1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供理科考生使用） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=nullnull 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 343VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ()
2、(1 ) ( 012 )kk nknnPk CP p k n=L， ， ， 其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 3|0 |31xMx x N xxx+= 0 时 ()f x 是单调函数，则满足3()4xfx fx+=+的所有 x 之和为（ ） A 3 B 3 C 8 D 8 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数100xxxyex+ = ， ， 且 ()f x 在区间63， 有最小值，无最大值，则 _ 三、解答题：本大
3、题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 ABC， 对边的边长分别是 abc， ，已知 2c = ，3C= （）若 ABC 的面积等于 3 ，求 ab， ； （）若 sin sin( ) 2sin 2CBA A+= ，求 ABC 的面积 18 （本小题满分 12 分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示： 周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （）已知每吨该商品的销售利润为 2
4、千元， 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元） 若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 的分布列和数学期望 19 （本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 中， AP=BQ=b（ 00 时，恒有 |OAuuur|OBuuur| 21 （本小题满分 12 分） 在数列 |na ， |nb 中， a1=2， b1=4，且1nnnaba+， 成等差数列，11nn nba b+， 成等比数列（ n*N ） （）求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此猜测 |na ， |nb 的通项公式，并证明你的结论； （）证明：11 2 211 1
5、512nnab ab ab+=uuuur uuuur， 12 分 20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解： （）设 P（ x， y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0 3) (0 3)， 为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴222(3)1b = =， 故曲线 C 的方程为2214yx += 3 分 （）设11 2 2()( )Ax y Bx y， ， ，其坐标满足 22141.yxykx+=+，消去 y 并整理得22(4)230kxkx+ +=， 故12 12222344kxx
6、xxkk+= =+， 5 分 若 OA OBuuur uuur，即12 120xx yy+= 而212 12 1 2()1yy k xx k x x=+， 于是2212 12 2223310444kkxx yykkk+= +=+， 化简得2410k+=，所以12k = 8 分 （）2222 2211 22()OA OB x y x y=+uuuur uuuur22 2 212 1 2()4(11)x xxx=+ 12123( )( )x xxx= + 1226( )4kx xk=+ 因为 A 在第一象限，故10x 由12 234xxk=+知20x 又 0k ， 故220OA OBuuuur u
7、uuur， 即在题设条件下，恒有 OA OBuuuur uuuur 12 分 21本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分 12 分 解： （）由条件得211 12nnn n nnbaa a bb+ +=+ =， 由此可得 223 3 4 46 9 12 16 20 25aba b a b= = = =， ， ， ， 2 分 猜测2(1) (1)nnann b n=+ =+， 4 分 用数学归纳法证明： 当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 2(1) (1)kkakk b k=+ =+
8、， ， 那么当 n=k+1 时， 22 211 122(1)(1)(1)(2) ()kkkk kkaabak k kk b kb+ += = + +=+ + = =+， 所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知2(1) (1)nnann bn=+ +， 对一切正整数都成立 7 分 （）11115612ab= + 9 分 故11 2 211 11111 16 223 34 ( 1)nnab ab ab nn+ ， (1 )x+， 时， () 0fx ， 故关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+， 10 分 （）当 0a 时，由ln 1() ln11xfxx x=+知ln 2
9、1(2 ) ln 112 2nnnnf=+，其中 n 为正整数，且有 22211ln 1 1 log ( 1)222aannaen e+ 12 分 又 2n 时，ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2(1)12 1(11) 12nnnnnnnn= + 取整数0n 满足202log ( 1)nne ，04ln21na+，且02n ， 则0000ln 2 1(2 ) ln 112 2 2 2nnnn aaf a=+ 时，关于 x 的不等式 ()f xa 的解集不是 (0 )+， 综合（） （）知，存在 a ，使得关于 x 的不等式 ()f xa 的解集为 (0 )+， ，且 a 的取值范围为( 0， 14 分
