1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学文 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分 . 1.(5 分 )函数 y=3sin(2x+ )的最小正周期为 . 解析 ： 函数表达式为 y=3sin(2x+ )， =2 ，可得最小正周期 T=| |=| |= 答案 ： 2.(5 分 )设 z=(2-i)2(i 为虚数单位 )，则复数 z 的模为 . 解析 ： z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.所以 |z|= =5. 答案： 5. 3.(5 分 )双曲线 的两条渐近线方程为 . 解析 ： 双曲线 的 a=4， b=3，焦点在 x 轴上 ， 而双曲线 的渐近
2、线方程为 y= x， 双曲线 的渐近线方程为 . 答案： 4.(5 分 )集合 -1， 0， 1共有 个子集 . 解析 ： 因为集合 -1， 0， 1，所以集合 -1， 0， 1的子集有： -1， 0， 1， -1， 0，-1， 1， 0， 1， -1， 0， 1， ，共 8 个 . 答案： 8. 5.(5 分 )如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 . 解析 ： 当 n=1， a=2 时，满足进行循环的条件，执行循环后， a=8， n=2； 当 n=2， a=8 时，满足进行循环的条件，执行循环后， a=26， n=3； 当 n=3， a=26 时，不满足进行循环的条件，退出循环 故
3、输出 n 值为 3 答案： 3 6.(5 分 )抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 此训练成绩 (单位：环 )，结果如下： 则成绩较为稳定 (方差较小 )的那位运动员成绩的方差为 . 解析 ： 由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为： 甲： 87， 91， 90， 89， 93； 乙： 89， 90， 91， 88， 92； ， . 方差=4. =2. 所以乙运动员的成绩较稳定，方差为 2. 答案： 2. 7.(5 分 )现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m， n(m7 ， n9 )可以任意选取，则 m， n 都取到奇数的概率为 . 解析 ： m 取小于等于 7 的正整数， n 取小于
4、等于 9 的正整数，共有 79=63 种取法 . m 取到奇数的有 1， 3， 5， 7 共 4 种情况； n 取到奇数的有 1， 3， 5， 7， 9共 5种情况， 则 m， n 都取到奇数的方法种数为 45=20 种 . 所以 m， n 都取到奇数的概率为 . 答案： . 8.(5 分 )如图，在三棱柱 A1B1C1-ABC 中， D， E， F 分别是 AB， AC， AA1的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2，则 V1： V2= . 解析 ： 因为 D， E，分别是 AB， AC 的中点，所以 SADE ： SABC =1： 4， 又
5、 F 是 AA1的中点，所以 A1到底面的距离 H为 F到底面距离 h的 2倍 . 即三棱柱 A1B1C1-ABC 的高是三棱锥 F-ADE 高的 2倍 .所以 V1： V2= =1： 24. 答案： 1： 24. 9.(5 分 )抛物线 y=x2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部和边界 ).若点 P(x， y)是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 . 解析 ： 由 y=x2得， y =2x，所以 y |x=1=2，则抛物线 y=x2在 x=1处的切线方程为 y=2x-1. 令 z=x+2y，则 .画出可行域如图， 所以当直线 过点 (0， -1
6、)时， zmin=-2.过点 ( )时， . 答案： . 10.(5 分 )设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD= AB， BE= BC，若 = 1 + 2( 1， 2为实数 )，则 1+ 2的值为 . 解析 ： 由题意结合向量的运算可得 = = = = ， 又由题意可知若 = 1 + 2 ，故可得 1= ， 2= ，所以 1+ 2= 答案： 11.(5 分 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数 .当 x 0 时， f(x)=x2-4x，则不等式 f(x) x 的解集用区间表示为 . 解析 ： 作出 f(x)=x2-4x(x 0)的图象，如图所示， f(x) 是
7、定义在 R 上的奇函数， 利用奇函数图象关于原点对称作出 x 0 的图象， 不等式 f(x) x 表示函数 y=f(x)图象在 y=x 上方， f(x) 图象与 y=x 图象交于 P(5， 5)， Q(-5， -5)， 则由图象可得不等式 f(x) x 的解集为 (-5， 0)(5 ， +). 答案： (-5， 0)(5 ， +) 12.(5 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 (a b 0)，右焦点为F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2，若 d2= ，则椭圆 C 的离心率为 . 解析 ： 如图，准线
8、l： x= ， d2= ，由面积法得： d1= ， 若 d2= ，则 ，整理得 a2-ab- =0， 两边同除以 a2，得 +( )- =0，解得 .e= = . 答案： . 13.(5 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a， a)， P 是函数 y= (x 0)图象上一动点，若点 P， A 之间的最短距离为 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为 -1 或 . 解析 ： 设点 P ，则 |PA|= = ， 令 ， x 0， t2 ， 令 g(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2， 当 a2 时， t=a 时 g(t)取得最小值 g(a)=a2-2， ，解得 ；
9、 当 a 2 时， g(t)在区间 2， +) 单调递增， t=2 ， g(t)取得最小值 g(2)=2a2-4a+2， ，解得 a=-1. 综上可知： a=-1 或 . 答案： -1 或 . 14.(5 分 )在正项等比数列 an中， ， a6+a7=3，则满足 a1+a2+a n a1a2a n的最大正整数 n 的值为 . 解析 ： 设正项等比数列 an首项为 a1，公比为 q， 由题意可得 ，解之可得： a1= ， q=2， 故其通项公式为 an= =2n-6. 记 Tn=a1+a2+a n= = ， Sn=a1a2a n=2-52 -42 n-6=2-5-4+n -6= . 由题意可得
10、 Tn Sn，即 ， 化简得： 2n-1 ，即 2n- 1， 因此只须 n ，即 n2-13n+10 0， 解得 n ， 由于 n 为正整数，因此 n 最大为 的整数部分，也就是 12. 答案： 12 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90分 .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15.(14 分 )已知 =(cos ， sin )， =(cos ， sin )， 0 . (1)若 | - |= ，求证： ； (2)设 =(0， 1)，若 + = ，求 ， 的值 . 解析 ： (1)由给出的向量 的坐标，求出 的坐标，由模等于 列式得到coscos+si
11、nsin=0 ，由此得到结论； (2)由向量坐标的加法运算求出 + ，由 + =(0， 1)列式整理得到 ，结合给出的角的范围即可求得 ， 的值 . 答案： (1)由 =(cos ， sin) ， =(cos ， sin) ， 则 =(cos -cos ， sin -sin) ， 由=2-2(coscos+sinsin)=2 ， 得 coscos+sinsin=0. 所以 .即 ； (2)由 得 ， 2+ 2得： . 因为 0 ，所以 0 - . 所以 ， ， 代入 得： . 因为 .所以 .所以 . 16.(14 分 )如图，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB 平面 SBC， ABBC
12、， AS=AB，过 A 作 AFSB ，垂足为 F，点 E， G 分别是棱 SA， SC 的中点 .求证： (1)平面 EFG 平面 ABC； (2)BCSA . 解析 ： (1)根据等腰三角形的 “ 三线合一 ” ，证出 F 为 SB 的中点 .从而得到 SAB 和 SAC中， EFAB 且 EGAC ，利用线面平行的判定定理，证出 EF 平面 ABC 且 EG 平面 ABC.因为 EF、 EG 是平面 EFG 内的相交直线，所以平面 EFG 平面 ABC； (2)由面面垂直的性质定理证出 AF 平面 SBC，从而得到 AFBC. 结合 AF、 AB 是平面 SAB 内的相交直线且 ABBC
13、 ，可得 BC 平面 SAB，从而证出 BCSA. 答案： (1)ASB 中， SA=AB 且 AFSB ， F 为 SB 的中点 . E 、 G 分别为 SA、 SC 的中点， EF、 EG 分别是 SAB 、 SAC 的中位线，可得 EFAB 且 EGAC. EF 平面 ABC， AB 平面 ABC， EF 平面 ABC，同理可得 EG 平面 ABC 又 EF 、 EG 是平面 EFG 内的相交直线， 平面 EFG 平面 ABC； (2) 平面 SAB 平面 SBC，平面 SAB 平面 SBC=SB， AF 平面 ASB， AFSB.AF 平面 SBC.又 BC 平面 SBC， AFBC.
14、 ABBC ， AFAB=A ， BC 平面 SAB.又 SA 平面 SAB， BCSA. 17.(14 分 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0， 3)，直线 l： y=2x-4.设圆 C 的半径为1，圆心在 l 上 . (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上，过点 A 作圆 C的切线，求切线的方程； (2)若圆 C 上存在点 M，使 MA=2MO，求圆心 C 的横坐标 a的取值范围 . 解析 ： (1)联立直线 l 与直线 y=x-1 解析式，求出方程组的解得到圆心 C 坐标，根据 A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于 k 的方程，求出方程的解得到
15、 k 的值，确定出切线方程即可； (2)设 M(x， y)，由 MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点 M 的轨迹为以 (0， -1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D，由 M 在圆 C 上，得到圆 C 与圆 D 相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到 a 的范围 . 答案： (1)联立得： ，解得 ： ， 圆心 C(3， 2). 若 k 不存在，不合题意； 若 k 存在，设切线为： y=kx+3，可得圆心到切线的距离 d=r，即 =1， 解得： k=0 或 k=- ，则所求切线为 y=3 或 y
16、=- x+3； (2)设点 M(x， y)，由 MA=2MO，知： =2 ，化简得： x2+(y+1)2=4， 点 M 的轨迹为以 (0， -1)为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D， 又 点 M 在圆 C 上， 圆 C 与圆 D的关系为相交或相切， 1|CD|3 ，其中 |CD|= ， 1 3 ，解得： 0a . 18.(16 分 )如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 .一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min.在甲出发 2mi
17、n 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1min 后，再从匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路AC 长为 1260m，经测量， cosA= ， cosC= (1)求索道 AB 的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不 超过 3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解析 ： (1)作出相应的图形，根据 cosC 的值，求出 tanC 的值，设出 BD 表示出 DC，由 cosA的值，求出 tanA 的值，由 BD 表示出 AD，进而表示出 AB，由 CD+AD=AC，列出关于 k 的方程，求
18、出方程的解得到 k 的值，即可确定出 AB 的长； (2)设乙出发 xmin 后到达点 M，此时甲到达 N 点，如图所示，表示出 AM 与 AN，在三角形 AMN中，由余弦定理列出关系式，将表示出的 AM， AN 及 cosA 的值代入表示出 MN2，利用二次函数的性质即可求出 MN 取最小值时 x 的值； (3)由 (1)得到 BC 的长，由 AC 的长及甲的速度求出甲到达 C 的时间，分两种情况考虑：若甲等乙 3 分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲 3 分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围 . 答案： (1)cosA= ， cosC= ， tanA=
19、 ， tanC= ，如图作 BDCA 于点 D， 设 BD=20k，则 DC=15k， AD=48k， AB=52k， 由 AC=63k=1260m，解得： k=20，则 AB=52k=1040m； (2)设乙出发 xmin 后到达点 M，此时甲到达 N 点，如图所示，则 AM=130xm， AN=50(x+2)m， 由余弦定理得： MN2=AM2+AN2-2AMANcosA=7400x 2-14000x+10000， 其中 0x8 ，当 x= min 时， MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短； (3)由 (1)知： BC=500m，甲到 C 用时为 126050= (min)， 若甲等
20、乙 3 分钟，则乙到 C 用时为 +3= (min)，在 BC 上同时为 (min)， 此时乙的速度最小，且为 500 = 29.07(m/min) ； 若 乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时为 -3= (min)，在 BC 上用时为 (min)， 此时乙的速度最大，且为 500 = 44.64(m/min) ， 则乙步行的速度控制在 29.07， 44.64范围内 . 19.(16 分 )设 an是首项为 a，公差为 d 的等差数列 (d0 )， Sn是其前 n 项和 .记 bn= ，n N*，其中 c 为实数 . (1)若 c=0，且 b1， b2， b4成等比数列，证明： Snk=n2S
21、k(k， n N*)； (2)若 bn是等差数列，证明： c=0. 解析 ： (1)写出等差数列的通项公式，前 n 项和公式，由 b1， b2， b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前 n 项和公式得到 Sn，在前 n 项和公式中取 n=nk可证结论； (2)把 Sn代入 中整理得到 bn= ，由等差数列的通项公式是 an=An+B 的形式，说明 ，由此可得到 c=0. 答案： (1)若 c=0，则 an=a1+(n-1)d， ， . 当 b1， b2， b4成等比数列时，则 ， 即： ，得： d2=2ad，又 d0 ，故 d=2a. 因此： ， ， .故： (k， n N*). (2)
22、= = . 若 bn是等差数列，则 bn的通项公式是 bn=An+B 型 . 观察 式后一项，分子幂低于分母幂， 故有： ，即 ，而 ， 故 c=0. 经检验，当 c=0 时 bn是等差数列 . 点评： 本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，考查了学生 20.(16 分 )设函数 f(x)=lnx-ax， g(x)=ex-ax，其中 a 为实数 . (1)若 f(x)在 (1， + )上是单调减函数，且 g(x)在 (1， + )上有最小值，求 a 的取值范围； (2)若 g(x)在 (-1， + )上是单调增函数，试求 f(x)的零点个数，并证明你的结论 . 解析
23、 ： (1)求导数，利用 f(x)在 (1， +) 上是单调减函数，转化为 -a0 在 (1， +) 上恒成立，利用 g(x)在 (1， +) 上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； (2)先确定 a 的范围，再分类讨论，确定 f(x)的单调性，从而可得 f(x)的零点个数 . 答案： (1)求导数可得 f(x)= -a， f(x) 在 (1， +) 上是单调减函数， -a0 在 (1， +) 上恒成立， a ， x (1， +). a1.g(x)=e x-a， 若 1ae ，则 g(x)=e x-a0 在 (1， +) 上恒成立， 此时， g(x)=ex-ax 在 (1， +) 上是单调增
24、函数，无最小值，不合； 若 a e，则 g(x)=ex-ax 在 (1， lna)上是单调减函数，在 (lna， +) 上是单调增函数，gmin(x)=g(lna)，满足 . 故 a 的取值范围为： a e. (2)g(x)=e x-a0 在 (-1， +) 上恒成立，则 ae x在 (-1， +) 上恒成立， ， f(x)= -a= (x 0)， 0 ，令 f(x) 0 得增区间 (0， )；令 f(x) 0 得减区间 ( ， +) ， 当 x0 时， f(x) - ；当 x+ 时， f(x) - ， 当 x= 时， f( )=-lna-10 ，当且仅当 a= 时取等号 ， 当 a= 时， f(x)有 1 个零点；当 0 a 时， f(x)有 2 个零点； a=0 时，则 f(x)=lnx， f(x) 有 1 个零点； a 0 时， -a0 在 (0， +) 上恒成立，即 f(x)=lnx-ax 在 (0， +) 上是单调增函数 ， 当 x0 时， f(x) - ；当 x+ 时， f(x)+ ， f(x) 有 1 个零点 ， 综上所述，当 a= 或 a0 时， f(x)有 1 个零点；当 0 a 时， f(x)有 2个零点 . 点评： 此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查
