1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷) 理科数学（必修+选修 ） 注意事项： 1 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟 2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上 3 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上 4 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其它题的答
2、题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效 6 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回 第卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= + 24SR= 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) () ()PAB PA PB=ii 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR= n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 () (1
3、) ( 012 )kk nknnPk Cp p k n=， ， ， ， 一、选择题 1 sin 210 =null（ ） A32B32 C12D12 2函数 sinyx= 的一个单调增区间是（ ） A44， B344， C32， D322， 3设复数 z 满足12iiz+= ，则 z =（ ） A 2i+ B 2i C 2i D 2i+ 4下列四个数中最大的是（ ） A2(ln 2) B ln(ln 2) C ln 2 D ln 2 5 在 ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若123ADDBCD CACB=+nullnullnullnull nullnullnullnull nul
4、lnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnull， ， 则 =（ ） A23B13C13 D23 6不等式2104xx的解集是（ ） A (21) ， B (2 )+， C (21) (2 ) +， D (2)(1) +， 7已知正三棱柱111ABC A B C 的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A64B104C22D328已知曲线23ln4xy x= 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A 3 B 2 C 1 D129把函数 exy = 的图像按向量 (2 3)= ，a 平移，得到 ()y
5、 fx= 的图像，则 ()f x =（ ） A3e2x+ B3e2x+ C2e3x+ D2e3x+ 10从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 11 设12FF， 分别是双曲线2222x yab 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点 A ， 使1290FAF=null且123AFAF= ，则双曲线的离心率为（ ） A52B102C152D 5 12设 F 为抛物线24y x= 的焦点， ABC， 为该抛物线上三点
6、，若 FA FB FC+=0nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull，则 FA FB FC+=nullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnull（ ） A 9 B 6 C 4 D 3 第卷（非选择题） 本卷共 10 题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13821(1 2 )xxx+的展开式中常数项为 （用数字作答） 14在某项测量中，测量结果 服从正态分布2(1 )( 0)N ， 若 在 (0 1)， 内取值的概率为 0.4，则 在 (0 2)，
7、 内取值的概率为 15 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2 16已知数列的通项 52nan= + ，其前 n 项和为nS ，则2limnnSn= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在 ABC 中，已知内角 A=3，边 23BC = 设内角 B x= ，周长为 y （ 1）求函数 ()yfx= 的解析式和定义域； （ 2）求 y 的最大值 18 （本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事
8、件 A ： “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96PA= （ 1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； （ 2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 的分布列 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形， 侧棱 SD 底面 ABCD E F， 分别为 ABSC， 的中点 （ 1）证明 EF 平面 SAD ； （ 2）设 2SD DC= ，求二面角 A EF D 的大小 AE B CF S D20 （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以
9、O 为圆心的圆与直线 34xy = 相切 （ 1）求圆 O 的方程； （ 2）圆 O 与 x 轴相交于 AB， 两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB， 成等比数列，求PA PBnullnullnullnullnullnullnullnulli 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 设数列 na 的首项113(01) 2342nnaaa n= =， ， ， ， （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）设 32nn nba a=，证明1nnbb+，如果过点 ()ab， 可作曲线 ()yfx= 的三条切线，证明： ()ab fa3， 得20 B= =nullnullnullnullnul
10、lnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullinullnullnullnullnullnullnullnullnulli， 所以二面角 AEFD 的大小为3arccos3 20解： （ 1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 34xy = 的距离， 即 4213r =+ 得圆 O 的方程为224xy+= AAE B CF S D G M y z x （ 2）不妨设1212(0) (0)Ax Bx x x 那么，221nnbb+ 2211222(3 2 ) (3 2 )3332 (32)229(1).4nnnnnnnnaaaaaaaa+= = =又由（ 1）知 0na 且 1na ，故2210nnbb+ ， 因此 1nnbb n+时，方程 () 0gt = 最多有一个实数根； 当 0ab+=时，解方程 () 0gt = 得302att=， ，即方程 () 0gt = 只有两个相异的实数根； 当 () 0bfa=时，解方程 () 0gt = 得2atta=， ，即方程 () 0gt = 只有两个相异的实数根 综上，如果过 ()ab， 可作曲线 ()y fx= 三条切线，即 () 0gt = 有三个相异的实数根，则0() 0.abbfa+，即 ()ab fa
