1、 2013 年辽宁省辽阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 1.(3 分 )-2 的相反数是 ( ) A. -2 B. 2 C. D. 12 解析 ： -2 的相反数是 2， 答案 ： B. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (-x)2 x3=x5 B. x3 x4=x12 C. (xy3)2=xy6 D. (-2x2)3=-6x6 解析 ： A、 (-x)2 x3=x2 x3=x5，选项正确； B、 x3 x4=x7，选项错误； C、 (xy3)2=x2y6，选项错误； D、 (-2x2)3=-8x6，选项错误 . 答案 A. 3.(
2、3 分 )下列几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、圆柱主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆，故此选项错误； B、四棱台主视图、左视图都是梯形，俯视图是 “ 回 ” 字形，故此选项错误； C、三棱柱主视图、左视图都是长方形，俯视图是三角形，故此选项错误； D、长方体主视图、俯视图和左视图都是长方形，故此选项正确； 答案 ： D. 4.(3 分 )数据 4， 5， 8， 6， 4， 4， 6 的中位数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： 这组数据按照从小到大的顺序排列为： 4， 4， 4， 5， 6， 6， 8， 则中
3、位数为： 5. 答案 ： C. 5.(3 分 )如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处， BE 与 AD 相交于点 F，EDF=38 ，则 DBE 的度数是 ( ) A. 25 B. 26 C. 27 D. 38 解析 ： 由翻折的性质得， 1=2 ， 矩形的对边 ADBC ， 1=3 ， 2=3 ， 在 BDE 中， 2+3+EDF=180 -90 ，即 22+38=90 ，解得 2=26 ， DBE=26 . 答案 ： B. 6.(3 分 )如图，在 RtABC 中， C=90 ， AD 是 ABC 的角平分线， AC=3， BC=4，则 CD 的长是 (
4、 ) A. 1 B. C. D. 2 解析 ： 如图，过点 D 作 DEAB 于 E， C=90 ， AD 是 ABC 的角平分线， DE=CD ， 由勾股定理得， AB= = =5， SABC = AB DE+ AC CD= AC BC， 即 5 CD+ 3 CD= 34 ，解得 CD= . 答案 ： C. 7.(3 分 )如图， A、 B 是反比例函数 y= (x 0)图象上的两点， ACy 轴于点 C， BDy 轴于点 D， OB 与 AC 相交于点 E，记 AOE 的面积为 S1，四边形 BDCE的面积为 S2，则 S1、 S2的大小关系是 ( ) A. S1=S2 B. S1 S2
5、C. S1 S2 D. 无法确定 解析 ： 设点 A 的坐标为 (xA， yA)，点 B 的坐标为 (xB， yB)， A 、 B 在反比例函数 y= 上， x AyA=2， xByB=2， S AOC = xAyA=1； SOBD = xByB=1. S AOC =SOBD ， S AOC -SOCE =SOBD -SOCE ， S AOE =S 梯形 ECDB； 又 AOE 与梯形 ECDB 的面积分别为 S1、 S2， S 1=S2. 答案 ： A. 8.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0 )的图象如图所示，有下列结论： abc 0； b 2-4ac 0； 3a+c 0
6、； 16a+4b+c 0. 其中正确结论的个数是 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ： 由开口向上，可得 a 0，又由抛物线与 y 轴交于负半轴，可得 c 0，然后由对称轴在 y 轴右侧，得到 b 与 a 异号，则可得 b 0， abc 0，故 错误； 由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b2-4ac 0，故 正确； 由抛物线的对称轴为直线 x=1，可得 b=-2a，再由当 x=-1 时 y 0，即 a-b+c 0， 3a+c 0，故 正确； 根据对称轴和图可知，抛物线与 x 轴的另一交点在 3和 4 之间，所以当 x=4 时， y 0，即可得 16a+4b
7、+c 0，故 正确， 答案 ： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24分 ) 9.(3 分 )PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为 . 解析 ： 0.0000025=2.510 -6， 答案 ： 2.510 -6. 10.(3 分 )(2014 怀化 )分解因式： 2x2-8= . 解析 ： 2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2). 答案 ： 2(x+2)(x-2). 11.(3 分 )数据 2， 3， 4， 6， a 的平均数是 4，则 a= . 解析 ： 由题意得， =4，解得
8、： a=5. 答案 ： 5. 12.(3 分 )已知点 O 是 ABC 外接圆的圆心，若 BOC=110 ，则 A 的度数是 . 解析 ： 当 ABC 为锐角三角形，即点 A 在优弧 BC 上，则 A= BCO= 110=55 ； 当 ABC 为钝角三角形，即点 A 在劣弧 BC 上，则 A=180 -A=180 -55=125 ， 即 A 的度数为 55 或 125 . 答案 ： 55 或 125 . 13.(3 分 )已知圆锥的侧面积为 15cm 2，底面半径为 3cm，则圆锥的高是 . 解析 ：侧面展开图扇形的弧长是 6 ，设母线长是 r，则 6 r=15 ，解得： r=5， 根据勾股定
9、理得到：圆锥的高 = =4cm. 答案 ： 4cm. 14.(3 分 )如图，在 23 的正方形网格格点上有两点 A、 B，在其它格点上随机取一点记为 C，能使以 A、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为 . 解析 ： 在格点上随机取一点记为 C，以 A、 B、 C 三点为顶点的三角形有 43 -2=10 个，其中等腰三角形有 4 个 (图中所示 )， 以 A、 B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形的概率为： = . 答案 ： . 15.(3 分 )如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 BC边上，且 BP=1， Q为对角线 AC 上的一个动点，则 BPQ 周长
10、的最小值为 . 解析 ： 如图，连接 PD 与 AC 相交于点 Q， 此时 BPQ 周长的最小， 正方形 ABCD 的边长为 4， BP=1， PC=4 -1=3， 由勾股定理得， PD= = =5， BPQ 周长 =BQ+PQ+BP=DQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6. 答案 ： 6. 16.(3 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， BC=1， AC=2，四边形 CA1B1C1、 A1A2B2C2、 A2A3B3C3都是正方形，且 A1、 A2、 A3 在 AC 边上， B1、 B2、 B3 在 AB 边上 .则线段 BnCn的长用含 n的代数式表示为 .(n 为正整数 ) 解
11、析 ： 由题意可得： B1C1AC ， BB 1C1BAC ， = ， CC 1=B1C1， = ，解得： B1C1= ，故 A1B1= ， AA1= ， 同理可得出： B2C2=( )2， B3C3=( )3 线段 BnCn的长用含 n 的代数式表示为： ( )n. 答案 ： ( )n. 三、解答题 (本大题共 2 个小题，每小题 8分，共 16 分 ) 17.(8 分 )计算： +(-1)2013- +( -3)0- . 解析 ： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用负指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果 .
12、 答案 ：原式 =4-1-4+1-2=-2. 18.(8 分 )先化简，再求值： ( - ) (1+ )，其中 a= -1， b= +1. 解析 ： 先把括号里面进行通分，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解，然后把除法转化成乘法，再进行约分，最后把 a、 b 的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = - ( + ) = = = ， 把 a= -1， b= +1 代入上式得： 原式 = = = . 四、 答案 题 (本大题共 2 个小题，每小题 10分，共 20 分 ) 19.(10 分 )某市中小学开展 “ 关注校车，关爱学生 ” 为主题的交通安全教育宣传周活动 .某中学为了了解本校
13、学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息， 答案 下列问题： (1)本次调查共抽查了多少名学生？ (2)将图 、图 补充完整； (3)求图 中 “ 骑自行车 ” 所对应的扇形圆心角的度数； (4)如果该校共有 1000 名学生，请你估计乘公交车上学的学生约有多少名？ 解析 ： (1)利用频数 所占百分比 =总数计算即可； (2)步行人数 =总数 -骑车人数 -乘公交车人数 -其他；再计算出百分比填图即可； (3)用 360“ 骑自行车 ” 人数所占百分比； (4)利用样本估计总体的方法计算即可 . 答案 ： (1)1220%
14、=60 人； (2)步行人数： 60-12-24-6=18， 所占百分比： 1860100%=30% ； 乘公交车人数所占百分比： 2460100%=40% ，如图所示： ； (3)“ 骑自行车 ” 所对应的扇形圆心角的度数： 36020%=72 ； (4)乘公交车上学的学生人数： 100040%=400 名 . 20.(10 分 )不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个 (小球除颜色外其余都相同 )，其中黄球 2 个，篮球 1 个 .若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率是 . (1)求口袋里红球的个数； (2)第一次随机摸出一个球 (不放回 )，第二次再随机摸出一个球，请用列表或画
15、树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率 . 解析 ： (1)设口袋里红球的个数为 x，根据题意列出方程，求出方程的解得到 x 的值即可； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况数，即可求出所求概率 . 答案 ： (1)设红球有 x 个，根据题意得： = ，解得： x=1， 经检验 x=1 是原方程的根 .则口袋中红球有 1 个； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有 4 种， 则 P= = . 21.(10 分 )某商场第一次用 10000 元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利 2200 元，其中甲种商品每
16、件进价 60 元，售价 70 元；乙种商品每件进价 50 元，售价 65元 . (1)求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同，甲种商品按原售价出售，而乙种商品降价销售，要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于 1800 元，乙种商品最多可以降价多少元？ 解析 ： (1)设商场购进甲 x 件，乙购进 y 件 .则根据 “ 用 10000 元购进甲、乙两种商品、销售完成后共获利 2200 元 ” 列出方程组； (2)设乙种商品降价 z 元，则由 “ 要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于 1800元 ”
17、 列出不等式 . 答案 ： (1)设商场购进甲 x 件，乙购进 y 件 .则 ，解得 . 答：该商场购进 甲、乙两种商品分别是 100 件、 80 件； (3)设乙种商品降价 z 元，则 10100+ (15-z)801800 ，解得 z5 . 答：乙种商品最多可以降价 5 元 . 22.(10 分 )如图，已知 CD 为 O 的直径，弦 ABCD ，垂足为 E，连接 AD、 AC，点 F在 DC 延长线上，连接 AF，且 FAC=CAB . (1)求证： AF 为 O 的切线； (2)若 AD=10， sinFAC= ，求 AB 的长 . 解析 ： (1)连接 OA、 BC，证出 EAO+F
18、AC+CAB=90 ，即 FAO=90 ，就可以得出 AF 为O 的切线； (2)由 sinFAC= ，得出 sinADF= ，再求出 AE=ADsinADF=10 =4， AB=2AE=8. 答案 ： (1)如图，连接 OA， BC， 直径 CDAB ， AC=BC ， AEO=90 ， CAB=ADC ， EAO+EOA=90 ， FAC=CAB=ADC ， OA=OD ， OAD=ODA ， EOA=OAD+ODAEAO+FAC+CAB=90 即 FAO=90AF 为 O 的切线 . (2)ADF=FAC ， sinFAC= ， sinADF= ， AE=ADsinADF=10 =4，
19、AB=8 . 23.(10 分 )如图，海中有一个小岛 C，今有一货船由西向东航行，在 A 处测得小岛 C 在北偏东 60 方向，货船向正东方向航行 16海里到达 B处，在 B处测得小岛 C在北偏东 15 方向，求此时货船与小岛 C 的距离 .(结果精确到 0.01 海里 )(参考数据： 1.414 ， 1.732 ) 解析 ： 过点 B 作 BEAC 于点 E，在 RtABE 中， CAB=30 ，即可利用三角函数求得 BE，再在 RtBEC 中利用三角函数即可求得 BC 的长 . 答案 ：过 B 作 BEAC 于点 E. 由题意可知： BAC=30 ， C=45 ， BE=AB sinBA
20、C=16 =8(海里 )， CE=BE=8 ， BC=8 81.414=11.31 (海里 ). 答：此时货船与小岛 C 距离是 11.31 海里 . 24.(10 分 )某商场以每台 360 元的价格购进一批计算器，原售价每台 600 元，现为了促销，商场采取如下方式：买一台单价为 590 元，买两台每台都为 580 元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 10 元，但最低不能低于每台 400 元 .某单位一次性购买该计算器 x台，实际购买单价为 y 元 .(x 为正整数 ) (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)若该单位一次性购买该计算器不超过 20 台，购买多少台时，商场获
21、利最大？最大利润是多少？ 解析 ： (1)根据题意可得出实际购买单价 =原价 -10x，进而得出答案； (2)根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可 . 答案 ： (1) 原售价每台 600 元，现为了促销，商场采取如下方式：买一台单价为 590 元，买两台每台都为 580 元， 依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减 10 元， y 与 x 的函数关系式为： y=-10x+600(0x20 )； (2)设商场获利为 W 元， 则 W=x(-10x+600-360)=-10x2+240x=-10(x-12)2+1440， 当 x=12 时， W 最大值 =1440. 25.(12
22、 分 )已知 ABC 为等腰直角三角形， ACB=90 ，点 P 在 BC 边上 (P 不与 B、 C 重合 )或点 P 在 ABC 内部，连接 CP、 BP，将 CP 绕点 C逆时针旋转 90 ，得到线段 CE；将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90 ，得到线段 BD，连接 ED 交 AB于点 O. (1)如图 a，当点 P 在 BC 边上时，求证 OA=OB； (2)如图 b，当点 P 在 ABC 内部时， OA=OB 是否成立？请说明理由； 直接写出 BPC 为多少度时， AB=DE. 解析 ： (1)根据 ABC 为等腰直角三角形，则 CA=CB， A=ABC=45 ，由旋转可知： CP
23、=CE，BP=BD，则 AE=BP 可证明 AEOBDO ，则 OA=OB； (2) 连接 AE，易证 AECBCP ，则 AE=BP， CAE=BPC ，可证明 AEOBDO ，则 OA=OB，所以成立； 根据 AECBCP ， EAC=PBC ， ACE=BCP ，从而得出 BPC=135 时， AB=DE. 答案 ： (1)ABC 为 等腰直角三角形， CA=CB ， A=ABC=45 ， 由旋转可知： CP=CE， BP=BD， CA -CE=CB-CP，即 AE=BP， AE=BD . 又 CBD=90 ， OBD=45 ， 在 AEO 和 BDO 中， ， AEOBDO (AAS)
24、， OA=OB ； (2)成立，理由如下：连接 AE， 则 AECBCP ， AE=BP ， CAE=BPC ， BP=BD ， BD=AE ， OAE=45+CAE ， OBD=90 -OBP=90 -(45 -BPC )=45+PBC ， OAE=OBD ， 在 AEO 和 BDO 中， ， AEOBDO (AAS)， OA=OB ， BPC=135 时， AB=DE. 26.(14 分 )如图，直线 y=-x+3与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 A，点 B 的坐标为 (2， 3)抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、 C 两点 . (1)求抛物线的解析式，并验证点 B 是否在抛物
25、线上； (2)作 BDOC ，垂足为 D，连接 AB， E为 y 轴左侧抛物线点，当 EAB 与 EBD 的面积相等时，求点 E 的坐标； (3)点 P 在直线 AC 上，点 Q 在抛物线 y=-x2+bx+c 上，是否存在 P、 Q，使以 A、 B、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)先求出直线 y=-x+3 与 x 轴交点 C，与 y 轴交点 A 的坐标，再将 A、 C 两点坐标代入 y=-x2+bx+c，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将 x=2 代入，计算 y 的值，即可判断点 B(2， 3)是否在抛物
26、线上； (2)先由一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形 AODB 是矩形，则 ABAO .再设 E(x，-x2+2x+3)，根据三角形的面积公式得出 SEAB = AB 3-(-x2+2x+3)=x2-2x， SEBD =BD( 2-x)= (2-x)，由 SEAB =SEBD ，列出方程 x2-2x= (2-x)，解方程即可求出点 E 的坐标； (3)设点 P 的坐标为 (x， -x+3)，以 A、 B、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形时，可分两种情况进行讨论： 当 AB 为边时；又分四边形 BAPQ 为平行四边形和四边形 BAQP 为平行四边形两种情况，根据平行四边形的对边平行且
27、相等用含 x 的代数式表示出 Q 点坐标，再将 Q点坐标代入 y=-x2+2x+3，列出方程，解方程求出点 P 的坐标； 当 AB 为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分得到 Q 点坐标，再将 Q 点坐标代入 y=-x2+2x+3，列出方程，解方程求出点 P 的坐标 . 答案 ： (1)在 y=-x+3 中， 令 x=0，得 y=3；令 y=0，得 x=3， A (0， 3)， C(3， 0). 抛物线 y=-x2+bx+c 经过 A、 C 两点， ，解得 ， 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3， 当 x=2 时， y=-22+22+3=3 ， 点 B(2， 3)在抛物线上； (2)A
28、 (0， 3)， B(2， 3)， AO=BD=3 ， AOOC ， BDOC ， AOBD ， 四边形 AODB 是平行四边形， AOD=90 ， 平行四边形 AODB 是矩形， ABAO . 设 E(x， -x2+2x+3)，则 SEAB = AB 3-(-x2+2x+3)=x2-2x， SEBD = BD( 2-x)= (2-x)， S EAB =SEBD ， x 2-2x= (2-x)，解得 x1=- ， x2=2(舍去 )， 点 E的坐标为 (- ， - )； (3)存在 P、 Q，使以 A、 B、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形 .理由如下： 设点 P 的坐标为 (x， -x
29、+3)，分两种情况： 当 AB 为边时； )如果四边形 BAPQ 为平行四边形，那么 PQABx 轴，且 PQ=AB=2， Q 点坐标为 (x+2， -x+3)， Q 点在抛物线 y=-x2+2x+3 上， -x+3=-(x+2)2+2(x+2)+3，整理得 x2+x=0， 解得 x1=-1， x2=0(舍去 )， 点 P 的坐标为 (-1， 4)； )如果四边形 BAQP 为平行四边形，那么 PQABx 轴，且 PQ=AB=2， Q 点坐标为 (x-2， -x+3)， Q 点在抛物线 y=-x2+2x+3 上， -x+3=-(x-2)2+2(x-2)+3， 整理得 x2-7x+8=0，解得 x1= ， x2= ， 点 P 的坐标为 ( ， - )或 ( ， )； 当 AB 为对角线时，则 AB 与 PQ 互相平分， A (0， 3)， B(2， 3)， AB 中点坐标为 (1， 3)， 点 P 的坐标为 (x， -x+3)， 点 Q 的坐标为 (2-x， x+3)， Q 点在抛物线 y=-x2+2x+3 上， x+3= -(2-x)2+2(2-x)+3， 整理得 x2-x=0，解得 x1=1， x2=0(舍去 )， 点 P 的坐标为 (1， 2)； 综上所述，符合条件的点 P 坐标为 (-1， 4)或 ( ， - )或 ( ， )或 (1， 2).
