1、数学-定积分及答案解析(总分：201.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：81.00)1.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )(A)当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B)当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数(C)当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D)当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：3.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 x2ex，则 f(x)等于( )(A)(2+x)ex-3 (B)(2+x)ex+C(C)(1+x)ex-1 (
2、D)(3+x)ex+C（分数：3.00）A.B.C.D.3.已知某产品产量的变化率是时间 t 的函数，f(t)=at+b(a，b 为常数)，设此产品 t 时的产量函数为 Q(t)，已知 Q(0)=0，则 Q(t)等于( )(A)at2+bt (B)(C) （分数：3.00）A.B.C.D.4.广义积分 ，下列结论正确的是( )(A)因为 为奇函数，奇函数在对称区间上积分为 0，所以广义积分收敛，值为 0(B) ，所以广义积分收敛，值为 0(C) ，因为 不存在，所以 发散，则 发散(D)因为 及 均发散，所以 可能收敛，也可能发散（分数：3.00）A.B.C.D.5.设 f(x)为已知连续函数
3、， （分数：3.00）A.B.C.D.6.设广义积分 ，则( )(A)广义积分收敛且等于(B)广义积分收敛且等于 （分数：3.00）A.B.C.D.7.曲线 ，y=2 及 x=2 所围成图形面积的定积分表达式为( )（分数：3.00）A.B.C.D.8.设 ，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.9.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴围成平面图形的面积 S 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.10.设 f(x)连续，且 ，则 F(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.11.设 n1，广义积分 ( )(A)发散 (B)收敛于(C)收敛于 (D)收敛于
4、（分数：3.00）A.B.C.D.12.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 1，则 等于( )(A) (B)1 (C)0 (D) （分数：3.00）A.B.C.D.13.设 x-1，则 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.14.设 f(x)是0，+)上的连续函数，且满足 ，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.15. 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.16.曲线 与圆 x2+(y-1)2=1 及直线 y=2 在第一象限所围图形的面积为( )（分数：3.00）A.B.C.D.17.已知 ，则 等于( )（分数：3.00）A.B
5、.C.D.18.设 f(x)的一个原函数是 ex2，则 （分数：3.00）A.B.C.D.19.设 ，用 A 表示 （分数：3.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x3在 P(a，a 3)点的切线(其中 a0)与曲线所围图形的面积为( )（分数：3.00）A.B.C.D.21.在曲线 y2=2px(p0)上点 A 处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域 D 的面积为( )（分数：3.00）A.B.C.D.22.由曲线 与过原点的曲线的切线及 z 轴所围图形的面积为( )(A)1 (B) (C) （分数：3.00）A.B.C.D.23. 等于( )(A) (B) （分数：3.00）A.B.C
6、.D.24. 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D.25.曲线 和直线 y=x 及 y=2 所围图形的面积 S 等于( )(A)1 (B)(C)1-ln2 (D) （分数：3.00）A.B.C.D.26. （分数：3.00）A.B.C.D.27.过点(1，0)作曲线 y=x2的两条切线，它们与曲线 y=x2所围图形的面积是( )（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：19，分数：57.00)28.设 （分数：3.00）填空项 1:_29. （分数：3.00）填空项 1:_30. （分数：3.00）填空项 1:_31.从原点向曲线 y1-lnx 作切线，由切线、曲线和 z 轴
7、所围成的图形的面积为_（分数：3.00）填空项 1:_32.在抛物线 y=x2-1 上取一点 P(a，a 2-1)，过 P 引抛物线 y=x2的两条切线，则两切线与抛物线 y=x2所围成的图形的面积为_（分数：3.00）填空项 1:_33. （分数：3.00）填空项 1:_34. （分数：3.00）填空项 1:_35.已知 ，f(2)=0 及 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_36.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，则方程 （分数：3.00）填空项 1:_37.设 （分数：3.00）填空项 1:_38. （分数：3.00）填空项 1:_39.已知 ，则 （分数：3.00）填空项
8、1:_40.由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=-x2+1 所围成的平面图形的面积 S= 1（分数：3.00）填空项 1:_41.若 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_42.设 则 （分数：3.00）填空项 1:_43.由曲线 y=xex与直线 y=ex 所围成图形的面积 S=_（分数：3.00）填空项 1:_44.已知 xex为 f(x)的一个原函数，则 （分数：3.00）填空项 1:_45.定积分 （分数：3.00）填空项 1:_46.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 （分数：3.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：21，分数：
9、63.00)47.讨论无穷积分 （分数：3.00）_48.已知 （分数：3.00）_49.求函数 （分数：3.00）_50.求函数 （分数：3.00）_51.求函数 （分数：3.00）_52.求 （分数：3.00）_53.证明：设函数 f(x)在-a，a上连续，那么：(1)当 f(x)为奇函数时，则(2)当 f(x)为偶函数时，则 （分数：3.00）_54.证明：设函数 f(x)是以 T 为周期的连续函数，则对任一实数 a，有（分数：3.00）_55.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(x)无零点，且 f(0)=1，f(1)=2，0 求 （分数：3.00）_56.设 （分数：3.00）
10、_57.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足 ，试求 f(x)（分数：3.00）_58.设函数 f(x)满足：f(0)=2，f(-2)=0，f(x)在 x=-1，x=5 有极值，f(x)是二次多项式，求 f(x)（分数：3.00）_59.求由方程（分数：3.00）_60.求由抛物线 y2=x 与直线 y=x-2 所围图形的面积 S（分数：3.00）_61.当 a(0a4)为何值时，两曲线 （分数：3.00）_62.讨论无穷积分 （分数：3.00）_63.设常数 -1，0，试求无穷积分（分数：3.00）_64.讨论函数 f(x)的单调性，其中 f(x)在1，+)上可积，且满足（分数：3.0
11、0）_65.设 求 （分数：3.00）_66.计算下列定积分：(2)(3)(4) （分数：3.00）_67.讨论广义积分 （分数：3.00）_数学-定积分答案解析(总分：201.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：81.00)1.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )(A)当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数(B)当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数(C)当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数(D)当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数（分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 记 ，则 G(x)为 f(x)的
12、一个原函数，从而 F(x)=G(x)+C若 f(x)为奇函数，即 f(-x)=-f(x)，则2.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 x2ex，则 f(x)等于( )(A)(2+x)ex-3 (B)(2+x)ex+C(C)(1+x)ex-1 (D)(3+x)ex+C（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 两边求导，有f(x)g(f(x)=(2x+x2)ex，即 f(x)=(2+x)ex，则3.已知某产品产量的变化率是时间 t 的函数，f(t)=at+b(a，b 为常数)，设此产品 t 时的产量函数为 Q(t)，已知 Q(0)=0，则 Q(t)等于( )
13、(A)at2+bt (B)(C) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 即已知 Q(t)=f(t)=at+b，由 Q(0)=0，知积分以 0 为下限，所以4.广义积分 ，下列结论正确的是( )(A)因为 为奇函数，奇函数在对称区间上积分为 0，所以广义积分收敛，值为 0(B) ，所以广义积分收敛，值为 0(C) ，因为 不存在，所以 发散，则 发散(D)因为 及 均发散，所以 可能收敛，也可能发散（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 此题主要是考查广义积分收敛的定义广义积分只有在收敛时，才具有奇偶函数在对称区间上的积分性质，所以(A)错误选项(B)中认为收敛，即看极限 是错
14、误的，用定义应为 ，其中 A，B 应为独立变量选项(C)，(D)中均作变换5.设 f(x)为已知连续函数， （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 6.设广义积分 ，则( )(A)广义积分收敛且等于(B)广义积分收敛且等于 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 7.曲线 ，y=2 及 x=2 所围成图形面积的定积分表达式为( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 曲线 与 y=2 交于 x=1 点，所围面积 S=8.设 ，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 是个数设 ，所以故 ，所以9.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴围
15、成平面图形的面积 S 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的交点是：x=0，1，2当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0所以10.设 f(x)连续，且 ，则 F(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由公式所以11.设 n1，广义积分 ( )(A)发散 (B)收敛于(C)收敛于 (D)收敛于 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 原式=12.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 1，则 等于( )(A) (B)1 (C)0 (D) （分数：3.00）A.B.C.
16、D. 解析：解析 13.设 x-1，则 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 当-1x0 时，当 x0 时，14.设 f(x)是0，+)上的连续函数，且满足 ，则 f(x)等于( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 令原方程两边在区间0，1上积分，得因为所以A=-2e-1+1+Ae-A，15. 等于( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 为奇函数，在对称区间上积分为零，而 为偶函数，所以原式=16.曲线 与圆 x2+(y-1)2=1 及直线 y=2 在第一象限所围图形的面积为( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 三曲线所围图形如图
17、 154 所示，面积17.已知 ，则 等于( )（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 设 ，将表达式两边从 0 到 1 积分所以18.设 f(x)的一个原函数是 ex2，则 （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 令由已知，f(x)=(e x2)=2xex2，代入积分式中，原式=19.设 ，用 A 表示 （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 设 t=a-x，dt=-dx，20.曲线 y=x3在 P(a，a 3)点的切线(其中 a0)与曲线所围图形的面积为( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 过点 P(a，a 3)的切线方程为y=3a2(x-a)+a3
18、=3a2x-2a3，再求切线与曲线交点：x3-3a2x+2a3=(x-a)(x2+ax-2a2)=(x-a)(x-a)(x+2a)=0因此，另一交点为(-2a，-8a 3)，切点为(a，a 3)，所求面积如图 155 所示为21.在曲线 y2=2px(p0)上点 A 处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域 D 的面积为( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为点 A 在曲线 y2=2px 上，2yy=2p， 法线方程为 ，即再求法线与抛物线的交点：所以，交点为 B要求的区域 D 的面积 S 如图 158 所示或22.由曲线 与过原点的曲线的切线及 z 轴所围图形的面积为( )
19、(A)1 (B) (C) （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 设切点 P(x0，y 0)，切线方程为 由题意： ，解得 x0=2，y 0=2，切线方程为 y=x所求图形面积(见图 159)为23. 等于( )(A) (B) （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 1-2x=t2，由于(A)，(B)，(C)中没有一个是24. 等于( )（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 令 2x-1=t2，25.曲线 和直线 y=x 及 y=2 所围图形的面积 S 等于( )(A)1 (B)(C)1-ln2 (D) （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 先作草图(见
20、图 1510)，并求出曲线、直线问的交点的坐标 A( ，2)，B(2，2)，C(1，1)方法一选取积分变量为 y，则有，(y)=y，y1，2，于是有方法二选取积分变量为 x，这时有与 y=g(x)=2， 于是有26. （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为由于 x|x|e-|x|是奇函数且 收敛，所以 而27.过点(1，0)作曲线 y=x2的两条切线，它们与曲线 y=x2所围图形的面积是( )（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 先作草图(见图 1511)，再求切点及切线方程：设切点为(x 0，x 20)，则切线斜率为k=(x2)|x=x0=2x0切线方程为因为切线通过
21、点(1，0)，即有由此可得 x0=0 或 x0=2，所以切点为 O(0，0)与 A(2，4)，两切线方程为 Y=0 与 Y-4=4(x-2)这时，两切线与曲线 y=x2所围图形的面积为二、填空题(总题数：19，分数：57.00)28.设 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：解析 等式两边求导，有f(x-1)=3x2+6x，即有 f(x-1)=6(x+1)令 x-1=t，可得 f(t)=6(t+2)由此可知，函数 f(x)有唯一极小值点 x=-229. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 因为由此可知30. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确
22、答案： ）解析：解析 因为31.从原点向曲线 y1-lnx 作切线，由切线、曲线和 z 轴所围成的图形的面积为_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 ，设切点为 P(x0，y 0)切线方程为 ，与 y=1-lnx 联立求切点，得切点(e 2，-1)于是切线方程为设所求图形面积为 A(如图 152 所示)，32.在抛物线 y=x2-1 上取一点 P(a，a 2-1)，过 P 引抛物线 y=x2的两条切线，则两切线与抛物线 y=x2所围成的图形的面积为_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 设切点坐标为(x，y)，它们满足切线方程和曲线 y=x2，即
23、由此解得切点的 x 坐标：x A=a-1，x B=a+1于是所求图形面积如图 153 所示：33. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 为奇函数，所以 ，而34. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 故35.已知 ，f(2)=0 及 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 两次运用分部积分公式设 t=2x，则36.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，则方程 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 设 ，则F(0)=-10， 由闭区间上连续函数的性质介值定理可知，F(x)在(0，1
24、)内至少有一个零点又因F(x)=2-f(x)0，故 F(x)在(0，1)内为严格单调增函数，从而 F(x)=0，即37.设 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 上式两端关于 x 求导，得f(x-1)=3x2-2x+1，从而 f(x)=3x2+4x+2令 f(x)=6x+4=0，得唯一驻点：而当 时，f(x)0；当 时，f(x)0所以 f(x)在38. （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 原式39.已知 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于 而 故原式=40.由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=-x
25、2+1 所围成的平面图形的面积 S= 1（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 41.若 ，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 f(x)=2x 3，所以42.设 则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 x-2=t，则43.由曲线 y=xex与直线 y=ex 所围成图形的面积 S=_（分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 xex=ex 可知，x(e x-e)=0，则 x=0 或 x=1故44.已知 xex为 f(x)的一个原函数，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：
26、解析 f(x)=(xe x)=ex+xex，所以45.定积分 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于所以有46.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 （分数：3.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 三、计算题(总题数：21，分数：63.00)47.讨论无穷积分 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为所以，当 p=1 时，可知这时，无穷积分 发散当 p1 时，可知这时，无穷积分 也发散当 p1 时，可知这时，无穷积分 收敛总之，无穷积分 )解析：48.已知 （分数：3.00）_正确答案：(解 正态分布 N(， 2
27、)的数学期望为其中上式第二步等式右端的第二项是奇函数的无穷积分，为零又其方差为)解析：49.求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 按定理，有(x)=e -x2)解析：50.求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 令 ，则按复合函数的求导公式有还可有更一般的结果：设函数 f(t)在a，b上连续，(x)，(x)在，上可导，且满足(x)b 且 (x)b，x，则函数 )解析：51.求函数 （分数：3.00）_正确答案：(解 按单元一计算题第 4 题中公式的结果，有)解析：52.求 （分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：53.证明：设函数 f(x)在-a，a上连续，那么：(1)当 f(x
28、)为奇函数时，则(2)当 f(x)为偶函数时，则 （分数：3.00）_正确答案：(证 因为 ，所以：(1)当 f(x)为奇函数时，有(2)当 f(x)为偶函数时，有)解析：54.证明：设函数 f(x)是以 T 为周期的连续函数，则对任一实数 a，有（分数：3.00）_正确答案：(证 因为由定积分性质可得而 代入前一式，有)解析：55.设函数 f(x)在0，1上有连续的导数，f(x)无零点，且 f(0)=1，f(1)=2，0 求 （分数：3.00）_正确答案：(解 按定积分的换元积分法，作换元 u=f(x)，则有)解析：56.设 （分数：3.00）_正确答案：(解 因为变限定积分中的被积函数中还
29、含有变量 x，必须通过换元，来去掉被积函数中的变量 x，即作换元 u=x+t2，则可得 )解析：57.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足 ，试求 f(x)（分数：3.00）_正确答案：(解 由 可得对上式两边求导，有即 两边积分，可得)解析：58.设函数 f(x)满足：f(0)=2，f(-2)=0，f(x)在 x=-1，x=5 有极值，f(x)是二次多项式，求 f(x)（分数：3.00）_正确答案：(解 由 f(x)是二次多项式及 f(x)有极值点 x=-1，x=5，可知有f(x)=K(x+1)(x-5)，其中 K 为非零常数对上式两边积分，可得即 )解析：59.求由方程（分数：3.0
30、0）_正确答案：(解 由等式 取 x=1，有 ，由此可知 y(1)=0又在等式两边求导，可得)解析：60.求由抛物线 y2=x 与直线 y=x-2 所围图形的面积 S（分数：3.00）_正确答案：(解 先作草图(见图 156)，再求抛物线与直线的交点 A 与 B 的坐标：A(1，-1)，B(4，2)方法一 选取 y 为积分变量，则有x=(y)=y 2，x=(y)=y+2，方法二 选取 x 为积分变量，则有所以 )解析：61.当 a(0a4)为何值时，两曲线 （分数：3.00）_正确答案：(解 先作草图(图 157)，选取 x 为积分变量则所围图形的面积为由 可知，在(0，4)内有唯一的极值点
31、，易知它是极大值点，因此即为最大值点所以当 )解析：62.讨论无穷积分 （分数：3.00）_正确答案：(解 由定义有所以无穷积分 收敛，且其值为 )解析：63.设常数 -1，0，试求无穷积分（分数：3.00）_正确答案：(解 )解析：64.讨论函数 f(x)的单调性，其中 f(x)在1，+)上可积，且满足（分数：3.00）_正确答案：(解 先求 f(x)的表达式，即要求 之值对等式 f(x)dx 两边积分，可得由此可知 A=2，从而 于是有由此可得：当 时，f(x)0，所以 f(x)单调上升；当 )解析：65.设 求 （分数：3.00）_正确答案：(解 令 x-1=t，则由于在-1，1上 f(x)表达式不同，根据定积分的区间性质应分-1，0和0，1上的两个积分计算，所以)解析：66.计算下列定积分：(2)(3)(4) （分数：3.00）_正确答案：(解 (1)(2)这是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分，第二个为奇函数在对称区间上积分为零，第三个积分利用定积分的几何意义， 是圆心在原点，半径为 2 的上半圆，它在-2，2上积分应是上半圆面积，故第一个积分为 因此原积分=(3)当 a0 时，当 a1 时，当 0a1 时，所以(4)由题意知，于是可得)解析：67.讨论广义积分 （分数：3.00）_正确答案：(解 依题意，得故 )解析：
