1、2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国卷） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至2页。第卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPAPBAP +=+ 24 RS = 如果事
2、件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 334RV = n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 knkknnPPCkP= )1()( 一选择题 （1）已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且ab=2，则a与b的夹角为 （A）6（B）4（C）3（D）2（2）设集合M=x|x2-x0 ) （C）f(2x)=2e2x(x )R （D）f(2x)= lnx+ln2(x0 ) （4）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m= （A）-41（B）-4 (C)4 （D）41（5）设
3、Sn是等差数列an的前n项和,若S7=35,则a4= （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 （6）函数f(x)=tan(x+4)的单调递增区间为 （A）(k -2, k +2),k Z （B）(k , (k+1) ),k Z (C) (k -43, k +4),k Z （D）(k -4, k +43),k Z （7）从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为 （A）21（B）53（C）23（D）0 （8）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c，且c=2a，则cosB= （A）41（B）43（C）42（D）32（9）已知各
4、顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （10）在（x-x21）10的展开式中，x4的系数为 （A）-120 （B）120 （C）-15 （D）15 （11）抛物线y=-x2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是 （A）34（B）57（C）58（D）3 （12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为 （A）8 5 cm2（B）6 10 cm2（C）3 55 cm2（D）20cm2第卷 注意事项： 1用钢笔或圆珠笔直接答在试题
5、卷上。 2答卷前将密封线内的项目填写清楚。 3本卷共10小题，共90分。 题号 二 17 18 19 20 21 22总分 分数 二本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 （13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。 （14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2 6 ,则侧面与底面所成的二面角等于 。 得分 评卷人 （15）设z=2y-x,式中x、y满足下列条件 +1232312yyxyx则z的最大值为_ (16)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有_种(用
6、数字作答) 三解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分12分） 已知an为等差数列,a3=2,a2+a4=320,求an的通项公式. （18）（本大题满分12分） ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cos2CB+取得最大值,并求出这个最大值 得分 评卷人 得分 评卷人 （19）（本大题满分12分） A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A有郊的小白鼠只数比服用B有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服
7、用A有郊的概率为32，服用B有郊的概率为21. （）求一个试验组为甲类组的概率; （）观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率. 得分 评卷人 （20）（本大题满分12分） 如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN （I）证明ACNB （II）若= 60ACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值 得分 评卷人 A B C M N l1 l2 （21）（本大题满分12分） 设P为椭圆1222=+ yax(a1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值 得分 评卷人 （22）（本大题满分14分） 设
8、a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-,0)和(1, )都是增函数,求a的最值范围 得分 评卷人 2005全国卷I（河北、河南、安徽、山西） 文科数学参考答案 一选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D 二填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13155 14. 70 15.100 16. 三解答题 （17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。满分12分。 解：（I） x=8是函数y=f(x)的图像的对
9、称轴， sin(28+ )=1， 4+ =k+2，kZ. -=| PBACPBAC= .510由此得AC与PB所成的角为arccos .510（III）解：在MC上取一点N(x,y,z),则存在R，使 NC =MC， NC =(1-x,1-y,-z), MC =(1,0,-21), x=1-,y=1,z=21. 要使ANMC只需AN MC =0,即 x-21z=0,解得=54. 可知当=54时,N点坐标为(51,1,52),能使AN MC =0. 此时, AN =(51,1,52), BN =(51,-1,52),有BN MC =0. 由AN MC =0, BN MC =0得ANMC,BNMC
10、.所以ANB为所求二面角的平面角. | AN |=530,| BN |=530, ANBN =-54. cos= .32|=BNANBNAN故所求的二面角为arccos(-32). (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。 解：（I）f(x)+2x0的解集为（1，3）， f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a+,0,0142aaaa解得 a0，所以 210q10=1, 解得q=21,因而 an=a1qn-1=n21,n=1,2,. (II)因为an是首项a1=21、公比q=21的等比数列，故 Sn=211)211(21n=1-n21
11、，nSn=n-nn2. 则数列nSn的前n项和 Tn=(1+2+n)-(21+222+nn2)， 212=nT(1+2+n)-(221+322+1221+nnnn). 前两式相减，得 212=nT(1+2+n)-(21+221+n21)+12+nn=4)1( +nn-211)211(21n+12+nn, 即 Tn= .22212)1(1+ nnnnn（22）本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性等性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分14分. （I）解：设椭圆方程为2222byax+ =1(ab0),F(c,0). 则直线AB的方程为y=x-c, 代入2222b
12、yax+ =1，化简得 (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0. 令A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2222baca+,x1x2=222222babaca+. 由OBOA+ =(x1+x2,y1+y2),a=(3,-1), OBOA+与a共线，得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0. 又 y1=x1-c,y2=x2-c, 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0, x1+x2= .23c即 232222cbaca=+,所以a2=3b2. c=3622aba = , 故离心率e=36=ac. （II）证明：由（I）知a2=3b2,所以椭圆2222byax
13、+ =1可化为 x2+3y2=3b2. 设OM =(x,y),由已知得 (x,y)=(x1,y1)+(x2,y2), x=x1+x2, y=y1+y2. M(x,y)在椭圆上， (x1+x2)2+3(y1+y2)2=3b2. 即2(21x +321y )+2(22x +322y )+2(x1x2+3y1y2)=3b2, 由（I）知x1+x2=23c,a2=23c2,b2=21c2. x1x2=83222222=+babacac2. x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=23c2-29c2+3c2=0. 又21213yx + =3b2,22223yx + =3b2,代入得 2+2=1. 故2+2为定值，定值为1.
