1、DL / T 1961 2019 I ICS 27.060.30 J 75 备案号：-20 中华人民共和国电力行业标准 DL / T 1961 2019 火力发电厂流量测量不确定度计算方法 Calculation method of uncertainty in flow measurement of power plant 火力发电厂锅炉耐火材料 火力发电厂锅炉耐火材料 2019-06-04发布 2019-10-01实施 国家能源局 发 布 DL / T 1961 2019 I 目次 前言 . II 1 范围 .1 2 规范性引 用文件 .1 3 术语和定 义 .1 4 参数符号 .2 5
2、不确定度 评定的一 般性原则 .3 6 独立测量 中的不确 定度的计 算方法 .4 7 线性拟合 和不确定 度计算方 法 .5 8 非线性拟 合和不确 定度计算 方法 .10 附录 A ( 规范性附 录) 一般 函数标准 差的计算 .13 附录 B ( 资料性附 录) 明渠 校准的算 例 .14 附录 C ( 资料性附 录) 封闭 管道流量 校准的不 确定度算 例.19 附录 D ( 规范性附 录) 回归 方法.26 附录 E ( 资料性附 录) 正交 多项式曲 线拟合 .29 DL / T 1961 2019 II 前言 本标准按照GB/T 1.1-2009 标准化工作导则第1 部 分：标准
3、的结构和编写给出的规则起草。 请注意本文件的某些内容可能涉及专利。本文件的发布机构不承担识别这些专利的责任。 本标准由中国电力企业联合会提出。 本标准由电力行业电站汽轮机标准化技术委员会归口。 本标准起草单位：西安热工研究院有限公司、西安西热节能技术有限公司。 本标准主要起草人：高登攀、曾立飞、杨荣组、祁文玉、张永海、余小兵、谷伟伟、朱蓬勃、 石 慧、王 汀、高 庆 ，薛朝囡、穆祺伟。 本标准为首次制订。 本标准在执行过程中的意见或建议反馈至中国电力企业联合会标准化管理中心 （ 北京市白广路 二条1 号，100761 ） DL / T 1961 2019 1 火力发电厂流量测量不确定度计算方法
4、 1 范围 本标准规定了火电厂流量测量在校准和使用过程中的线性和非线性两类 关 系 的 不 确 定 度 计 算 方 法 。 本标准适用于各类封闭管路或明渠的流量测量。 2 规范性引用文件 下列文件对于本标准的应用是必不可少的。 凡是注日期的引用文件， 仅注日期的版本适用于本标准。 凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本标准。 GB/T27759-2011 流体流量 测量不确定度评定程序 ISO772 水力 学测量词汇与符号 ISO-TR-7066-1 流量测量 装置校准和使用方法不确定度的估计 第一部分：线性校准关系 ISO-TR-7066-2 流量测量 装置校准和使用
5、方法不确定度的估计第二部分：非线性校准关系 3 术语和定义 3.1 校准图 calibration graph 流量计的某些响应参数和流量函数为坐标所得的点绘曲线。 3.2 置信限 confidence limits 观测值或计算值的（置信）上限和下限，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。 3.3 相关系数 correlation coefficient 表示两个变量线性关系程度的指标。 3.4 方差 variance 表征数据分布，衡量变量值与期望值之间的偏离程度，定义为 ( ) ( ) 2 () 1 i Var x x x n = 3.5 协方差 covariance 两个变量之间的总
6、体 误差的期望，定义为 ( ) cov( , ) ( ) ( 1) ii xy x x y y n = 3.6 测量误差 error of measurement DL / T 1961 2019 2 测量值与真实值之间的差值，包含系统误差和随机误差。 3.7 随机误差 random error 测量结果与同一待测量的大量重复测量的平均结果之差。 3.8 系统误差 systematic error 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 3.9 粗大误差 spurious error 超出规定条件下的误差。 3.10 残差 residual 指实际观察
7、值与估计值之间的差。 3.11 样本(试验) 标准 差 sample （experimental ）standard deviation 同一被测量 n 次测量结果 平均值的分散性度量，定义为 ( ) 0.5 2 () ( ) 1 i sx x x n = 3.12 不确定度 uncertainty 与测量结果关联的一个参数，用于表征合理赋予被测量值的分散性。 3.13 独立测量 individual measurement 仅需测量单一变量的测量过程。 3.14 无偏拟合 unbiased fitting 拟合曲线能真实的反应数据的分布趋势，用于评估拟合程度的优良特性。 4 参数符号 4.1
8、 参数符号定义 本标准中的符号及测量值单位应符合表 1 的规 定。 表 1 符号及说明 符号 名称 a 校准曲线在坐标轴上的截距 b 拟合直线的斜率 c 加权最小二乘法中的系数 DL / T 1961 2019 3 Cov 变量的协方差 e R 变量的随机不确定度 e S 变量的系统不确定度 g j 第 j 个正交多 项式的系数 Q 流量 r 相关系数 s 标准偏差 s R 最佳拟合直线上各点的标准差 t 学生分布 w i 加权最小二乘法第 i 个加 权因子 x 自变量 y 因变量 U 总不确定度 U ADD 根据加法模型获得的不确定度，置信概率 95%99% U RSS 根据平方和的根的模型
9、获得的不确定度，置信概率 95% 自变量 x 的 标准差与因变量 y 的标准差的比值 测量值与计算值的偏差 样本平均值 样本标准差 灵敏度系数 4.2 参数符号上、下标定义 本标准参数符号的上标、下标定义应符合表 2 的要求 表 2 参数符号上标、下标及定义 () 变量的平均值 () 由拟合曲线所确定的预测值 i 变量的第 i 个值 ij 矩阵第 j 列 的第 i 个值 5 不确定度评定的一般性原则 a) 不确定度评估：评估基本数学关系式的形式和评估拟合曲线的不确定度。 b) 独立测量中的随机不确定度与系统不确定度按第 6 节给出 的方法计算。 c) 两个变量之一的误差忽略不计时， 以及自变量
10、的误差相对因变量的误差可以忽略不计时， 应使 用 7.3 至 7.8 节所描述的方法进行线性拟合和不确定度计算，所用的基本方程形式如式（1）： y=a+bx （1 ） DL / T 1961 2019 4 式中： x自变量； a ，b拟合 直线的系数。 自变量 x 的 误差较小时，在评估过程中可将 x 设定为一个预定值，应使用 7.1 节的 计算方法。 e) 变量 y 独立 于变量 x 时，即拟合直线与 x 轴平行，这种情况应采用第 7.5 节描述的 方法评估其 不确定度。 f) 当变量关系为曲线时， 则宜考虑将其转化为线性关系。 若不能转化则使用 8 节所 描述的非线性 拟合方法。 6 独立
11、测量中的不确定度的计算方法 6.1 随机不确定度的计算 6.1.1 对每个变量列出不确定度的来源并制作表格， 表格应包括所有测量中的误差， 并分别列出随机 误差项和系统误差项。 6.1.2 对于直接测量所确定的变量值可以采用式（2 ） 或式（3 ）计 算标准差。 s = (x i x ) 2 /(n 1) 0. 5 （2 ） 或者 s(x) = n x i 2 ( x i ) 2 /n(n 1) 0. 5 （3 ） 6.1.3 将标准差计算结果代入式（4 ），可 得到被测量 x 的某个特 定 t 值的随机 不确定度。 eR(x)=ts(x) （4 ） 6.1.4 为了提高评估的准确度，必须采取
12、足够多的数据点。 6.1.5 变量为多个独立测量结果的和或差时，根据下式计算总体的标准差。 s(x) = s(x i ) 2 0. 5 （5 ） 之后代入式（4 ）计算不 确定度。 6.1.6 对更复杂的函数， 如因变量和自变量之间是积或商等较复杂的关系时， 标准差应按照附录 A 计 算，之后再代入式（4 ） 计算相应的不确定度。 6.2 系统不确定度的计算 6.2.1 系统误差中的无法确定的分量应根据以往有效校准数据和历史记录等进行评估。 6.2.2 当变量为多个独立测量结果的和，且各分量的正负不确定时，系统误差用下式计算： ( ) 0.5 2 , e S Si i e = （6 ） DL
13、/ T 1961 2019 5 6.2.3 对于更复杂的函数关系，系统误差限应用附录 A 中给出的方法，用 2 , e Si 替换公式中的方差项。 6.2.4 当确定了所有不确定度的来源， 并且每个变量都合成了随机不确定度和系统不确定度， 则完成 了评估过程。 6.2.5 明渠类和封闭管道中流量测量的不确定度评估算例参见附录 B 和附录 C 。 7 线性拟合和不确定度计算方法 7.1 校准图表的线性判断 为了确定拟合值与测量值能否无偏拟合， 应通过观察测量结果和拟合直线的残差， 采用下述方法获 得近似直线： a) 数据按照 x 或 y 的升序 排列，两个变量的平均值由（7 ）式 确定。 ; i
14、i x xn y yn = = （7 ） 将数据等分 为独立的三 组，算出两 端的两组数 据平均值， 分别记为x 1 ，y 1 和x 3 ，y 3 ，则近似 直线的 斜率为 31 31 ( )( ) b yy xx = （8 ） 由于直线必须通过总体平均值x 和y ，因此直线方程可以由下式获得： ( ) ( ) ii y y bx x = （9 ） 用y bx = a 进行替换，得到 y 的最佳估计值 ii y a bx = + （10 ） 最后，可用下式确定残差 ( ) ( ) ( ) ii ii i yy yy a b x = = （11 ） 另一种线性判断方法，可以采用 7.3.2 描述
15、的最 小二乘法中的相关系数进行判断，其误差限同样按 照式(11) 计 算。 b) 试验数据分布的初步判断。 将计算的残差结果按升序排列， 并在标准概率纸上描绘成累积频率曲 线。如果数据点基本处于一条直线附近，且没有明显弯曲，则可认为数据点近似为正态分布。 c) 检查异常大 或异常小的 残差，因为 它们的存在 会严重影响 最终拟合直 线的定位并 不可避免地 增大 不确定度。为了识别这些 异常值 ， 可采用 GB/T27759-2011 的附录 D 中描述的方法。在对所有相关因 素进行仔细分析的基础上，可适当剔除残差异常的观测数据，然后重新拟合直线和计算残差。 d) 描绘残差y 相对自变量 x 的
16、曲线， 此曲线和估计值y 进行比较， 若曲线满足下列任一情况： a) 数学 关系恰当合理；b) 拟合过程正确实施；c) 方差随 x 没有明显变化。则上述描绘的点应处于均一宽度的水 平区间内( 见图 1 a) 。 残差分布也可能出现以下三种偏离理想模式的情形： 1) 分布带出现明显的向上或向下的弯曲( 见图 1 b) ，表明变量间的关系为曲线而非直线。 2) 分布带依然保持水平， 但 逐渐变宽或者收窄( 见图 1 c) ， 这说明 整个测量范围内的方差不是常数，DL / T 1961 2019 6 应在拟合过程中进行加权计算。 3) 分布带表现为向上或向下的直线带( 见图 1 d) ，表明在拟合
17、过程或 y 的相关计算存在误差。 图 1 残差、 自变量、预测值关系曲线 7.2 校准曲线的线性化方法 7.2.1 如果根据第 7.1 节线性判 断表明校准图为曲线形式， 则考虑按照以下两种方法进行线性化处理： a) 第一种方法是变量置换， 仅适用于变量之间存在数学函数关系性质， 转换的形式取决于数学表达 式本身。例如，对于明渠校准，水位与流量的关系可以表达为： 0 () b Q ch h = + （12 ） 式中： h测量的水 位，单位为 m ； h 0 零流量水 位的基准面修正值，单位为 m ； c系数 b指数 采用对数变换将上式改写为： 0 ln ln *ln( ) Q cb hh =+
18、 （13 ） 上式实现了数据线性化处理。 b) 第二 种方法 ， 将校准 曲线分为 几部分， 若每 个部分 可 线性 化 处理 ，则 校准 曲线 依 旧 可以 线性化。 此方法需满足两个条件： 第一， 每部分曲线应基于相类似数量的观测点； 第二， 曲线的每一部分必须与DL / T 1961 2019 7 相邻部分共用 2 到 3 个点 。 7.2.2 完成线性化后，应重复 7.1 所述的校 准图标的线性判断。 7.3 最佳线性拟合 7.3.1 根据 7.1 两个 标准差的计算值，按照式（14 ）计 算比值， ( )/ ( ) sy sx = （14 ） 当比值20 时，应采用 7.3.2 给出
19、的最 小二乘法拟合直线。 当比值小于 20 时，若变量能按 7.3 至 7.4 节的要求 设定至预定值，仍可采用最小二乘拟合直线的 方法。 7.3.2 最小二乘法 a) 若自变 量的 误差与 因变 量的误 差相 比可忽 略不 计，采 用最 小二乘 法进 行校准 直线 的拟合 ，可 用 下式计算： ii y a bx = + （15 ） b) 斜率 b 按 照式（16 ） 计算： ( ) ( ) ( ) 2 ii i b xx yy xx = （16 ） 截距按照式（17 ）计算 ： a y bx = （17 ） 表征 x 与 y 关系程度的相关系数 r 可按式（18 ） 计算： ( ) ( )
20、 ( ) ( ) 0.5 22 ii i i r xx yy xx yy = （18 ） 4) 为完成拟合过程，拟合直线的标准差可按式（19 ）和式（20 ）计算： ( ) ( ) 0.5 2 2 ii r yy n = （19 ） ( ) ( ) 0.5 2 a2 ii y bx n = （20 ） s R 也可按式（21 ）计算 ： ( ) 0.5 2 s1 R sy r = （21 ） 上式中 ( ) ( ) 0.5 2 s 1 i yy y n = （22 ） 当采用式（21 ）时，需要 足够多的数据点以减小舍入误差。 5) b ，r 和 s(y) 也可通过以下方程计算： ( ) 2
21、2 ii i i i i b nx y x y nx x = （23 ） DL / T 1961 2019 8 ( ) ( ) ( ) 0.5 2 22 22 ii i i i i i i i r nx y x y nx x ny y y = （24 ） ( ) ( ) 0.5 2 2 () ( 1) ii ny y sy nn = （25 ） 对于 a 通 过式(17) 计算，这里仍需要由足够多的数据点以减小舍入误差的影响。 6) 当校准 曲线 由两段 或多 段组成 ， 应 确定这 些区 间的交 界点 。相邻 两个 区间的 方程可按式 （26 ） 计算： y 1 = a 1 + b 1 x
22、和y 2 = a 2 + b 2 x （26 ） 则在交界点有 y 1 =y 2 ，x 的公值可根据式（27）计 算 ： x = (a 1 a 2 )/(b 2 b 1 ) （27 ） y 值可通过将 x 值代入 式(26) 来计算。 7.4 最佳加权曲线的拟合 7.4.1 当 y 的方差随着 x 值变 化，则需使用加权回归分析方法。 此时 a 和 b 通过式（28 ）和式（29 ）进行计算： ii ii cy b cx a n = （28 ） 和 ( ) ( ) ( ) 2 2 ii ii ii iii ii cx cy cx b cxy cx nn = （29 ） 通过式(22) 计算 y
23、 i 的标准差，通过式(19) 或式(21) 计 算拟合直线的标准差。 7.4.2 当已知各个变量的方差时，权重系数 c i 可按 式（30 ）计算 ： w i = 1/var y i ;c i = w i /w （30 ） 其他情况下，权重系数的计算方法如下： a) 按照第 7.1 所 述，根据拟合直线用式（11 ）计算 (y i ) ； b) 以(y i ) 及对应的 x i 值为坐标作图； c) 采用本标准第 8 节给出 的方法对数据进行非线性拟合； d) 通过该拟合曲线得到 2 (y i ) ； e) 用 2 (y i )替 代式(30) 中的 y i 计算得到 ci 的值。 7.5
24、y独立于 x时的拟合直线确定方法 7.5.1 校准曲线斜率为零时，即 在 x 的变化 范围内 y 为常数， 校准曲线变成一条水平直线， 校准曲线 简化为 y i 的平均值。即 y = y i /n （31 ） 7.5.2 通过试验进一步测试拟合曲线的斜率是否为零，按照式（32 ）计算， ts(b) （32 ） 式中，s(b)按下式计算： DL / T 1961 2019 9 s(b) = s R /n 1 0. 5 s(x) （33 ） 当 0 包含在 式(32) 给出的限制范围内时，说明拟合直线是水平的。 7.6 随机不度定度的计算 7.6.1 拟合直线在 x=x k 处的随机 不确定度按下
25、式计算： e R (y ) = ts R (1/n) + (x k x ) 2 / (x i x ) 2 0. 5 （34 ） 对于单次测量，x=x k 时 的不确定度为 e R (y k ) = ts R 1 + (1/n) + (x k x ) 2 / (x i x ) 2 0. 5 （35 ） 7.7 系统不确定度计算 7.7.1 根据第 6 节 给出的原则，计算校准过程中的系统不确定度，用式（36 ）计算： e S = e s, i 2 0. 5 （36 ） 当变量的值基于诸如积或商等更复杂的函数关系时，则可采用附录 A 中方法。 7.7.2 随机不确定度和系统不确定度可用以下两种公式
26、合成： U AD D = e s + ts （37 ） 或者 U RSS = e s 2 + (ts) 2 0. 5 （38 ） 7.8 测量结果的不确定度评估 7.8.1 由拟合直线上的定位不准确形成的附加不确定度， 以及由数据的增加或减少引入的其它附加不 确定度，应使用 GB/T27759-2011 给 出的方法进行评估。 7.8.2 用 U RSS 模型合成随机 不确 定度和系 统不 确定度， 则 测 量过程中总的不确定度表示为U RSS (y ) ，可 按下式计算： U RSS （y ） = U RSS 2 (y 0 ) + U RSS 2 (y c ) 0. 5 （39 ） 式中：
27、U RSS (y 0 )总的附加不确定度 U RSS (y c )由校准图表引起的不确定度 附加不确定度对流量总不确定度的影响由校准图表的特性决定。 7.8.3 当拟合直线的斜率为 0 时， 流量由流量计的输出函数与独立于流量的系数乘积得到， 此时不存 在附加不确定度，式(39) 简化为： U RSS (y ) = U RSS (y c ) （40 ） 7.8.4 当拟合直线的斜率不等于 0 时， 需 用迭代法计算流量。 为进行迭代， 需用拟合系数初始估计值 来获得流量初始计算值， 然后使用计算的流量得到更加准确的校准系数， 重复这一过程， 直到流量的预 估值不再发生较大变化。 在这种情况下，
28、 流量计的任何测量误差都会引入所使用系数的误差， 因此， 总 的不确定度应根据式(39) 计算。 DL / T 1961 2019 10 7.8.5 当使用条件与校准条件不同时 ，如 系统测量条件、 流体、 装置等不同时， 还会进一步增加测量 的不确定度。在这种情况下，需要评估每种情形的置信限。 8 非线性拟合和不确定度计算方法 8.1 非线性拟合方法基本原则 8.1.1 如不能使用线性拟合方法， 应通过多项式法建立变量之间的非线性校准曲线。 例如二次多项式， 形式为： y = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 （41 ） 多项式的一般表达形式为： y = b 0 + b 1 x +
29、 + b j x j + + b m x m 或 y = b j x j m j=0 （42 ） 8.1.2 利用最小二乘法计算系数b j ，利用下式使校准曲线与数据点偏差的平方和最小： 2 i1 () n ii yy = 式中： y i 为x = x i 时由式(42) 计算的预测值。 8.1.3 多项式中最高次幂可根据以往经验获得，否则通过 8.3 中方 法获得。 8.1.4 拟合多项式项数过多可能导致曲线震荡， 此种情况可将 x 的 区间分为若干可采用线性或者低阶 多项式拟合的区间。 8.1.5 对一个或两个变量进行适当变换也可实现线性或低阶多项式拟合。 例如， 将自变量转换为它的 倒数
30、 1/x 可以 使原始数据线性化。 8.1.6 当给定数据x i 的随机不确定度e r (x) 相对于y i 的随机不确定度e r (y) 不能忽略时， 将不再适用最小 二乘法。当校准曲线的斜率小于e r (y)/e r (x) 的 1/5 时，可以 认为该方法有效。当拟合曲线斜率超出这一 范围时， 本部分所描述的数学处理方法将不再适用。 因此， 在实际校准过程中， 如果待拟合变量不满足 上述条件，则本部分所描述的方法均不再适用。 8.1.7 如果在拟合前对某个变量进行了变换， 则不确定度与新变量相关。 由于变量变换导致随机不确 定度e r (y) 在 x 范围 内不能作为常数看待，应需要采用
31、加权最小二乘法进行拟合。 8.2 非线性拟合计算方法 8.2.1 本标准所描述的拟合直线的方法也被称为线性或简单线性回归。 与之类似， 拟合多项式可以称 为多项式或曲线回归，它是多重线性回归的一种特殊形式。数据回归处理的计算方法见附录 D 。 8.2.2 作为回归方法的替代， 可采用附录 E 描述的正交多项式法， 这一方法尤其适用于事先不知道拟 合次数的情形。 8.2.3 当 x 不是平 均分布时， 可采用有限差分方法快速预测适当的数据拟合多项式的次数， 并计算多 项式的系数，有限差分法可参考 ISO-TR-7066-2 中附录 E，此方法的不确定的计算已超出了本标准的范 围。 8.3 最优拟
32、合次数的选择 DL / T 1961 2019 11 8.3.1 最优拟合次数的确定原则： 进一步增加拟合次数， 当拟合结果没有显著改善时的多项式最高次 数为最优拟合次数。对于每个拟合次数，应采用下式计算拟合偏差的标准差s r ： s r 2 = (y i y i ) 2 /(n m 1) n i =1 （43 ） 式中： y i x=x i 时由拟合多项式( 式 42) 计算的预 测值。 s r 2 等价于本标准的s r 2 (y, x) 项。 8.3.2 拟合多项式的次数 m 应 远小于数据点的个数 n 。 8.3.3 如果数据可以用次数为 m 的多项式 较好的拟合， 则当次数达到 m 时
33、， s r 会显著减小， 此后s r 几 乎保持不变。若s r 的变化不显著，应使用其它显著性检查方法确定最优拟合次数或寻求较为显著的目 标 来确定最优的多项式次数。 8.3.4 多项式次数从 m-1 增加到 m 的过程 中， 如果新系 数b m 明显不等于零， 比如b m + t 95 s(b m ) 和b m t 95 s(b m )(b m 的置信概率为 95%) 不 包括 0 ，则认为 次数 m 的增 加显著改善了曲线拟合效果。 这一条件可以表述为： b m s(b m ) t 95 式中： t 95 自由度 = n m 1，置信概率为 95% 时学生分 布的 t 值。 t 95 作为
34、自由度 的指数函数，可以根据下面的经验公式计算： t 95 = 1.95 + 2.36 + 3.2 2 + 5.2 3. 84 （44 ） 8.3.5 对于正交多项式的系数g m 的计算参见附录 E： g m s(g m ) t 95 s 2 (b m ) 和s 2 (g m ) 的系数方差的计算式参见附录 D 和附录 E。 8.3.6 在第一次增加多项式次数对拟合结果没有改善时， 应再增加一次多项式的次数以检验多项式次 数对拟合结果是否产生明显变化。 8.3.7 多项式最高次数对拟合结果的提高达到置信水平 95% 时， 可认为是最优次数。 在选择这一次数 作为待拟合数据的最优表达式之前， 应
35、考虑曲线的预期性形状， 需要拟合的区间， 拟合的精度等因素的 影响。 尽量避免拟合多项式的形式过于复杂。 画出数据点和可能的拟合曲线。 可以更直观的展示数据点 的真实关系，给出合理的多项式形式。 8.4 非线性拟合过程中的不确定度计算 8.4.1 在 95% 的置 信水平下，拟合预测值y 的随机不确定度由下式给定： (y ) = t 95 s(y ) （45 ） 上式中，s(y ) 是y 的方差s 2 (y ) 的平方根。附录 D 和附录 E 给出了s 2 (y ) 的定义，通常s 2 (y ) 可以用最 高拟合次数为 2m 的多项 式函数计算。计 算 s 2 (y ) 所选择的数据应足够多，
36、 以避免 因减法运算引起的误差。 8.4.2 对于 y 值，其 95% 随机 置信限为： y e r (y ) DL / T 1961 2019 12 校准系数的不确定度为： e(y c ) = e r 2 (y ) + e s 2 (y ) 0. 5 （46 ） 式中，e s 2 (y ) 是y 的系统不确定度。 8.4.3 如果因变量是已经过转换，上述所有的不确定度计算应根据转换后的参数计算。DL / T 1961 2019 13 附录 A (规范性附录) 一般函数标准差的计算 A.1 如果总 的方差是两个或两个以上构成变量的积或商， 则不能采用公式 （5 ） ， 而应采用与通用函数相 对
37、应的更为复杂的标准差的表达式。 式中的微分项( x x i ) 与 GB/T27759-2011 中 用于合成灵敏度的系数 ( R Y i )的意义相 同。 A.2 如果 X=f(x 1 , x 2 x n ) ，其中 f 表示任意函数，则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 11 2 2 1 2 12 1 3 13 1 12 . +2 , , . , n nn VarX X x Var x X x Var x Xx Xx C o v x x Xx Xx C o v x x Xx Xx C o v x x = + + + + + （A
38、.1 ） 如果所有涉及高阶导数的项均可以忽略且协方差为 0 ， 例如 ， 变量是独立的， 则式(A.1)简化为只有 第一行。 A.3 作为例 子，考虑明渠上流量测量表的流量方程： , i ci i i Q b dv = （A.2 ） 式中，b c ，d 和 v 为自变 量，应用式(A.1)的第一行，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , 22 2 , , = ii i i ci ci i i i i ii i i ci ci i ci i VarQ Q b Var b Q d Var d Q v Var v d v Var b b v Var d b d Var
39、 v = + + + （A.3 ） DL / T 1961 2019 14 附录 B (资料性附录) 明渠校准的算例 B.1 使用符 号 h0 零流量时，级的基准修正，单位为米； h 测量级，单位为米 c 系数 b 指数 Q 流量，单位为立方米每秒 B.2 表 B.1 中数据给定了级- 流量的关系，计算校准方程和测量点相对于最佳拟合直线的标准差(s R ) 和随 机不确定度 e R (Q)的关系。 B.3 明渠的流 量测量通常采用速度- 面积法进行校准，水位与流量的关系表达式为： 0 () b Q ch h = + （B.1 ） 将上式改写为对数形式： 0 ln ln ln( ) Q cb h
40、h =+ （B.2 ） 进一步用下式进行替代： 0 ln( ) ln y ln hh x Q ca += = = ； ； ； （B.3 ） 则原式简化为如式(1)所示的线性方程： y a bx = + （B.4 ） B.4 对于此类 校准， 水位的测量误差远小于流量测量误差， 式(14) 中 大于 20 ， 则可以采用本部分第 7.3.2 的最小二乘法进行拟合。 将表 B.1 中 的数据依次代入式(23) 和式(17) ，计算得到校准曲线的斜率为： 2 32( 2.9337) 93.7855( 15.5798) 32(35.5093) ( 15.5798) =1.5301 b = （B.5 ）
41、 截距为： ln 2.9308 1.5301( 0.4869) 3.6757 c= （B.6 ） 因此 ln 3.6757 1.5301ln( 0.115) Qh = （B.7 ） 或 1.5301 39.479( 0.115) Qh = （B.8 ） DL / T 1961 2019 15 表 B.1 采用 最小二乘法计算水位- 流量曲线的典型数据 观测值 编号 Q m 3 /s 水位（h） m (h+h0) m lnQi(yi) Ln(h+h0) (xi) xiyi xi 2 1 2.463 0.272 0.157 0.9014 -1.8515 -1.6689 3.4280 2 2.352
42、 0.273 0.158 0.8437 -1.8452 -1.5568 3.4048 3 2.923 0.303 0.188 1,0726 -1.6713 -1.7926 2.7932 4 3,242 0.307 0.192 1.1762 -1.6502 -1.9410 2.7232 5 3,841 0.334 0.219 1.3457 -1.5187 -2.0437 2.3064 6 4.995 0.374 0.259 1.6084 -1.3509 -2.1728 1.8248 7 5.410 0.393 0.278 1.6882 -1.2801 -2.1611 1.6386 8 5.422
43、 0.394 0.279 1.6905 -1.2765 -2.1579 1.6294 9 5.883 0.402 0.287 1.7721 -1.2483 -2.2121 1.5582 10 6.154 0.410 0.295 1.8171 -1.2208 -2.2183 1.4904 11 7.376 0.463 0.348 1.9982 -1.0556 -2.1093 1.1143 12 9.832 0.520 0.405 2.285 -0.9039 -2.0660 0.8170 13 11.321 0.548 0.433 2.4266 -0.8370 -2.0311 0.7006 14
44、12.372 0.576 0.461 2.5154 -0.7744 -1.9479 0.5997 15 11.825 0.580 0.465 2.4702 -0.7657 -1.8914 0.5863 16 13.826 0.616 0.501 2.6266 -0.6911 -1.8152 0.4776 17 14.102 0.626 0.511 2.6463 -0.6714 -1.7767 0.4508 18 19.020 0.721 0.606 2.9455 -0.5009 -1.4754 0.2609 19 19.790 0.739 0.624 2.9852 -0.4716 -1.407
45、8 0.2224 20 20.280 0.747 0.632 3.0096 -0.4589 -1.3811 0.2106 21 21.204 0.796 0.681 3.0542 -0.3842 -1.1734 0.1476 22 23.996 0.846 0.731 3.1779 -0.3133 -0.9956 0.0982 23 36.242 1.041 0.926 3.5902 -0.0769 -0.2761 0.0059 24 54.591 1.340 1.225 3.9999 0.2029 0.8116 0.0412 25 67.327 1.526 1.411 4.4096 0.34
46、43 1.4494 0.1185 26 79.050 1.761 1.646 4.3701 0.4983 2.1776 0.2483 27 110.783 2.010 1.895 4.7076 0.6392 3.0091 0.4086 28 162.814 2.632 2.517 5.0926 0.9231 4.7010 0.8521 29 227.600 3.265 3.150 5.4276 1.1474 6.2276 1.3165 30 228.800 3.280 3.165 5.4328 1.1524 6.2597 1.3276 31 228.500 3.306 3.191 5.4315 1.1603 6.3022 1346.3 32 236.600 3.340 3.225 5.4664 1.1709 6.4006 1.3710 总计 93.7855 -15.5798 -2.9337
