1、 12005 年全国高等学校招生统一考试数学（上海文）试题 考生注意： 1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚 2本试卷共有 22 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 一填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1函数f(x)=log4(x+1)的反函数f1(x)= 2方程4x+2x-2=0的解是 3若x,y满足条件 x+y3 y2x ,则z=3x+4y的最大值是 4直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 OAOP =4。则点P的轨 迹
2、方程是 5函数 y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T= 6若cos=71,(0.2),则cos(+3)= 7若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是(2 15 ,0),则椭圆的标准方程是 8某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 (结果用分数表示) 9直线y=21x关于直线x1对称的直线方程是 10在ABC中，若A120，AB=5，BC7，则 AC 11函数 f(x)=sinx+2 xsin ,x0,2的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k的取值范围是 12 有两个相同
3、的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为 3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 二选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写 在题后的圆括内,选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分 13 若 函 数 f(x)=121+X, 则 该 函 数 在 (-,+) 上 是 答( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大
4、值 214 已 知 集 合 M=x 1x , x R,P=x15+x1, x Z, 则 MP 等 于 答( ) (A)x01”是条件乙:“ aa ” 的 答( ) (A)既不充分也不必要条件 (B) 充要条件 (C) 充分不必要条件 (D)必要不充分条件 16用n个不同的实数a1,a2,an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对 第i行ai1,ai2,ain,记bi=- ai1+2ai2-3 ai3+(-1)nnain, 1 3 2 i=1,2,3, ,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b1+b2+b6=
5、-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+b120等于 3 1 2 3 2 1 答( ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720 三解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17 （本题满分 12 分）已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中,M、N 分别是 BB1和 BC 的中点,AB=4,AD=2.B1D 与平面 ABCD 所成角的大小为 60,求异面直线B1D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解 18 （本题满分12分）在复数范围内解方程iiizzz+=
6、+23)(2(i为虚数单位) 解 319 （本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 已知函数 f(x)=kx+b 的图象与 x、y 轴分别相交于点 A、B, jiAB 22 += (i 、 j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2-x-6. (1)求k、b的值; (2)当x满足f(x) g(x)时,求函数)(1)(xfxg +的最小值. 解 20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平
7、均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 解 421(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分6分. 已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5, 过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程
8、; (2)过M作MNFA, 垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系. 解 22(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xDf且xDg规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且x Dgg(x) 当x Df且xDg(1)若函数f(x)=-2x+3,x1; g(x)=x-2,xR,写出函数h(x)的解析式; (2)求问题(1)中函数h(x)的最大值;
9、 (3)若 g(x)=f(x+), 其中 是常数,且 0,请设计一个定义域为 R 的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明. 解 5上海数学(文史类)参考答案 一. 1. 4x-1 2. x=0 3. 11 4. x+2y-4=0 5. 6. -14117. 1208022=+yx8. 739. x+2y-2=0 10. 3 11. 1 g(x),得x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0,则)(1)(xfxg +-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 )(1)(xfxg +的最小值是-3. 20. 解(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an
10、是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+ 502)1(nn=25n2+225n, 令25n2+225n4750,即n2+9n-1900,而n是正整数, n10. 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-10.85. 由题意可知 an0.85 bn,有250+(n-1)50400(1.08)n-10.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比
11、例首次大于85%. 21. 解(1) 抛物线y2=2px的准线为x=-2p,于是4+2p=5, p=2. 抛物线方程为y2=4x. (2)点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), kFA=34;MNFA, kMN=-43, 则FA的方程为y=34(x-1),MN的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, N的坐标(58,54). (4)由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2, 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m4时, 直线AK的方程为y=m44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
12、圆心M(0,2)到直线AK的距离d=2)4(1682+mm,令d2,解得m1 当m1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m1时, AK与圆M相交. 22. 解(1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x1,+) x-2 x(-,1) 7(2) 当x1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-47)2+81h(x)81; 当x1时, h(x)-1, 当x=47时, h(x)取得最大值是81(3)令 f(x)=sinx+cosx,=2则g(x)=f(x+)= sin(x+2)+cos(x+2)=cosx-sinx, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x. 另解令f(x)=1+ 2 sinx, =, g(x)=f(x+)= 1+ 2 sin(x+)=1- 2 sinx, 于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+ 2 sinx)( 1- 2 sinx)=cos2x.
