 积 之 和 ， 请 根 据 上 述 信 息 补 全 条 形 统 计 图 ， 并 标 明 相 应 数 据 ；（ 3） 小 娜 收 集 了 几 届 园 博 会 的 相 关 信 息 （ 如 下 表 ） ， 发 现 园 博 会 园 区 周 边 设 置 的 停 车 位数 量 与 日 接 待 游 客 量 和 单 日 最 多 接 待 游 客 量 中 的 某 个
11、 量 近 似 成 正 比 例 关 系 ， 根 据 小娜 的 发 现 ， 请 估 计 将 于 2015 年 举 办 的 第 十 届 园 博 会 大 约 需 要 设 置 的 停 车 位 数 量 （ 直接 写 出 结 果 ， 精 确 到 百 位 ） 。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日 均 接 待 游 客 量（ 万 人 次 ） 单 日 最 多 接 待 游 客 量（ 万 人 次 ） 停 车 位 数 量（ 个 ）第 七 届 0.8 6 约 3000第 八 届 2.3 8.2 约 4000第 九 届 8（ 预 计 ） 20（ 预 计 ） 约 10500第 十 届 1.9（ 预 计 ） 7.4
12、（ 预 计 ） 约 _22 阅 读 下 面 材 料 ：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2( aa的正方形ABCD各边上分别 截取AE=BF=CG=DH=1，当 AFQ= BGM= CHN= DEP=45时，求正方形MNPQ的面积。 小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得 RQF， SMG， TNH， WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请 回 答 ：（ 1） 若 将 上 述 四 个 等 腰 直 角 三 角 形 拼 成 一 个 新 的 正 方 形 （ 无 缝 隙 ， 不 重 叠 ） ， 则 这 个 新的 正 方 形 的 边
13、 长 为 _；（ 2） 求 正 方 形 MNPQ 的 面 积 。参 考 小 明 思 考 问 题 的 方 法 ， 解 决 问 题 ：如 图 3， 在 等 边 ABC 各 边 上 分 别 截 取 AD=BE=CF， 再 分 别 过 点 D， E， F 作 BC， AC， AB 的 垂 线 ， 得 到 等 边 RPQ， 若 33RPQS ， 则 AD 的 长 为 _。五 、 解 答 题 （ 本 题 共 22 分 ， 第 23 题 7 分 ， 第 24 题 7 分 ， 第 25 题 8 分 ）23 在 平 面 直 角 坐 标 系 O 中 ， 抛 物 线222 mxmxy （ 0m ） 与 轴 交 于
14、点 A，其 对 称 轴 与 轴 交 于 点 B。（ 1） 求 点 A， B 的 坐 标 ； （ 2） 设 直 线 与 直 线 AB 关 于 该 抛 物 线 的 对 称 轴 对称 ， 求 直 线 的 解 析 式 ；（ 3） 若 该 抛 物 线 在 12 x 这 一 段 位 于 直 线的 上 方 ， 并 且 在 32 x 这 一 段 位 于 直 线AB 的 下 方 ， 求 该 抛 物 线 的 解 析 式 。24 在 ABC 中 ， AB=AC， BAC=（ 600 ） ， 将 线 段 BC 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 60 得 到 线 段 BD。（ 1） 如 图 1， 直 接 写 出 ABD
15、的 大 小 （ 用 含 的 式 子 表 示 ） ；（ 2） 如 图 2， BCE=150 ， ABE=60 ， 判 断 ABE 的 形 状 并 加 以 证 明 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 连 结 DE， 若 DEC=45 ， 求 的 值 。25 对 于 平 面 直 角 坐 标 系 O 中 的 点 P 和 C， 给 出 如 下 定 义 ： 若 C 上 存 在 两 个 点 A， B，使 得 APB=60 ， 则 称 P 为 C 的 关 联 点 。已 知 点 D（ ， ） ， E（ 0， -2） ， F（ 32 ， 0）（ 1） 当 O 的 半 径 为 1 时 ， 在 点 D， E， F 中 ， O 的 关 联 点 是 _； 过 点 F 作 直 线 交 轴 正 半 轴 于 点 G， 使 GFO=30 ， 若 直 线 上 的 点 P（ ， ） 是 O 的 关 联 点 ， 求 的 取 值 范 围 ；（ 2） 若 线 段 EF 上 的 所 有 点 都 是 某 个 圆 的 关 联 点 ， 求 这 个 圆 的 半 径 的 取 值 范 围 。
