1、自动控制原理试-3 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)1.系统的开环传递函数为 试证明 （分数：3.50）_2.已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 （分数：3.50）_设系统的闭环特征方程 s 2 (s+a)+K(s+1)=0 (a0)（分数：15.99）(1).当 a=10 时，作系统根轨迹，并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时(有复极点)K 的取值范围。（分数：5.33）_(2).若使根轨迹只具有一个非零分离点，此时 a 的取值?并做出根轨迹。（分数：5.33）_(3).当 a=5 时，是否具有非零分离点，并做出根轨迹。（分数：5.33）_3.设控
2、制系统如下图所示，其中 G c (s)是为了改善性能而加入的校正装置。若 G c (s)可从 K t s，K a s 2 和 K a s 2 /(s+20)三种传递函数中任选一种，你选择哪一种?为什么? （分数：3.50）_4.系统的开环传递函数为 问： （分数：3.50）_5.系统的开环传递函数为 试证明： 在其根轨迹上，并求出 （分数：3.50）_6.设系统的开环零、极点分布如下图所示，试粗略画出系统的根轨迹图。 （分数：3.50）_单位负反馈系统 G(s)如下，按步骤计算参数，并画出其根轨迹图。（分数：7.00）(1).。 （分数：3.50）_(2).。 （分数：3.50）_7.粗略地画
3、出控制系统的根轨迹图。 （分数：3.50）_8.已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数 b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出 b=2 时的系统闭环传递函数。 （分数：3.50）_9.单位正反馈的传递函数如下： （分数：3.50）_设反馈控制系统中 （分数：7.00）(1).概略绘出系统根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性。（分数：3.50）_(2).如果改变反馈通道传递函数，使 H(s)=1+2s，试判断 H(s)改变后的系统稳定性，研究由于 H(s)改变所产生的效应。（分数：3.50）_10.单位反馈系统开环传递函数为 （分数：3.50）_已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （分数：7.0
4、0）(1).根据系统的根轨迹，分析系统的稳定性。（分数：3.50）_(2).估计超调量 %=16.3%时的 K 值。（分数：3.50）_11.单位负反馈系统的传递函数如下： （分数：3.50）_12.已知单位反馈系统的开环传递函数如下： （分数：3.50）_已知单位反馈系统的开环传递函数为 （分数：10.50）(1).绘制系统的根轨迹。（分数：3.50）_(2).确定系统临界稳定时开环增益 K 的值。（分数：3.50）_(3).确定系统临界阻尼比时开环增益 K 的值。（分数：3.50）_13.已知系统的开环传递函数为 （分数：2.00）_14.单位反馈系统的开环传递函数为 （分数：2.00）_
5、15.设单位反系统的开环传递函数为 （分数：3.50）_16.已知系统的开环传递函数为 （分数：3.00）_自动控制原理试-3 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)1.系统的开环传递函数为 试证明 （分数：3.50）_正确答案：()解析：若点 s 1 在根轨迹上，则点 s 1 应满足相角条件G(s)H(s)=(2k+1)，如图所示。 对于 ，由相角条件 满足相角条件，因此 在根轨迹上。 将 s 1 代入幅值条件： 解出： 2.已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：首先将传递函数变换成零极点标准型 则三个开环极点：p 1 =
6、0，p 2 =-2，p 3 =-5 实轴上的根轨迹：(-，-5，-2，0 渐近线： 分离点： 解之得：d 1 =-0.88，d 2 =-3.7863(舍去)。 与虚轴的交点： 特征方程为 D(s)=s 3 +7s 2 +10s+10K=0 令 解得： 与虚轴的交点 。根轨迹如图所示。 设系统的闭环特征方程 s 2 (s+a)+K(s+1)=0 (a0)（分数：15.99）(1).当 a=10 时，作系统根轨迹，并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时(有复极点)K 的取值范围。（分数：5.33）_正确答案：()解析：D(s)=s 2 (s+a)+K(s+1)=0 (a0) a=10，D(s)=
7、s 2 (s+10)+K(s+1)=0， 等效开环传递函数 n=3 有 3 条根轨迹，有 n-m=2 条趋向无穷远处。 实轴上根轨迹：-10，-1 渐近线： 分离点： 解得：d 1 =-2.5，d 2 =-4， 当 31.25K32 时系统阶跃响应为单调。当 0K31.25 及 K32 时系统阶跃响应为阻尼振荡。 (2).若使根轨迹只具有一个非零分离点，此时 a 的取值?并做出根轨迹。（分数：5.33）_正确答案：()解析： 分离点： 要使系统只有一个非零分离点，则(a+3)2-16a=0 即 a=9，a=1(舍去) (3).当 a=5 时，是否具有非零分离点，并做出根轨迹。（分数：5.33）
8、_正确答案：()解析：a=5 D(s)=s 2 (s+5)+K(s+1)=0 作等效开环传递函数 n=3 有 3 条根轨迹其中 2 条趋向无穷远处 实轴上：-5，-1 渐近线： 分离点： d 2 +4d+5=0 无解，故无非零分离点。 3.设控制系统如下图所示，其中 G c (s)是为了改善性能而加入的校正装置。若 G c (s)可从 K t s，K a s 2 和 K a s 2 /(s+20)三种传递函数中任选一种，你选择哪一种?为什么? （分数：3.50）_正确答案：()解析：本题考查的是参数根轨迹的绘制，并通过根轨迹研究系统的性能，通过不同性能之间的比较，得出优势校正方法。 由系统的结
9、构图可知，系统的开环传递函数为： 则系统的闭环特征方程为： D(s)=(s+20)(s 2 +10s+10G c (s)+1000 =s 3 +30s 2 +200s+1000+10G c (s)(s+20)=0 系统的等效开环传递函数为： (1)当 G c (s)=K t s 时 绘制根轨迹如图所示： 其会合点方程为 d4+40d 3 +400d 2 -2000d-20041.5=0 利用试探法可求得 d=-6.3 在会合点处，用模值条件可以求出 K t =0.79 在这种情况下，可以在 0K t 0.79 的范围内，通过改变 K t 的值使系统的主导极点具有 =0.707 的最佳阻尼比。
10、(2)当 G c (s)=K a s 2 时，有 绘制根轨迹如图所示： 这种情况下，由于 K a 的值越大，系统闭环极点越靠近虚轴，从而使稳定性越差，所以不能通过改变 K a 的值来使得系统的性能达到最佳。 (3)当 时，有 绘制根轨迹如图所示： 这种情况下，也不能通过改变 K a 的值来使系统的性能达到最佳。通过以上分析，最终选择第一种情况，即 G c (s)=K t s。 4.系统的开环传递函数为 问： （分数：3.50）_正确答案：()解析： 不在其根轨迹上。 证明：若 s 1 在根轨迹上，则点 s 1 应满足相角条件G(s)H(s)=(2k+1)。 对于 ，由相角条件，有 不满足相角条
11、件，因此 5.系统的开环传递函数为 试证明： 在其根轨迹上，并求出 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证明：若点 s 1 在根轨迹，则点 s 1 应满足相角条件G(s)H(s)=(2k+1)。 G(s)H(s)=30-60-150=-180 满足相角条件，因此 在根轨迹上。 将 s 1 代入幅值条件，得 6.设系统的开环零、极点分布如下图所示，试粗略画出系统的根轨迹图。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：单位负反馈系统 G(s)如下，按步骤计算参数，并画出其根轨迹图。（分数：7.00）(1).。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：开环极点数 n=2，p 1 =0，p 2 =-
12、1；没有开环零点 m=0。 下面按照绘制根轨迹法则依次求出有关参数： 实轴上-1，0区间为根轨迹。 由于 n=2，m=2，n-m=2，故有 2 条根轨迹分支，并都趋向无穷远处。 求分离点坐标 d：没有零点，故 ，于是 d=0.5。分离角为 (2).。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：开环极点数 n=3，p 1 =0，p 2 =-1，p 3 =-4；开环有限零点数 m=1，z=-2，其开环零、极点分布如图所示。 下面按照法则依次求出绘制根轨迹的有关参数： 实轴上-4，-2和-1，0区间为根轨迹。 由于 n=3，m=1，n-m=2，故有 2 条根轨迹分支，并都趋向无穷远处，其中 求分离点坐
13、标 d：有 ，于是 d=-0.55。分离角为 。 与虚轴无交点。 7.粗略地画出控制系统的根轨迹图。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：8.已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数 b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出 b=2 时的系统闭环传递函数。 （分数：3.50）_正确答案：()解析：系统的闭环特征方程为 s 2 +4s+(s+4)b+20=0 即 令 为系统的等效开环传递函数，根据 G 1 (s)的零极点分布作 b 从零编导无穷大时的根轨迹。 n=2，m=1，p 1 =-2+j4，p 2 =-2-j4，z=-4 (1)n=2，m=1，故有 2 条根轨迹分支，其中一条指向零点，
14、另一条趋向于无穷远。 (2)渐近线与实轴正方向的夹角 。 (3)求分离点坐标： 解得 d=-8.47，d=0.47(舍去)。 (4)根据仅由两个极点和一个有限零点组成的开环系统根轨迹的复数部分为以零点为圆心的一部分这一法则可画出根轨迹。 当 b=2 时，有 所以 9.单位正反馈的传递函数如下： （分数：3.50）_正确答案：()解析：n=2，p 1 =-4，p 2 =-6，m=1，z 1 =-2。 (1)由于 n=2，m=1 故有两条根轨迹分支，其中一条终止于有限零点，另一条终止于无穷远。 (2)渐近线与实轴正方向的夹角为 (3)实轴上根轨迹区间为-6，-4，-2，+)。 (4)求分离点：由
15、解得 d=-4.8，d=0.8(舍掉)。 (5)求根轨迹与虚轴交点：由开环传递函数求出系统特征方程，即 s 2 +(10+k)s+2k+24=0 令上式中的 s=j，得 (j) 2 +(10+k)j+2k+24=0 其实部和虚部两个方程为 联立求解，即得 k=-10，=2。 设反馈控制系统中 （分数：7.00）(1).概略绘出系统根轨迹图，并判断闭环系统的稳定性。（分数：3.50）_正确答案：()解析：开环极点数 n=4，p 1 =p 2 =0，p 3 =-2，p 4 =-5，无开环零点 m=0。 实轴上-5，-2区间为根轨迹。 由于 n=4，m=0，n-m=4，故有 4 条根轨迹分支，均趋向
16、无穷远处。 4 条根轨迹的渐进线为 求分离点 得 d 1 =-4， 求分离角： 求根轨迹与虚轴的交点，系统的特征方程为 s 4 +7s 3 +10s 2 +K*=0 令 s=j，求得 =0。 起始角： 2 p1 =(2k+1)-0+2-0+5 p1 =90 当 K*从 0增大时，系统有根始终在右平面，故系统始终不稳定。 根轨迹图如下： (2).如果改变反馈通道传递函数，使 H(s)=1+2s，试判断 H(s)改变后的系统稳定性，研究由于 H(s)改变所产生的效应。（分数：3.50）_正确答案：()解析： 特征方程为 D(s)=s 4 +7s 3 +10s 2 +2K * s+K * =0 令
17、s=j，得 - 2 (10- 2 )+K*=0；-7 3 +2K*=0 即 =2.25，K=22.75 所以当 0K22.75 时，4 条根轨迹都在 s 左半平面，闭环系统稳定；当 K22.75 时，系统不稳定。 根轨迹图如下： 10.单位反馈系统开环传递函数为 （分数：3.50）_正确答案：()解析：由 %25%，则 0.404，cos=，66.2；t s 10s， ，0.4。 设 =66.2上的根为-2.27j，则 (s+-2.27j)(s+2.27j)(s-s 3 )=s 3 +5s 2 +8s+6+K* 由根之和、根之积，得 =0.69，=-5.34(舍)，=0.690.4 K*=4.
18、8，所以 K*取值范围对应为 0K*4.8。 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （分数：7.00）(1).根据系统的根轨迹，分析系统的稳定性。（分数：3.50）_正确答案：()解析：(2).估计超调量 %=16.3%时的 K 值。（分数：3.50）_正确答案：()解析：当 %=16.3%时有 K=0.646。11.单位负反馈系统的传递函数如下： （分数：3.50）_正确答案：()解析：G=tf(1 3, 1 11 38 40 0); rlocus(G); grid on; 12.已知单位反馈系统的开环传递函数如下： （分数：3.50）_正确答案：()解析：D(s)=(s+4)(s+b)+2s
19、=s 2 +6s+b(4+s)=0 所以等效开环传递函数为 n=2，p 1 =0，p 2 =-6，m=1，z 1 =-4 实轴上-4，0，-，-6为根轨迹。 当 s=-2 时，b=4。 所以 已知单位反馈系统的开环传递函数为 （分数：10.50）(1).绘制系统的根轨迹。（分数：3.50）_正确答案：()解析： 其中 K*=5000K。 n=3，p 1 =0，p 2 =-50，p 3 =-100；m=0，根轨迹有 3 条分支，均趋于无穷远处。 渐近线为 实轴上的根轨迹区间为(-，-100)，(-50，0)。 分离点： d=-21.1，d=-78.9(舍) 分离角： 求根轨迹与虚轴的交点。令 s
20、=j，代入特征方程，得 j(j+50)(j+100)+K*=0 (5000- 2 )=0；K*-150 2 =0 解得 ；K*=750000，K=150 (2).确定系统临界稳定时开环增益 K 的值。（分数：3.50）_正确答案：()解析：系统临界稳定即根轨迹与虚轴的交点：由第一小题得 K*=750000，K=150。(3).确定系统临界阻尼比时开环增益 K 的值。（分数：3.50）_正确答案：()解析：系统临界稳定时，由(1)得分离点 d=-21.1，则 d(d+50)(d+100)+K*=0，K*=48112.5，13.已知系统的开环传递函数为 （分数：2.00）_正确答案：()解析：n=
21、3，p 1 =0，p 2 =-4+2j，p 3 =-4-2j；m=0。 (1)n=3，n-m=3，则有 3 条根轨迹分支且都终止于无穷远处。 (2)渐近线为 (3)实轴上的根轨迹区间为(-，0。 (4)起始角： p2 =(2k+1)-p 2 -p 1 -p 2 -p 3 =(2k+1)-153.4-90=-63.4 由对称性知 p3 =63.4。 (5)分离点： 解得 ，d 2 =-2；会合角 ，分离角 。 (6)与虚轴交点(0，)，则有 j(j) 2 +8j+20+K*=0 解得 =4.5，K*=160。 无超调时即无复数根时，由根轨迹图知无复根的区间应为分离点 d 1 和 d 2 所对应的
22、 K*的区间： 当 时，则 ，得 K*=14.8，所以 ； 当 d 2 =-2 时，则 ，得 K*=16，所以 。 所以，无超调时开环增益 K 的取值范围为 0.74K0.8。 14.单位反馈系统的开环传递函数为 （分数：2.00）_正确答案：()解析： 则 ，绘制 K*从零到无穷的根轨迹。 n=3，p 1 =p 2 =-1， ；m=1，z=-0.5。 (1)n=3，n-m=2，有 3 条根轨迹分支，其中一条终止于有限零点，另外 2 条终止于无穷远处。 (2)渐近线为 (3)实轴上的根轨迹区间为-0.5，1.75。 (4)与虚轴交点(0，)，则有 解得 ，K*=4.5。 系统稳定需满足根轨迹的
23、各条分支均在左半 s 平面。特征方程为 (s+1) 2 (s-1.75)+K*(s+0.5)=0 将 s=0 代入，得 K*=3.5。 故系统稳定时 。 15.设单位反系统的开环传递函数为 （分数：3.50）_正确答案：()解析： ，令 则画出开环传递函数为 G 1 (s)的单位正反馈根轨迹即可。 n=2，p 1 =0，p 2 =-2；m=1，z=1。 (1)有 2 条分支，一条终止于有限零点，另一条终止于无穷远处。 (2)渐近线为 (3)实轴上的根轨迹区间为(-2，0)和1，+)。 (4)分离点： 解得 d 1 =-0.7，d 2 =2.7。 (5)与虚轴交点： j(j+2)-K*(j-1)
24、=0 解得 K*=2， 。 产生重实根时，d 1 =-0.7，d 2 =2.7。将 d 1 ，d 2 分别代入特征根方程 s(s+2)-K*(s-1)=0，得 16.已知系统的开环传递函数为 （分数：3.00）_正确答案：()解析：n=3，p 1 =p 2 =1，p 3 =-18；m=1，z=-1。 (1)有 3 条根轨迹分支，其中一条终止于有限零点，另两条终止于无穷远处。 (2)渐近线为 (3)实轴上的根轨迹区间为(-18，-1。 (4)分离点： 解得 d 1 =-6.3，d 2 =-4.2。 (5)与虚轴交点： (j-1) 2 (j+18)+K*(j+1)=0 即 (K*- 2 -35)j+K*-16 2 +18=0 得 K*=38.5，=1.9。 所有根为负实根，则应该为两分离点之间的一段实轴所对应的 K。将 d 1 =-6.3 和 d 2 =-4.2 分别代入特征方程(s-1) 2 (s+18)+K*(s+1)=0，求得 ，则 ，测 K 值范围为 6.48K6.54。 系统稳定时，所有根均在 s 左半平面，则 K*38.5，即 。
