1、2009 年全国高考理科数学试题及答案（全国卷） 一、选择题： 1. 10i2-i= A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i 解 ：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i=+.故选 A. 2. 设集合 1|3, | 04xAxx Bxx= B. acb C. bac D. bca 解 ：322log 2 log 2 log 3 bcQ 2233log 3 log 2 log 3 log ababc .故选 A. 8. 若将函数 ()tan 04yx=+的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx=+的图像重合，则 的最小值为 A16B. 14C. 13D
2、. 12解 ：6tan tan ( ta)6446nyx yx x = + = = + 向右平移 个单位164()66 2kkkZ +=+ ， 又min102 =Q .故选 D 9. 已知直线 ( )( )20ykx k=+ 与抛物线2:8Cy x= 相交于 AB、 两点， F 为 C 的焦点，若 |2|FA FB= ，则 k = A. 13B.23C. 23D. 223解 ：设抛物线2:8Cy x= 的准线为 :2lx= 直线 ()()20ykx k=+ 恒过定点 P( )2,0 .如图过 AB、 分 别作 AM l 于 M , BNl于 N , 由 |2|FA FB= , 则 |2|AMB
3、N= , 点 B 为 AP 的中点 . 连结 OB , 则1|2OB AF= , |OB BF = 点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为22 0 22(1, 2 2 )1(2) 3k= =, 故选 D 10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12种 C. 30种 D. 36种 解 ：用间接法即可 .22 244 430CC C=种 . 故选 C 11. 已知双曲线()222210,0xyCabab=： 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C于 A B、 两点，若 4AFFB= ,则 C 的
4、离心率为 m A65B. 75C. 58D. 95解 ：设双曲线22221xyCab =： 的右准线为 l ,过 AB、 分 别作 AMl 于 M , BNl 于 N , BDAMD 于 ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜角为160 60 ,| | | |2BAD AD AB = = , 由双曲线的第二定义有1| |(|)AMBNAD AFFBe= uuur uuur11|(|)22ABAFFB= +uuur uuur. 又15 64 3|25AF FB FB FB ee= = =uuuruurQ 故选 A 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北
5、。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解 ：展、折问题。易判断选 B 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。 13. ()4x yyx 的展开式中33x y 的系数为 6 。 解 ：()422 4()x yyx xy x y= ，只需求4()x y 展开式中的含 xy项的系数：246C = 14. 设等差数列 na 的前 n项和为nS ，若535aa= 则95SS= 9 . 解 ： naQ 为等差数列，955399
6、5SaSa = 15.设 OA是球 O的半径， M 是 OA的中点，过 M 且与 OA成 45角的平面截球 O的表面得到圆 C 。若圆 C 的面积等于74，则球 O的表面积等于 8 . 解 ：设球半径为 R ，圆 C 的半径为 r ，2277.444 rr= =,得由 因为2222 4ROC R= 。由2222217()484RRrR= += +得22R = .故球 O的表面积等于 8 . 16. 已知 AC BD、 为圆 O :224xy+=的两条相互垂直的弦，垂足为()1, 2M ,则四边形ABCD的面积的最大值为 。 解 ：设圆心 O到 AC BD、 的距离分别为12dd、 ,则22 2
7、123dd OM= =+ . 四边形 ABCD的面积22 2212 11|2(4 )8( )52SABCD d d dd= +=)(4- 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 设 ABC 的内角 A、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c，3cos( ) cos2AC B +=，2bac= ，求 B 。 分析 ：由3cos( ) cos2AC B+ =，易想到先将 ()B AC= + 代入3cos( ) cos2AC B+ =得3cos( ) cos( )2AC AC +=。然后利用两角和与差的余弦公式展开
8、得3sin sin4AC= ； 又由2bac= ， 利用正弦定理进行边角互化， 得2sin sin sinB AC= ，进而得3sin2B = .故233B = 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验， 事实上， 当23B=时，由1cos cos( )2BAC= + = ，进而得3cos( ) cos( ) 2 12AC AC =+=，矛盾，应舍去。 也可利用若2bac= 则 babc或 从而舍去23B= 。不过这种方法学生不易想到。 评析 ：本小题考生得分易，但得满分难。 18（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱111ABC ABC 中， ,ABACD 、 E 分别为1AA 、1BC 的中
9、点， DE 平面1BCC （ I）证明： ABAC= （ II）设二面角 ABDC为 60，求1BC 与平面 BCD所成的角的大小。 （ I） 分析一 ：连结 BE，111ABC ABCQ 为直三棱柱， 190 ,BBC= EQ 为1BC 的中点， BEEC = 。又 DE 平面1BCC ， BDDC = （射影相等的两条斜线段相等）而 DA平面 ABC ， ABAC = （相等的斜线段的射影相等） 。 分析二 ：取 BC 的中点 F ，证四边形 AFED 为平行四边形，进而证 AF DE ，AFBC ，得 ABAC= 也可。 分析三 ：利用空间向量的方法。具体解法略。 （ II） 分析一 ：
10、求1BC 与平面 BCD所成的线面角，只需求点1B 到面 BDC 的距离即可。 作 AGBD 于 G ， 连 GC ， 则 GC BD ， AGC为二面角 A BD C的平面角， 60AGC =.不O妨设 23AC = ，则 2, 4AG GC=.在 RTABD 中，由 AD AB BD AG =，易得 6AD= . 设点1B 到面 BDC 的距离为 h ，1BC 与平面 BCD 所成的角为 。利用11133BBC BCDSDESh= ，可求得 h= 23，又可求得143BC= 11sin 30 .2hBC= 即1BC 与平面 BCD所成的角为 30 . 分析二 ：作出1BC 与平面 BCD所
11、成的角再行求解。如图可证得 BC AFED面 ，所以面 AFED BDC面 。由分析一易知：四边形 AFED 为正方形，连 AEDF、 ，并设交点为 O ，则 EOBDC面 ， OC 为 EC 在面 BDC 内的射影。ECO 即为所求 。以下略。 分析三： 利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 nr，则1BC 与平面 BCD所成的角即为1BCuuur与法向量 nr的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。 19（本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n项和
12、为 ,nS 已知11,a =142nnSa+= + （ I）设12nn nba a+=，证明数列 nb 是等比数列 （ II）求数列 na 的通项公式。 解： （ I） 由11,a = 及142nnSa+=+， 有12 142,aa a+ =+21 121325, 23aa baa= += = 由142nnSa+=+， 则当 2n 时，有142nnSa= + 得111 144, 2 2(2)nnnnnnnaaaaaaa+ = = 又12nn nba a+=Q ，12nnbb = nb 是首项13b = ，公比为的等比数列 （ II）由（ I）可得11232nnn nba a+=，113224n
13、naa+ = 数列 2nna是首项为12，公差为34的等比数列 1331(1)22 444nnann=+ = ，2(3 1) 2nnan= 评析：第（ I）问思路明确，只需利用已知条件寻找1nnbb与 的关系即可 第（ II）问中由（ I）易得11232nnnaa+ = ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,nnnapaqpq+=+ 为常数) ，主要的处理手段是两边除以1nq+ 总体来说， 09 年高考理科数学全国 I、 这两套试题都将数列题前置 ,主要考查构造新数列（全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法） ，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具
14、有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能 ,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 20（本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 （ I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （ II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （ III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 分析 ： （ I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意
15、此分层抽样与性别无关。 （ II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率1146210815CCPC= = （ III） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 12342110 56(0)75CCPCC = =，11 1 2146 3 42212110 5 10 528(1)75CC C CCPCCCC = + = ， 2 16 22110 510(3)75C CPCC = = ，31(2)1(0)(1)(3)75PPPP= 分布列及期望略。 评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 (2)P = 时，采用分类的方法，用直接法也可
16、，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为33，过右焦点 F 的直线 l与 C 相交于 A、 B 两点，当 l的斜率为 1 时，坐标原点 O到 l的距离为22（ I）求 a， b 的值； （ II） C 上是否存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB=+uuuruur uuur成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由。 解 :(I）设 (,0)Fc ，直线 :0lx yc=，由坐标原点 O到 l的距离为22则|0 0 | 222c= ，解得 1c = .又3
17、,3,23ceaba= = = . （ II）由 (I）知椭圆的方程为22:132xyC + = .设11(, )Ax y 、 B22(, )x y 由题意知 l的斜率为一定不为 0，故不妨设 :1lx my= + 代入椭圆的方程中整理得22(2 3) 4 4 0mymy+ +=，显然 0 。 由韦达定理有：1224,23myym+=+1224,23yym=+ .假设存在点 P，使 OP OA OB=+uuuruur uuur成立，则其充要条件为： 点1212P(,)x xy y+的坐标为 ，点 P 在椭圆上，即2212 12()( )132xx yy+ = 。 整理得2222112 2121
18、22323 4 6 6xyxyx y+ + =。 又 AB、 在椭圆上，即22 2 21123 6,23 6xy xy+= +=. 故12 122330xx yy+= 将212 1 2 12 1 2(1)(1) ( )1x x my my m y y m y y=+ += +及代入解得212m = 122222yy += 或 ,12x x+ =2243223 2mm +=+,即32(, )22P . 当232 2,(, ),: 1222 2mP lxy=+时 ; 当232 2,(, ),: 1222 2mPlxy= = +时 . 评析 ：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算
19、” ，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法 ,而算理是采用这种算法的依据和原因 ,一个是表 ,一个是里 ,一个是现象 ,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。 22.(本小题满分 12 分 ) 设函数 () ( )21f xxaIn x=+ +有两个极值点12x x、 ，且12x x 解 : （ I）()2222(1)11axxafx x xxx+ =+ = +令2() 2 2gx x x a=+，其对称轴为1
20、2x= 。由题意知12x x、 是方程 () 0gx= 的两个均大于 1 的不相等的实根，其充要条件为48 0(1) 0aga= =，得102a 在1(1, )x 内为增函数； 当12(, )x xx 时， () 0, ( )f xfx 在2,()x + 内为增函数； （ II）由（ I）21(0) 0, 02ga x= ， 则() ( ) ( )22(21)1 2 2(21)1hx x x ln x x x ln x = + += + + 当1(,0)2x 时， () 0, ( )hx hx 在1,0)2 单调递增； 当 (0, )x+时， () 0hx =当时 故()22122()4Infx hx=
