1、 - 1 - 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷) 数 学（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1集合 1,0,1A= ， A的子集中，含有元素 0 的子集共有（ ） A2 个 B 4 个 C6 个 D8 个 解： A的子集共328= 个，含有元素 0 的和不含元素 0 的子集各占一半，有 4 个选 B 2函数 1lgyxx=+ 的定义域为（ ） A (0, )+ B (,1 C (,0)1,)+U D (0,1 解：选 D由100xx01x= =nulluuur uuuurnullnul
2、l，选 B 。 （如果连结1,DC EC,用余弦定理解三角形也可以求得答案。 ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13函数11xye+=()x R 的反函数为_ _ 解：111ln(1)xxye e y x y+=+=+，所以反函数 ln( 1) 1( 1)yx x= + ， 14函数2() 3sin cosf xxx=的最大值是_ 解： 因为 3sin 3x ，2cos 0x ， 2() 3sin cos 3fx x x= ，正好 sin 1,cos 0xx= = 时取等号。 （另22 237( ) 3sin cos sin 3sin 1 (sin )24fx
3、x x x x x=+=+在 sin 1x= 时取最大值） 15设等差数列 na 的前 n项和为nS ，且55Sa= 若40a ，则74aa=_ - 4 - 解：5 5 1234 14 2300Sa aaaa aaaa=+=+=+=，取特殊值 令231, 1,aa=43a=74129aaa= =，所以743aa= 16已知 90AOB=， C 为空间中一点，且 60AOC BOC = = ，则直线 OC 与平面 AOB所成角的正弦值为_ 解：由对称性点 C 在平面 AOB内的射影 D必在 AOB 的平分线上 作 DE OA 于 E ，连结 CE则由三垂线定理 CE OE ，设 1DE = 1,
4、 2OE OD= =，又 60 , 2COE CE OE OE= =o,所以222CD OC OD=，因此直线 OC 与平面 AOB所成角的正弦值2sin2COD= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A， B ， C 对边的边长分别是 a， b ， c，已知22 22ac b+= （）若4B= ，且 A为钝角，求内角 A与 C 的大小； （）求 sin B 的最大值 解： （）由题设及正弦定理，有22 2sin sin 2sin 1AC B+ = 故22sin cosCA= 因为 A为钝角，所
5、以 sin cosCA= 由 cos cos( )4A C=，可得 sin sin( )4CC= ，得8C= ，58A= （）由余弦定理及条件2221()2bac=+，有22cos4acBac+= ， 因222ac ac+ ，所以1cos2B 故3sin2B ， 当 ac= 时，等号成立从而， sin B 的最大值为32 18（本小题满分 12 分） 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类： A类、 B 类、 C 类 检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检， 若发现其中含有 C 类产品或2件都是 B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整已知该生产线上生产的每件产品为 A类品， B -
6、 5 - 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 ， 0.05和 0.05，且各件产品的质量情况互不影响 （）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （）若检验员一天抽检 3 次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率 解： （）设iA 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i件产品为 A类品” ， 1, 2i = iB 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i件产品为 B 类品” ， 1, 2i = iC 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整” 则12 12 12CAAABBA=+ 由已知 ()0.9iPA = ， ( ) 0.05iPB = ， 1, 2i = 所以，所求的概率为12 12 12()()(
7、)()PC PA A PA B PB A=+ 20.9 2 0.9 0.05 0.9=+= （）由（）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为 () 0.9PC = 故所求概率为： 31 0.9 0.271= 19 （本小题满分 12 分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中， 1ADBD=，2AB = 沿它的对角线 BD把0BDC 折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点 C 的位置 （）证明：平面0ABC D 平面0CBC ； （）当二面角 A BD C 为 120时，求 AC 的长 解： （）证明：因为01AD BC BD=， 02AB C D=，所以090DBC= 因为折叠过程
8、中，090DBC DBC= =， 所以 DB BC ，又0DB BC ，故 DB 平面0CBC 又 DB平面0ABC D ， 所以平面0ABC D 平面0CBC （）解法一：如图，由（）知 BCDB ，0BCDB ， - 6 - 所以0CBC 是二面角0CBDC的平面角由已知得，060CBC = 作0CF C B ，垂足为 F ， 由01BC BC= 可得32CF = ，12BF = 连结 AF ，在 ABF 中， 2221113( 2) ( ) 2 2 cos13522 4AF =+= 因为平面0ABC D 平面0CBC ， 所以 CF 平面0ABC D ，可知 CF AF 在 Rt AFC
9、 中，2213 3244AC AF CF=+=+= 解法二：由已知得090ADB DBC= =以 D为原点，射线 DA， DB分别为 x，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz 则 (1,0,0)A ， (0,1,0)B ，0(1,1,0)C ， (0,0,0)D 由（）知 BCDB ，0BCDB ，所以0CBC 为二面角0CBDC的平面角 由已知可得060CBC =， 所以13(,1,)22C 所以2213(1)1()222AC =+ =uuur， 即 AC 的长为 2 20 （本小题满分 12 分）在数列 na 中，11a = ，2112(1)nnaan+= + （）证明数
10、列2nan是等比数列，并求 na 的通项公式； （）令112nn nba a+=，求数列 nb 的前 n项和nS ； （）求数列 na 的前 n项和nT - 7 - 解： （）由条件得1221(1) 2nnaa+=+，又 1n= 时，21nan= ， 故数列2nan构成首项为 1，公式为12的等比数列从而2112nnan= ，即212n nna= （）由22(1) 21222n nnnb+=得235 2122 2nnnS+=+ +L ， 23 1135 212222 2 2nnnS+ +=+ +L ， 两式相减得 ： 23 11311 1212( )2222 22nnnnS+=+ + + L
11、， 所以 2552nnnS+= （）由23 1 121()()2nn nSaa a aa a+= + +LL得 1112nnnnTaa TS+ = 所以11222nn nTSaa+=+2146122nnn+ += 21 （本小题满分 12 分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点 O，1C 和2C有公共焦点 F ，点 F 在 x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点 F 到1C 右准线的距离成等比数列 （）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为 15 时，求1C 及2C 的方程； （） 设过点 F 且斜率为 1 的直线 l交1C 于 P ， Q两点， 交2C 于 M ， N
12、 两点 当 8MN =时，求 PQ 的值 解： （）设1C ：22221xyab+=(0)ab ，其半焦距为 c (0)c 则2C ：24y cx= 由条件知22(2 ) 2 ( )abacc=，得 2ac= 1C 的右准线方程为2axc= ，即 4x c= 2C 的准线方程为 x c= 由条件知 515c = ， 所以 3c = ，故 6a = ， 33b= - 8 - 从而1C ：22136 27xy+ = ， 2C ：212y x= （）由题设知 l： yxc=，设11(, )M xy，22(, )Nx y ，33(, )Px y ，44(, )Qx y 由24ycxyxc =，得226
13、0xcxc+=，所以126x xc+ = 而1228MNMFFNxx cc=+=+=，由条件 8MN = ，得 1c= 由（）得 2a = ， 3b= 从而，1C ：22143xy+ = ，即223412xy+ = 由2234121xyyx +=，得27880xx =所以3487xx+ = ，3487xx = 故223488242( ) 2( ) 4 777PQ x x= += 22 （本小题满分 14 分）设函数32() 2fx x x x= + （）求 ()f x 的单调区间和极值； （）若当 1,2x 时， 3()3af x ，求 ab 的最大值 解： （）2( ) 3 2 1 (3 1
14、)( 1)fx x x x x=+ 于是，当1(,1)3x 时， ( ) 0fx 故 ()f x 在1(,1)3 单调减少，在1(,)3 ， (1, )+ 单调增加 当13x= 时， ()f x 取得极大值159()327f = ； 当 1x = 时， ()f x 取得极小值 (1) 1f = （）根据（）及 (1) 1f =， (2) 4f = ， ()f x 在 1,2 的最大值为 4，最小值为 1 因此，当 1,2x 时， 3() 3af x b +的充要条件是3334 3abab + +， 即 a， b 满足约束条件 - 9 - 334343abababab+， 由线性规划得， ab 的最大值为 7
