1、2013年 内 蒙 古 呼 和 浩 特 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）1.（ 3分 ） 3 的 相 反 数 是 （ ）A.3B. 3C.D.解 析 ： 根 据 相 反 数 的 概 念 答 案 即 可 . 答 案 ： A.2.（ 3分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A.x2+x3=x5B.x8 x2=x4C.3x 2x=1D.（ x2） 3=x6解 析 ： A、 x 2与 x3不 是 同 类 项
2、 不 能 合 并 ， 故 选 项 错 误 ；B、 应 为 x8 x2=x6， 故 选 项 错 误 ；C、 应 为 3x 2x=x， 故 选 项 错 误 ；D、 （ x2） 3=x6， 正 确 .答 案 ： D.3.（ 3分 ） 观 察 下 列 图 形 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 有 （ ）A.1个 B.2个C.3个D.4个解 析 ： 第 一 个 图 形 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；第 二 个 图 形 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ；第 三 个 图 形 既 是 轴
3、对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ；第 四 个 图 形 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ；所 以 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 共 有 3个 .答 案 ： C.4.（ 3分 ） 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A.“ 打 开 电 视 剧 ， 正 在 播 足 球 赛 ” 是 必 然 事 件 B.甲 组 数 据 的 方 差 =0.24， 乙 组 数 据 的 方 差 =0.03， 则 乙 组 数 据 比 甲 组 数 据 稳 定C.一 组 数 据 2， 4， 5， 5， 3， 6 的 众 数 和 中 位 数 都 是 5D
4、.“ 掷 一 枚 硬 币 正 面 朝 上 的 概 率 是 ” 表 示 每 抛 硬 币 2 次 就 有 1 次 正 面 朝 上解 析 ： A、 “ 打 开 电 视 剧 ， 正 在 播 足 球 赛 ” 是 随 机 事 件 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 因 为 =0.24， =0.03， 乙 组 数 据 比 甲 组 数 据 稳 定 ， 故 本 选 项 正 确 ；C、 一 组 数 据 2， 4， 5， 5， 3， 6 的 众 数 是 5， 中 位 数 是 4.5， 故 本 选 项 错 误 ；D、 “ 掷 一 枚 硬 币 正 面 朝 上 的 概 率 是 ” 表 示 每 抛 硬 币 2 次 可 能
5、有 1 次 正 面 朝 上 ， 故 本 选 项错 误 ；答 案 ： B. 5.（ 3分 ） 用 激 光 测 距 仪 测 得 两 地 之 间 的 距 离 为 14 000 000米 ， 将 14 000 000用 科 学 记 数法 表 示 为 （ ）A.14 107B.14 106C.1.4 107D.0.14 108将 诶 西 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n 的 值时 ， 要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的
6、 位 数 相 同 .当原 数 绝 对 值 大 于 1 时 ， n是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 小 于 1时 ， n 是 负 数 .答 案 ： C.6.（ 3分 ） 只 用 下 列 图 形 中 的 一 种 ， 能 够 进 行 平 面 镶 嵌 的 是 （ ）A.正 十 边 形 B.正 八 边 形C.正 六 边 形D.正 五 边 形解 析 ： A、 正 十 边 形 每 个 内 角 是 180 360 10=144 ， 不 能 整 除 360 ， 不 能 单 独 进 行镶 嵌 ， 不 符 合 题 意 ；B、 正 八 边 形 每 个 内 角 是 180 360 8=135 ， 不 能 整
7、除 360 ， 不 能 单 独 进 行 镶 嵌 ， 不符 合 题 意 ；C、 正 六 边 形 的 每 个 内 角 是 120 ， 能 整 除 360 ， 能 整 除 360 ， 可 以 单 独 进 行 镶 嵌 ， 符 合题 意 ；D、 正 五 边 形 每 个 内 角 是 180 360 5=108 ， 不 能 整 除 360 ， 不 能 单 独 进 行 镶 嵌 ， 不符 合 题 意 ；答 案 ： C. 7.（ 3分 ） 从 1到 9这 九 个 自 然 数 中 任 取 一 个 ， 是 偶 数 的 概 率 是 （ ）A. B.C.D.解 析 ： 解 ： 1 9 这 九 个 自 然 数 中 ， 是
8、偶 数 的 数 有 ： 2、 4、 6、 8， 共 4个 ， 从 1 9 这 九 个 自 然 数 中 任 取 一 个 ， 是 偶 数 的 概 率 是 ： .答 案 ： B.8.（ 3分 ） 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 函 数 y=mx+m 和 y= mx 2+2x+2（ m是 常 数 ， 且 m 0） 的 图象 可 能 是 （ ）A. B.C.D. 解 析 ： 解 ： 解 法 一 ： 逐 项 解 析A、 由 函 数 y=mx+m 的 图 象 可 知 m 0， 即 函 数 y= mx2+2x+2 开 口 方 向 朝 上 ， 与 图 象 不 符 ， 故A选 项 错 误 ；B、 由 函
9、数 y=mx+m 的 图 象 可 知 m 0， 对 称 轴 为 x= = = 0， 则 对 称 轴 应 在 y轴 左 侧 ， 与 图 象 不 符 ， 故 B 选 项 错 误 ； C、 由 函 数 y=mx+m 的 图 象 可 知 m 0， 即 函 数 y= mx2+2x+2 开 口 方 向 朝 下 ， 与 图 象 不 符 ， 故C选 项 错 误 ；D、 由 函 数 y=mx+m 的 图 象 可 知 m 0， 即 函 数 y= mx2+2x+2 开 口 方 向 朝 上 ， 对 称 轴 为x= = = 0， 则 对 称 轴 应 在 y 轴 左 侧 ， 与 图 象 相 符 ， 故 D 选 项 正 确
10、 ；解 法 二 ： 系 统 解 析当 二 次 函 数 开 口 向 下 时 ， m 0， m 0，一 次 函 数 图 象 过 一 、 二 、 三 象 限 .当 二 次 函 数 开 口 向 上 时 ， m 0， m 0，对 称 轴 x= 0，这 时 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 在 y 轴 左 侧 ，一 次 函 数 图 象 过 二 、 三 、 四 象 限 . 答 案 ： D.9.（ 3 分 ） 已 知 ， 是 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2+（ 2m+3） x+m2=0 的 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，且 满 足 + = 1， 则 m 的 值 是 （ ）A.3或 1
11、B.3C.1D. 3或 1解 析 ： 根 据 条 件 知 ： + = （ 2m+3） ， =m 2， = 1，即 m2 2m 3=0，所 以 ， 得 ，解 得 m=3.答 案 ： B.10.（ 3分 ） 如 图 ， 下 列 图 案 均 是 长 度 相 同 的 火 柴 按 一 定 的 规 律 拼 搭 而 成 ： 第 1 个 图 案 需 7 根 火 柴 ， 第 2 个 图 案 需 13根 火 柴 ， ， 依 此 规 律 ， 第 11个 图 案 需 （ ） 根 火 柴 .A.156 B.157C.158D.159解 析 ： 根 据 题 意 可 知 ：第 1 个 图 案 需 7根 火 柴 ， 7=1
12、（ 1+3） +3，第 2 个 图 案 需 13根 火 柴 ， 13=2 （ 2+3） +3，第 3 个 图 案 需 21根 火 柴 ， 21=3 （ 3+3） +3， ，第 n 个 图 案 需 n（ n+3） +3根 火 柴 ，则 第 11个 图 案 需 ： 11 （ 11+3） +3=157（ 根 ） ；答 案 ： B.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 ， 本 题 要 求 把 正 确 结 果 填 在 答 题 纸 规 定 的 横 线 上 ， 不 需 要 答 案 过 程 ）11.（ 3分 ） 如 图 ， AB CD， 1=60 ，
13、FG 平 分 EFD， 则 2= 度 .解 析 ： AB CD EFD= 1=60又 FG平 分 EFD. 2= EFD=30 .答 案 ： 3012.（ 3分 ） 大 于 且 小 于 的 整 数 是 .解 析 ： 根 据 =2和 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： 解 ： =2， ， 大 于 且 小 于 的 整 数 有 2，答 案 ： 2.13.（ 3分 ） 一 个 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 2倍 ， 则 圆 锥 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 是 .解 析 ： 根 据 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 2 倍 可 得 到 圆 锥 底 面 半 径 和
14、 母 线 长 的 关 系 ， 利 用 圆 锥 侧 面 展 开 图 的 弧 长 =底 面 周 长 即 可 得 到 该 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 扇 形 的 圆 心 角 度 数 .答 案 ： 解 ： 设 母 线 长 为 R， 底 面 半 径 为 r， 底 面 周 长 =2 r， 底 面 面 积 = r2， 侧 面 面 积 = lr= rR， 侧 面 积 是 底 面 积 的 2 倍 ， 2 r2= rR， R=2r，设 圆 心 角 为 n， 有 = R=2 r， n=180 .答 案 ： 180.14.（ 3分 ） 某 工 厂 现 在 平 均 每 天 比 原 计 划 多 生 产 50台 机 器
15、 ， 现 在 生 产 600台 机 器 所 需 时 间与 原 计 划 生 产 450台 机 器 所 需 时 间 相 同 ， 现 在 平 均 每 天 生 产 台 机 器 .解 析 ： 根 据 现 在 生 产 600台 机 器 的 时 间 与 原 计 划 生 产 450台 机 器 的 时 间 相 同 .所 以 可 得 等量 关 系 为 ： 现 在 生 产 600台 机 器 时 间 =原 计 划 生 产 450 台 时 间 .答 案 ： 设 ： 现 在 平 均 每 天 生 产 x台 机 器 ， 则 原 计 划 可 生 产 （ x 50） 台 .依 题 意 得 ： = . 解 得 ： x=200.检
16、验 ： 当 x=200时 ， x（ x 50） 0. x=200 是 原 分 式 方 程 的 解 . 现 在 平 均 每 天 生 产 200台 机 器 .答 案 ： 200.15.（ 3分 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC BD， 垂 足 为 O， 点 E、 F、 G、 H分 别 为 边AD、 AB、 BC、 CD的 中 点 .若 AC=8， BD=6， 则 四 边 形 EFGH 的 面 积 为 . 解 析 ： 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 .利 用 中 位 线 定 理 可 得 出 四 边 形 EFGH矩 形 ， 根据 矩 形
17、的 面 积 公 式 答 案 即 可 .答 案 ： 点 E、 F 分 别 为 四 边 形 ABCD的 边 AD、 AB 的 中 点 ， EF BD， 且 EF= BD=3.同 理 求 得 EH AC GF， 且 EH=GF= AC=4，又 AC BD， EF GH， FG HE 且 EF FG.四 边 形 EFGH是 矩 形 . 四 边 形 EFGH 的 面 积 =EFEH=3 4=12， 即 四 边 形 EFGH的 面 积 是 12.答 案 ： 12. 16.（ 3分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A（ 4， 0） 、 B（ 6， 0） ， 点 C 是 y 轴 上 的
18、 一 个 动点 ， 当 BCA=45 时 ， 点 C 的 坐 标 为 . 解 析 ： 设 线 段 BA的 中 点 为 E， 点 A（ 4， 0） 、 B（ 6， 0） ， AB=10， E（ 1， 0） .（ 1） 如 答 图 1 所 示 ， 过 点 E在 第 二 象 限 作 EP BA， 且 EP= AB=5， 则 易 知 PBA为 等 腰 直 角三 角 形 ， BPA=90 ， PA=PB= ； 以 点 P为 圆 心 ， PA（ 或 PB） 长 为 半 径 作 P， 与 y 轴 的 正 半 轴 交 于 点 C， BCA为 P 的 圆 周 角 ， BCA= BPA=45 ， 即 则 点 C即
19、 为 所 求 .过 点 P作 PF y轴 于 点 F， 则 OF=PE=5， PF=1，在 Rt PFC中 ， PF=1， PC= ， 由 勾 股 定 理 得 ： CF= =7， OC=OF+CF=5+7=12， 点 C坐 标 为 （ 0， 12） ；（ 2） 如 答 图 2所 示 ， 在 第 3 象 限 可 以 参 照 （ 1） 作 同 样 操 作 ， 同 理 求 得 y轴 负 半 轴 上 的 点 C坐 标 为 （ 0， 12） . 综 上 所 述 ， 点 C坐 标 为 （ 0， 12） 或 （ 0， 12） . 答 案 ： （ 0， 12） 或 （ 0， 12） .三 、 答 案 题 （
20、本 大 题 共 9 小 题 ， 共 72 分 ， 答 案 应 写 出 必 要 的 演 算 步 骤 、 证 明 过 程 或 文 字 说明 ）17.（ 10分 ） （ 1） 计 算 ：（ 2） 化 简 ： .解 析 ： （ 1） 本 题 涉 及 到 负 整 数 指 数 幂 ， 绝 对 值 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 零 指 数 幂 四 个 考点 的 计 算 ， 根 据 实 数 的 运 算 顺 序 和 法 则 计 算 即 可 求 解 ；（ 2） 首 先 把 括 号 里 的 式 子 进 行 通 分 ， 然 后 把 除 法 运 算 转 化 成 乘 法 运 算 ， 进 行 约 分 化 简
21、. 答 案 ： （ 1）=3 | 2+ |+1=3 2+ +1=2+ ；（ 2）= = . 18.（ 6分 ） 如 图 ， CD=CA， 1= 2， EC=BC， 求 证 ： DE=AB.解 析 ： 根 据 三 角 形 全 等 的 判 定 ， 由 已 知 先 证 ACB= DCE， 再 根 据 SAS可 证 ABC DEC，继 而 可 得 出 结 论 .答 案 ： 1= 2， 1+ECA= 2+ ACE，即 ACB= DCE，在 ABC和 DEC中 ， ABC DEC（ SAS） . DE=AB. 19.（ 6分 ） 某 次 知 识 竞 赛 共 有 20道 题 ， 每 一 题 答 对 得 10
22、分 ， 答 错 或 不 答 都 扣 5分 ， 小 明得 分 要 超 过 90 分 ， 他 至 少 要 答 对 多 少 道 题 ？解 析 ： 根 据 小 明 得 分 要 超 过 90 分 ， 就 可 以 得 到 不 等 关 系 ： 小 明 的 得 分 90分 ， 设 应 答 对x道 ， 则 根 据 不 等 关 系 就 可 以 列 出 不 等 式 求 解 .答 案 ： 设 应 答 对 x 道 ， 则 ： 10 x 5（ 20 x） 90，解 得 x 12 ， x 取 整 数 ， x 最 小 为 ： 13，答 ： 他 至 少 要 答 对 13 道 题 .20.（ 6 分 ） 如 图 ， A、 B 两
23、 地 之 间 有 一 座 山 ， 汽 车 原 来 从 A地 到 B地 经 过 C地 沿 折 线 A C B行 驶 ， 现 开 通 隧 道 后 ， 汽 车 直 接 沿 直 线 AB 行 驶 .已 知 AC=10 千 米 ， A=30 ， B=45 .则 隧 道 开 通 后 ， 汽 车 从 A 地 到 B地 比 原 来 少 走 多 少 千 米 ？ （ 结 果 保 留 根 号 ）解 析 ： 过 C 作 CD AB 于 D， 在 Rt ACD中 ， 根 据 AC=10， A=30 ， 解 直 角 三 角 形 求 出AD、 CD的 长 度 ， 然 后 在 Rt BCD中 ， 求 出 BD、 BC的 长
24、度 ， 用 AC+BC （ AD+BD） 即 可 求 解 .答 案 ： 过 C 作 CD AB 于 D，在 Rt ACD中 ， AC=10， A=30 ， DC=ACsin30 =5， AD=ACcos30 =5 ，在 Rt BCD中 ， B=45 ， BD=CD=5， BC=5 ，则 用 AC+BC （ AD+BD） =10+5 （ 5 +5） =5+5 5 （ 千 米 ） .答 ： 汽 车 从 A 地 到 B地 比 原 来 少 走 （ 5+5 5 ） 千 米 . 21.（ 6分 ） 如 图 ， 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 与 x 轴 交 于 点 A， 与 双 曲 线 在 第
25、 一象 限 内 交 于 点 B， BC丄 x轴 于 点 C， OC=2AO.求 双 曲 线 的 解 析 式 . 解 析 ： 先 利 用 一 次 函 数 与 图 象 的 交 点 ， 再 利 用 OC=2AO 求 得 C 点 的 坐 标 ， 然 后 代 入 一 次 函数 求 得 点 B 的 坐 标 ， 进 一 步 求 得 反 比 例 函 数 的 解 析 式 即 可 .答 案 ： 由 题 意 OC=2AO，由 直 线 与 x轴 交 于 点 A 的 坐 标 为 （ 1， 0） ， OA=1.又 OC=2OA， OC=2， 点 B的 横 坐 标 为 2，代 入 直 线 ， 得 y= ， B（ 2， ）
26、. 点 B在 双 曲 线 上 ， k=xy=2 =3， 双 曲 线 的 解 析 式 为 y= .22.（ 8分 ） 某 区 八 年 级 有 3000名 学 生 参 加 “ 爱 我 中 华 知 识 竞 赛 ” 活 动 .为 了 了 解 本 次 知 识竞 赛 的 成 绩 分 布 情 况 ， 从 中 抽 取 了 200名 学 生 的 得 分 进 行 统 计 .请 你 根 据 不 完 整 的 表 格 ， 回 答 下 列 问 题 ：成 绩 x（ 分 ） 频 数 频 率50 x 60 1060 x 70 16 0.08 70 x 80 0.280 x 90 6290 x 100 72 0.36（ 1） 补
27、 全 频 数 分 布 直 方 图 ；（ 2） 若 将 得 分 转 化 为 等 级 ， 规 定 50 x 60评 为 “ D” ， 60 x 70 评 为 “ C” ， 70 x 90评 为 “ B” ， 90 x 100评 为 “ A” .这 次 全 区 八 年 级 参 加 竞 赛 的 学 生 约 有 多 少 学 生 参 赛 成 绩被 评 为 “ D” ？ 如 果 随 机 抽 查 一 名 参 赛 学 生 的 成 绩 等 级 ， 则 这 名 学 生 的 成 绩 等 级 哪 一 个 等 级的 可 能 性 大 ？ 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 由 60 x 70分 数 段 的 人 数
28、 除 以 所 占 的 百 分 比 ， 求 出 总 人 数 ， 进 而 求 出 70 x 80 分 数 段 的 频 数 ， 以 及 80 x 90 分 数 段 的 频 率 ， 补 全 表 格 即 可 ；（ 2） 找 出 样 本 中 评 为 “ D” 的 百 分 比 ， 估 计 出 总 体 中 “ D” 的 人 数 即 可 ； 求 出 等 级 为 A、 B、C、 D的 概 率 ， 表 示 大 小 ， 即 可 作 出 判 断 .答 案 ： （ 1） 根 据 题 意 得 ： 16 0.08=200（ 人 ） ，则 70 x 80 分 数 段 的 频 数 为 200 （ 10+16+62+72） =40
29、（ 人 ） ， 50 x 60分 数 段 频 率 为0.05， 80 x 90分 数 段 的 频 率 为 0.31， 补 全 条 形 统 计 图 ， 如 图 所 示 ： ；答 案 ： 0.05； 40； 0.31；（ 2） 由 表 格 可 知 ： 评 为 “ D” 的 频 率 是 = ， 由 此 估 计 全 区 八 年 级 参 加 竞 赛 的 学 生 约 有 3000=150（ 人 ） 被 评 为 “ D” ； P（ A） =0.36； P（ B） =0.51； P（ C） =0.08； P（ D） =0.05， P（ B） P（ A） P（ C） P（ D） ， 随 机 调 查 一 名 参
30、数 学 生 的 成 绩 等 级 “ B” 的 可 能 性 较 大 .23.（ 9分 ） 如 图 ， 在 边 长 为 3的 正 方 形 ABCD中 ， 点 E是 BC边 上 的 点 ， BE=1， AEP=90 ，且 EP 交 正 方 形 外 角 的 平 分 线 CP 于 点 P， 交 边 CD于 点 F， （ 1） 的 值 为 ；（ 2） 求 证 ： AE=EP；（ 3） 在 AB边 上 是 否 存 在 点 M， 使 得 四 边 形 DMEP是 平 行 四 边 形 ？ 若 存 在 ， 请 给 予 证 明 ； 若不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 由 正 方 形 的 性
31、 质 可 得 ： B= C=90 ， 由 同 角 的 余 角 相 等 ， 可 证 得 ： BAE= CEF， 根 据 同 角 的 正 弦 值 相 等 即 可 答 案 ；（ 2） 在 BA边 上 截 取 BK=BE， 连 接 KE， 根 据 角 角 之 间 的 关 系 得 到 AKE= ECP， 由 AB=CB，BK=BE， 得 AK=EC， 结 合 KAE= CEP， 证 明 AKE ECP， 于 是 结 论 得 出 ；（ 3） 作 DM AE于 AB交 于 点 M， 连 接 ME、 DP， 易 得 出 DM EP， 由 已 知 条 件 证 明 ADM BAE，进 而 证 明 MD=EP， 四
32、 边 形 DMEP是 平 行 四 边 形 即 可 证 出 .答 案 ： （ 1） 解 ： 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， B= D， AEP=90 ， BAE= FEC，在 Rt ABE中 ， AE= = ， sin BAE= =sin FEC= ， = ，解 法 二 ： 由 上 得 BAE= FEC， BAE= FEC， B= DCB， ABE ECF， = ， （ 2） 证 明 ： 在 BA 边 上 截 取 BK=BE， 连 接 KE， B=90 ， BK=BE， BKE=45 ， AKE=135 ， CP 平 分 外 角 ， DCP=45 ， ECP=135 ， AKE= ECP
33、， AB=CB， BK=BE， AB BK=BC BE，即 ： AK=EC，由 第 一 问 得 KAE= CEP， 在 AKE和 ECP 中 ， ， AKE ECP（ ASA） ， AE=EP； （ 3） 答 ： 存 在 .证 明 ： 作 DM AE交 AB 于 点 M，则 有 ： DM EP， 连 接 ME、 DP， 在 ADM与 BAE 中 ， ADM BAE（ ASA） ， MD=AE， AE=EP， MD=EP， MD EP， 四 边 形 DMEP 为 平 行 四 边 形 .24.（ 9分 ） 如 图 ， AD是 ABC 的 角 平 分 线 ， 以 点 C为 圆 心 ， CD 为 半
34、径 作 圆 交 BC的 延 长 线 于点 E， 交 AD于 点 F， 交 AE于 点 M， 且 B= CAE， EF： FD=4： 3.（ 1） 求 证 ： 点 F 是 AD 的 中 点 ；（ 2） 求 cos AED的 值 ； （ 3） 如 果 BD=10， 求 半 径 CD的 长 .解 析 ： （ 1） 由 AD是 ABC 的 角 平 分 线 ， B= CAE， 易 证 得 ADE= DAE， 即 可 得 ED=EA，又 由 ED是 直 径 ， 根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ， 可 得 EF AD， 由 三 线 合 一 的 知 识 ， 即 可 判定 点 F是 AD的
35、中 点 ；（ 2） 首 先 连 接 DM， 设 EF=4k， DF=3k， 然 后 由 勾 股 定 理 求 得 ED的 长 ， 继 而 求 得 DM 与 ME 的 长 ， 由 余 弦 的 定 义 ， 即 可 求 得 答 案 ；（ 3） 易 证 得 AEC BEA， 然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 可 得 方 程 ： （ 5k） 2= k（ 10+5k） ， 解 此 方 程 即 可 求 得 答 案 . 答 案 ： （ 1） 证 明 ： AD是 ABC的 角 平 分 线 ， 1= 2， ADE= 1+ B， DAE= 2+ 3， 且 B= 3， ADE= DAE，
36、ED=EA， ED 为 C直 径 ， DFE=90 ， EF AD， 点 F是 AD的 中 点 ；（ 2） 解 ： 连 接 DM，设 EF=4k， DF=3k， 则 ED= =5k， ADEF= AEDM， DM= = = k， ME= = k， cos AED= = ；（ 3） 解 ： B= 3， AEC为 公 共 角 ， AEC BEA， AE： BE=CE： AE， AE2=CEBE， （ 5k） 2= k（ 10+5k） ， k 0， k=2， CD= k=5. 25.（ 12 分 ） 如 图 ， 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 点 A（ 6， 0） 、 B（ 2， 0）
37、和 点 C（ 0， 8） .（ 1） 求 该 二 次 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 设 该 二 次 函 数 图 象 的 顶 点 为 M， 若 点 K为 x轴 上 的 动 点 ， 当 KCM的 周 长 最 小 时 ， 点 K的 坐 标 为 ；（ 3） 连 接 AC， 有 两 动 点 P、 Q同 时 从 点 O 出 发 ， 其 中 点 P以 每 秒 3个 单 位 长 度 的 速 度 沿 折线 OAC按 O A C 的 路 线 运 动 ， 点 Q 以 每 秒 8 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 折 线 OCA按 O C A 的 路线 运 动 ， 当 P、 Q两 点 相 遇 时 ， 它 们
38、 都 停 止 运 动 ， 设 P、 Q 同 时 从 点 O出 发 t 秒 时 ， OPQ的面 积 为 S. 请 问 P、 Q 两 点 在 运 动 过 程 中 ， 是 否 存 在 PQ OC？ 若 存 在 ， 请 求 出 此 时 t 的 值 ； 若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ； 请 求 出 S关 于 t 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 自 变 量 t 的 取 值 范 围 ； 设 S 0是 中 函 数 S 的 最 大 值 ， 直 接 写 出 S0的 值 .解 析 ： （ 1） 根 据 已 知 的 与 x 轴 的 两 个 交 点 坐 标 和 经 过 的 一 点 利 用 交 点 式 求
39、 二 次 函 数 的 解析 式 即 可 ；（ 2） 首 先 根 据 上 题 求 得 的 函 数 的 解 析 式 确 定 顶 点 坐 标 ， 然 后 求 得 点 C 关 于 x 轴 的 对 称 点 的坐 标 C ， 从 而 求 得 直 线 C M的 解 析 式 ， 求 得 与 x 轴 的 交 点 坐 标 即 可 ； （ 3） 如 果 DE OC， 此 时 点 D， E应 分 别 在 线 段 OA， CA 上 ， 先 求 出 这 个 区 间 t 的 取 值 范 围 ，然 后 根 据 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 ， 求 出 此 时 t 的 值 ， 然 后 看 t的 值 是 否 符 合
40、 此 种 情 况 下 t的 取 值 范 围 .如 果 符 合 则 这 个 t 的 值 就 是 所 求 的 值 ， 如 果 不 符 合 ， 那 么 就 说 明 不 存 在 这 样 的t. 本 题 要 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 ：当 Q 在 OC 上 ， P在 OA上 ， 即 当 0 t 1时 ， 此 时 S= OPOQ， 由 此 可 得 出 关 于 S， t 的 函 数关 系 式 ；当 Q 在 CA 上 ， P 在 OA 上 ， 即 当 1 t 2时 ， 此 时 S= OP Q点 的 纵 坐 标 .由 此 可 得 出 关 于 S，t的 函 数 关 系 式 ；当 Q， P 都 在 CA上
41、 时 ， 即 当 2 t 相 遇 时 用 的 时 间 ， 此 时 S=S AOQ S AOP， 由 此 可 得 出 S，t的 函 数 关 系 式 ；综 上 所 述 ， 可 得 出 不 同 的 t 的 取 值 范 围 内 ， 函 数 的 不 同 表 达 式 . 根 据 的 函 数 即 可 得 出 S 的 最 大 值 .答 案 ： 解 ： （ 1） 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y=a（ x+2） （ x 6） （ a 0） ， 图 象 过 点 （ 0， 8） a= 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y= x 2 x 8； （ 2） y= x2 x 8= （ x2 4x+4 4） 8=
42、 （ x 2） 2 点 M的 坐 标 为 （ 2， ） 点 C的 坐 标 为 （ 0， 8） ， 点 C关 于 x 轴 对 称 的 点 C 的 坐 标 为 （ 0， 8） 直 线 C M 的 解 析 式 为 ： y= x+8令 y=0得 x+8=0解 得 ： x= 点 K的 坐 标 为 （ ， 0） ；（ 3） 不 存 在 PQ OC，若 PQ OC， 则 点 P， Q 分 别 在 线 段 OA， CA 上 ，此 时 ， 1 t 2 PQ OC， APQ AOC AP=6 3tAQ=18 8t， t= t= 2不 满 足 1 t 2； 不 存 在 PQ OC； 分 情 况 讨 论 如 下 ，情 况 1： 0 t 1 S= OPOQ= 3t 8t=12t2；情 况 2： 1 t 2作 QE OA， 垂 足 为 E，S= OPEQ= 3t = +情 况 3： 2 t作 OF AC， 垂 足 为 F， 则 OF=S= QPOF= （ 24 11t） = + ； 当 0 t 1 时 ， S=12t 2， 函 数 的 最 大 值 是 12；当 1 t 2时 ， S= + ， 函 数 的 最 大 值 是 ；当 2 t ， S= QPOF= + ， 函 数 的 最 大 值 为 ； S0的 值 为 .
