1、数学-导数与微分及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：51.00)1.设函数 f(x)可导，则 y=ex2f(e-x2)的导数 y等于( )(A)f(e-x2) (B)-f(e-x2)(C)-2xf(e-x2) (D)2xex2f(e-x2)-2xf(e-x2)（分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是 f(x)的( )(A)间断点(B)连续但不可导的点(C)可导的点，且 f(0)=0(D)可导的点，且 f(0)0（分数：3.00）A.B.C.D.3.
2、设 f(x)=(x-1)(2x+1)，x(-，+)，则在区间( （分数：3.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x)对任意的 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处( )(A)不可导 (B)可导且 f(1)=a(C)可导且 f(1)=b (D)可导且 f(1)=ab（分数：3.00）A.B.C.D.5.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.6.设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f(x)g(x)+f(x)g(x)0，则当 x(a，b)时，有( )(A)f(x)g(
3、x)f(b)g(a) (B)f(x)g(x)f(b)g(a)(C)f(a)g(b)f(b)g(a) (D)f(x)g(x)f(b)g(b)（分数：3.00）A.B.C.D.7.下述极限中，等于 e 的是( )（分数：3.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)在(a，b)内可微，则( )(A)在a，b上连续(B)若 f(x)在(a，b)上严格单调递增，则 f(x)0(C)若 f(x)严格单调递增，且 f(x)0，则 （分数：3.00）A.B.C.D.9.y=xx的导数 y等于( )(A)xx(1+lnx) (B)xxlnx(C)xx-1 (D)xx(1-lnx)（分数：3.00）A.B.C.
4、D.10.设函数 （分数：3.00）A.B.C.D.11.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )(A)当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数(B)当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数(D)当 f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数（分数：3.00）A.B.C.D.12.设 f(x)有二阶连续导数且 f(0)=0， （分数：3.00）A.B.C.D.13.设常数 k0，函数 （分数：3.00）A.B.C.D.14.函数 (a0)，则 y 在区间( )(A) 单增，(-，0) 单减(B) 单增， 单减(C
5、) 单减， 单增(D) 单减， （分数：3.00）A.B.C.D.15.对任意 x，恒有( )(A)e-x1-x (B)e -x1+x(C)e-x1-x (D)e -x1+x（分数：3.00）A.B.C.D.16.函数 的值域(1xe)为( )(A)1，e (B) (C) (D) （分数：3.00）A.B.C.D.17.当 0x1 时， （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：16，分数：48.00)18.若函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）20.设函数 f(x)在(-，+)上满足 2f(
6、1+x)+f(1-x)=ex，则 f(1)=_（分数：3.00）填空项 1:_21.函数 f(x)=(x2+2x-3)|x4-x|的不可导的点的个数是=_（分数：3.00）填空项 1:_22.函数 y=y(x)是由方程 exy+x-y-2=0 所确定，则 y(0)=_（分数：3.00）填空项 1:_23.设函数 y=y(x)由方程 xy=yx所确定，则 y(1)=_（分数：3.00）填空项 1:_24.当 x0 时，函数 f(x)满足 （分数：3.00）填空项 1:_25.已知 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_26.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_（分数：
7、3.00）填空项 1:_27.设函数（分数：3.00）填空项 1:_28.已知 （分数：3.00）填空项 1:_29.已知 ，f(z)=x 2，则 （分数：3.00）填空项 1:_30.若 （分数：3.00）填空项 1:_31.设 (y)是单调连续函数 (x)的反函数，且 (1)=2， （分数：3.00）填空项 1:_32.设 f(x)=(x-a)2(x)，其中 (x)在 a 点邻域内有一阶连续导数，则 f(a)=_（分数：3.00）填空项 1:_33.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y(0)=_（分数：3.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：17，分数
8、：51.00)34.求函数 y=f(x)=|x|= （分数：3.00）_35.已知 f(a)=a2，求 （分数：3.00）_36.求函数 （分数：3.00）_37.求函数 y=ln|x|的导数（分数：3.00）_38.求函数 （分数：3.00）_39.设函数 y=y(x)由方程 y-xey=1 所确定，求 y(-1)（分数：3.00）_40.由方程 ex-e-y+xy=0 确定 y 是 x 的函数，即 y=y(x)，求 yx（分数：3.00）_41.y=xln(1+x)，求 y（分数：3.00）_42.设 （分数：3.00）_43.讨论函数 （分数：3.00）_44.讨论 a，b 为何值时，才
9、能使函数 （分数：3.00）_45.求下列函数的导数或微分：(1)求 的导数；(2)求 在 x=1 处的微分；(3)求 的导数；(4)求 y=ln(1+3-x)的导数；(5)求 （分数：3.00）_46.求下列函数的导数：(1) （分数：3.00）_47.求下列函数的导数或微分：(1)已知 ，f(x)=ln(1+x 2)，求 yx|x=0；(2)设 y=f(1nx)ef(x)，f(x)可微，求 dy；(3)设 （分数：3.00）_48.求隐函数的导数：(1)由方程 ey+xy-e=0 确定的 y 是 x 的函数，求 yx|x=0；(2)由方程 ex+y-ln(xy)=0 确定 y=y(x)，求
10、 dy（分数：3.00）_49.求下列函数的导数：(1)y=xex； (2) （分数：3.00）_50.(1) ，求 y和 y；(2)设方程 （分数：3.00）_数学-导数与微分答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：17，分数：51.00)1.设函数 f(x)可导，则 y=ex2f(e-x2)的导数 y等于( )(A)f(e-x2) (B)-f(e-x2)(C)-2xf(e-x2) (D)2xex2f(e-x2)-2xf(e-x2)（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 按照微分的运算法则，有dy=f(e-x2)dex2+ex2df(e-x2)=2xe
11、x2f(e-x2)dx+ex2f(e-x2)de-x2=2xex2f(e-x2)-2xe-x2ex2f(e-x2)dx2.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有|f(x)|x 2，则 x=0 必是 f(x)的( )(A)间断点(B)连续但不可导的点(C)可导的点，且 f(0)=0(D)可导的点，且 f(0)0（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 令 x=0，由|f(0)|0 知 f(0)=0而0|f(x)-f(0)|=|f(x)|x 2，由夹逼定理可知 ，即 ，所以 f(x)在 x=0 处连续再讨论 f(x)在 x=0 处的左、右导数，由|f(x)|x 2，
12、得-x 2f(x)x 2当 x0 时，根据 及夹逼定理，可知同理，当 x0 时， ，则3.设 f(x)=(x-1)(2x+1)，x(-，+)，则在区间( （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 时，f(x)=(x-1)(2x+1)0， f(x)=4x-10 所以在4.设函数 f(x)对任意的 x 均满足 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1 处( )(A)不可导 (B)可导且 f(1)=a(C)可导且 f(1)=b (D)可导且 f(1)=ab（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 在 f(1+x)=af(x)中，
13、令 x=0，得 f(1)=af(0)5.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 举反例说明比如 (x)=e -|x|，f(x)=2e -x，g(x)=3e -|x|，则有 (x)f(x)g(x)，且，但有 存在但若取 (x)=e -|x|+x，f(x)=2e -|x|+x，g(x)=3e -|x|+x，则有 ，但6.设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f(x)g(x)+f(x)g(x)0，则当 x(a，b)时，有( )(A)f(x)g(x)f(b)g(a) (B)f(x)g(x)f(b)g(a)(C)f(a)g(b)f(b)
14、g(a) (D)f(x)g(x)f(b)g(b)（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0 (axb)于是，F(x)在a，b上单调减少，故当 x(a，b)时，F(x)F(b)，即 f(x)g(x)f(b)g(b)7.下述极限中，等于 e 的是( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：8.设函数 f(x)在(a，b)内可微，则( )(A)在a，b上连续(B)若 f(x)在(a，b)上严格单调递增，则 f(x)0(C)若 f(x)严格单调递增，且 f(x)0，则 （分数：3.00）A.B.C. D
15、.解析：解析 的导数为 ，因为 f(x)严格递增，所以 f(x)0，从而有 ，所以9.y=xx的导数 y等于( )(A)xx(1+lnx) (B)xxlnx(C)xx-1 (D)xx(1-lnx)（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 函数 y=xx两边取对数，得lny=xlnx两边关于 x 求导得10.设函数 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由连续性得 ，即 1=a+b由可导性得11.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )(A)当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数(B)当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数(C)当 f(x)是周期函数
16、时，F(x)必为周期函数(D)当 f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)的原函数可以写成 形式，则当 f(x)是奇函数时，f(-u)=-f(u)，从而有当 f(x)是偶函数时，有(除非 C=0)故(B)不成立下面举例说明(C)，(D)不成立，如果 f(x)是以 T 为周期的函数，设 (x)= ，而 F(x)=(x)+C 不是周期函数又如 y=x 在(-，+)为单调增函数，而12.设 f(x)有二阶连续导数且 f(0)=0， （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 及极限不等式性质，可知存在 0，当 0|x| 时，13.
17、设常数 k0，函数 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由 可知， 令 f(x)=0，得 x=e，且当 x(0，e)时，f(x)0；当x(e，+)时，f(x)0所以 x(0，e)时，f(x)单调增加，x(e，+)时，f(x)单调减少又 f(e)=k0，同时14.函数 (a0)，则 y 在区间( )(A) 单增，(-，0) 单减(B) 单增， 单减(C) 单减， 单增(D) 单减， （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 的定义域为 ax-x20，即 或 因为 a0，所以定义域为 0xa，得驻点 x= ；x=a 及 x=0 处 y不存在，即：所以在(0， )函数单调增，在(1
18、5.对任意 x，恒有( )(A)e-x1-x (B)e -x1+x(C)e-x1-x (D)e -x1+x（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 设 f(x)=e-x-(1-x)，f(x)=-e -x+1令 f(x)=0，x=0，而 f(0)=0当 x0 时，f(x)0，f(x)单调减当 x0 时，f(x)0，f(x)单调增因此，x=0 为极小值点，又因 f(0)=0，故当 x0 时，f(x)0，即 e-x1-x 成立另可设 g(x)=e-x-(1+x)，用类似方法讨论，可推得其余各选项是不成立的另外，此题涉及三个函数，即y1=e-x，y 2=1-x，y 3=1+x，如图 121，可以
19、在同一直角坐标系内作此三个函数的图形，其不等式关系显而易见16.函数 的值域(1xe)为( )(A)1，e (B) (C) (D) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 令 yx=0，得 x=e，当 1xe 时，y x0所以当 1xe 时，y 单调增，y min=y(1)=1，所以 y 的值域为17.当 0x1 时， （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)=ax a-1-a(1-x)a-1=axa-1-(1-x)a-1令 f(x)=0，得 xa-1=(1-x)a-1，解得 是唯一驻点故在0，1区间上，有 ，所以 f(x)的值域为二、填空题(总题数：16，分数：48.
20、00)18.若函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：3f(x 0)）解析：解析 19.设函数 f(x)在 x0点可导，则 （分数：3.00）解析：解析 因为 由 f(x0)存在，可知因此，若 f(x0)=0，则有若 f(x0)0，则有20.设函数 f(x)在(-，+)上满足 2f(1+x)+f(1-x)=ex，则 f(1)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求 f(x)的表达式令 x=-t，则等式变为由此可解得3f(1+t)=2et-e-t，再令 1+t=x，可得于是有即有21.函数 f(x)=(x2+2x-3)|x4-
21、x|的不可导的点的个数是=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 由|x 4-x|=|x|x-1|(x2+x+1)，可知 f(x)的不可导点至多有两个点：x 1=0，x 2=1下面我们来分析这两点是否不可导在 x1=0 点处，由 不存在，可知 f(0)不存在在 x2=1 点处22.函数 y=y(x)是由方程 exy+x-y-2=0 所确定，则 y(0)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 方法一 在等式 exy+x-y-2=0 两边求导，有exy(y+xy)+1-y=0，由此可得 又由方程知 y(0)=-1，于是有方法二 利用隐函数求导公式令
22、 F(x，y)=e xy+x-y-2，则有由此即得23.设函数 y=y(x)由方程 xy=yx所确定，则 y(1)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 利用对数求导法，有ylnx=xlny，上式两边对 x 求导，有即24.当 x0 时，函数 f(x)满足 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：解析 先求函数 f(x)的表达式：令 ，等式化为又 可解得 ，再令 t3=x，有求导，有25.已知 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因 ，而26.设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，则 f(0)=_（分数：3.
23、00）填空项 1:_ （正确答案：n!）解析：解析 根据 f(x)在点 x=0 处导数的定义27.设函数（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 f(x)是分段函数，按定义分别求 f(x)在点 x=0 处的左、右导数28.已知 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 f(x0)=5 知 而 ，则 ，所以29.已知 ，f(z)=x 2，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 令 ，则 y=fu(x)，由复合函数求导法则，则30.若 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：(2t+1)e 2t）解析：解析 先利用重要极限
24、 求出 f(t)的表达式，然后求 f(t)31.设 (y)是单调连续函数 (x)的反函数，且 (1)=2， （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 根据反函数的求导法则，因此32.设 f(x)=(x-a)2(x)，其中 (x)在 a 点邻域内有一阶连续导数，则 f(a)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：2(a)）解析：解析 f(x)=2(x-a)(x)+(x-a) 2(x)，f(a)=0，33.已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y(0)=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 方程两边关于 x 求
25、导，得eyy+6y+6xy+2x=0， 且对上式关于 x 求导三、计算题(总题数：17，分数：51.00)34.求函数 y=f(x)=|x|= （分数：3.00）_正确答案：(解 按左、右导数的定义，有)解析：35.已知 f(a)=a2，求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：36.求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即所以可得)解析：37.求函数 y=ln|x|的导数（分数：3.00）_正确答案：(解 因为函数所以：当 x0 时，当 x0 时，总之有 )解析：38.求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 对于这种
26、复杂的初等函数的求导，利用对数求导法是一个很好的选择，即由求导，可得即有 )解析：39.设函数 y=y(x)由方程 y-xey=1 所确定，求 y(-1)（分数：3.00）_正确答案：(解 由方程易知，x=-1 时，有 y(-1)=0对等式两边求导，可得y-xeyy-ey=0由 x=-1，得 y(-1)=0，代入上式，有 y(-1)= 再对上式求导，可得y-xeyy-xey(y)2-eyy-eyy=0将 x=-1，y(-1)=0，y(-1)= ，代入上式，可得)解析：40.由方程 ex-e-y+xy=0 确定 y 是 x 的函数，即 y=y(x)，求 yx（分数：3.00）_正确答案：(解 将
27、 y=y(x)代入方程后即变为恒等式，ex-e-y(x)+xy(x)=0，将恒等式两边对 x 求导，得ex-e-y(-yx)+y+xyx=0，解得 )解析：41.y=xln(1+x)，求 y（分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：42.设 （分数：3.00）_正确答案：(解 利用微分形式不变性，令 u=ax+bx2，则 y=eu，得dy=yudu=eudu=eax+bx2d(ax+bx2)，再求 du，则dy=(a+2bx)eax+bx2dx)解析：43.讨论函数 （分数：3.00）_正确答案：(分析f(x)在 x=0 点两侧表达式相同，仅在 x=0 处一点不同，因此欲研究 x=0 点的可
28、导性，可直接用导数定义求 f(0)解 由定义)解析：44.讨论 a，b 为何值时，才能使函数 （分数：3.00）_正确答案：(分析因为连续为可导的必要条件，所以首先要求在 x=0 处 f(x)连续又由于在 x=0 两侧函数表达式不同，因此需用左、右连续和左、右导数来讨论解 由于要使 f(x)在 x=0 点连续，则需 b=0又)解析：45.求下列函数的导数或微分：(1)求 的导数；(2)求 在 x=1 处的微分；(3)求 的导数；(4)求 y=ln(1+3-x)的导数；(5)求 （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)(2)dy=ydx，dy| x=1=y(1)dx，故(3)令(4)(5)由对
29、数性质，化简原式为于是 )解析：46.求下列函数的导数：(1) （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)令 y=lnu， ，(2)当 x0 时，y=e x，y=e x；当 x0 时，y=e -x，y=-e -x；当 x=0 时因为 y-(0)y +(0)，所以在 x=0 点函数不可导，故)解析：47.求下列函数的导数或微分：(1)已知 ，f(x)=ln(1+x 2)，求 yx|x=0；(2)设 y=f(1nx)ef(x)，f(x)可微，求 dy；(3)设 （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)这是 x 的复合函数，令 ，yx|x=0=31n2(2)dy=yxdx，令 u=lnx，所以有(
30、3) )解析：48.求隐函数的导数：(1)由方程 ey+xy-e=0 确定的 y 是 x 的函数，求 yx|x=0；(2)由方程 ex+y-ln(xy)=0 确定 y=y(x)，求 dy（分数：3.00）_正确答案：(解 (1)方程两边对 x 求导，y 是 x 的函数，eyyx+y+xyx=0，把 x=0 代入到方程 ey+xy-e=0 中，解得 y(0)=1，再将 x=O，y(0)=1 代入eyyx+y+xyx=0，得 e1y(0)+1=0， (2)将方程两边对 x 求微分，得所以 )解析：49.求下列函数的导数：(1)y=xex； (2) （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)方法一 将等式 y=xex两边取对数，得lny=exlnx两边对 x 求导，这里 y 是 x 的函数，即 y=xex，从而有解得方法二 采取指数换底，化为以 e 为底的指数函数，再利用复合函数求导y=xex=eexlnx，(2) )解析：50.(1) ，求 y和 y；(2)设方程 （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)(2)方程两边取对数，然后两边对 x 求导，解得 )解析：
